第六章 圆
6.1 圆的性质及与圆有关的位置关系
考点 1 圆的有关概念与性质（常考点）
1．[2023 广东，9，3分]如图， 是⊙ 的直径，∠ = 50 ，则∠ =（ ）
A. 20 B. 40 C. 50 D. 80
【答案】B
【解析】∵ 是⊙ 的直径，∴ ∠ = 90 ，∴ ∠ + ∠ = 90 ，
∵ ∠ = 50 ，
∴ ∠ = 90 50 = 40 ，
∵ = ，∴ ∠ = ∠ = 40 .
2．[2021 广东，7，3分]如图， 是⊙ 的直径，点 为圆上一点， = 3，∠ 的平分线
交 于点 ， = 1，则⊙ 的直径为（ ）
A. 3 B. 2 3 C. 1 D. 2
【答案】B
【解析】过点 D作 ⊥ 于点 .
∵ 为⊙ 的直径，∴ ∠ = 90 ,∴ ⊥ .又∵ 平分∠ ，
∴ = = 1.
∵ = 3，∴ = = 3 1 = 2.
在 Rt △ 中， = 2 2 = 22 12 = 3.在 Rt △ 和 Rt △ = ,中， = ,
∴ Rt △ ≌ Rt △ ，∴ = .
设 = = ,则 = + = 3 + .在 Rt △ 中，由勾股定理得 2 + 2 = 2，
即32 + 2 = ( + 3)2,解得 = 3,
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第六章 圆
∴ = 3 + = 2 3,
∴⊙ 的直径为 2 3.
3．[2021 广东，17，4 分]在△ 中，∠ = 90 , = 2， = 3.点 为平面上一个动点，
∠ = 45 ,则线段 长度的最小值为________.
【答案】 5 2
【解析】如图，作△ 的外接圆⊙ ，连接 ， ， ， 与⊙ 交于点 '.
'的长度即为 长度的最小值.
∵ ∠ = 45 ,∴ ∠ = 90 .
易得 = = ' = 2.
过点 作 ⊥ 于点 ，易得 = = 1，∴ = = 3 1 = 2.
在 Rt △ 中， = 2 + 2 = 12 + 22 = 5，∴ ' = ' = 5 2,∴ 长
度的最小值为 5 2.
4．[2021 广州，16，3 分]如图，正方形 的边长为 4，点 是边 上一点，且 = 3.以点
为圆心，3为半径的圆分别交 ， 于点 ， ， 与 交于点 ，并与⊙ 交于点 .连接 ，
.给出下列四个结论：
① 是 的中点；
②△ ≌△ ；
③ △ : △ = 9: 16；
④ = 7.
5
其中正确的结论有____.（填写所有正确结论的序号）
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第六章 圆
【答案】①③④
【解析】易证△ ≌△ .
∴ ∠1 = ∠2. ∴ ⊥ .
又∵ 点 为圆心，
∴ = = 1 . ∴ ①正确.
2
过点 作 ⊥ 于 ， ⊥ 于 .
易证△ ∽△ ，∴ = .
∵ = 2 + 2 = 5，∴ = 12.
5
∵△ ∽△ ∴ = ， .
∴ = 48 36， = .∴ = 3 = 39.∴ = 2 + 2 = 3 17.而 = =
25 25 25 5
5 12 = 13 ≠ .
5 5
∴ ②不正确.
= = 4 = 4 36 = 64.
25 25
1 48
∴ △
×3×
= 2 25 = 9
1×4×64
.∴③正确.
△ 162 25
= 5 = 5 2 = 5 2 × 12 × 3 = 7.∴ ④正确.
5 4 5
5．[2022 广东，22，12 分]如图，四边形 内接于⊙ ， 为⊙ 的直径，∠ = ∠ .
（1） 试判断△ 的形状，并给出证明；
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第六章 圆
（2） 若 = 2， = 1，求 的长度.
