第四章 三角形
4.1 角、相交线与平行线
考点 1 角（冷考点）
1．[2020 广州，11，3 分]已知∠ = 100 ，则∠ 的补角等于
考点 2 相交线与平行线（常考点）
2．[2023 广东，4，3分]如图，街道 与 平行，拐角∠ = 137 ，则拐角∠ =（ ）
A．43 B．53 C．107 D．137
3．[2023 深圳，7,3 分]图 1为商场某品牌椅子的侧面图，在图 2中，∠ = 120 , 与地
面平行，∠ = 50 ,则∠ =（ ）
图 1 图 2
A．70 B．65 C．60 D．50
4．[2022 广东，4，3分]如图，直线 // ，∠1 = 40 ，则∠2 =（ ）
A．30 B．40 C．50 D．60
5．[2024 广东，4，3分]如图，一把直尺、两个含30 角的三角尺拼接在一起，则∠ 的度
数为 （ ）
A．120 B．90 C．60 D．30
第 5题图 第 6题图
6．[2024 广州，11，3 分]如图，直线 分别与直线 , 相交， // ,若∠1 = 71 ,则∠2的度数为
__________.
23/52
第四章 三角形
7．[2021 深圳，13，3 分]如图，已知点 为∠ 的平分线上一点，直线 垂直平分 ，交
于点 ，连接 ，过点 作 ⊥ 于点 .若 = 10，∠ = 60 ，则△ 的周长为
__________.
4.2 三角形及其全等
考点 1 三角形的相关概念（常考点）
1．[2022 广东，3，3分]下列图形中有稳定性的是 （ ）
A．三角形 B．平行四边形
C．长方形 D．正方形
2．[2022 广东，5，3分]如图，在△ 中， = 4，点 ， 分别为 ， 的中点，则 =
（ ）
A 1 B 1． ． C．1 D．2
4 2
3．[2020 广东，6，3分]已知△ 的周长为 16，点 ， ， 分别为△ 三条边的中点，则
△ 的周长为（ ）
A．8 B．2 2 C．16 D．4
考点 2 全等三角形的判定与性质（常考点）
4．[2024 广州，7，3分]如图，在△ 中，∠ = 90 , = = 6, 为边 的中点，点 ,
分别在边 , 上， = ,则四边形 的面积为（ ）
A．18 B．9 2 C．9 D．6 2
24/52
第四章 三角形
5．[2022 广东，8分]如图，已知∠ = ∠ ，点 在 上， ⊥ ， ⊥ ，垂足分
别为 ， .求证：△ ≌△ .
6．[2022 广州，4分]如图,点 , 在△ 的边 上,∠ = ∠ , = ,求证：△ ≌△ .
7．[2020 广州，9分]如图， = ，∠ = ∠ = 25 ，∠ = 80 .求∠ 的度数.
4.3 等腰三角形与直角三角形
考点 1 等腰三角形（常考点）
1．[2020 深圳，8，3分]如图，在△ 中， = .在 、 上分别截取 ， ，使 = ，
1
再分别以点 ， 为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧在∠ 内交于点 ，作射线 ，
2
交 于点 .若 = 6，则 的长为 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．[2020 广东，20，6 分]如图，在△ 中，点 ， 分别是 、 边上的点， = ，∠ =
∠ ， 与 相交于点 .求证：△ 是等腰三角形.
25/52
第四章 三角形
考点 2 直角三角形（常考点）
3．[2021 广州，13，3 分]如图，在 Rt △ 中，∠ = 90 ，∠ = 30 ，线段 的垂直平
分线分别交 ， 于点 ， ，连接 ，若 = 1，则 的长为______.
4．[2020 广东，17，4 分]有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫紧紧盯住位于梯
子正中间的老鼠，等待与老鼠距离最小时扑捉.把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面
内的线或点，模型如图，∠ = 90 ，点 ， 分别在射线 ， 上， 长度始终保持不
变， = 4， 为 的中点，点 到 ， 的距离分别为 4和 2.在此滑动过程中，猫与老鼠
的距离 的最小值为__________.
