第三章 函数
3.1 平面直角坐标系与函数初步
考点 1 平面直角坐标系（必考点）
1．[2022 广东，6，3分]在平面直角坐标系中，将点(1,1)向右平移 2个单位后，得到的点的
坐标是（ ）
A．(3,1) B．( 1,1) C．(1,3) D．(1, 1)
2．[2020 广东，3，3分]在平面直角坐标系中，点(3,2)关于 轴对称的点的坐标为（ ）
A．( 3,2) B．( 2,3) C．(2, 3) D．(3, 2)
考点 2 函数及其图象（常考点）
3．[2022 广东，10，3 分]水中涟漪（圆形水波）不断扩大，记它的半径为 ，则圆周长 与
的关系式为 = 2π .下列判断正确的是（ ）
A．2是变量 B．π 是变量 C． 是变量 D． 是常量
3.2 一次函数
考点 1 一次函数（正比例函数）的图象与性质（常考点）
1．[2022 广州，4，3分]点(3, 5)在正比例函数 = ( ≠ 0)的图象上,则 的值为（ ）
A． 15 B．15 C 3． D 5．
5 3
2．[2020 广州，6，3分]一次函数 = 3 + 1的图象过点( 1, 1)，( 1 + 1, 2),( 1 + 2, 3)，
则 （ ）
A． 1 < 2 < 3 B． 3 < 2 < 1 C． 2 < 1 < 3 D． 3 < 1 < 2
3．[2024 广东，10，3 分]已知不等式 + < 0的解集是 < 2,则一次函数 = + 的图象
大致是 （ ）
A． B． C． D．
4．[2023 广东，16（2），5分]已知一次函数 = + 的图象经过点(0,1)与点(2,5)，求该一
次函数的表达式.
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第三章 函数
考点 2 一次函数的应用问题（常考点）
5．[2022 广东，20，9 分]物理实验证实：在弹性限度内，某弹簧长度 (cm)与所挂物体质量 (kg)
满足函数关系 = + 15.下表是测量物体质量时，该弹簧长度与所挂物体质量的数量关系.
（1） 求 与 的函数关系式；
（2 0 2 5） 当弹簧长度为 20 cm时，求所挂物体的质量.
15 19 25
6．[2023 广州，22，10 分]因活动需要购买某种水果，数学活动小组的同学通过市场调查得知：
在甲商店购买该水果的费用 1（元）与该水果的质量 （千克）之间的关系如图所示；在乙商
店购买该水果的费用 2（元）与该水果的质量 （千克）之间的函数解析式为 2 = 10 ( ≥ 0).
（1） 求 1与 之间的函数解析式;
（2） 现计划用 600元购买该水果，选甲、乙哪家商店能购买该水果更多一些？
7 1．[2021 广州，23，10 分]如图，在平面直角坐标系 中，直线 ： = + 4分别与 轴，
2
轴相交于 ， 两点，点 ( , )为直线 在第二象限的点.
（1） 求 ， 两点的坐标；
（2） 设△ 的面积为 ，求 关于 的函数解析式，并写出 的取值范围；
（3） 作△ 的外接圆⊙ ，延长 交⊙ 于点 ，当△ 的面积最小时，求⊙ 的半径.
14/52
第三章 函数
8．[2024 广州，23，10 分]一个人的脚印信息往往对应着这个人某些方面的基本特征.某数学
兴趣小组收集了大量不同人群的身高和脚长数据，通过对数据的整理和分析，发现身高 和脚
长 之间近似存在一个函数关系，部分数据如下表：
脚长 (cm) … 23 24 25 26 27 28 …
身高 (cm) … 156 163 170 177 184 191 …
（1） 在图 1中描出表中数据对应的点( , );
2 = + ( ≠ 0) = （ ） 根据表中数据，从 和 ( ≠ 0)中选择一个函数模型，使它能近似
地反映身高和脚长的函数关系，并求出这个函数的解析式（不要求写出 的取值范围）；
（3） 如图 2，某场所发现了一个人的脚印，脚长约为 25.8 cm,请根据（2）中求出的函数解析
式，估计这个人的身高.
图 1
图 2
15/52
第三章 函数
3.3 反比例函数
考点 1 反比例函数的图象与性质（常考点）
1．[2022 广东，9，3分]点(1, 1)，(2, 2)，(3, 3)，(4, 4) =
4
在反比例函数 的图象上，则 1，
2， 3， 4中最小的是（ ）
A． 1 B． 2 C． 3 D． 4
2．[2021 广州，14，3 分]一元二次方程 2 4 + = 0有两个相等的实数根，点
( 1, 1), ( 2,
2)是反比例函数 = 图象上的两个点，若 1 < 2 < 0,则 1____ 2.（填
“<”“>”或“=”）
3．[2023 深圳，14,3 分]如图，Rt △ 与 Rt △ 位于平面直角坐标系中，∠ = ∠ =
30 , ⊥ , ⊥ ,若 = 3,反比例函数 = ( ≠ 0)的图象恰好经过点 ,则
=________.