【答案】
（1） △ 是等腰直角三角形，证明如下：
∵ 为⊙ 的直径，
∴ ∠ = ∠ = 90 .
∵ ∠ = ∠ ，∴ = ,
∴ = .又∵ ∠ = 90 ，
∴△ 是等腰直角三角形．
（2） 在 Rt △ 中， = = 2,
∴ = 2.
在 Rt △ 中， = 1， = 2，
∴ = 2 2 = 3.
考点 2 与圆有关的位置关系（常考点）
6．[2020 广州，7，3分]如图，Rt △ 中，∠ = 90 ， = 5，cos = 4，以点 为圆心，
5
为半径作⊙ ，当 = 3时，⊙ 与 的位置关系是（ ）
A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 无法确定
【答案】B
∵ ∠ = 90 , = 5,cos = 4【解析】 = ,∴ = cos = 5 × 4 = 4，
5 5
∴ = 2 2 = 52 42 = 3.
∵ = 3,∴⊙ 与 的位置关系是相切.
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第六章 圆
7．[2024 广州，9，3分]如图，⊙ 中，弦 的长为 4 3,点 在⊙ 上， ⊥ ,∠ = 30 . ⊙
所在的平面内有一点 ,若 = 5,则点 与⊙ 的位置关系是（ ）
A. 点 在⊙ 上 B. 点 在⊙ 内 C. 点 在⊙ 外 D. 无法确定
【答案】C
【解析】如图，连接 ，设 与 的交点为 D，
∵ 为半径，且 ⊥ ，
∴ = 1 = 2 3，
2
∵ ∠ = 30 ，
∴ ∠ = 2∠ = 60 .
在 Rt △ 中，sin∠ = ,
∴ = 2 3
sin 60
= 3 = 4,即⊙ 的半径为 4.
2
∵ = 5 > 4，∴ 点 在⊙ 外.
8．[2022 深圳，10，3 分]已知三角形 为直角三角形，∠ = 90 , 为圆 切线， 为切
点， = ，则△ 和△ 面积之比为 （ ）
A. 1: 3 B. 1: 2 C. 2: 2 D. ( 2 1): 1
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第六章 圆
【答案】B
【解析】如图，连接 ，
∵ 是⊙ 的切线， 为半径，
∴ ⊥ ，即∠ = 90 ，
∴ ∠ + ∠ = 90 ，
∵ ∠ = 90 ，∴ ∠ + ∠ = 90 ，∴ ∠ = ∠ ，
∵ 是⊙ 的直径，∴ ∠ = 90 ，即∠ + ∠ = 90 ，
又∠ + ∠ = 90 ，而∠ = ∠ ，∴ ∠ = ∠ ，又∵ = ，
∴△ ≌△ ，∵ = ，
∴ △ =
1
△ = 2 △ ，
∴ 1△ = 2 △ ，即△ 和△ 面积之比为 1: 2.
9．[2020 深圳，20，8 分]如图， 为⊙ 的直径，点 在⊙ 上， 与过点 的切线互相垂直，
垂足为 ，连接 并延长，交 的延长线于点 .
（1） 求证： = ；
（2） 若 = 10， = 6，求 的长.
【解析】
（1） 证明：连接 、 .∵ ⊥ ，∴ ∠ = 90 .又∵ 为⊙ 的切线，∴ ∠ = 90 =
∠ ，∴ // . ∵ 为 1的中点，∴ 为△ 的中位线，∴ = .∵ 为⊙ 的直径，
2
∴ ∠ = 90 .在 Rt △ 中，∵ 1为斜边中线，∴ = ，∴ = .
2
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第六章 圆
（2） ∵ = 10， = 6，∴ = = 10， = = 6， = 2 2 = 8.∵ △ =
1 = 1 ，∴ 8 × 6 = 10 ，∴ = 24.
2 2 5
10．[2021 广东，24，10 分]如图,在四边形 中, // , ≠ ,∠ = 90 ,点 、
分别在线段 、 上,且 // ， = , = .
