整册综合试题 2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性必修第二册
文档属性
| 名称 | 整册综合试题 2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性必修第二册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 747.2KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-03-27 16:06:22 | ||
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文档简介
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整册综合试题 2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性必修第二册
一、单选题
1．曲线在处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
2．已知等差数列的前n项和为，若，且，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．对于函数，给出命题：
①是增函数，无极值；
②是减函数，无极值；
③的递增区间为，，递减区间为；
④是极大值，是极小值．其中正确的命题有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．某水库储水量与水深的关系如下表所示：
水深()
储水量
在范围内，当水深每增加时，水库储水量的平均变化率（ ）
A．不变 B．越来越小 C．越来越大 D．不能确定
5．已知数列满足，将数列中的整数项按原来的顺序组成新数列，则的末位数字为（ ）．
A．8 B．2 C．3 D．7
6．若数列满足，则（ ）
A．2 B．6 C．12 D．20
7．若函数（）在上的最大值为，则（ ）
A． B． C． D．
8．数列的前n项和为，，若，则m的值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
二、多选题
9．题图为的图像，下列判断中正确的是（ ）．
A．函数在区间上是严格减函数
B．函数在区间上是严格减函数
C．函数在区间上是严格增函数
D．函数在区间上是严格增函数
10．若函数的导函数的图象关于轴对称，则的解析式可能为（ ）
A． B．
C． D．
11．在各项均为正数的等比数列中，已知的公比为q，且，则（ ）
A． B．
C．若，则 D．若，则
三、填空题
12．知识点05等比数列的性质
1、“子数列”性质
（1）对于无穷等比数列，若将其前项去掉，剩余各项仍为等比数列，首项为，公比为；
若取出所有的的倍数项，组成的数列仍为等比数列，首项为，公比为；
（2）相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即仍是等比数列，公比为
2、“下标和”性质：在等比数列中，若，则 ；
（1）特别地，时， ；
当时，
（2）若数列是有穷数列，则与首末两项“等距离”的两项的积等于首末两项的积，即
3、两等比数列合成数列的性质：若数列是项数相同的等比数列，是不等于0的常数，则数列也是 .
13．若，，且函数在处取得极值，则的最大值为 ．
14．已知不等式对任意恒成立，则实数的最大值是 .
四、解答题
15．已知函数.
(1)求这个函数的导数；
(2)求这个函数的图像在点处的切线方程.
16．根据下面图形排列的规律，继续画下去，在括号里填上对应的点数，并写出点数的一个通项公式．
(1)
(2)
17．某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量（单位：）关于行驶速度（单位：）满足函数关系．已知甲、乙两地相距．问：当汽车保持怎样的速度匀速行驶时，从甲地到乙地的耗油量最小？
18．当时，求证：.
19．已知函数在处取得极大值为1
(1)求在处的切线方程；
(2)判断的零点个数，并说明理由.
参考答案
1．B
求导后将代入，求出斜率，再得到切点，运用点斜式即可.
求导得到, ，将代入原函数，得到，即切点；
将代入导函数，得到，即切线斜率．运用点斜式得到切线方程为，化简得到一般式.
故选：B.
2．B
根据等差数列的性质即可求解.
方法一：∵∴
∴
∴
，
方法二：由于是二次函数,当时的函数值，根据二次函数的对称性，由可知，的关于对称，因此，
故选:B
3．B
求出函数的导函数，即可求出函数的单调区间，从而得到函数的极值；
解：对于函数，所以，令，解得或，
当时，函数在上单调递增，
当时，函数在上单调递减，
当时，函数在上单调递增，
所以在处取得极大值，在处取得极小值，
且，，
故①、②错误，③、④正确；
故选：B．
4．C
根据平均变化率的定义判断.
根据平均变化率的定义, 在范围内，当水深每增加时，水库储水量的平均变化率依次为:
水深
平均变化率 2 4 12 14 23 32
平均变化率越来越大.
故选：C.
5．C
分别计算出的前八个整数项得其末位数字成周期数列，再根据周期性求解即可.
