第五章 一元函数的导数及其应用 章末闯关试题 2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性必修第二册
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| 名称 | 第五章 一元函数的导数及其应用 章末闯关试题 2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性必修第二册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.3MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-03-27 16:06:22 | ||
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第五章 一元函数的导数及其应用 章末闯关试题
2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性必修第二册
一、单选题
1．已知函数，则的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
2．设，则（ ）
A． B． C．3 D．12
3．曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
4．已知，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数，则图象为如图的函数可能是（ ）
A． B．
C． D．
6．若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．若过点可以作曲线的两条切线，则（ ）
A． B．
C． D．
8．已知，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知定义域为的函数的导函数为，且的图象如图所示，则（ ）
A．在上单调递减 B．有极小值
C．有3个极值点 D．在处取得最大值
10．若函数的导函数是偶函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的图象关于中心对称
B．有3个不同的零点
C．最小值为
D．对任意，都有
11．已知函数的定义域为，其导函数为，若函数的图象关于点对称，，且，则（ ）
A．的图像关于点对称 B．
C． D．
三、填空题
12．函数的最小值为 .
13．已知函数，函数的图象在点和点的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则取值范围是 ．
14．自“一带一路”倡议提出以来，中俄两国合作共赢的脚步越来越快．中俄输气管道工程建设中，某段管道铺设要经过一处峡谷，峡谷内恰好有一处直角拐角，如图，管道沿A、E、F、B拐过直角（线段EF过O点，点E，O，F在同一水平面内），峡谷的宽分别为27m、8m，如图所示，设EF与较宽侧峡谷崖壁所成的角为，则EF得长 m，（用表示），要使输气管道顺利通过拐角，EF长度不能低于 m
四、解答题
15．已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，若函数有最小值2，求的值.
16．已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)证明：当时，．
17．某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆的一段圆弧（为此圆弧的中点）和线段构成．已知圆的半径为40米，点到的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚内的地块形状为矩形，大棚内的地块形状为，要求均在线段上，均在圆弧上．设与所成的角为．
（1）用分别表示矩形和的面积，并确定的取值范围；
（2）若大棚内种植甲种蔬菜，大棚内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为．求当为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．
18．给出以下三个材料：①若函数可导，我们通常把导函数的导数叫做的二阶导数，记作.类似地，二阶导数的导数叫做三阶导数，记作，三阶导数的导数叫做四阶导数……一般地，阶导数的导数叫做阶导数，记作.②若，定义.③若函数在包含的某个开区间上具有阶的导数，那么对于任一有，我们将称为函数在点处的阶泰勒展开式.例如，在点处的阶泰勒展开式为.根据以上三段材料，完成下面的题目：
(1)求出在点处的阶泰勒展开式，并直接写出在点处的阶泰勒展开式；
(2)比较（1）中与的大小.
(3)证明：.
19．已知函数（）．
(1)若，求的图象在处的切线方程；
(2)若对于任意的恒成立，求a的取值范围；
(3)若数列满足且（），记数列的前n项和为，求证：．
参考答案
1．C
画出函数的图象，观察与连线的斜率即得.
作出函数的图象，如图所示.
由图可知曲线上各点与坐标原点的连线的斜率随着的增大而减小.
由，得，即.
故选：C.
2．B
根据导数的定义进行转化即可.
，.
故选：B
3．C
先由切点设切线方程，再求函数的导数，把切点的横坐标代入导数得到切线的斜率，代入所设方程即可求解.
设曲线在点处的切线方程为，
因为，
所以，
所以
所以
所以曲线在点处的切线方程为.
故选：C
4．B
求导直接求解即可.
解：求导得，
所以，解得
故选:B
5．D
由函数的奇偶性可排除A、B，结合导数判断函数的单调性可判断C，即可得解.
对于A，，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除A；
对于B，，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除B；
对于C，，则，
当时，，与图象不符，排除C.
故选：D.
6．A
根据导函数有2个不同的零点，且两个零点均大于零可求解.
函数的定义域为，
因为函数有两个不同的极值点，
所以有两个不同正根，
即有两个不同正根，
所以解得，
故选:A.
7．D
解法一：根据导数几何意义求得切线方程，再构造函数，利用导数研究函数图象，结合图形确定结果；
解法二：画出曲线的图象，根据直观即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线.