第 3题图 第 4题图
4．[2022 深圳，14，3 分]如图，已知直角三角形 中， = 1，将△ 绕 点顺时针旋
转至△ ' ' 的位置，且 '在 中点处， '在反比例函数 = ( > 0)的图象上，则 的值为
______.
考点 2 反比例函数与一次函数的综合运用（冷考点）
5 ．[2021 深圳，14，3 分]已知反比例函数 = 的图象经过第一象限内的点 (2,3)，连接
并延长交反比例函数图象于点 ，将线段 绕点 顺时针旋转90 得到线段 ，则 点坐标为
____________.
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第三章 函数
6．[2021 广东，21，8 分]在平面直角坐标系 中，一次函数 = + ( > 0)的图象与
4
轴、 轴分别交于 、 两点,且与反比例函数 = 图象的一个交点为 (1, ).
（1） 求 的值;
（2） 若 = 2 ，求 的值.
7．[2019 广东，23，9 分]如图，一次函数 = 1 +
的图象与反比例函数 = 2的图象相交
于 、 两点，其中点 的坐标为( 1,4)，点 的坐标为(4, ).
（1） 根据图象，直接写出满足 1 + >
2的 的取值范围；
（2） 求这两个函数的表达式；
（3） 点 在线段 上，且 △ : △ = 1: 2，求点 的坐标.
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第三章 函数
考点 3 反比例函数的综合应用（常考点）
8．[2023 广东，13，3 分]某蓄电池的电压为 48 V，使用此蓄电池时，电流 （单位：A）与电
48阻 （单位：Ω）的函数表达式为 = .当 = 12 Ω 时， 的值为______A.
9 ．[2024 广州，16，3 分]如图，平面直角坐标系 中，矩形 的顶点 在函数 = ( > 0)
的图象上， (1,0), (0,2).将线段 沿 轴正方向平移得线段 ' '（点 平移后的对应点为 ')，
' ' = 交函数 ( > 0)的图象于点 ,过点 作 ⊥ 轴于点 ,则下列结论：
① = 2;
②△ 的面积等于四边形 '的面积;
③ ' 的最小值是 2;
④∠ ' = ∠ ' .
其中正确的结论有____.（填写所有正确结论的序号）
10．[2022 广州，20，6 分]某燃气公司计划在地下修建一个容积为 ( 为定值，单位：m3)的
圆柱形天然气储存室，储存室的底面积 （单位：m2）与其深度 （单位：m）是反比例函数
关系，它的图象如图所示.
（1） 求储存室的容积 的值;
（2） 受地形条件限制,储存室的深度 需要满足 16 ≤ ≤ 25,求储存室的底面积 的取值范围.
18/52
第三章 函数
11．[2020 广州，21，12 分]如图，平面直角坐标系 中， 的边 在 轴上，对角线 ，
交于点 ，函数 = ( > 0)的图象经过点 (3,4)和点 .
（1） 求 的值和点 的坐标；
（2） 求 的周长.
12 8．[2020 广东，24，10 分]如图，点 是反比例函数 = ( > 0)图象上一点，过点 分别向
坐标轴作垂线，垂足为 ， .反比例函数 = ( > 0)的图象经过 的中点 ，与 ， 分别
相交于点 ， .连接 并延长交 轴于点 ，点 与点 关于点 对称，连接 ， .
（1） 填空： =______；
（2） 求△ 的面积；
（3） 求证：四边形 为平行四边形.
19/52
第三章 函数
3.4 二次函数
考点 1 二次函数的图象与性质（常考点）
1．[2024 广东，8，3分]若点(0, 1),(1, 2),(2, 3)都在二次函数 = 2的图象上，则（ ）
A． 3 > 2 > 1 B． 2 > 1 > 3 C． 1 > 3 > 2 D． 3 > 1 > 2
2．[2022 广州，6，3分]如图,抛物线 = 2 + + ( ≠ 0)的对称轴为直线 = 2,下列结
论正确的是（ ）
A． < 0
B． > 0
C．当 < 2时， 随 的增大而减小
D．当 > 2时， 随 的增大而减小
3 ．[2024 广州，8，3分]函数 1 = 2 + + 与 2 = 的图象如图所示，
当______时， 1, 2均随着 的增大而减小（ ）
A． < 1 B． 1 < < 0
C．0 < < 2 D． > 1
4．[2021 深圳，9，3分]二次函数 = 2 + + 1与一次函数 = 2 + 在同一平面直角坐
标系中的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
5．[2023 广东，10，3 分]如图，抛物线 = 2 + 经过正方形 的三个顶点 ， ， ，点
在 轴上，则 的值为（ ）
A． 1 B． 2 C． 3 D． 4
第 5题图
20/52
第三章 函数
第 6题图
6．[2020 深圳，11，3 分]二次函数 = 2 + + ( ≠ 0)的图象的顶点坐标为( 1, ),部分
图象如图所示.以下结论错．误．的是（ ）
A． > 0
B．4 2 < 0
C．3 + > 0
D．关于 的方程 2 + + = + 1无实数根
7．[2021 广东，12，4 分]把抛物线 = 2 2 + 1向左平移 1个单位长度，再向下平移 3个单位
长度，得到的抛物线的解析式为__________________.
考点 2 二次函数的应用（常考点）
8．[2021 广东，9，3分]我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，
此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为 , , ，记 =
+ +
，则其面积 = ( )( )( )，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式.若 = 5, =
2
4,则此三角形面积的最大值为（ ）
A． 5 B．4 C．2 5 D．5
9．[2021 广东，10，3 分]设 为坐标原点，点 、 为抛物线 = 2上的两个动点，且 ⊥ .