解：因为，
所以数列为，
整数项为，…，
所以数列的各项依次为：
末位数字分别是，…，
即末位数字周期为4，
又因为，
故的末位数字为3.
故选：C.
6．D
由已知条件变形可得，然后累乘法可得，即可求出.
由，得，
，
.
故选：D.
7．D
对函数进行求导，并通过讨论 的取值范围，利用导数求出函数的最大值即可得解.
由题意得，
若，则当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
故当时，取得极大值，也是最大值，为，
解得，不符合题意；
若，则当时，，且不恒为0，
故在上单调递减，，不符合题意；
若，则当时，，在上单调递减，
，解得，符合题意.
故选：D.
8．C
利用关系可得，并求得，根据等比数列的定义及其前n项和公式，即可求m的值.
由，则，两式相减得：，而，
所以，故是首项、公比均为的等比数列，
所以，可得.
故选：C
9．AC
借助导函数的正负即可得原函数的单调性.
对A：在区间上，则函数在区间是严格减函数，故A正确；
对B：在区间上有正有负，故B错误；
对C：在区间上，则函数在区间是严格增函数，故C正确；
对D：在区间上有正有负，故D错误；
故选：AC.
10．BC
分析可知为偶函数，求出各选项中各函数的导函数，结合基本初等函数的奇偶性可得出结论.
由题意可知，必为偶函数.
对于A选项，为奇函数；
对于B选项，为偶函数；
对于C选项，为偶函数；
对于D选项，为非奇非偶函数.
故选：BC.
11．BC
由等比中项的性质和基本不等式得，由此可判断A．
根据对数运算性质和基本不等式得，由此判断B选项．
运用作差法，分时，时，讨论作差后的符号判断C，D选项．
解：因为，所以，当且仅当时，取等号，所以，故A不正确．
，当且仅当时，取等号，故B正确．
，
当时，单调递减，则，，则．
当时，单调递增，，，则，故C正确，D不正确．
故选：BC．
12． 等比数列
略
略
故答案为：； ；；；等比数列
13．18
由题意可得，则，然后利用基本不等式可求得结果.
因为，
所以，即．
又，当且仅当，即时取等号，
所以，当且仅当，即时取等号，
所以，当且仅当，即时取等号，
所以的最大值为．
故答案为：18
14．
令，求得曲线在点处的切线方程为，根据题意得到，即可求解.
解：令，可得，
令，即，解得，则，
即曲线在点处的切线方程为，
要使得不等式对任意恒成立，
则满足，即，解得，
所以实数的最大值是.
故答案为：.
15．(1)
(2)
（1）根据导数的运算法则计算可得；
（2）求出切线的斜率，再利用点斜式计算可得.
（1）因为，所以，即；
（2）因为点在切线上，且，
所以切线方程为，即.
16．(1)图形见解析，
(2)图形见解析，
根据每一个图形与项数n的关系进行仔细观察，发现规律，列出前几项，即可猜想出每个图形对应的通项公式．
（1）
有，，，故；
（2）
，，，故.
17．当汽车保持的速度匀速行驶时，从甲地到乙地的耗油量最小
构造耗油量与行驶速度的函数关系式，利用导数可求得的最小值点.
当行驶速度为时，汽车从甲地到乙地的行驶时间为，
设耗油量为，则，
，
恒成立，当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增，
，
当汽车保持的速度匀速行驶时，从甲地到乙地的耗油量最小.
18．证明见解析
利用数学归纳法即可进行证明.
（1）当时，左边，右边，左边右边.
（2）假设当时不等式成立，
即，
则当时，左边，
即当时，不等式也成立.
综上可知，对一切，且，不等式都成立.
19．(1)
(2)函数有三个零点，理由见解析
（1）根据题意结合导数与极值的关系求，再根据导数的几何意义求切线方程；
（2）求出函数的单调区间和极值，数形结合即可判断零点个数.
（1），则，
由题意可得，解得，
即，，
令，解得或，
故在上单调递增，在上单调递减，
则在处取得极大值1，即符合题意.
因为，则切点坐标为，切线斜率，
所以函数的图象在x=1处的切线方程为，即.