5．[2023 广东，20，9 分]综合与实践
主题：制作无盖正方体形纸盒. 素材：一张正方形纸板.
步骤 1：如图 1，将正方形纸板的边长三等分，画出九个相同的小正方形，并剪去四个角上的
小正方形；
步骤 2：如图 2，把剪好的纸板折成无盖正方体形纸盒.
猜想与证明：
图 1 图 2
（1） 直接写出纸板上∠ 与纸盒上∠ 1 1 1的大小关系；
（2） 证明（1）中你发现的结论.
26/52
第四章 三角形
4.4 图形的相似
考点 相似三角形的判定与性质（常考点）
1．[2023 广东，6，3分]我国著名数学家华罗庚曾为普及优选法作出重要贡献.优选法中有一
种 0.618法应用了（ ）
A．黄金分割数 B．平均数
C．众数 D．中位数
2．[2018 广东，7，3分]在△ 中，点 、 分别为边 、 的中点，则△ 与△
的面积之比为（ ）
A 1 B 1 1 1． ． C． D．
2 3 4 6
3．[2023 广东，15，3 分]边长分别为 10，6，4的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一
直线上（如图），则图中阴影部分的面积为__.
4．[2022 深圳，15，3 分]已知△ 是直角三角形，∠ = 90 , = 3, = 5, = 2 5,
连接 ，以 为斜边作直角三角形 且 = ， 是 边上的一点，连接 和 ，且
∠ = 45 ，则 长为________.
5．[2018 广州，16，3 分]如图， 是 的边 的垂直平分线，垂足为点 ， 与
的延长线交于点 .连接 ， ， ， 与 交于点 .则下列结论：
①四边形 是菱形；②∠ = ∠ ；
③ : = 2: 3；④ : △ = 2: 3.四边形
其中正确的结论有____.（填写所有正确结论的序号）
27/52
第四章 三角形
6．[2024 广州，4分]如图，点 ， 分别在正方形 的边 ， 上， = 3， = 6， = 2.
求证：△ △ .
4.5 解直角三角形
考点 1 锐角三角函数（常考点）
1．[2021 广州，9，3分]如图，在 Rt △ 中，∠ = 90 ， = 6， = 8，将△ 绕点
逆时针旋转得到△ ' '，使点 '落在 边上，连接 '，则 sin∠ ' '的值为 （ ）
A 3． B 4 C 5． ． D 2 5．
5 5 5 5
2．[2022 广东，11，3 分]sin 30 =________.
3 4．[2021 广东，16，4 分]如图，在 中， = 5， = 12，sin = .过点 作 ⊥ ，
5
垂足为 ，则 sin∠ =____________.
4．[2021 广东，20，6 分]如图，在 Rt △ 中，∠ = 90 .作 的垂直平分线交 于点 ，
延长 至点 ，使 = .
（1） 若 = 1，求△ 的周长;
（2 = 1） 若 ，求 tan∠ 的值.
3
28/52
第四章 三角形
考点 2 解直角三角形（常考点）
5．[2023深圳，9,3分]爬坡时坡面与水平面的夹角（坡角）为 ,则每爬1 m耗能(1.025 cos )J,
若某人爬了 1 000 m,该坡角为30 ,则他耗能（参考数据： 3≈1.732, 2≈1.414）（ ）
A．58 J B．159 J C．1 025 J D．1 732 J
6．[2020 深圳，16，3 分]如图，在四边形 中， 与 相交于点 ，
∠ = ∠ = 90 ,tan∠ = 1, = 4, 则 △ =________.