连接点 、 ，过 作 ⊥ 于点 ，则点 到 轴距离的最大值为（ ）
A 1 B 2 C 3． ． ． D．1
2 2 2
10．[2020 广州，16，3 分]对某条线段的长度进行了 3次测量，得到 3个结果（单位：mm）
9.9，10.1，10.0，若用 作为这条线段长度的近似值，当 =____mm时，( 9.9)2 + (
10.1)2 + ( 10.0)2最小.对另一条线段的长度进行了 次测量，得到 个结果（单位：mm） 1，
2, , ，若用 作为这条线段长度的近似值，当 =________________________mm时，(
)21 + ( )22 + + ( 2 ) 最小.
21/52
第三章 函数
11．[2024 广东，20，9 分]广东省全力实施“百县千镇万村高质量发展工程”，2023年农产
品进出口总额居全国首位，其中荔枝鲜果远销欧美.某果商以每吨 2万元的价格收购早熟荔枝，
销往国外.若按每吨 5万元出售，平均每天可售出 100吨.市场调查反映：如果每吨降价 1万元，
每天销售量相应增加 50吨.该果商如何定价才能使每天的“利润”或“销售收入”最大？并求
出其最大值.（题中“元”为人民币）
12．[2021 广东，22，8 分]端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子
是中华民族的传统习俗.市场上豆沙粽的进价比猪肉粽的进价每盒便宜 10元，某商家用 8 000
元购进的猪肉粽和用 6 000元购进的豆沙粽盒数相同.在销售中，该商家发现猪肉粽每盒售价
50元时，每天可售出 100盒；每盒售价提高 1元时，每天少售出 2盒.
（1） 求猪肉粽和豆沙粽每盒的进价;
（2） 设猪肉粽每盒售价 (50 ≤ ≤ 65)元， 表示该商家每天销售猪肉粽的利润（单位：元），
求 关于 的函数解析式并求最大利润.
22/52第三章 函数
3.1 平面直角坐标系与函数初步
考点 1 平面直角坐标系（必考点）
1．[2022 广东，6，3分]在平面直角坐标系中，将点(1,1)向右平移 2个单位后，得到的点的
坐标是（ ）
A. (3,1) B. ( 1,1) C. (1,3) D. (1, 1)
【答案】A
【解析】将点(1,1)向右平移 2个单位，横坐标加 2，所以平移后的点的坐标为(3,1).
2．[2020 广东，3，3分]在平面直角坐标系中，点(3,2)关于 轴对称的点的坐标为（ ）
A. ( 3,2) B. ( 2,3) C. (2, 3) D. (3, 2)
【答案】D
【解析】关于 轴对称的点的坐标特征：横坐标不变，纵坐标互为相反数.所以点(3,2)关于 轴
对称的点的坐标为(3, 2).
考点 2 函数及其图象（常考点）
3．[2022 广东，10，3 分]水中涟漪（圆形水波）不断扩大，记它的半径为 ，则圆周长 与
的关系式为 = 2π .下列判断正确的是（ ）
A. 2是变量 B. π 是变量 C. 是变量 D. 是常量
【答案】C
3.2 一次函数
考点 1 一次函数（正比例函数）的图象与性质（常考点）
1．[2022 广州，4，3分]点(3, 5)在正比例函数 = ( ≠ 0)的图象上,则 的值为（ ）
A. 15 B. 15 C. 3 D. 5
5 3
【答案】D
【解析】将(3, 5)代入 = 中，得 5 = 3 , 5解得 = .
3
2．[2020 广州，6，3分]一次函数 = 3 + 1的图象过点( 1, 1)，( 1 + 1, 2),( 1 + 2, 3)，
则 （ ）
A. 1 < 2 < 3 B. 3 < 2 < 1 C. 2 < 1 < 3 D. 3 < 1 < 2
【答案】B
21/104
第三章 函数
【解析】对于一次函数 = 3 + 1，∵ 3 < 0,∴ 随 的增大而减小，又
1 < 1 + 1 < 1 + 2,∴ 3 < 2 < 1.
3．[2024 广东，10，3 分]已知不等式 + < 0的解集是 < 2,则一次函数 = + 的图象
大致是 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】A.由图象可得，不等式 + < 0的解集是 > 2,故本项不符合题意；
B.由图象可得，不等式 + < 0的解集是 < 2,故本项符合题意；
C.由图象可得，不等式 + < 0的解集是 < 2,故本项不符合题意；
D.由图象可得，不等式 + < 0的解集是 > 2,故本项不符合题意.
4．[2023 广东，16（2），5分]已知一次函数 = + 的图象经过点(0,1)与点(2,5)，求该一
次函数的表达式.
【解析】将(0,1)与(2,5)分别代入 = + 中，
= 1,
得 2 + = 5.
= 2,
解得 = 1.所以此一次函数的表达式为 = 2 + 1.
考点 2 一次函数的应用问题（常考点）
5．[2022 广东，20，9 分]物理实验证实：在弹性限度内，某弹簧长度 (cm)与所挂物体质量 (kg)
满足函数关系 = + 15.下表是测量物体质量时，该弹簧长度与所挂物体质量的数量关系.
0 2 5
15 19 25
（1） 求 与 的函数关系式；
（2） 当弹簧长度为 20 cm时，求所挂物体的质量.