（2）由（1）得，令，得或，
由，得或，由，得，
所以在和上递增，在上递减，
又，如图
由图象可知，函数有三个零点.
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整册综合试题 2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性必修第二册
一、单选题
1．曲线在处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
2．已知等差数列的前n项和为，若，且，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．对于函数，给出命题：
①是增函数，无极值；
②是减函数，无极值；
③的递增区间为，，递减区间为；
④是极大值，是极小值．其中正确的命题有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．某水库储水量与水深的关系如下表所示：
水深()
储水量
在范围内，当水深每增加时，水库储水量的平均变化率（ ）
A．不变 B．越来越小 C．越来越大 D．不能确定
5．已知数列满足，将数列中的整数项按原来的顺序组成新数列，则的末位数字为（ ）．
A．8 B．2 C．3 D．7
6．若数列满足，则（ ）
A．2 B．6 C．12 D．20
7．若函数（）在上的最大值为，则（ ）
A． B． C． D．
8．数列的前n项和为，，若，则m的值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
二、多选题
9．题图为的图像，下列判断中正确的是（ ）．
A．函数在区间上是严格减函数
B．函数在区间上是严格减函数
C．函数在区间上是严格增函数
D．函数在区间上是严格增函数
10．若函数的导函数的图象关于轴对称，则的解析式可能为（ ）
A． B．
C． D．
11．在各项均为正数的等比数列中，已知的公比为q，且，则（ ）
A． B．
C．若，则 D．若，则
三、填空题
12．知识点05等比数列的性质
1、“子数列”性质
（1）对于无穷等比数列，若将其前项去掉，剩余各项仍为等比数列，首项为，公比为；
若取出所有的的倍数项，组成的数列仍为等比数列，首项为，公比为；
（2）相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即仍是等比数列，公比为
2、“下标和”性质：在等比数列中，若，则 ；
（1）特别地，时， ；
当时，
（2）若数列是有穷数列，则与首末两项“等距离”的两项的积等于首末两项的积，即
3、两等比数列合成数列的性质：若数列是项数相同的等比数列，是不等于0的常数，则数列也是 .
13．若，，且函数在处取得极值，则的最大值为 ．
14．已知不等式对任意恒成立，则实数的最大值是 .
四、解答题
15．已知函数.
(1)求这个函数的导数；
(2)求这个函数的图像在点处的切线方程.
16．根据下面图形排列的规律，继续画下去，在括号里填上对应的点数，并写出点数的一个通项公式．
(1)
(2)
17．某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量（单位：）关于行驶速度（单位：）满足函数关系．已知甲、乙两地相距．问：当汽车保持怎样的速度匀速行驶时，从甲地到乙地的耗油量最小？
18．当时，求证：.
19．已知函数在处取得极大值为1
(1)求在处的切线方程；
(2)判断的零点个数，并说明理由.
参考答案
1．B
求导后将代入，求出斜率，再得到切点，运用点斜式即可.
求导得到, ，将代入原函数，得到，即切点；
将代入导函数，得到，即切线斜率．运用点斜式得到切线方程为，化简得到一般式.
故选：B.
2．B
根据等差数列的性质即可求解.
方法一：∵∴
∴
∴
，
方法二：由于是二次函数,当时的函数值，根据二次函数的对称性，由可知，的关于对称，因此，
故选:B
3．B
求出函数的导函数，即可求出函数的单调区间，从而得到函数的极值；
解：对于函数，所以，令，解得或，
当时，函数在上单调递增，
当时，函数在上单调递减，
当时，函数在上单调递增，
所以在处取得极大值，在处取得极小值，
且，，
故①、②错误，③、④正确；
故选：B．
4．C
根据平均变化率的定义判断.
根据平均变化率的定义, 在范围内，当水深每增加时，水库储水量的平均变化率依次为:
水深
平均变化率 2 4 12 14 23 32
平均变化率越来越大.
故选：C.
5．C
分别计算出的前八个整数项得其末位数字成周期数列，再根据周期性求解即可.
解：因为，
所以数列为，
整数项为，…，
所以数列的各项依次为：
末位数字分别是，…，
即末位数字周期为4，
又因为，
故的末位数字为3.