（1） 求证: ⊥ ；
（2） 求证:以 为直径的圆与 相切；
（3） 若 = 2，∠ = 120 ，求△ 的面积.
【解析】
（1）证明：∵ = ，∴ ∠ = ∠ .∵ = ，∴ ∠ = ∠ .∵ // ，∴ ∠ =
∠ .∴ ∠ = ∠ .又∵ // ， // ，∴ // .∴ ∠ = ∠ ，
∴ ∠ = ∠ .∵ ∠ + ∠ + ∠ + ∠ = 180 ,∴ ∠ + ∠ = 90 ,即
∠ = 90 .∴ ⊥ .
（2） 证明：取 的中点 ，过点 作 ⊥ 于点 ，连接 交 于点 .∵ ⊥ ，∠ =
∠ = 90 ,∴ // .∵ = ,∴ = , = .∴ 是△ 的中位线，∴ =
1 . = 1同理可得 .∴ = + = 1 ( + ) = 1 ( + ) = 1 = .∵ 是
2 2 2 2 2
半径，∴ 以 为直径的圆与 相切.
（3） 连接 、 . ∵ ∠ = 120 ,由（1）得∠ = ∠ ，
∴ ∠ = ∠ = 1∠ = 60 .由（1）得 // ，
2
∠ = 90 ,∴ ∠ = ∠ = 90 .∴ ∠ = 90 ,∠ = 30 .在 Rt △ 中， =
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第六章 圆
tan 60 = 2 3.在 Rt △ 中， = tan 30 = 2 3.∴ △ =
1
3 △
+ △ = 2
+ 1 = 1 × 2 × 2 3 + 1 × 2 × 2 3 = 8 3.
2 2 2 3 3
11．[2023 深圳，20,8 分]如图，在单位长度为 1的网格中，点 , , 均在格点上， = 3, = 2,
以 为圆心， 为半径画圆，请按下列步骤完成作图，并回答问题：
①过点 作切线 ,且 = 4（点 在 的上方）;
②连接 ,交⊙ 于点 ;
③连接 ,与 交于点 .
（1） 求证： 为⊙ 的切线；
（2） 求 的长度.
【解析】
如图.
（1） 证明：∵ 是圆 的切线，∴ ⊥ ,在 Rt △ 中，由勾股定理得 = 32 + 42 = 5.
在△ 与△ 中，
∵ = = 5,∠ = ∠ , = ,∴△ ≌△ (SAS),∴ ∠ = ∠ = 90 ,又
为⊙ 的半径，∴ 为⊙ 的切线.
（2）由（1）知△ ≌△ ,∴ = = 4,∵ ∠ = ∠ ,∠ = ∠ = 90 ,∴△ ∽
△ ,∴ = , 2 即 = ，解得 = 3，故 3的长度为 .
4 3 2 2
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第六章 圆
12．[2023 广东，22，12 分]综合探究
如图 1，在矩形 中( > )，对角线 ， 相交于点 ，点 关于 的对称点为 '.连
接 '交 于点 ，连接 '.
图 1 图 2 图 3
（1） 求证： ' ⊥ '.
（2） 以点 为圆心， 为半径作圆.
① 如图 2，⊙ 与 相切，求证： ' = 3 '；
② 如图 3，⊙ 与 '相切， = 1，求⊙ 的面积.
【解析】
（1） 证明:∵ 四边形 为矩形，∴ = .由对称性质得 = '， ' ⊥ .∴ 为
△ ' 的中位线，∠ = 90 .∴ // ' .∴ ∠ ' = ∠ = 90 .∴ ' ⊥ '.
（2） ① 证明:过点 作 ⊥ ，垂足为点 .∵⊙ 与 相切,∴ = ,∵ ∠ = ∠ =
90 ,在矩形 中， = ,∴ Rt △ ≌ Rt △ .∴ ∠ = ∠ .∵ // ， = ，
∴ ∠ = ∠ = ∠ .∴ ∠ = ∠ = ∠ .又
∵ ∠ + ∠ + ∠ = 90 ,∴ ∠ = 30 .由（1）可知△ ' '是直角三角形，∴ =
'
tan∠ = tan 30 ，∴ ' = 3 '.
