第四章 数列 章末闯关试题 2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性必修第二册

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第四章 数列 章末闯关试题
2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性必修第二册
一、单选题
1．等比数列{an}的公比a1＝，则数列{an}是（ ）
A．递增数列 B．递减数列 C．常数数列 D．摆动数列
2．记等差数列的前项和为，若，则该数列的公差
A．2 B．3 C．6 D．7
3．已知数列{an}的首项a1＝2，且an＝4an－1＋1(n≥2)，则a4为 (　　)
A．148 B．149 C．150 D．151
4．等差数列{an}中，a1+a5=10,a4=7,则数列{an}的公差为
A．1 B．2 C．3 D．4
5．已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2－2n＋2，则数列{an}的通项公式为
A．an＝2n－3 B．an＝2n＋3
C．an＝ D．an＝
6．和是两个等差数列，其中为常值，，，，则（ ）
A．64 B．128 C．256 D．512
7．设是公差不为0的无穷等差数列，则“为递增数列”是“存在正整数，当时，”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
8．设正数数列的前项和为，数列的前项积为，且，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．以下四个命题，其中满足“假设当时命题成立，则当时命题也成立”，但不满足“当（是题中给定的n的初始值）时命题成立”的是（ ）
A．
B．
C．凸n边形的内角和为
D．凸n边形的对角线条数
10．已知数列的前n项和为，，则下列说法正确的是（ ）
A．为等差数列 B．
C．最小值为 D．为单调递增数列
11．公差为d的等差数列前n项和为，若，则下列选项，正确的有（ ）
A．d＞0 B．时，n的最大值为9
C．有最小值 D．时，n的最大值为17
三、填空题
12．设等比数列的公比，前项和为，则 ．
13．将数列{2n–1}与{3n–2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为 ．
14．等比数列中，，公比，则前20项和 .
15．某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为的长方形纸，对折1次共可以得到，两种规格的图形，它们的面积之和，对折2次共可以得到，，三种规格的图形，它们的面积之和，以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为 ；如果对折次，那么 .
四、解答题
16．在数列、中，，，且，，成等差数列，，，成等比数列（）．求，，及，，，由此猜测，的通项公式，并证明你的结论．
17．已知数列的前n项和（），数列满足．
(1)求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
(2)设数列满足（为非零整数，），问是否存在整数入，使得数列是单调递增数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由
18．已知正项数列前项和为，且满足.
(1)求；
(2)令，记数列前项和为，若对任意的，均有恒成立，求实数的取值范围.
19．已知等差数列满足，，等比数列满足，．
(1)求数列，的通项公式；
(2)令，求证：，其中．
参考答案
1．D
根据等比数列的性质判断可得；
解：由于公比，，所以数列是摆动数列．
故选：D
2．B
,
3．B
，选B.
4．B
∵a1＋a5＝10，a4＝7，∴ d＝2
5．C
试题分析：当时，当时，因此数列通项公式
考点：数列求通项公式
6．B
由已知条件求出的值，利用等差中项的性质可求得的值.
由已知条件可得，则，因此，.
故选：B.
7．C
设等差数列的公差为，则，利用等差数列的通项公式结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.
设等差数列的公差为，则，记为不超过的最大整数.
若为单调递增数列，则，
若，则当时，；若，则，
由可得，取，则当时，，
所以，“是递增数列”“存在正整数，当时，”；
若存在正整数，当时，，取且，，
假设，令可得，且，
当时，，与题设矛盾，假设不成立，则，即数列是递增数列.
所以，“是递增数列”“存在正整数，当时，”.
所以，“是递增数列”是“存在正整数，当时，”的充分必要条件.
故选：C.
8．B
当可求得；当时，可证得数列为等差数列，利用等差数列通项公式可推导得到，由求得后，利用可求得结果.
当时，，解得：；
当时，由得：，即，
，
数列是以为首项，为公差的等差数列，
，解得：，，
经检验：满足，，
故选：B.
9．BC
A将初始值代入判断是否满足要求；B、C应用数学归纳法判断是否满足要求；D在成立的条件下判断是否成立即可判断.
A：，显然时有，故当n为给定的初始值时命题成立，故不满足要求；
B：假设当时命题成立，即，当时有，故当时命题也成立，当时，等号左边为2，右边为，，所以当时命题不成立，故满足要求；
C：假设当时命题成立，即，当时有，故当时命题也成立，当时内角和为命题不成立，故满足要求；
D：假设当时命题成立，即，当时有，故不满足要求.
故选：BC.
10．AD
根据，求得，继而求出，即可判断；结合，可判断B;利用二次函数性质确定最小值，判断C.