22/104
第三章 函数
【解析】
（1） 把 = 2， = 19代入 = + 15中，得 19 = 2 + 15，解得 = 2，所以 与 的函数
关系式为 = 2 + 15.
（2） 把 = 20代入 = 2 + 15中，得 20 = 2 + 15，解得 = 2.5．所以所挂物体的质量为
2.5 kg．
6．[2023 广州，22，10 分]因活动需要购买某种水果，数学活动小组的同学通过市场调查得知：
在甲商店购买该水果的费用 1（元）与该水果的质量 （千克）之间的关系如图所示；在乙商
店购买该水果的费用 2（元）与该水果的质量 （千克）之间的函数解析式为 2 = 10 ( ≥ 0).
（1） 求 1与 之间的函数解析式;
（2） 现计划用 600元购买该水果，选甲、乙哪家商店能购买该水果更多一些？
【解析】
（1） 当 0 ≤ ≤ 5时，设 1 = ( ≠ 0),将(5,75)代入 1 = ,得 75 = 5 ,解得 = 15,∴ 1 =
15 ;当 ≥ 5时，设 1 = + ( ≠ 0),将(5,75)，(10,120)代入 1 = + ，得
5 + = 75, = 9, 15 (0 ≤ ≤ 5),
10 + = 120,解得 = 30, ∴ 1 = 9 + 30.综上, 1 = 9 + 30( > 5).
2 190（ ） 当 1 = 600时，9 + 30 = 600,解得 = ;当 2 = 600时，10 = 600,解得3
= 60.∵ 190 > 60,∴ 选甲商店能购买该水果更多一些.
3
7 1．[2021 广州，23，10 分]如图，在平面直角坐标系 中，直线 ： = + 4分别与 轴，
2
轴相交于 ， 两点，点 ( , )为直线 在第二象限的点.
（1） 求 ， 两点的坐标；
（2） 设△ 的面积为 ，求 关于 的函数解析式，并写出 的取值范围；
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第三章 函数
（3） 作△ 的外接圆⊙ ，延长 交⊙ 于点 ，当△ 的面积最小时，求⊙ 的半径.
【解析】
（1）令 = 1 + 4中 = 0 1，则 = 4. ∴ 点 的坐标为(0,4).令 = + 4中 = 0，则 = 8.∴
2 2
点 的坐标为( 8,0).
（2） ∵ 点 ( , ) 1 1 1 1 1在直线 上，∴ = + 4.∴ = ( + 4) = × 8 × ( + 4) = 2 +
2 2 2 2 2
16.∵ 点 在第二象限，∴ 8 < < 0.∴ = 2 + 16( 8 < < 0).
（3） 依题意， = 4， = 8，点 为△ 外接圆圆心.作 的中垂线 '，连接 .∴ 点
在 的中垂线 '上.∵ 为直径，∴ ∠ = 90 = ∠ .又∵ ∠ = ∠ ，
∴△ △ .∴ : : = : : = 1: 2: 5.∴△ 的面积最小，即 的值最小，
即半径 的值最小.设直线 '与 相交于点 1.∴ 当 = 1时，半径 最小，半径最小值为 4.
故当△ 的面积最小时，⊙ 的半径为 4.
8．[2024 广州，23，10 分]一个人的脚印信息往往对应着这个人某些方面的基本特征.某数学
兴趣小组收集了大量不同人群的身高和脚长数据，通过对数据的整理和分析，发现身高 和脚
长 之间近似存在一个函数关系，部分数据如下表：
脚长 (cm) … 23 24 25 26 27 28 …
身高 (cm) … 156 163 170 177 184 191 …
（1） 在图 1中描出表中数据对应的点( , );
（2） 根据表中数据，从 = + ( ≠ 0)和 = ( ≠ 0)中选择一个函数模型，使它能近似
地反映身高和脚长的函数关系，并求出这个函数的解析式（不要求写出 的取值范围）；
（3） 如图 2，某场所发现了一个人的脚印，脚长约为 25.8 cm,请根据（2）中求出的函数解析
式，估计这个人的身高.
24/104
第三章 函数
图 1
图 2
【解析】
（1） 如图所示.
（2） 由（1）知应选择函数 = + ( ≠ 0)近似地反映身高和脚长的函数关系.将
(23,156),(24,163) 23 + = 156, = 7,代入得 24 + = 163,解得 = 5, ∴ 一次函数解析式为 = 7 5.
（3） 将 = 25.8代入 = 7 5得 = 7 × 25.8 5 = 175.6.∴ 估计这个人的身高为
175.6 cm.
25/104
第三章 函数
3.3 反比例函数
考点 1 反比例函数的图象与性质（常考点）
1 4．[2022 广东，9，3分]点(1, 1)，(2, 2)，(3, 3)，(4, 4)在反比例函数 = 的图象上，则 1，
2， 3， 4中最小的是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】D
【解析】∵ = 4 > 0，∴ 在第一象限内， 随 的增大而减小.∵ (1, 1),(2, 2),(3, 3),(4, 4)在反
比例函数 = 4的图象上，且 1 < 2 < 3 < 4,∴
1
> 2 > 3 > 4,即 4最小.