在曲线上任取一点，对函数求导得，
所以，曲线在点处的切线方程为，即，
由题意可知，点在直线上，可得，
令，则.
当时，，此时函数单调递增，
当时，，此时函数单调递减，
所以，，
由题意可知，直线与曲线的图象有两个交点，则，
当时，，当时，，作出函数的图象如下图所示：
由图可知，当时，直线与曲线的图象有两个交点.
故选：D.
解法二：画出函数曲线的图象如图所示，根据直观即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线.由此可知.
故选：D.
解法一是严格的证明求解方法，其中的极限处理在中学知识范围内需要用到指数函数的增长特性进行估计，解法二是根据基于对指数函数的图象的清晰的理解与认识的基础上，直观解决问题的有效方法.
8．A
由结合三角函数的性质可得;构造函数,利用导数可得,即可得解.
[方法一]：构造函数
因为当
故，故，所以；
设，
，所以在单调递增，
故，所以，
所以，所以，故选A
[方法二]：不等式放缩
因为当，
取得：，故
，其中，且
当时，，及
此时，
故，故
所以，所以，故选A
[方法三]：泰勒展开
设，则，，
，计算得，故选A.
[方法四]：构造函数
因为，因为当，所以,即，所以；设，，所以在单调递增，则,所以，所以,所以，
故选：A．
[方法五]：【最优解】不等式放缩
因为，因为当，所以,即，所以；因为当，取得，故，所以．
故选：A．
【整体点评】方法4：利用函数的单调性比较大小，是常见思路，难点在于构造合适的函数，属于通性通法；
方法5：利用二倍角公式以及不等式放缩，即可得出大小关系，属于最优解．
9．ABC
首先分析给定图像，由的图象可知时，，则单调递减，进一步分析其他选项，由的图象可知当时，有极值，所以有3个极值点，再找出最大值和极小值即可.
由的图象可知时，，
则单调递减，故A正确；又时，，则单调递增，
所以当时，有极小值，故B正确；
由的图象可知时，有极值，所以有3个极值点，故C正确；
当时，，则单调递增，所以，
则在处不能取得最大值，故D错误．
故选：ABC．
10．ABD
求出函数的导函数，由求出的值，即可得到函数解析式，从而判断函数的奇偶性，即可判断A，令求出方程的解，即可判断B，利用导数说明函数的单调性，即可判断C，利用作差法判断D.
因为，则，
又是偶函数，所以，即，
所以对任意的恒成立，所以，解得，则，定义域为，
且，即为奇函数，
所以的图象关于中心对称，故A正确；
令，即，解得、、，
所以有3个不同的零点，故B正确；
因为，所以当或时，当时，
即的单调递增区间为，，单调递减区间为，
所以不存在最值，故C错误；
设任意，则，，则，
又，
所以
，当且仅当时取等号，
所以对任意，都有，故D正确；
故选：ABD
11．ACD
根据函数的图象变换及其对称性，可得判定A正确；结合和，化简得到，可判定B不正确；令，得到，得到函数和是以4为周期的周期函数，结合，可判定C正确；结合， ，，得到，结合是以4为周期的周期函数，进而求得的值，即可求解.
对于A中，设函数的图象关于对称，
则关于对称，可得关于对称，
因为函数的图像关于点对称，可得，解得，
所以函数的图象关于对称，所以A正确；
对于B中，由函数的图象关于对称，可得，
因为，可得，
则，
两式相减得，即，所以B不正确；
对于C中，令，
可得，
因为，所以，
所以函数是以4为周期的周期函数，
由，可得，所以，
因为函数是以4为周期的周期函数，则是以4为周期的周期函数，
所以，
由，可得，
即，令，可得，所以，
所以，所以，所以C正确；
对于D中，因为，且函数关于对称，可得，
又因为，令，可得，所以，
再令，可得，所以，
由，可得，
可得
又由函数是以4为周期的周期函数，且，
所以
，所以D正确.
故选：ACD.
知识结论拓展：有关函数图象的对称性的有关结论
（1）对于函数，若其图象关于直线对称（时，为偶函数），
则①；②；③.
（2）对于函数，若其图象关于点对称（时，为奇函数），
则①；②；③.
