第七章 图形的变换与尺规作图
7.1 图形的轴对称、平移和旋转
考点 1 图形的轴对称（轮考点）
1．[2023 广东，2，3分]下列出版社的商标图案中，是轴对称图形的为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】根据轴对称图形的定义，可知只有选项 A中的图案是轴对称图形.
2．[2024 广东，2，3分]下列几何图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】A.不是中心对称图形，是轴对称图形，故此项不符合题意；
B.是中心对称图形，不是轴对称图形，故此项不符合题意；
C.是中心对称图形，也是轴对称图形，故此项符合题意；
D.是轴对称图形，不是中心对称图形，故此项不符合题意.
3．[2021 广州，15，3 分]如图，在△ 中， = ，∠ = 38 ，点 是边 上一点，点
关于直线 的对称点为 '，当 ' // 时，∠ 的度数为________.
【答案】33
【解析】连接 '.
∵ 点 ， '关于直线 对称，
∴△ ' ≌△ .
∴ ∠1 = ∠2，∠ ' = ∠ = 38 .
∵ // ' ，∴ ∠3 = ∠ ' = 38 .
83/104
第七章 图形的变换与尺规作图
又∵ = ，∴ ∠ = ∠ = 38 .
∴ ∠ = 180 ∠ ∠ = 104 .
∴ ∠1 + ∠2 + ∠3 = 38 + 2∠2 = 104 .
∴ ∠2 = 33 . ∴ ∠ = 33 .
4．[2021 深圳，17，6 分]如图所示，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为 1个单位长
度.
（1） 请画出四边形 关于直线 的对称图形；
（2） 求四边形 的面积.
【解析】
（1） 如图所示.
（2） 1四边形 = △ + △ = × 4 × 2 +
1 × 4 × 2 = 4 + 4 = 8.
2 2
考点 2 图形的平移（冷考点）
5．[2020 广州，14，3 分]如图，点 的坐标为(1,3)，点 在 轴上，把△ 沿 轴向右平移到
△ ，若四边形 的面积为 9，则点 的坐标为____________.
【答案】(4,3)
【解析】∵△ 由△ 向右平移所得，点 的坐标为(1,3)，
84/104
第七章 图形的变换与尺规作图
∴ 点 的纵坐标为 3.
易知四边形 为平行四边形，∴ 四边形 = 3 = 9，∴ = 3，
∴ = = 3.
∴ 点 的坐标为(4,3).
考点 3 图形的旋转（常考点）
6．[2024 广州，2，3分]下列图案中，点 为正方形的中心，阴影部分的两个三角形全等，则
阴影部分的两个三角形关于点 对称的是 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
7．[2020 深圳，2，3分]下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
8．[2019 广州，14，3 分]一副三角板如图放置，将三角板 绕点 逆时针旋转 (0 < < 90 )，
使得三角板 的一边所在的直线与 垂直，则 的度数为______________________.
【答案】15 或60
【解析】①当 ⊥ 时，如图，设 与 交于点 ，
∵ ∠ = ∠ = 90 ∠ = 90 30 = 60 ，
∴ ∠ = 180 ∠ ∠ = 180 60 45 = 75 ，∴ ∠ = ∠ ∠ = 90
75 = 15 ，
85/104
第七章 图形的变换与尺规作图
∴ = 15 .
②当 ⊥ 时，如图，设 与 交于点 ，
∵ ∠ = 30 ， ⊥ ，∴ ∠ = 90 ∠ = 60 ，∴ = 60 .
综上所述， 的度数为15 或60 .
9．[2022 广州，16，3 分]如图,在矩形 中， = 2 ,点 为边 上的一个动点，线段
绕点 顺时针旋转60 得到线段 ',连接 ', '.
当点 '落在边 上时，∠ ' 的度数为__________;
当线段 '的长度最小时，∠ ' 的度数为________.
【答案】120 ； 75
【解析】当点 '落在边 上时， ， '， 三点共线，
∵ = '，∠ ' = 60 ，
∴△ '为等边三角形，
∴ ∠ ' = 60 ,∴ ∠ ' = 120 .
将线段 绕点 顺时针旋转60 得到线段 ' ',易知线段 ' '为点 '的运动轨迹，设 ' '与
交于点 .连接 ' ，易知∠ ' = 60 .
当 ' ⊥ ' '时， '取最小值.
易证△ ≌△ ' ',
∴ ∠ = ∠ ' = 90 ，∴ ' // ',
∴ ∠ ' = ∠ ' = 30 .
设 = ' = ,则 = 2 , ' = 3 , = 2 3 ，∴ = 2 2 3 ，
3 3 3
86/104
第七章 图形的变换与尺规作图
∴ ' = 3 .