2．[2021 广州，14，3 分]一元二次方程 2 4 + = 0有两个相等的实数根，点
( 1, 1), ( 2, 2)
是反比例函数 = 图象上的两个点，若
1
< 2 < 0,则 1____ 2.（填
“<”“>”或“=”）
【答案】>
【解析】∵ 一元二次方程 2 4 + = 0有两个相等的实数根，
∴ Δ = ( 4)2 4 = 0，解得 = 4.
∴ = 4反比例函数的解析式为 .
∴ 当 < 0时， 随 的增大而减小.
又∵ 1 < 2 < 0，∴ 1 > 2.
3．[2023 深圳，14,3 分]如图，Rt △ 与 Rt △ 位于平面直角坐标系中，∠ = ∠ =
30 , ⊥ , ⊥ , 若 = 3,反比例函数 = ( ≠ 0)的图象恰好经过点 ,则
=________.
【答案】4 3
【解析】如图，过点 作 ⊥ 轴于点 ,
在 Rt △ 中，∠ = 90 ,∠ = 30 , = 3，
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第三章 函数
∴ = 2 = 2 3，
在 Rt △ 中，∠ = 90 ,∠ = 30 , = 2 3，
∴ cos∠ = cos 30
= = 2 3 = 3,
2
∴ = 4,
∵ 在 Rt △ 中，∠ = 90 ∠ ∠ = 30 ,∠ = 90 ,
∴ = 1 = 2,
2
= 3 = 2 3,
∴ (2 3, 2),
∴ = 2 × 2 3 = 4 3.
4．[2022 深圳，14，3 分]如图，已知直角三角形 中， = 1，将△ 绕 点顺时针旋
转至△ ' ' 的位置，且 '在 中点处， '在反比例函数 = ( > 0)的图象上，则 的值为
______.
【答案】 3
【解析】连接 '，作 ' ⊥ 轴于点 ，由旋转的性质知 = '，∠ = ∠ ' '， = '，
又 '是 中点，
∴ ' = 1 = ' = ，
2
27/104
第三章 函数
∴△ '是等边三角形，
∴ ∠ = 60 ，
∴ = 2 = 2，∠ ' ' = 60 ，
∴ ' = 2，∠ ' = 60 ，
∴ = 1 ' = 1，
2
∴ ' = 3 = 3，∴ '(1, 3)，
∵ ' 在反比例函数 = ( > 0)的图象上，∴ = 1 × 3 = 3.
考点 2 反比例函数与一次函数的综合运用（冷考点）
5 ．[2021 深圳，14，3 分]已知反比例函数 = 的图象经过第一象限内的点 (2,3)，连接
并延长交反比例函数图象于点 ，将线段 绕点 顺时针旋转90 得到线段 ，则 点坐标为
____________.
【答案】(4, 7)
【解析】设直线 的表达式为 = ,将 点坐标(2,3)分别代入 = 和 = 中，可得
= 3, = 6,
2
3
∴ = 3
= ,
， = 6.联立得 2
2 = 6 ,
= 2, = 2,
解得 = 3或 = 3,
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第三章 函数
∴ ( 2, 3).
过点 作 轴的平行线 ，过点 ，点 分别作 的垂线，分别交 于 ， 两点，则 ( 2,3)，
易证△ ≌△ ，
∴ = = 4， = = 6.
∴ (4, 7).
6．[2021 广东，21，8 分]在平面直角坐标系 中，一次函数 = + ( > 0)的图象与
4
轴、 轴分别交于 、 两点,且与反比例函数 = 图象的一个交点为 (1, ).
（1） 求 的值;
（2） 若 = 2 ，求 的值.
【解析】
（1） ∵ (1, )在反比例函数 = 4的图象上，∴ = 4.
（2） 过点 作 轴的垂线，垂足为点 ，点 在直线 = + ( > 0)上，则点 (0, ).①如图，
当 > 0 4 时，易得△ △ , ∴ = ,∵ = 2 ，∴ = ，得 = 2. ∵
2
点 (1,4)在直线 上，∴ + 2 = 4,得 = 2.②如图，当 < 0时，易得△ △ ，
∴ = ∵ = 2 ∴ 4 = ， ， ，得 = 2.∵ 点 (1,4)在直线 上，∴ + (
2
2) = 4,得 = 6.综上， = 2或 = 6.
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第三章 函数
7 ．[2019 广东，23，9 分]如图，一次函数 = 1 + 的图象与反比例函数 = 2的图象相交
于 、 两点，其中点 的坐标为( 1,4)，点 的坐标为(4, ).
（1 ） 根据图象，直接写出满足 21 + > 的 的取值范围；
（2） 求这两个函数的表达式；
（3） 点 在线段 上，且 △ : △ = 1: 2，求点 的坐标.
【解析】
（1） < 1或 0 < < 4.
（2） ∵ 点 ( 1,4) 在 = 2的图象上，∴ 4 = 2，解得 2 = 4.∴ 反比例函数的表达式为 1
= 4.∵ (4, ) = 4 4点 在反比例函数 的图象上，∴ = = 1，∴ 点 (4, 1).∵ 一次函数
4
的图象过 、 ∴ 1 + = 4, 1 = 1,两点， 4 + = 1,解得 = 3, ∴ 一次函数的表达式为 = + 3.1
（3） 如图，设直线 = + 3与 轴交于点 . 当 = 0时， = 3，∴ 点 的坐标
为(3,0).∵ △ =
1 1 15
△ + △ ，∴ △ = × 3 × 4 + × 3 × 1 = .∵ 2 2 2 △ : △ = 1: 2，
∴ 2 2 15△ = △ = × = 5.∵ 点 在线段 上，∴ 可设 的坐标为( , + 3).∵ 3 3 2 △ =
1 1 2 2△ + △ ，∴ △ = × 3 × ( + 3) + × 3 × 1 = 5，解得 = ，∴ + 3 = +2 2 3 3
3 = 7，∴ 2 7点 的坐标为( , ).