② 过点 作 ⊥ '，垂足为点 .∵⊙ 与 '相切,∴ = ，∵ ∠ = ∠ = 90 ,在
矩形 中， = ,∴ Rt △ ≌ Rt △ ，∴ ∠ = ∠ .由（1）可知
∠ ' = 90 .∴ ∠ ' = 45 .∴△ 是等腰直角三角形.设 = ，则 = = .在矩形
中， = = 2 .∴ = = 2 .在 Rt △ 中, = 1，由勾股定理得
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第六章 圆
2 + 2 = 2,即 2 + ( 2 )2 = 12,解得 2 = 2+ 2.∴⊙ 的面积为
4
2+ 2π .
4
6.2 与圆有关的计算
考点 弧长、扇形面积、圆锥体积的计算（常考点）
1．[2024 广州，10，3 分]如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为72 的扇形，若扇形的半
径 是 5，则该圆锥的体积是（ ）
A. 3 11π B. 11π C. 2 6π D. 2 6π
8 8 3
【答案】D
【解析】设圆锥的底面圆的半径为 ，则圆锥的底面周长为 2π ，
∵ 圆锥的侧面展开图是一个圆心角为72 的扇形，且扇形的半径 是 5，
∴ 72π×5扇形的弧长为 = 2π .
180
∵ 圆锥的底面周长与侧面展开图的弧长相等，
∴ 2π = 2π ,∴ = 1,
∴ 圆锥的高为 52 12 = 2 6.
∴ 1 2 6圆锥的体积为 π × 12 × 2 6 = π .
3 3
2．[2022 广东，15，3 分]扇形的半径为 2，圆心角为90 ，则该扇形的面积为____.（结果保
留π）
【答案】π
90π×22
【解析】 扇形 = = π .360
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第六章 圆
3．[2022 广州，15，3 分]如图,在△ 中， = ,点 在边 上，以 为圆心，4为半径的
圆恰好过点 ,且与边 相切于点 ,交 于点 ，则劣弧 的长是______.（结果保留π）
【答案】2π
【解析】连接 ， .
∵ = ， = ，
∴ ∠ = ∠ = ∠ ，∴ // .
∵ 与⊙ 相切，∴ ⊥ ，
∴ ∠ = 90 ，
∴ ∠ = ∠ = 90 .
∵ = 4，
= 90π×4 = 2π .
180
4．[2021 广东，13，4 分]如图，等腰直角三角形 中，∠ = 90 , = 4.分别以点 、点
为圆心，线段 长的一半为半径作圆弧，交 、 、 于点 、 、 ，则图中阴影部分的面
积为________.
【答案】4 π
【解析】∵△ 为等腰三角形，
∴ ∠ = 45 ,sin = ，又 = 4，
∴ sin 45 = = 2,∴ = 2 2,
4 2
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第六章 圆
∴ = = 2 2,∴ △ =
1 = 1 × 2 2 × 2 2 = 4,
2 2
2
∴ 阴影部分 = △ 2 ×
45π×2 = 4 π .
360
5．[2020 广东，16，4 分]如图，从一块半径为 1 m的圆形铁皮上剪出一个圆周角为120 的
扇形 ，如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的底面圆的半径为________m.
1
【答案】
3
【解析】连接 ， ，根据已知得∠ = 1∠ = 1 × 120 = 60 .
2 2
又∵ = ，∴△ 是等边三角形，
∴ = = 1 m.∵ ∠ = 120 ，
∴ 120π 2π的长为 = (m).
180 3
设圆锥的底面圆的半径为 m，根据扇形围成的圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长可得 2π =
2π
，
3
∴ = 1 m.