（3）对于函数，若其图象关于点对称，
则①；②；③.
12．1
由解析式知定义域为，讨论、、，并结合导数研究的单调性，即可求最小值.
由题设知：定义域为，
∴当时，，此时单调递减；
当时，，有，此时单调递减；
当时，，有，此时单调递增；
又在各分段的界点处连续，
∴综上有：时，单调递减，时，单调递增；
∴
故答案为：1.
13．
结合导数的几何意义可得，结合直线方程及两点间距离公式可得，，化简即可得解.
由题意，，则，
所以点和点，,
所以，
所以，
所以，
同理,
所以.
故答案为：
关键点点睛：
解决本题的关键是利用导数的几何意义转化条件，消去一个变量后，运算即可得解.
14．
在两个直角三角形中用分别表示OE、OF，进而求得EF，结合导数求出的极值点即为最值点，即可求出结果.
如图所示，
在中，，
在中，，
所以，，
令，，
则，
令，，则，
联立（）可得：，，
所以，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以.
即：EF的长度不能低于.
故答案为：；.
15．(1)
(2)
（1）求出，求导，得到，利用导数的几何意义求出切线方程；
（2）求定义域，求导，得到函数单调性和最小值，得到，构造，求导得到函数单调性，结合特殊点的函数值，得到答案.
（1）当时，的定义域为，
则，则，
由于函数在点处切线方程为，即.
（2）的定义域为，
，
当时，令，解得：；令，解得：，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，，即
则令，设，
令，解得：；令，解得：，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，
所以，解得：.
16．(1)答案见解析
(2)证明见解析
（1）先求导，再分类讨论与两种情况，结合导数与函数单调性的关系即可得解；
（2）方法一：结合（1）中结论，将问题转化为的恒成立问题，构造函数，利用导数证得即可.
方法二：构造函数，证得，从而得到，进而将问题转化为的恒成立问题，由此得证.
（1）因为，定义域为，所以，
当时，由于，则，故恒成立，
所以在上单调递减；
当时，令，解得，
当时，，则在上单调递减；
当时，，则在上单调递增；
综上：当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）方法一：
由（1）得，，
要证，即证，即证恒成立，
令，则，
令，则；令，则；
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，则恒成立，
所以当时，恒成立，证毕.
方法二：
令，则，
由于在上单调递增，所以在上单调递增，
又，
所以当时，；当时，；
所以在上单调递减，在上单调递增，
故，则，当且仅当时，等号成立，
因为，
当且仅当，即时，等号成立，
所以要证，即证，即证，
令，则，
令，则；令，则；
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，则恒成立，
所以当时，恒成立，证毕.
17．（1）， ；（2）．
分析：（1）先根据条件求矩形长与宽，三角形的底与高，再根据矩形面积公式以及三角形面积公式得结果，最后根据实际意义确定的取值范围；（2）根据条件列函数关系式，利用导数求极值点，再根据单调性确定函数最值取法.
详解：
解：（1）连结PO并延长交MN于H，则PH⊥MN，所以OH=10．
过O作OE⊥BC于E，则OE∥MN，所以∠COE=θ，
故OE=40cosθ，EC=40sinθ，
则矩形ABCD的面积为2×40cosθ（40sinθ+10）=800（4sinθcosθ+cosθ），
△CDP的面积为×2×40cosθ（40–40sinθ）=1600（cosθ–sinθcosθ）．
过N作GN⊥MN，分别交圆弧和OE的延长线于G和K，则GK=KN=10．
令∠GOK=θ0，则sinθ0=，θ0∈（0，）．
当θ∈[θ0，）时，才能作出满足条件的矩形ABCD，
所以sinθ的取值范围是[，1）．
答：矩形ABCD的面积为800（4sinθcosθ+cosθ）平方米，△CDP的面积为
1600（cosθ–sinθcosθ），sinθ的取值范围是[，1）．
（2）因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3，
设甲的单位面积的年产值为4k，乙的单位面积的年产值为3k（k>0），
则年总产值为4k×800（4sinθcosθ+cosθ）+3k×1600（cosθ–sinθcosθ）
=8000k（sinθcosθ+cosθ），θ∈[θ0，）．
设f（θ）= sinθcosθ+cosθ，θ∈[θ0，），
则．
令，得θ=，
当θ∈（θ0，）时，，所以f（θ）为增函数；
当θ∈（，）时，，所以f（θ）为减函数，
因此，当θ=时，f（θ）取到最大值．
答：当θ=时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．
点睛：解决实际应用题的步骤一般有两步：一是将实际问题转化为数学问题；二是利用数学内部的知识解决问题.