2 3 △
7．[2023 广东，18，7 分]2023年 5月 30日，神舟十六号载人飞船发射取得圆满成功，3名航
天员顺利进驻中国空间站.图中的照片展示了中国空间站上机械臂的一种工作状态.当两臂
= = 10 m，两臂夹角∠ = 100 时，求 ， 两点间的距离.（结果精确到 0.1 m，参
考数据：sin 50 ≈ 0.766，cos 50 ≈ 0.643，tan 50 ≈ 1.192）
8．[2024 广州，22，10 分]2024年 6月 2日，嫦娥六号着陆器和上升器组合体（简称为“着
上组合体”）成功着陆在月球背面.某校综合实践小组制作了一个“着上组合体”的模拟装置，
在一次试验中，如图，该模拟装置在缓速下降阶段从 点垂直下降到 点，再垂直下降到着陆
点 ,从 点测得地面 点的俯角为36.87 , = 17米， = 10米.
（1）求 的长；
（2）若模拟装置从 点以每秒 2米的速度匀速下降到 点，求模拟装置从 点下降到 点的时间.
参考数据：sin 36.87 ≈ 0.60,cos 36.87 ≈ 0.80,tan 36.87 ≈ 0.75.
29/52
第四章 三角形
9．[2024 广东，18，7 分]中国新能源汽车为全球应对气候变化和绿色低碳转型作出了巨大贡
献.为满足新能源汽车的充电需求，某小区增设了充电站，下图是矩形充电站 的平面示
意图，矩形 是其中一个停车位.经测量，∠ = 60 , = 5.4 m，
= 1.6 m, ⊥ , 是另一个车位的宽，所有车位的长、宽分别相同，按图示并列划定.
根据以上信息回答下列问题：（结果精确到 0.1 m,参考数据： 3≈1.73）
（1） 求 的长；
（2） 该充电站有 20个停车位，求 的长。
30/52第四章 三角形
4.1 角、相交线与平行线
考点 1 角（冷考点）
1．[2020 广州，11，3 分]已知∠ = 100 ，则∠ 的补角等于__ .
【答案】80
考点 2 相交线与平行线（常考点）
2．[2023 广东，4，3分]如图，街道 与 平行，拐角∠ = 137 ，则拐角∠ =（ ）
A. 43 B. 53 C. 107 D. 137
【答案】D
【解析】∵ // ，∴ ∠ = ∠ ，∵ ∠ = 137 ，
∴ ∠ = 137 .
3．[2023 深圳，7,3 分]图 1为商场某品牌椅子的侧面图，在图 2中，∠ = 120 , 与地
面平行，∠ = 50 ,则∠ =（ ）
图 1 图 2
A. 70 B. 65 C. 60 D. 50
【答案】A
【解析】∵ // ,∠ = 50 ,
∴ ∠ = ∠ = 50 ,
∵ ∠ = ∠ + ∠ = 120 ,
∴ ∠ = ∠ ∠ = 120 50 = 70 ,
∴ ∠ = ∠ = 70 .
4．[2022 广东，4，3分]如图，直线 // ，∠1 = 40 ，则∠2 =（ ）
41/104
第四章 三角形
A. 30 B. 40 C. 50 D. 60
【答案】B
5．[2024 广东，4，3分]如图，一把直尺、两个含30 角的三角尺拼接在一起，则∠ 的度
数为 （ ）
A. 120 B. 90 C. 60 D. 30
【答案】C
6．[2024 广州，11，3 分]如图，直线 分别与直线 , 相交， // ,若∠1 = 71 ,则∠2的度数为
__________.
【答案】109
7．[2021 深圳，13，3 分]如图，已知点 为∠ 的平分线上一点，直线 垂直平分 ，交
于点 ，连接 ，过点 作 ⊥ 于点 .若 = 10，∠ = 60 ，则△ 的周长为
__________.
【答案】5 + 5 3
【解析】∵ = （垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），
∴ △ = + + = + + = + .
∵ ∠ = 60 ， 是角平分线，
∴ ∠ = 30 .
42/104
第四章 三角形
∵ = 10， ⊥ ,
∴ = 5， = 5 3，
∴ △ = 5 + 5 3.