3
6．[2024 广东，21，9 分]综合与实践
【主题】滤纸与漏斗
【素材】如图 1所示：
①一张直径为 10 cm的圆形滤纸；
②一只漏斗口直径与母线均为 7 cm的圆锥形过滤漏斗.
图 1
【实践操作】
步骤 1：取一张滤纸；
81/104
第六章 圆
步骤 2：按如图 2所示步骤折叠好滤纸；
步骤 3：将其中一层撑开，围成圆锥形；
步骤 4：将围成圆锥形的滤纸放入如图 1所示漏斗中.
图 2
【实践探索】
（1） 滤纸是否能紧贴此漏斗内壁（忽略漏斗管口处）？用你所学的数学知识说明.
（2） 当滤纸紧贴漏斗内壁时，求滤纸围成圆锥形的体积.(结果保留π)
【解析】
（1）滤纸能紧贴此漏斗内壁.方法一：作出示意图如下，由题意知 = = = 7 cm， =
= 1 × 10 = 5(cm) ∵ = 1， 圆锥形的滤纸的底面周长 × 10π = 5π(cm)，∴ = 5 cm，∴ =
2 2
= ,∴△ ∽△ ，∴ ∠ = ∠ ,∴ 滤纸能紧贴此漏斗内壁．
2π = π 方法二：由 得 = ,其中 为圆锥底面半径， 为圆锥的母线长， 为圆锥侧面展开图
180 360
3.5 1
的圆心角的度数.对于圆锥形滤纸， = 90 × 2 = 180；对于漏斗，= = ,∴ = 180.∵ 180 =
7 2
180,∴ 滤纸能紧贴此漏斗内壁．
（2）由（1）知 = = = 5 cm，∴ ∠ = 60 1，过 作 ⊥ 于点 ，则 = =
2
5 cm，在 Rt △ 中， = 2 2 = 5 3 cm 5，∴ π × ( )2 × 5 3 × 1 = 125 3π cm3，即滤
2 2 2 2 3 24
125 3
纸围成圆锥形的体积是 π cm3．
24
82/104第六章 圆
6.1 圆的性质及与圆有关的位置关系
考点 1 圆的有关概念与性质（常考点）
1．[2023 广东，9，3分]如图， 是⊙ 的直径，∠ = 50 ，则∠ =（ ）
A．20 B．40 C．50 D．80
2．[2021 广东，7，3分]如图， 是⊙ 的直径，点 为圆上一点， = 3，∠ 的平分线
交 于点 ， = 1，则⊙ 的直径为（ ）
A． 3 B．2 3 C．1 D．2
3．[2021 广东，17，4 分]在△ 中，∠ = 90 , = 2， = 3.点 为平面上一个动点，
∠ = 45 ,则线段 长度的最小值为________.
4．[2021 广州，16，3 分]如图，正方形 的边长为 4，点 是边 上一点，且 = 3.以点
为圆心，3为半径的圆分别交 ， 于点 ， ， 与 交于点 ，并与⊙ 交于点 .连接 ，
.给出下列四个结论：
① 是 的中点；
②△ ≌△ ；
③ △ : △ = 9: 16；
④ = 7.
5
其中正确的结论有____.（填写所有正确结论的序号）
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第六章 圆
5．[2022 广东，22，12 分]如图，四边形 内接于⊙ ， 为⊙ 的直径，∠ = ∠ .
（1） 试判断△ 的形状，并给出证明；
（2） 若 = 2， = 1，求 的长度.