18．(1), ；
(2)答案见解析；
(3)证明过程见解析.
（1）根据在点处的阶泰勒展开式的定义可直接求得结果；
（2）令，利用导数可求得在上单调递增，结合可得的正负，由此可得与的大小关系；
（3）令，利用导数可求得，即；①当时，由，，可直接证得不等式成立；②当时，分类讨论，由此可证得不等式成立.
（1），，，
，，，
，即；
同理可得：；
（2）由（1）知：，，
令，则，
，，
在上单调递增，又，
当时，，单调递减；当时，，单调递增；
，，
在上单调递增，又，
当时，；当时，；
综上所述：当时，；当时，；当时，；
（3）令，则，
，在上单调递增，
又，在上单调递减，在上单调递增，
，即；
在点处的阶泰勒展开式为：，
，当且仅当时取等号，
①当时，由（2）可知，，当且仅当时取等号，所以；
②当时，设，，
，，
当，由（2）可知，所以，
，即有；
当时，，
所以，时，单调递减，从而，即．
综上所述：.
关键点睛：本题考查了导数中的新定义问题，关键是审题时明确阶泰勒展开式的具体定义；本题在证明不等式成立时的关键是能够根据原函数与其在处的阶泰勒展开式的大小关系，利用放缩的方法将不等式进行转化.
19．(1)
(2)
(3)证明见解析
（1）求导可得，利用导数的几何意义即可求解；
（2）利用导数分类讨论当、情况下函数的性质，进而求解；
（3）利用取倒数法求得，利用导数证明，结合归纳法和放缩法证明原不等式即可.
（1）当时，，
则，得，又，
所以在处的切线为；
（2）对恒成立，
，
设，则，
当即时，在上单调递增，
且，所以，即，
此时在上单调递增，且，
所以对恒成立.
当即时，令，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
则，又，
所以在上恒有，即，
函数在上单调递减，且，
则在上有，不符合题意.
综上，，即实数a的取值范围为
（3）由，得，又，
所以数列是以1为首项，以为公差的等差数列，
故，所以.
当时，恒成立；
当时，先证：，即证，
设，则，即证（），
令，则，
所以在上单调递减，故，
即，即.
所以当时，
.
综上，.
关键点点睛：本题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性和导数与数列的综合问题，第（3）问，利用数学归纳法和进行放缩是解决该问的关键.
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第五章 一元函数的导数及其应用 章末闯关试题
2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性必修第二册
一、单选题
1．已知函数，则的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
2．设，则（ ）
A． B． C．3 D．12
3．曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
4．已知，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数，则图象为如图的函数可能是（ ）
A． B．
C． D．
6．若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．若过点可以作曲线的两条切线，则（ ）
A． B．
C． D．
8．已知，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知定义域为的函数的导函数为，且的图象如图所示，则（ ）
A．在上单调递减 B．有极小值
C．有3个极值点 D．在处取得最大值
10．若函数的导函数是偶函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的图象关于中心对称
B．有3个不同的零点
C．最小值为
D．对任意，都有
11．已知函数的定义域为，其导函数为，若函数的图象关于点对称，，且，则（ ）
A．的图像关于点对称 B．
C． D．
三、填空题
12．函数的最小值为 .
13．已知函数，函数的图象在点和点的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则取值范围是 ．
14．自“一带一路”倡议提出以来，中俄两国合作共赢的脚步越来越快．中俄输气管道工程建设中，某段管道铺设要经过一处峡谷，峡谷内恰好有一处直角拐角，如图，管道沿A、E、F、B拐过直角（线段EF过O点，点E，O，F在同一水平面内），峡谷的宽分别为27m、8m，如图所示，设EF与较宽侧峡谷崖壁所成的角为，则EF得长 m，（用表示），要使输气管道顺利通过拐角，EF长度不能低于 m
四、解答题
15．已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，若函数有最小值2，求的值.