4.2 三角形及其全等
考点 1 三角形的相关概念（常考点）
1．[2022 广东，3，3分]下列图形中有稳定性的是 （ ）
A. 三角形 B. 平行四边形 C. 长方形 D. 正方形
【答案】A
2．[2022 广东，5，3分]如图，在△ 中， = 4，点 ， 分别为 ， 的中点，则 =
（ ）
A. 1 B. 1 C. 1 D. 2
4 2
【答案】D
【解析】∵ 点 D、 分别为 、 的中点，∴ 是△ 的中位线，
∴ = 1 = 1 × 4 = 2.
2 2
3．[2020 广东，6，3分]已知△ 的周长为 16，点 ， ， 分别为△ 三条边的中点，则
△ 的周长为（ ）
A. 8 B. 2 2 C. 16 D. 4
【答案】A
【解析】如图，∵ 点 D， ， 分别为△ 1三条边的中点，∴ = ， = 1 1， = .
2 2 2
∵△ 的周长= + + = 16 ∴△ = + + = 1， 的周长 ( + + ) =
2
1 × 16 = 8.
2
43/104
第四章 三角形
考点 2 全等三角形的判定与性质（常考点）
4．[2024 广州，7，3分]如图，在△ 中，∠ = 90 , = = 6, 为边 的中点，点 ,
分别在边 , 上， = ,则四边形 的面积为（ ）
A. 18 B. 9 2 C. 9 D. 6 2
【答案】C
【解析】连接 ，如图，
∵ ∠ = 90 ， = = 6，点 D是 的中点，
∴ ∠ = ∠ = ∠ = 45 , = = .
∵ = ，∴△ ≌△ .
∴ 四边形 = △ + △ = △ + = =
1
△ △ △ ，2
又∵ 1△ = 6 × 6 × = 18，2
∴ 四边形 =
1 1△ = × 18 = 9.2 2
5．[2022 广东，18，8 分]如图，已知∠ = ∠ ，点 在 上， ⊥ ， ⊥ ，垂
足分别为 ， .求证：△ ≌△ .
44/104
第四章 三角形
证明 ∵ ∠ = ∠ ， ⊥ ， ⊥ ，∴ = .
在 Rt △ 和 Rt △ 中，
= ,
= ,
∴ Rt △ ≌ Rt △ (HL)．
6．[2022 广州，18，4 分]如图,点 , 在△ 的边 上,∠ = ∠ , = ,求证：△ ≌△
.
证明 ∵ ∠ = ∠ ,∴ = .
= ,
在△ 和△ 中, ∠ = ∠ ,
= ,
∴△ ≌△ (SAS).
7．[2020 广州，18，9 分]如图， = ，∠ = ∠ = 25 ，∠ = 80 .求∠ 的度
数.
【解析】∵ ∠ = 25 ,∠ = 80 ,
∴ ∠ = 180 ∠ ∠ = 180 25 80 = 75 .
在△ 和△ 中，
= ,
∠ = ∠ ,
= ,
∴△ ≌△ (SAS).
∴ ∠ = ∠ = 75 .
45/104
第四章 三角形
4.3 等腰三角形与直角三角形
考点 1 等腰三角形（常考点）
1．[2020 深圳，8，3分]如图，在△ 中， = .在 、 上分别截取 ， ，使 = ，
1再分别以点 ， 为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧在∠ 内交于点 ，作射线 ，
2
交 于点 .若 = 6，则 的长为 （ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】B
【解析】由作图过程可知∠ = ∠ .又因为 = ，所以 = ，所以 = 1 = 3.
2
2．[2020 广东，20，6 分]如图，在△ 中，点 ， 分别是 、 边上的点， = ，∠ =
∠ ， 与 相交于点 .求证：△ 是等腰三角形.
证明 ∵ = ，∠ = ∠ ,∠ = ∠ ，
∴△ ≌△ . ∴ = .
∴ ∠ = ∠ . ∴ ∠ + ∠ = ∠ + ∠ ，
即∠ = ∠ .