3
∴ ' ' = ' + ' = ，∴ ' = ' '，
∴ ∠ ' ' = 45 ，又∵△ '为等边三角形，∴ ∠ ' ' = 15 ,
∴ ∠ ' = 90 15 = 75 .
10．[2020 深圳，22，9 分]背景：一次小组合作探究课上，小明将两个正方形按如图所示的位
置摆放（点 、 、 在同一条直线上），发现 = 且 ⊥ .
小组讨论后，提出了下列三个问题，请你帮助解答.
（1） 将正方形 绕点 按逆时针方向旋转（如图 1），还能得到 = 吗？若能，请给
出证明，若不能，请说明理由.
图 1
（2） 把背景中的正方形分别改成菱形 和菱形 ，将菱形 绕点 按顺时针方向
旋转（如图 2），试问当∠ 与∠ 的大小满足怎样的关系时，背景中的结论 = 仍成
立？请说明理由.
图 2
87/104
第七章 图形的变换与尺规作图
（3 2） 把背景中的正方形分别改成矩形 和矩形 ，且 = = ， = 4， = 8，
3
将矩形 绕点 按顺时针方向旋转（如图 3），连接 ， .小组发现：在旋转过程中， 2 +
2的值是定值，请求出这个定值.
图 3
【解析】
（1） 能.证明如下：∵ 四边形 为正方形，∴ = ，∠ = 90 .∵ 四边形 为
正方形，∴ = ，∠ = 90 ，∴ ∠ = ∠ .∴△ ≌△ (SAS),∴ = .
（2） 当∠ = ∠ 时， = .理由如下：∵ ∠ = ∠ ，∴ ∠ = ∠ .∵ 四边
形 和四边形 均为菱形，∴ = ， = .∴△ ≌△ (SAS)，∴ = .
（3） 过 作 ⊥ 的延长线于点 ，过 作 ⊥ .∵ 于点 = = 2， = 4， = 8，
3
∴ = 6， = 12.∵ ∠ = ∠ = 90 ，∴ ∠ = ∠ .又∵ ∠ = ∠ ，∴△
∽△ ∴ = = ， = 2.设 = 2 ， = 2 ，则 = 3 ， = 3 ，4 2 + 4 2 =
3
16，∴ = 8 3 ， 2 + 2 = 4，∴ 2 = (2 )2 + (12 + 2 )2 = 4 2 + 144 + 48 + 4 2，
2 = (3 )2 + (8 3 )2 = 9 2 + 64 48 + 9 2，∴ 2 + 2 = 13( 2 + 2) + 208 = 13 ×
4 + 208 = 260. ∴ 2 + 2的值为 260.
88/104
第七章 图形的变换与尺规作图
7.2 视图与投影
考点 1 三视图（冷考点）
1．[2020 广州，5，3分]对于如图所示的圆锥，下列说法正确的是（ ）
A. 该圆锥的主视图是轴对称图形
B. 该圆锥的主视图是中心对称图形
C. 该圆锥的主视图既是轴对称图形，又是中心对称图形
D. 该圆锥的主视图既不是轴对称图形，又不是中心对称图形
【答案】A
2．[2020 深圳，4，3分]分别观察下列几何体，其中主视图、左视图和俯视图完全相同的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
3．[2023 广州，2，3分]一个几何体的三视图如图所示，则它表示的几何体可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
考点 2 几何体的展开图（常考点）
4．[2022 广州，1，3分]下图是一个几何体的侧面展开图，这个几何体可以是（ ）
A. 圆锥 B. 圆柱 C. 棱锥 D. 棱柱
89/104
第七章 图形的变换与尺规作图
【答案】A
5．[2021 广东，6，3分]下列图形中正方体展开图的个数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】观察可知第一、三、四个图形均为正方体展开图.
6．[2019 深圳，4，3分]下列哪个图形是正方体的展开图（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
7.3 尺规作图
考点 尺规作图（常考点）
1．[2020 广东，15，4 分]如图，在菱形 中，∠ = 30 1，取大于 的长为半径，分别
2
以点 ， 为圆心作弧相交于两点，过此两点的直线交 边于点 （作图痕迹如图所示），连
接 ， .则∠ 的度数为________.
【答案】45
【解析】根据作图可知虚线为线段 的垂直平分线，∴ = ，
∴ ∠ = ∠ = 30 .
∵ 四边形 是菱形，
∴ // ，∠ = ∠ .
∵ ∠ = 30 ，
90/104
第七章 图形的变换与尺规作图
∴ ∠ = 150 ，
∴ ∠ = 1∠ = 75 ，
2
∴ ∠ = 75 30 = 45 .
2．[2023 广东，19，9 分]如图，在 中，∠ = 30 .
（1） 实践与操作：用尺规作图法过点 作 边上的高 ；（保留作图痕迹，不要求写作法）
（2） 应用与计算：在（1）的条件下， = 4， = 6，求 的长.