16．已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)证明：当时，．
17．某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆的一段圆弧（为此圆弧的中点）和线段构成．已知圆的半径为40米，点到的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚内的地块形状为矩形，大棚内的地块形状为，要求均在线段上，均在圆弧上．设与所成的角为．
（1）用分别表示矩形和的面积，并确定的取值范围；
（2）若大棚内种植甲种蔬菜，大棚内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为．求当为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．
18．给出以下三个材料：①若函数可导，我们通常把导函数的导数叫做的二阶导数，记作.类似地，二阶导数的导数叫做三阶导数，记作，三阶导数的导数叫做四阶导数……一般地，阶导数的导数叫做阶导数，记作.②若，定义.③若函数在包含的某个开区间上具有阶的导数，那么对于任一有，我们将称为函数在点处的阶泰勒展开式.例如，在点处的阶泰勒展开式为.根据以上三段材料，完成下面的题目：
(1)求出在点处的阶泰勒展开式，并直接写出在点处的阶泰勒展开式；
(2)比较（1）中与的大小.
(3)证明：.
19．已知函数（）．
(1)若，求的图象在处的切线方程；
(2)若对于任意的恒成立，求a的取值范围；
(3)若数列满足且（），记数列的前n项和为，求证：．
参考答案
1．C
画出函数的图象，观察与连线的斜率即得.
作出函数的图象，如图所示.
由图可知曲线上各点与坐标原点的连线的斜率随着的增大而减小.
由，得，即.
故选：C.
2．B
根据导数的定义进行转化即可.
，.
故选：B
3．C
先由切点设切线方程，再求函数的导数，把切点的横坐标代入导数得到切线的斜率，代入所设方程即可求解.
设曲线在点处的切线方程为，
因为，
所以，
所以
所以
所以曲线在点处的切线方程为.
故选：C
4．B
求导直接求解即可.
解：求导得，
所以，解得
故选:B
5．D
由函数的奇偶性可排除A、B，结合导数判断函数的单调性可判断C，即可得解.
对于A，，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除A；
对于B，，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除B；
对于C，，则，
当时，，与图象不符，排除C.
故选：D.
6．A
根据导函数有2个不同的零点，且两个零点均大于零可求解.
函数的定义域为，
因为函数有两个不同的极值点，
所以有两个不同正根，
即有两个不同正根，
所以解得，
故选:A.
7．D
解法一：根据导数几何意义求得切线方程，再构造函数，利用导数研究函数图象，结合图形确定结果；
解法二：画出曲线的图象，根据直观即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线.
在曲线上任取一点，对函数求导得，
所以，曲线在点处的切线方程为，即，
由题意可知，点在直线上，可得，
令，则.
当时，，此时函数单调递增，
当时，，此时函数单调递减，
所以，，
由题意可知，直线与曲线的图象有两个交点，则，
当时，，当时，，作出函数的图象如下图所示：
由图可知，当时，直线与曲线的图象有两个交点.
故选：D.
解法二：画出函数曲线的图象如图所示，根据直观即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线.由此可知.
故选：D.
解法一是严格的证明求解方法，其中的极限处理在中学知识范围内需要用到指数函数的增长特性进行估计，解法二是根据基于对指数函数的图象的清晰的理解与认识的基础上，直观解决问题的有效方法.
8．A
由结合三角函数的性质可得;构造函数,利用导数可得,即可得解.
[方法一]：构造函数
因为当
故，故，所以；
设，
，所以在单调递增，
故，所以，
所以，所以，故选A
[方法二]：不等式放缩
因为当，
取得：，故
，其中，且
当时，，及
此时，
故，故
所以，所以，故选A
[方法三]：泰勒展开
设，则，，
，计算得，故选A.
[方法四]：构造函数
因为，因为当，所以,即，所以；设，，所以在单调递增，则,所以，所以,所以，
故选：A．
[方法五]：【最优解】不等式放缩
因为，因为当，所以,即，所以；因为当，取得，故，所以．
故选：A．
【整体点评】方法4：利用函数的单调性比较大小，是常见思路，难点在于构造合适的函数，属于通性通法；
方法5：利用二倍角公式以及不等式放缩，即可得出大小关系，属于最优解．
9．ABC
首先分析给定图像，由的图象可知时，，则单调递减，进一步分析其他选项，由的图象可知当时，有极值，所以有3个极值点，再找出最大值和极小值即可.