∴△ 是等腰三角形.
46/104
第四章 三角形
考点 2 直角三角形（常考点）
3．[2021 广州，13，3 分]如图，在 Rt △ 中，∠ = 90 ，∠ = 30 ，线段 的垂直平
分线分别交 ， 于点 ， ，连接 ，若 = 1，则 的长为______.
【答案】2
【解析】∵ 是 的垂直平分线，
∴ = . ∵ ∠ = 30 ，∴ ∠ = ∠ = 30 . ∵ ∠ = 90 ，
∴ ∠ = 180 ∠ ∠ = 60 .
∴ ∠ = ∠ ∠ = 30 .
∵ = 1，∴ = 2 = 2.
∴ = = 2.
4．[2020 广东，17，4 分]有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫紧紧盯住位于梯
子正中间的老鼠，等待与老鼠距离最小时扑捉.把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面
内的线或点，模型如图，∠ = 90 ，点 ， 分别在射线 ， 上， 长度始终保持不
变， = 4， 为 的中点，点 到 ， 的距离分别为 4和 2.在此滑动过程中，猫与老鼠
的距离 的最小值为__________.
【答案】2 5 2
【解析】连接 ，在此滑动过程中， 的长度始终保持不变，∠ = 90 ，∴ = 1 = 2，
2
1
显然点 在以点 为圆心， 的长为半径的圆弧上.如图，当 、 、 三点共线时， 有最小
2
值.
47/104
第四章 三角形
∵ 点 到 ， 的距离分别为 4和 2，∴ = 42 + 22 = 2 5，
∴ 最小值 = = 2 5 2.
5．[2023 广东，20，9 分]综合与实践
主题：制作无盖正方体形纸盒.
素材：一张正方形纸板.
步骤 1：如图 1，将正方形纸板的边长三等分，画出九个相同的小正方形，并剪去四个角上的
小正方形；
步骤 2：如图 2，把剪好的纸板折成无盖正方体形纸盒.
猜想与证明：
图 1 图 2
（1） 直接写出纸板上∠ 与纸盒上∠ 1 1 1的大小关系；
（2） 证明（1）中你发现的结论.
【解析】
（1） ∠ = ∠ 1 1 1.
（2）证明：连接 ，设小正方形边长为 1.∵ 2 = 12 + 22 = 5， 2 = 12 + 22 = 5， 2 = 33 +
12 = 10， ∴ = = 5， 2 + 2 = 2.∴ ∠ = 90 .∴ ∠ = ∠ =
45 .∵ 1 1是正方形 1 1 1 1的对角线, ∴ ∠ 1 1 1 = 45 .∴ ∠ = ∠ 1 1 1.
48/104
第四章 三角形
4.4 图形的相似
考点 相似三角形的判定与性质（常考点）
1．[2023 广东，6，3分]我国著名数学家华罗庚曾为普及优选法作出重要贡献.优选法中有一
种 0.618法应用了（ ）
A. 黄金分割数 B. 平均数 C. 众数 D. 中位数
【答案】A
5 1
【解析】黄金分割比为 ≈ 0.618.
2
2．[2018 广东，7，3分]在△ 中，点 、 分别为边 、 的中点，则△ 与△
的面积之比为（ ）
A. 1 B. 1 C. 1 D. 1
2 3 4 6
【答案】C
【解析】因为 D、 分别是边 、 的中点，所以 是△ 的中位线，所以 // ，所以
△ △ 1 1，且相似比是 ，所以它们的面积比为 .
2 4
3．[2023 广东，15，3 分]边长分别为 10，6，4的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一
直线上（如图），则图中阴影部分的面积为__.
【答案】15
【解析】如图，
∵ // ，
∴△ △ ，
∴ = ，
∵ = 4， = 4 + 6 + 10 = 20， = 10，
∴ 4 = ，
20 10
49/104
第四章 三角形
∴ = 2，
∴ = 6 2 = 4.