考点 2 与圆有关的位置关系（常考点）
6．[2020 广州，7，3分]如图，Rt △ 中，∠ = 90 ， = 5，cos = 4，以点 为圆心，
5
为半径作⊙ ，当 = 3时，⊙ 与 的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定
7．[2024 广州，9，3分]如图，⊙ 中，弦 的长为 4 3,点 在⊙ 上， ⊥ ,∠ = 30 . ⊙
所在的平面内有一点 ,若 = 5,则点 与⊙ 的位置关系是（ ）
A．点 在⊙ 上 B．点 在⊙ 内
C．点 在⊙ 外 D．无法确定
8．[2022 深圳，10，3 分]已知三角形 为直角三角形，∠ = 90 , 为圆 切线， 为切
点， = ，则△ 和△ 面积之比为 （ ）
A．1: 3 B．1: 2 C． 2: 2 D．( 2 1): 1
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第六章 圆
9．[2020 深圳，20，8 分]如图， 为⊙ 的直径，点 在⊙ 上， 与过点 的切线互相垂直，
垂足为 ，连接 并延长，交 的延长线于点 .
（1） 求证： = ；
（2） 若 = 10， = 6，求 的长.
10．[2021 广东，24，10 分]如图,在四边形 中, // , ≠ ,∠ = 90 ,点 、
分别在线段 、 上,且 // ， = , = .
（1） 求证: ⊥ ；
（2） 求证:以 为直径的圆与 相切；
（3） 若 = 2，∠ = 120 ，求△ 的面积.
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第六章 圆
11．[2023 深圳，20,8 分]如图，在单位长度为 1的网格中，点 , , 均在格点上， = 3, = 2,
以 为圆心， 为半径画圆，请按下列步骤完成作图，并回答问题：
①过点 作切线 ,且 = 4（点 在 的上方）;
②连接 ,交⊙ 于点 ;
③连接 ,与 交于点 .
（1） 求证： 为⊙ 的切线；
（2） 求 的长度.
12．[2023 广东，22，12 分]综合探究
如图 1，在矩形 中( > )，对角线 ， 相交于点 ，点 关于 的对称点为 '.连
接 '交 于点 ，连接 '.
图 1 图 2 图 3
（1） 求证： ' ⊥ '.
（2） 以点 为圆心， 为半径作圆.
① 如图 2，⊙ 与 相切，求证： ' = 3 '；
② 如图 3，⊙ 与 '相切， = 1，求⊙ 的面积.
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第六章 圆
6.2 与圆有关的计算
考点 弧长、扇形面积、圆锥体积的计算（常考点）
1．[2024 广州，10，3 分]如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为72 的扇形，若扇形的半
径 是 5，则该圆锥的体积是（ ）
A 3 11． π B 11 2 6． π C．2 6π D． π
8 8 3
2．[2022 广东，15，3 分]扇形的半径为 2，圆心角为90 ，则该扇形的面积为____.（结果保
留π）
3．[2022 广州，15，3 分]如图,在△ 中， = ,点 在边 上，以 为圆心，4为半径的
圆恰好过点 ,且与边 相切于点 ,交 于点 ，则劣弧 的长是______.（结果保留π）
4．[2021 广东，13，4 分]如图，等腰直角三角形 中，∠ = 90 , = 4.分别以点 、点
为圆心，线段 长的一半为半径作圆弧，交 、 、 于点 、 、 ，则图中阴影部分的面
积为________.
5．[2020 广东，16，4 分]如图，从一块半径为 1 m的圆形铁皮上剪出一个圆周角为120 的
扇形 ，如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的底面圆的半径为________m.
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第六章 圆
6．[2024 广东，21，9 分]综合与实践
【主题】滤纸与漏斗
【素材】如图 1所示：
①一张直径为 10 cm的圆形滤纸；
②一只漏斗口直径与母线均为 7 cm的圆锥形过滤漏斗.
图 1
【实践操作】
步骤 1：取一张滤纸；
步骤 2：按如图 2所示步骤折叠好滤纸；
步骤 3：将其中一层撑开，围成圆锥形；
步骤 4：将围成圆锥形的滤纸放入如图 1所示漏斗中.
图 2
【实践探索】
（1） 滤纸是否能紧贴此漏斗内壁（忽略漏斗管口处）？用你所学的数学知识说明.
（2） 当滤纸紧贴漏斗内壁时，求滤纸围成圆锥形的体积.(结果保留π)
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