由的图象可知时，，
则单调递减，故A正确；又时，，则单调递增，
所以当时，有极小值，故B正确；
由的图象可知时，有极值，所以有3个极值点，故C正确；
当时，，则单调递增，所以，
则在处不能取得最大值，故D错误．
故选：ABC．
10．ABD
求出函数的导函数，由求出的值，即可得到函数解析式，从而判断函数的奇偶性，即可判断A，令求出方程的解，即可判断B，利用导数说明函数的单调性，即可判断C，利用作差法判断D.
因为，则，
又是偶函数，所以，即，
所以对任意的恒成立，所以，解得，则，定义域为，
且，即为奇函数，
所以的图象关于中心对称，故A正确；
令，即，解得、、，
所以有3个不同的零点，故B正确；
因为，所以当或时，当时，
即的单调递增区间为，，单调递减区间为，
所以不存在最值，故C错误；
设任意，则，，则，
又，
所以
，当且仅当时取等号，
所以对任意，都有，故D正确；
故选：ABD
11．ACD
根据函数的图象变换及其对称性，可得判定A正确；结合和，化简得到，可判定B不正确；令，得到，得到函数和是以4为周期的周期函数，结合，可判定C正确；结合， ，，得到，结合是以4为周期的周期函数，进而求得的值，即可求解.
对于A中，设函数的图象关于对称，
则关于对称，可得关于对称，
因为函数的图像关于点对称，可得，解得，
所以函数的图象关于对称，所以A正确；
对于B中，由函数的图象关于对称，可得，
因为，可得，
则，
两式相减得，即，所以B不正确；
对于C中，令，
可得，
因为，所以，
所以函数是以4为周期的周期函数，
由，可得，所以，
因为函数是以4为周期的周期函数，则是以4为周期的周期函数，
所以，
由，可得，
即，令，可得，所以，
所以，所以，所以C正确；
对于D中，因为，且函数关于对称，可得，
又因为，令，可得，所以，
再令，可得，所以，
由，可得，
可得
又由函数是以4为周期的周期函数，且，
所以
，所以D正确.
故选：ACD.
知识结论拓展：有关函数图象的对称性的有关结论
（1）对于函数，若其图象关于直线对称（时，为偶函数），
则①；②；③.
（2）对于函数，若其图象关于点对称（时，为奇函数），
则①；②；③.
（3）对于函数，若其图象关于点对称，
则①；②；③.
12．1
由解析式知定义域为，讨论、、，并结合导数研究的单调性，即可求最小值.
由题设知：定义域为，
∴当时，，此时单调递减；
当时，，有，此时单调递减；
当时，，有，此时单调递增；
又在各分段的界点处连续，
∴综上有：时，单调递减，时，单调递增；
∴
故答案为：1.
13．
结合导数的几何意义可得，结合直线方程及两点间距离公式可得，，化简即可得解.
由题意，，则，
所以点和点，,
所以，
所以，
所以，
同理,
所以.
故答案为：
关键点点睛：
解决本题的关键是利用导数的几何意义转化条件，消去一个变量后，运算即可得解.
14．
在两个直角三角形中用分别表示OE、OF，进而求得EF，结合导数求出的极值点即为最值点，即可求出结果.
如图所示，
在中，，
在中，，
所以，，
令，，
则，
令，，则，
联立（）可得：，，
所以，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以.
即：EF的长度不能低于.
故答案为：；.
15．(1)
(2)
（1）求出，求导，得到，利用导数的几何意义求出切线方程；
（2）求定义域，求导，得到函数单调性和最小值，得到，构造，求导得到函数单调性，结合特殊点的函数值，得到答案.
（1）当时，的定义域为，
则，则，
由于函数在点处切线方程为，即.
（2）的定义域为，
，
当时，令，解得：；令，解得：，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，，即
则令，设，
令，解得：；令，解得：，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，
所以，解得：.
16．(1)答案见解析
(2)证明见解析
（1）先求导，再分类讨论与两种情况，结合导数与函数单调性的关系即可得解；
（2）方法一：结合（1）中结论，将问题转化为的恒成立问题，构造函数，利用导数证得即可.