∵ // ，
∴△ △ ，
∴ = ，
∵ = 4 + 6 = 10， = 20， = 10，
∴ 10 = ，
20 10
∴ = 5，
∴ = 6 5 = 1.
∴ 1阴影 = ( + ) 2
= 1 × (1 + 4) × 6
2
= 15.
4．[2022 深圳，15，3 分]已知△ 是直角三角形，∠ = 90 , = 3, = 5, = 2 5,
连接 ，以 为斜边作直角三角形 且 = ， 是 边上的一点，连接 和 ，且
∠ = 45 ，则 长为________.
3 5
【答案】
4
【解析】将线段 绕点 顺时针旋转90 ，得到线段 ，连接 ， ，延长 交 于 ，
∴ ∠ = 90 , = ，
50/104
第四章 三角形
又∵△ 是直角三角形，
∴ ∠ = ∠ ，又 = ，
∴△ ≌△ (SAS)，
∴ = = 5，∠ = ∠ ，
∴ ∠ = ∠ = 90 ,
∵△ 是等腰直角三角形，
∴ ∠ = 45 ，又∠ = 45 ，∴ 、 、 三点共线.
∵ ∠ = 90 ，∠ = 90 ，
∴ // ，∴△ △ ，
∴ = = ，
∴ 3 = ，∴ = 3 5.
5 2 5 4
5．[2018 广州，16，3 分]如图， 是 的边 的垂直平分线，垂足为点 ， 与
的延长线交于点 .连接 ， ， ， 与 交于点 .则下列结论：
①四边形 是菱形；②∠ = ∠ ；
③ : = 2: 3；④
四边形 : △ = 2: 3.
其中正确的结论有____.（填写所有正确结论的序号）
【答案】①②④
【解析】由 是边 的垂直平分线可得 = ，所以∠ = ∠ ，由四边形 是平
行四边形可得 // ， // ，所以∠ = ∠ ，∠ = ∠ ，所以∠ = ∠ =
∠ ，故②正确.由∠ = ∠ ， = ，∠ = ∠ 可得△ ≌△ (ASA)，
从而 = ，又 = ，所以 = ，因为 // ，所以四边形 是平行四边形，
因为 = ，所以四边形 是菱形，故①正确.由 // ，可得 = = = 1 ，所以 =
2
= 1 . = 1，故③错误设 △ ，由 = ，可得 △ = 2 ，再根据△ △ 可得 3 2 △ =
51/104
第四章 三角形
4 ，所以 △ = 6 ， △ = 3 = △ ，所以 四边形 = 4 ，所以 四边形 : △ =
4 : 6 = 2: 3，故④正确.
6．[2024 广州，18，4 分]如图，点 ， 分别在正方形 的边 ， 上， = 3， = 6，
= 2.
求证：△ △ .
证明 ∵ = 3, = 6，
∴ = 9.
∵ 四边形 是正方形，
∴ = = 9,∠ = ∠ = 90 ,
∵ = 9 = 3, = 3,
6 2 2
∴ = .
∴△ △ .
4.5 解直角三角形
考点 1 锐角三角函数（常考点）
1．[2021 广州，9，3分]如图，在 Rt △ 中，∠ = 90 ， = 6， = 8，将△ 绕点
逆时针旋转得到△ ' '，使点 '落在 边上，连接 '，则 sin∠ ' '的值为 （ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 2 5
5 5 5 5
【答案】C
【解析】∵ ∠ = 90 ， = 6， = 8，
52/104
第四章 三角形
∴ = 2 + 2 = 62 + 82 = 10.
∵ ∠ ' ' = 90 ， ' = = 6， ' ' = = 8，∴ ∠ ' ' = 90 ， ' = 4.
∴ 在 Rt △ ' ' 中， ' = ' '2 + ' 2 = 82 + 42 = 4 5.
∴ sin∠ ' ' = ' = 4 = 5.
' 4 5 5
2．[2022 广东，11，3 分]sin 30 =________.