3 3 3
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第三章 函数
考点 3 反比例函数的综合应用（常考点）
8．[2023 广东，13，3 分]某蓄电池的电压为 48 V，使用此蓄电池时，电流 （单位：A）与电
48
阻 （单位：Ω）的函数表达式为 = .当 = 12 Ω 时， 的值为______A.
【答案】4
【解析】当 = 12 Ω 48时， = = 4 A.
12
9 ．[2024 广州，16，3 分]如图，平面直角坐标系 中，矩形 的顶点 在函数 = ( > 0)
的图象上， (1,0), (0,2).将线段 沿 轴正方向平移得线段 ' '（点 平移后的对应点为 ')，
' '交函数 = ( > 0)的图象于点 ,过点 作 ⊥ 轴于点 ,则下列结论：
① = 2;
②△ 的面积等于四边形 '的面积;
③ ' 的最小值是 2;
④∠ ' = ∠ ' .
其中正确的结论有____.（填写所有正确结论的序号）
【答案】①②④
【解析】∵ (1,0), (0,2)，四边形 是矩形，
∴ (1,2)，
∴ = 1 × 2 = 2,故①正确.
如图，设 与 的交点为 ,
1
易得 △ = △ ' = × 2 = 1,2
∴ △ = 四边形 ',
∴ △ + △ = 四边形 ' + △ ，
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第三章 函数
即△ 的面积等于四边形 '的面积，故②正确.
易证四边形 ' 为矩形，
∴ ' = ,
∴ 当 的值最小时， ' 的值最小.
设 ( , 2 )( > 0)，
∴ 2 = 2 + 4 = ( 2 )22 + 4 ≥ 4.
又 > 0,∴ ≥ 2.
∴ ' 的最小值为 2，故③不正确.
设平移距离为 ,
∴ ' = , ' = + 1,
∴ '( + 1,2)， ( + 1, 2 ),
+1
∴ ' = 2 2 = 2 ,
+1 +1
2
∴ ' = +1 = = ',
' ' 2 +1 '
又∠ ' = ∠ ' '，
∴△ ' △ ' ',
∴ ∠ ' = ∠ ' ',
∵ ' // ' ，
∴ ∠ ' = ∠ ' '，
∴ ∠ ' = ∠ ' ,故④正确.
10．[2022 广州，20，6 分]某燃气公司计划在地下修建一个容积为 ( 为定值，单位：m3)的
圆柱形天然气储存室，储存室的底面积 （单位：m2）与其深度 （单位：m）是反比例函数
关系，它的图象如图所示.
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第三章 函数
（1） 求储存室的容积 的值;
（2） 受地形条件限制,储存室的深度 需要满足 16 ≤ ≤ 25,求储存室的底面积 的取值范围.
【解析】
（1） 由题意得 = 20 × 500 = 10 000(m3)，∴ 储存室的容积 的值为 10 000 m3.
2 10 000 10 000 10 000（ ） 由题意得 = = .∵ 16 ≤ ≤ 25，∴ ≤ ≤ ，即 400 ≤ ≤ 625，∴ 储
25 16
存室的底面积 的取值范围为 400 ≤ ≤ 625.
11．[2020 广州，21，12 分]如图，平面直角坐标系 中， 的边 在 轴上，对角线 ，
= 交于点 ，函数 ( > 0)的图象经过点 (3,4)和点 .
（1） 求 的值和点 的坐标；
（2） 求 的周长.
【解析】
（1） 将 (3,4)代入 = ( > 0)中,得 = 12.设点 ( , 0),∵ 点 为 的中点，∴ ( +3 , 2).将
2
点 的坐标代入 = 12 12中，得 +3 = 2，∴ = 9,∴ (6,2).
2
（2）∵ 四边形 是平行四边形，∴ = ， = .由（1）知 (9,0)，∴ = 9，∵ (3,4)，
∴ = 32 + 42 = 5，∴ = (9 + 5) × 2 = 28.
12 8．[2020 广东，24，10 分]如图，点 是反比例函数 = ( > 0)图象上一点，过点 分别向
坐标轴作垂线，垂足为 ， .反比例函数 = ( > 0)的图象经过 的中点 ，与 ， 分别
相交于点 ， .连接 并延长交 轴于点 ，点 与点 关于点 对称，连接 ， .
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第三章 函数
（1） 填空： =______；
（2） 求△ 的面积；
（3） 求证：四边形 为平行四边形.
【解析】
（1） 2.详解：∵ 8 8点 在反比例函数 = ( > 0)的图象上，∴ 可设点 的坐标为( , )，∴
4
的中点 的坐标为( , ).∵ 点 在反比例函数 = ( > 0)的图象上，∴ = 4 = 2.
2 2
2 ∵ // ( , 8 ) ∴ ( , 8 ) 3（ ） ， ， ，∴ = = .∴ = 1△ ×
3 × 8 = 3.