【解析】
（1） 如图所示，线段 就是所求作的高.
（2）在 Rt △ 中， = 4，∠ = 30 ，∴ = 1 = 2.由勾股定理得 = 2 2 =
2
42 22 = 2 3.∴ = = 6 2 3.
3．[2022 广州，22，10 分]如图, 是⊙ 的直径，点 在⊙ 上，且 = 8, = 6.
（1） 尺规作图：过点 作 的垂线，交劣弧 于点 ,连接 （保留作图痕迹，不写作法）；
（2） 在（1）所作的图形中，求点 到 的距离及 sin∠ 的值.
【解析】
（1） 如图所示.
（2）∵ 是⊙ 的直径，∴ ∠ = 90 .在 Rt △ 中， = 2 + 2 = 82 + 62 = 10，
∴ = = = 5.设 的垂线与 交于点 ，则 = = 1 = 4.∵ 点 是 的中点，
2
91/104
第七章 图形的变换与尺规作图
∴ = 1 = 3，则 = = 2.在 Rt △ 中， = 22 + 42 = 2 5，∴ sin∠ =
2
= 2 = 5.
2 5 5
4．[2024 广东，17，7 分]如图，在△ 中，∠ = 90 .
（1） 实践与操作：用尺规作图法作∠ 的平分线 交 于点 .（保留作图痕迹，不要求写作
法）
（2） 应用与证明：在（1）的条件下，以点 为圆心， 长为半径作⊙ .求证： 与⊙
相切.
【解析】
（1） 如图，射线 即为所求．
（2） 证明：过点 作 ⊥ 于点 ，∵ 平分∠ ，∠ = 90 ，∴ = ，∴ 为⊙
的半径，∴ 与⊙ 相切．
5．[2024 广州，19，6 分]如图，Rt △ 中，∠ = 90 .
（1） 尺规作图：作 边上的中线 （保留作图痕迹，不写作法）.
（2） 在（1）所作的图中，将中线 绕点 逆时针旋转180 得到 ，连接 ， .
求证：四边形 是矩形.
【解析】
92/104
第七章 图形的变换与尺规作图
（1） 如图，线段 即为所求.
（2） 证明：如图， 由题意可得 = ,由旋转可得 、 、 三点共线，
且 = ,∴ 四边形 为平行四边形，∵ ∠ = 90 ,∴ 四边形 为矩形.
6．[2020 广州，23，12 分]如图，△ 中，∠ = ∠ .
（1） 作点 关于 的对称点 .（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2） 在（1）所作的图中，连接 ， ，连接 ，交 于点 .
① 求证：四边形 是菱形；
② 取 的中点 ，连接 ，若 = 13， = 10.求点 到 的距离.
2
【解析】
（1） 如图，点 即为所求作的对称点.
（2） ① 证明：∵ ∠ = ∠ ，∴ = .∵ 点与 点关于直线 对称， 与 交于点
，∴ ⊥ ， = ，∴ = .∴ 四边形 是平行四边形.∵ = ，∴ 四边形
是菱形.
② 过点 作 ⊥ ，交 的延长线于点 .∵ 四边形 为菱形，∴ = = 1 = 5，
2
= 2 = 13.∴ 在 Rt △ 中， = 2 2 = 132 52 = 12，
93/104
第七章 图形的变换与尺规作图
∴ = 2 = 24.∵ 1菱形 = = ，∴
1 × 24 × 10 = 13 ,∴ = 120.∴ 点
2 2 13
120到 的距离为 .
13
94/104第七章 图形的变换与尺规作图
7.1 图形的轴对称、平移和旋转
考点 1 图形的轴对称（轮考点）
1．[2023 广东，2，3分]下列出版社的商标图案中，是轴对称图形的为（ ）
A． B． C． D．
2．[2024 广东，2，3分]下列几何图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．[2021 广州，15，3 分]如图，在△ 中， = ，∠ = 38 ，点 是边 上一点，点
关于直线 的对称点为 '，当 ' // 时，∠ 的度数为________.
4．[2021 深圳，6分]如图所示，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为 1个单位长度.
（1） 请画出四边形 关于直线 的对称图形；
（2） 求四边形 的面积.
考点 2 图形的平移（冷考点）
5．[2020 广州，14，3 分]如图，点 的坐标为(1,3)，点 在 轴上，把△ 沿 轴向右平移到
△ ，若四边形 的面积为 9，则点 的坐标为____________.
41/52
第七章 图形的变换与尺规作图
考点 3 图形的旋转（常考点）
6．[2024 广州，2，3分]下列图案中，点 为正方形的中心，阴影部分的两个三角形全等，则
阴影部分的两个三角形关于点 对称的是 （ ）
A． B． C． D．
7．[2020 深圳，2，3分]下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
8．[2019 广州，14，3 分]一副三角板如图放置，将三角板 绕点 逆时针旋转 (0 < < 90 )，
使得三角板 的一边所在的直线与 垂直，则 的度数为________.