1
【答案】
2
3 4．[2021 广东，16，4 分]如图，在 中， = 5， = 12，sin = .过点 作 ⊥ ，
5
垂足为 ，则 sin∠ =____________.
9 10
【答案】
50
【解析】过点 作 ⊥ ，交 的延长线于点 .
∵ 四边形 为平行四边形，
∴ 易证△ ≌△ ，
∴ = ， = .
在 Rt △ 4中，sin = = = ，∴ = 4，∴ = 2 2 = 3，
5 5
∴ = 4， = 3， = 5.
∵ = 12，∴ = 9，∴ = 12.
在 Rt △ 中， = 2 + 2 = 42 + 122 = 4 10.过点 作 ⊥ 于点 .
∵ = 1 = 1△ ，2 2
∴ = = 9×4 = 9 10,
4 10 10
9 10
∴ sin∠ = = 10 = 9 10.
5 50
4．[2021 广东，20，6 分]如图，在 Rt △ 中，∠ = 90 .作 的垂直平分线交 于点 ，
延长 至点 ，使 = .
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第四章 三角形
（1） 若 = 1，求△ 的周长;
（2） 若 = 1 ，求 tan∠ 的值.
3
【解析】
（1）∵ 点 在线段 的垂直平分线上，∴ = .又 = ，∴△ 的周长= + +
= + + = = 1.∴△ 的周长为 1.
（2） 设 = .∵ = 1 ,∴ = = 3 .∴ = + = + 3 = 4 .在 Rt △
3
中， = 2 2 = 2 2 .在 Rt △ 中，tan∠ = = 4 = 2.
2 2
考点 2 解直角三角形（常考点）
5．[2023深圳，9,3分]爬坡时坡面与水平面的夹角（坡角）为 ,则每爬1 m耗能(1.025 cos )J,
若某人爬了 1 000 m,该坡角为30 ,则他耗能（参考数据： 3≈1.732, 2≈1.414）（ ）
A. 58 J B. 159 J C. 1 025 J D. 1 732 J
【答案】B
【解析】由题意得 1 000 × (1.025 cos 30 ) = 1 000 × (1.025 3 ) ≈ 159(J).
2
6．[2020 深圳，16，3 分]如图，在四边形 中， 与 相交于点 ，
∠ = ∠ = 90 ,tan∠ = 1, = 4, 则 △ =________.
2 3 △
3
【答案】
32
【解析】如图，延长 交 的延长线于 .
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第四章 三角形
∵ ⊥ ，∴ ∠ = 90 ，
∴ ∠ + ∠ = 90 .
∵ ∠ = 90 ,
∴ ∠ + ∠ = 90 ，
∴ ∠ = ∠ .
∵ tan∠ = 1,
2
∴ tan∠ = 1.
2
设 = ，则 = 2 ， = 4 .
在 Rt △ 中，由勾股定理可得 = 2 + 2 = 5 ，
在 Rt △ 中，由勾股定理可得 = 2 + 2 = 2 5 .
∵ = 4 △ △ △ △ ∴ △ = △ = 4， 与 分别以 、 为底则同高， 与 同理， ，
3 △ △ 3
∴ △ + △ = △ = 4.
△ + △ △ 3
∵ 1 2 1△ = = 4 , 2 △ = = 5 ,2
∴ 4
2
= 4，
5 3
∴ = 3 .
5
3
∴ = 5 = 3,
5 5
∴ = = 3 = 3.
+ 5+3 8
∵△ 与△ 分别以 和 为底则同高，
∴ △ = 3，∴ = 3 .