故选：C.
6．D
由已知条件变形可得，然后累乘法可得，即可求出.
由，得，
，
.
故选：D.
7．D
对函数进行求导，并通过讨论 的取值范围，利用导数求出函数的最大值即可得解.
由题意得，
若，则当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
故当时，取得极大值，也是最大值，为，
解得，不符合题意；
若，则当时，，且不恒为0，
故在上单调递减，，不符合题意；
若，则当时，，在上单调递减，
，解得，符合题意.
故选：D.
8．C
利用关系可得，并求得，根据等比数列的定义及其前n项和公式，即可求m的值.
由，则，两式相减得：，而，
所以，故是首项、公比均为的等比数列，
所以，可得.
故选：C
9．AC
借助导函数的正负即可得原函数的单调性.
对A：在区间上，则函数在区间是严格减函数，故A正确；
对B：在区间上有正有负，故B错误；
对C：在区间上，则函数在区间是严格增函数，故C正确；
对D：在区间上有正有负，故D错误；
故选：AC.
10．BC
分析可知为偶函数，求出各选项中各函数的导函数，结合基本初等函数的奇偶性可得出结论.
由题意可知，必为偶函数.
对于A选项，为奇函数；
对于B选项，为偶函数；
对于C选项，为偶函数；
对于D选项，为非奇非偶函数.
故选：BC.
11．BC
由等比中项的性质和基本不等式得，由此可判断A．
根据对数运算性质和基本不等式得，由此判断B选项．
运用作差法，分时，时，讨论作差后的符号判断C，D选项．
解：因为，所以，当且仅当时，取等号，所以，故A不正确．
，当且仅当时，取等号，故B正确．
，
当时，单调递减，则，，则．
当时，单调递增，，，则，故C正确，D不正确．
故选：BC．
12． 等比数列
略
略
故答案为：； ；；；等比数列
13．18
由题意可得，则，然后利用基本不等式可求得结果.
因为，
所以，即．
又，当且仅当，即时取等号，
所以，当且仅当，即时取等号，
所以，当且仅当，即时取等号，
所以的最大值为．
故答案为：18
14．
令，求得曲线在点处的切线方程为，根据题意得到，即可求解.
解：令，可得，
令，即，解得，则，
即曲线在点处的切线方程为，
要使得不等式对任意恒成立，
则满足，即，解得，
所以实数的最大值是.
故答案为：.
15．(1)
(2)
（1）根据导数的运算法则计算可得；
（2）求出切线的斜率，再利用点斜式计算可得.
（1）因为，所以，即；
（2）因为点在切线上，且，
所以切线方程为，即.
16．(1)图形见解析，
(2)图形见解析，
根据每一个图形与项数n的关系进行仔细观察，发现规律，列出前几项，即可猜想出每个图形对应的通项公式．
（1）
有，，，故；
（2）
，，，故.
17．当汽车保持的速度匀速行驶时，从甲地到乙地的耗油量最小
构造耗油量与行驶速度的函数关系式，利用导数可求得的最小值点.
当行驶速度为时，汽车从甲地到乙地的行驶时间为，
设耗油量为，则，
，
恒成立，当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增，
，
当汽车保持的速度匀速行驶时，从甲地到乙地的耗油量最小.
18．证明见解析
利用数学归纳法即可进行证明.
（1）当时，左边，右边，左边右边.
（2）假设当时不等式成立，
即，
则当时，左边，
即当时，不等式也成立.
综上可知，对一切，且，不等式都成立.
19．(1)
(2)函数有三个零点，理由见解析
（1）根据题意结合导数与极值的关系求，再根据导数的几何意义求切线方程；
（2）求出函数的单调区间和极值，数形结合即可判断零点个数.
（1），则，
由题意可得，解得，
即，，
令，解得或，
故在上单调递增，在上单调递减，
则在处取得极大值1，即符合题意.
因为，则切点坐标为，切线斜率，
所以函数的图象在x=1处的切线方程为，即.
（2）由（1）得，令，得或，
由，得或，由，得，
所以在和上递增，在上递减，
又，如图
由图象可知，函数有三个零点.
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