4 4 4 2 4
（3） 证明：由（2）知 ( , 8 ) 8 8， ( , )，则 (0, )， ( , 2 ) ( , 0).∴ = 8 2， = 6，
4
= 2 .∵ // ∴△ △ ∴ = ， ， ，∴ = .∵ 点 与点 关于点 对称，∴ =
4
= = ，∴ = = = 3 ，∴ = .又∵ // ，∴ 四边形
4 4
是平行四边形.
3.4 二次函数
考点 1 二次函数的图象与性质（常考点）
1．[2024 广东，8，3分]若点(0, 1),(1, 2),(2, 23)都在二次函数 = 的图象上，则（ ）
A. 3 > 2 > 1 B. 2 > 1 > 3
C. 1 > 3 > 2 D. 3 > 1 > 2
【答案】A
2．[2022 广州，6，3分]如图,抛物线 = 2 + + ( ≠ 0)的对称轴为直线 = 2,下列结
论正确的是（ ）
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第三章 函数
A. < 0
B. > 0
C. 当 < 2时， 随 的增大而减小
D. 当 > 2时， 随 的增大而减小
【答案】C
【解析】∵ 二次函数的图象开口向上，
∴ > 0,故 A选项错误；
∵ 二次函数的图象与 轴的交点在 轴的负半轴上，
∴ < 0，故 B选项错误；
抛物线的对称轴为直线 = 2，
由图象可得当 < 2时， 随 的增大而减小，当 > 2时， 随 的增大而增大，故 C选项正
确，D选项错误.
3．[2024 广州，8，3分]函数 1 = 2 + + 与 =
2 的图象如图所示，当______时， , 1 2
均随着 的增大而减小（ ）
A. < 1 B. 1 < < 0 C. 0 < < 2 D. > 1
【答案】D
4．[2021 深圳，9，3分]二次函数 = 2 + + 1与一次函数 = 2 + 在同一平面直角坐
标系中的图象可能是（ ）
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第三章 函数
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】∵ 二次函数 = 2 + + 1图象的对称轴为直线 = ，一次函数 = 2 + 的
2
图象与 轴的交点坐标为( , 0)，
2
∴ 一次函数 = 2 + 的图象经过二次函数 = 2 + + 1图象的对称轴与 轴的交点.
5．[2023 广东，10，3 分]如图，抛物线 = 2 + 经过正方形 的三个顶点 ， ， ，点
在 轴上，则 的值为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】过点 A作 ⊥ 轴于 ，
∵ 四边形 为正方形，
∴ ∠ = 1 × 90 = 45 ，
2
∴ ∠ = ∠ ∠ = 90 45 = 45 ，
易得 = .
设点 ( , )，则点 (0,2 )，
∴ =
2 + ,
= 2 , 解得 = 1, = ，∴
= 1，
2 2
∴ = 2.
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第三章 函数
6．[2020 深圳，11，3 分]二次函数 = 2 + + ( ≠ 0)的图象的顶点坐标为( 1, ),部分
图象如图所示.以下结论错．误．的是（ ）
A. > 0
B. 4 2 < 0
C. 3 + > 0
D. 关于 的方程 2 + + = + 1无实数根
【答案】C
【解析】因为图象开口向下，所以 < 0.因为图象的对称轴为直线 = = 1 < 0，所以 =
2
2 < 0.因为二次函数图象与 轴的交点在 轴的正半轴上，所以 > 0，所以 > 0，故 A中
结论正确.因为函数图象与 轴有两个交点，所以一元二次方程 2 + + = 0有两个不相等
的实数根，所以 2 4 > 0，即 4 2 < 0，故 B中结论正确.由题图可知，当 = 3时，
< 0.根据二次函数图象的对称性可知，当 = 1时， < 0，即 + + < 0，所以 + + =
+ 2 + = 3 + < 0，故 C中结论错误.因为二次函数 = 2 + + 的图象的顶点坐标
是( 1, )，所以把二次函数的图象向下平移( + 1)个单位长度后，二次函数的图象与 轴无
公共点，所以关于 的方程 2 + + ( + 1) = 0无实数根，即关于 的方程 2 + +
= + 1无实数根，故 D中结论正确.
7．[2021 广东，12，4 分]把抛物线 = 2 2 + 1向左平移 1个单位长度，再向下平移 3个单位
长度，得到的抛物线的解析式为__________________.
【答案】 = 2 2 + 4
【解析】把抛物线 = 2 2 + 1向左平移 1个单位长度，再向下平移 3个单位长度，得到的抛
物线的解析式为 = 2( + 1)2 + 1 3 = 2( 2 + 2 + 1) 2 = 2 2 + 4 .
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第三章 函数
考点 2 二次函数的应用（常考点）
8．[2021 广东，9，3分]我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，
此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为 , , ，记 =
+ +
，则其面积 = ( )( )( )，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式.若 = 5, =
2
4,则此三角形面积的最大值为（ ）
A. 5 B. 4 C. 2 5 D. 5
【答案】C
【解析】∵ = 5， = 4 = + + ， ,
2
∴ 5 = + +4，化简得 = 6 ,
2
∴ = ( )( )( )
= 5(5 )(5 6 + )(5 4)
= 5( 3)2 + 20,
∴ 当 = 3时， 取最大值，为 2 5.