△ 8 △ 8 △
∵△ 与△ 分别以 和 为底则同高，
∴ △ = = = 1,
△ 4 4
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第四章 三角形
∴ 1△ = △ ,4
∴ = 3 = 3 × 1 = 3 ∴ △ = 3△ △ △ △ ， .8 8 4 32 △ 32
7．[2023 广东，18，7 分]2023年 5月 30日，神舟十六号载人飞船发射取得圆满成功，3名航
天员顺利进驻中国空间站.图中的照片展示了中国空间站上机械臂的一种工作状态.当两臂
= = 10 m，两臂夹角∠ = 100 时，求 ， 两点间的距离.（结果精确到 0.1 m，参
考数据：sin 50 ≈ 0.766，cos 50 ≈ 0.643，tan 50 ≈ 1.192）
【解析】连接 ，过点 作 ⊥ ，垂足为 .
∵ = ，∠ = 100 ，
∴ ∠ = 1∠ = 50 .
2
在 Rt △ 中，
∵ sin∠ = ,
∴ = sin∠ = 10 × sin 50 ≈ 7.66(m).
∴ = 2 ≈ 15.3(m).
答： ， 两点间的距离约为 15.3 m.
8．[2024 广州，22，10 分]2024年 6月 2日，嫦娥六号着陆器和上升器组合体（简称为“着
上组合体”）成功着陆在月球背面.某校综合实践小组制作了一个“着上组合体”的模拟装置，
在一次试验中，如图，该模拟装置在缓速下降阶段从 点垂直下降到 点，再垂直下降到着陆
点 ,从 点测得地面 点的俯角为36.87 , = 17米， = 10米.
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第四章 三角形
（1） 求 的长；
（2） 若模拟装置从 点以每秒 2米的速度匀速下降到 点，求模拟装置从 点下降到 点的时
间.
参考数据：sin 36.87 ≈ 0.60,cos 36.87 ≈ 0.80,tan 36.87 ≈ 0.75.
【解析】
（1） 由题意知，∠ = 90 ,∠ = 36.87 ,在 Rt △ 中， = 10米，
∠ = 36.87 ,∴ = cos 36.87 ≈ 10 × 0.80 = 8（米）,∴ 的长约为 8米.
（2） ∵ = 17米， = 8米，∴ = 2 2 = 15米.在 Rt △ 中， = 10米，
∴ = sin 36.87 ≈ 10 × 0.60 = 6（米），∴ = = 15 6 = 9（米）.∵ 模拟
装置从 点以每秒 2米的速度匀速下降到 点，∴ 9 ÷ 2 = 4.5（秒），即模拟装置从 点下降到
点的时间约为 4.5秒.
9．[2024 广东，18，7 分]中国新能源汽车为全球应对气候变化和绿色低碳转型作出了巨大贡
献.为满足新能源汽车的充电需求，某小区增设了充电站，下图是矩形充电站 的平面示
意图，矩形 是其中一个停车位.经测量，∠ = 60 , = 5.4 m，
= 1.6 m, ⊥ , 是另一个车位的宽，所有车位的长、宽分别相同，按图示并列划定.
根据以上信息回答下列问题：（结果精确到 0.1 m,参考数据： 3≈1.73）
（1） 求 的长；
（2） 该充电站有 20个停车位，求 的长。
【解析】
（1）∵ 四边形 是矩形，∴ ∠ = ∠ = 90 ，在 Rt △ 中，∠ = 60 ， = 5.4 m，
∴ = sin 60 = 5.4 × 3 = 27 3 (m)，∠ = 30 ，∵ 四边形 是矩形，∴ = ，
2 10
∠ = ∠ = ∠ = ∠ = 90 ∴ ∠ = 30 ∴ = = 8 3， ， m，∴ =
tan 30 5
= 8 3 m，∵ ∠ = 180 30 90 = 60 ，∴ = 1 = 4 3 m，∴ = + =
5 2 5
27 3+ 4 3 = 7 3 ≈ 3.5 × 1.73 = 6.055 ≈ 6.1(m).
10 5 2
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第四章 三角形
（2） 在 Rt △ 中， = 2 = 2 × 1.6 = 3.2(m)，在 Rt △ 中， = cos∠ =
2.7 m，∵ 该充电站有 20个停车位，∴ = + 20 = 66.7 m，∵ 四边形 是矩形，
∴ = = 66.7 m．
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