由题意数列的前n项和为，，
当时， ，
当 时， ，
当时，满足上式，所以 ，
由于 ，所以数列为首项为 ，公差为2的等差数列，
因为公差大于零，所以为单调递增数列，所以正确，
由于，故B错误，
由于 ，，
所以当或 时，取最小值，且最小值为 ，所以C错误，
故选：
11．BD
根据等差数列的单调性以及前项和的函数性质，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.
对A：由可得，，，故，A错误；
对B：由A得，数列为单调减数列，且，，故时，n的最大值为9，正确；
对：由得，，故是关于的开口向下的二次函数，其有最大值没有最小值，错误；
对：因为数列的前项均为正数，且，，
故时，n的最大值为17，正确；
故选：.
12．15
分析：运用等比数列的前n项和公式与数列通项公式即可得出的值.
详解：数列为等比数列
，

故答案为15.
点睛：本题考查了等比数列的通项公式与前n项和公式，考查学生对基本概念的掌握能力与计算能力.
13．
首先判断出数列与项的特征，从而判断出两个数列公共项所构成新数列的首项以及公差，利用等差数列的求和公式求得结果.
因为数列是以1为首项，以2为公差的等差数列，
数列是以1首项，以3为公差的等差数列，
所以这两个数列的公共项所构成的新数列是以1为首项，以6为公差的等差数列，
所以的前项和为，
故答案为：.
该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有两个等差数列的公共项构成新数列的特征，等差数列求和公式，属于简单题目.
14．8
根据题意，已知等比数列的前20项的偶数项的和，利用提公因式，得到,则
,即可求解.
则
本题考查等比数列的基本量问题，关键在于利用提公因式化简整式即可，属于中档题.
15． 5
（1）按对折列举即可；（2）根据规律可得，再根据错位相减法得结果.
（1）由对折2次共可以得到，，三种规格的图形，所以对着三次的结果有：，共4种不同规格（单位；
故对折4次可得到如下规格：，，，，，共5种不同规格；
（2）由于每次对着后的图形的面积都减小为原来的一半，故各次对着后的图形，不论规格如何，其面积成公比为的等比数列，首项为120,第n次对折后的图形面积为，对于第n此对折后的图形的规格形状种数，根据（1）的过程和结论，猜想为种（证明从略），故得猜想，
设，
则，
两式作差得：
，
因此，.
故答案为：；.
方法点睛：数列求和的常用方法：
（1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；
（2）对于结构，其中是等差数列，是等比数列，用错位相减法求和；
（3）对于结构，利用分组求和法；
（4）对于结构，其中是等差数列，公差为，则，利用裂项相消法求和.
16．，证明见解析
根据题意可得到 ，,由此求得数列的前面几项，观察规律，猜测数列的通项公式，用数学归纳法进行证明即可.
由条件得 ， ，
令 ，可得 ，
猜测 ，
用数学归纳法证明：
①当 时，由已知,可得结论成立．
②假设当 且)时，结论成立，即 ，
那么当 时， ，
,
所以当 时，结论成立．
由①②可知，对一切都成立．
17．(1)证明见解析，
(2)存在，
（1）计算，根据数列通项与前项和的关系得到，计算，得到，代入计算得到答案.
（2）计算，得到，考虑和两种情况，计算得到答案.
（1）当时，，解得；
当时，，，
相减得到，
，，
数列是等差数列，，故，，验证时，满足，
故.
（2），故
假设存在满足条件，
，
当时，，即，即；
当时，，即，即；
综上所述：，为非零整数，故.
18．(1)
(2)
（1）根据与的关系即可求解；
（2）利用错位相减法求解得，参变分离即可求的范围.
（1）因为，
当时，有，
两式相减得
，移项合并同类项因式分解得
，
因为，
所以有，
在中，当得，
所以数列是以为首项，以为公差的等差数列，
故有
（2）由（1）知，
，
，
，
由题意，对任意的，均有恒成立，
，
即恒成立，
设，
所以，
当时，，即 ；
当时，，即，
所以的最大值为，
所以.
故的取值范围是.
19．(1)，
(2)证明见解析.
（1）利用定义法即可求出等差数列和等比数列的通项公式
（2）通过（1）求出的，的通项公式，表达数列，然后利用公式法和放缩法，分类讨论n为奇数或偶数时前n项的和，进而证明不等式.
（1）由题意，,
在等差数列中，设
解得：
∴
等比数列中，设，
，解得：
∴
（2）由题意及（1）得，，，，
在中，
设，
当n为奇数时，
在中，
∵
∴
∴
在中，
解得：
∴
∴
当n为偶数时，
同理可得，
综上，.
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