9．[2021 广东，10，3 分]设 为坐标原点，点 、 为抛物线 = 2上的两个动点，且 ⊥ .
连接点 、 ，过 作 ⊥ 于点 ，则点 到 轴距离的最大值为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 1
2 2 2
【答案】A
【解析】如图，设 A、B两点坐标分别为( 1, 1),( 2, 2)，其中 1 ≠ 0, 2 ≠ 0.
∵ 点 A、B在 = 2的图象上，
∴ 21 = 1, 2 = 22,
∴ ( 21, 1), ( 2, 22).
过点 A作 ⊥ 轴于点 ，过点 B作 ⊥ 轴于点 D.
∵ ∠ = 90 ,
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第三章 函数
∴ ∠1 + ∠2 = 90 .
∵ ⊥ 轴，
∴ ∠ = 90 ,
∴ ∠2 + ∠3 = 90 ,∴ ∠1 = ∠3.
∵ ⊥ 轴,∴ ∠ = 90 ,
∴ ∠ = ∠ ,
∴△ △ ,∴ = ,
21 = 即 12 ,∴ 1 2 = 1. 2 2
2 = + ,
设 所在直线的解析式为 = + ,将 ( 1, 21), ( 2, 22)代入 = + 中，得
1 1
22 = 2 + ,
= 1 + 2,解得 = . ∴ = ( 1 + 2) 1 2.1 2
设直线 与 轴交于点 ，易求点 (0, 1 2),即 (0,1).
∵ ⊥ ，∴ ∠ = 90 ,
∴ 点 C在以 为直径的圆上，
∴ 点 C到 1距离的最大值为以 为直径的圆的半径，即 .
2
10．[2020 广州，16，3 分]对某条线段的长度进行了 3次测量，得到 3个结果（单位：mm）
9.9，10.1，10.0，若用 作为这条线段长度的近似值，当 =____mm时，( 9.9)2 + (
10.1)2 + ( 10.0)2最小.对另一条线段的长度进行了 次测量，得到 个结果（单位：mm） 1，
2, , ，若用 作为这条线段长度的近似值，当 =________________________mm时，(
1)2 + ( 22) + + ( )2 最小.
【答案】10.0 1+ 2+ + ；
【解析】令 = ( 9.9)2 + ( 10.1)2 + ( 10.0)2，则 = 3 2 60 + 9.92 + 10.02 + 10.12，
是关于 的二次函数，
∴ 当 = 60 = 10.0时， 值最小.
2×3
= 1+ 2+ + 同理可知，当 时，( 2 21) + ( 2) + + ( )2最小.
11．[2024 广东，20，9 分]广东省全力实施“百县千镇万村高质量发展工程”，2023年农产
品进出口总额居全国首位，其中荔枝鲜果远销欧美.某果商以每吨 2万元的价格收购早熟荔枝，
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第三章 函数
销往国外.若按每吨 5万元出售，平均每天可售出 100吨.市场调查反映：如果每吨降价 1万元，
每天销售量相应增加 50吨.该果商如何定价才能使每天的“利润”或“销售收入”最大？并求
出其最大值.（题中“元”为人民币）
【解析】设该果商定价为每吨 万元时，每天的利润为 万元，销售收入为 万元，
则 = ( 2)[100 + 50(5 )]
= 50( 4.5)2 + 312.5，
= [100 + 50(5 )]
= 50( 3.5)2 + 612.5,
∵ 50 < 0，
∴ 当 = 4.5时， 取最大值，最大值为 312.5，
当 = 3.5时， 取最大值，最大值为 612.5.
答：该果商定价为每吨 4.5万元或 3.5万元时才能使每天的“利润”或“销售收入”最大，其
最大值分别为 312.5万元，612.5万元．
12．[2021 广东，22，8 分]端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子
是中华民族的传统习俗.市场上豆沙粽的进价比猪肉粽的进价每盒便宜 10元，某商家用 8 000
元购进的猪肉粽和用 6 000元购进的豆沙粽盒数相同.在销售中，该商家发现猪肉粽每盒售价
50元时，每天可售出 100盒；每盒售价提高 1元时，每天少售出 2盒.
（1） 求猪肉粽和豆沙粽每盒的进价;
（2） 设猪肉粽每盒售价 (50 ≤ ≤ 65)元， 表示该商家每天销售猪肉粽的利润（单位：元），
求 关于 的函数解析式并求最大利润.
【解析】
（1） 设豆沙粽每盒的进价为 元，则猪肉粽每盒的进价为( + 10) 6 000 = 8 000元，依题意得 ，
+10
解得 = 30.经检验， = 30是原方程的解，且符合题意.∴ + 10 = 40.答：豆沙粽每盒的进价
为 30元，猪肉粽每盒的进价为 40元.
（2） 依题意，得 = ( 40)[100 2( 50)] = 2 2 + 280 8 000 = 2( 70)2 +
1 800.∵ 2 < 0,∴ 当 < 70时， 随 的增大而增大.∵ 50 ≤ ≤ 65,∴ 当 = 65时， 取最大值，
为 1 750.∴ 关于 的函数解析式为 = 2 2 + 280 8 000(50 ≤ ≤ 65).当猪肉粽每盒的售
价为 65元时，有最大利润，最大利润为 1 750元.
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