9．[2022 广州，16，3 分]如图,在矩形 中， = 2 ,点 为边 上的一个动点，线段
绕点 顺时针旋转60 得到线段 ',连接 ', '.
当点 '落在边 上时，∠ ' 的度数为__________;
当线段 '的长度最小时，∠ ' 的度数为________.
42/52
第七章 图形的变换与尺规作图
10．[2020 深圳，22，9 分]背景：一次小组合作探究课上，小明将两个正方形按如图所示的位
置摆放（点 、 、 在同一条直线上），发现 = 且 ⊥ .
小组讨论后，提出了下列三个问题，请你帮助解答.
（1） 将正方形 绕点 按逆时针方向旋转（如图 1），还能得到 = 吗？若能，请给
出证明，若不能，请说明理由.
图 1
（2） 把背景中的正方形分别改成菱形 和菱形 ，将菱形 绕点 按顺时针方向
旋转（如图 2），试问当∠ 与∠ 的大小满足怎样的关系时，背景中的结论 = 仍成
立？请说明理由.
图 2
（3） 把背景中的正方形分别改成矩形 和矩形 = = 2，且 ， = 4， = 8，
3
将矩形 绕点 按顺时针方向旋转（如图 3），连接 ， .小组发现：在旋转过程中， 2 +
2的值是定值，请求出这个定值.
图 3
43/52
第七章 图形的变换与尺规作图
7.2 视图与投影
考点 1 三视图（冷考点）
1．[2020 广州，5，3分]对于如图所示的圆锥，下列说法正确的是（ ）
A．该圆锥的主视图是轴对称图形
B．该圆锥的主视图是中心对称图形
C．该圆锥的主视图既是轴对称图形，又是中心对称图形
D．该圆锥的主视图既不是轴对称图形，又不是中心对称图形
2．[2020 深圳，4，3分]分别观察下列几何体，其中主视图、左视图和俯视图完全相同的是（ ）
A． B． C． D．
3．[2023 广州，2，3分]一个几何体的三视图如图所示，则它表示的几何体可能是（ ）
A． B． C． D．
考点 2 几何体的展开图（常考点）
4．[2022 广州，1，3分]下图是一个几何体的侧面展开图，这个几何体可以是（ ）
A．圆锥 B．圆柱 C．棱锥 D．棱柱
5．[2021 广东，6，3分]下列图形中正方体展开图的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．[2019 深圳，4，3分]下列哪个图形是正方体的展开图（ ）
A． B． C． D．
44/52
第七章 图形的变换与尺规作图
7.3 尺规作图
考点 尺规作图（常考点）
1 1．[2020 广东，15，4 分]如图，在菱形 中，∠ = 30 ，取大于 的长为半径，分别
2
以点 ， 为圆心作弧相交于两点，过此两点的直线交 边于点 （作图痕迹如图所示），连
接 ， .则∠ 的度数为________.
2．[2023 广东，19，9 分]如图，在 中，∠ = 30 .
（1） 实践与操作：用尺规作图法过点 作 边上的高 ；（保留作图痕迹，不要求写作法）
（2） 应用与计算：在（1）的条件下， = 4， = 6，求 的长.
3．[2022 广州，22，10 分]如图, 是⊙ 的直径，点 在⊙ 上，且 = 8, = 6.
（1） 尺规作图：过点 作 的垂线，交劣弧 于点 ,连接 （保留作图痕迹，不写作法）；
（2） 在（1）所作的图形中，求点 到 的距离及 sin∠ 的值.
45/52
第七章 图形的变换与尺规作图
4．[2024 广东，17，7 分]如图，在△ 中，∠ = 90 .
1）实践与操作：用尺规作图法作∠ 的平分线 交 于点 .（保留痕迹，不要求写作法）
2）应用与证明：在（1）的条件下，以点 为圆心， 长为半径作⊙ .求证： 与⊙ 相切.
5．[2024 广州，19，6 分]如图，Rt △ 中，∠ = 90 .
（1） 尺规作图：作 边上的中线 （保留作图痕迹，不写作法）.
（2） 在（1）所作的图中，将中线 绕点 逆时针旋转180 得到 ，连接 ， .
求证：四边形 是矩形.
6．[2020 广州，23，12 分]如图，△ 中，∠ = ∠ .
（1） 作点 关于 的对称点 .（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2） 在（1）所作的图中，连接 ， ，连接 ，交 于点 .
① 求证：四边形 是菱形；
② 取 的中点 ，连接 ，若 = 13， = 10.求点 到 的距离.
2
46/52