方法二：构造函数，证得，从而得到，进而将问题转化为的恒成立问题，由此得证.
（1）因为，定义域为，所以，
当时，由于，则，故恒成立，
所以在上单调递减；
当时，令，解得，
当时，，则在上单调递减；
当时，，则在上单调递增；
综上：当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）方法一：
由（1）得，，
要证，即证，即证恒成立，
令，则，
令，则；令，则；
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，则恒成立，
所以当时，恒成立，证毕.
方法二：
令，则，
由于在上单调递增，所以在上单调递增，
又，
所以当时，；当时，；
所以在上单调递减，在上单调递增，
故，则，当且仅当时，等号成立，
因为，
当且仅当，即时，等号成立，
所以要证，即证，即证，
令，则，
令，则；令，则；
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，则恒成立，
所以当时，恒成立，证毕.
17．（1）， ；（2）．
分析：（1）先根据条件求矩形长与宽，三角形的底与高，再根据矩形面积公式以及三角形面积公式得结果，最后根据实际意义确定的取值范围；（2）根据条件列函数关系式，利用导数求极值点，再根据单调性确定函数最值取法.
详解：
解：（1）连结PO并延长交MN于H，则PH⊥MN，所以OH=10．
过O作OE⊥BC于E，则OE∥MN，所以∠COE=θ，
故OE=40cosθ，EC=40sinθ，
则矩形ABCD的面积为2×40cosθ（40sinθ+10）=800（4sinθcosθ+cosθ），
△CDP的面积为×2×40cosθ（40–40sinθ）=1600（cosθ–sinθcosθ）．
过N作GN⊥MN，分别交圆弧和OE的延长线于G和K，则GK=KN=10．
令∠GOK=θ0，则sinθ0=，θ0∈（0，）．
当θ∈[θ0，）时，才能作出满足条件的矩形ABCD，
所以sinθ的取值范围是[，1）．
答：矩形ABCD的面积为800（4sinθcosθ+cosθ）平方米，△CDP的面积为
1600（cosθ–sinθcosθ），sinθ的取值范围是[，1）．
（2）因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3，
设甲的单位面积的年产值为4k，乙的单位面积的年产值为3k（k>0），
则年总产值为4k×800（4sinθcosθ+cosθ）+3k×1600（cosθ–sinθcosθ）
=8000k（sinθcosθ+cosθ），θ∈[θ0，）．
设f（θ）= sinθcosθ+cosθ，θ∈[θ0，），
则．
令，得θ=，
当θ∈（θ0，）时，，所以f（θ）为增函数；
当θ∈（，）时，，所以f（θ）为减函数，
因此，当θ=时，f（θ）取到最大值．
答：当θ=时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．
点睛：解决实际应用题的步骤一般有两步：一是将实际问题转化为数学问题；二是利用数学内部的知识解决问题.
18．(1), ；
(2)答案见解析；
(3)证明过程见解析.
（1）根据在点处的阶泰勒展开式的定义可直接求得结果；
（2）令，利用导数可求得在上单调递增，结合可得的正负，由此可得与的大小关系；
（3）令，利用导数可求得，即；①当时，由，，可直接证得不等式成立；②当时，分类讨论，由此可证得不等式成立.
（1），，，
，，，
，即；
同理可得：；
（2）由（1）知：，，
令，则，
，，
在上单调递增，又，
当时，，单调递减；当时，，单调递增；
，，
在上单调递增，又，
当时，；当时，；
综上所述：当时，；当时，；当时，；
（3）令，则，
，在上单调递增，
又，在上单调递减，在上单调递增，
，即；
在点处的阶泰勒展开式为：，
，当且仅当时取等号，
①当时，由（2）可知，，当且仅当时取等号，所以；
②当时，设，，
，，
当，由（2）可知，所以，
，即有；
当时，，
所以，时，单调递减，从而，即．
综上所述：.
关键点睛：本题考查了导数中的新定义问题，关键是审题时明确阶泰勒展开式的具体定义；本题在证明不等式成立时的关键是能够根据原函数与其在处的阶泰勒展开式的大小关系，利用放缩的方法将不等式进行转化.
19．(1)
(2)
(3)证明见解析
（1）求导可得，利用导数的几何意义即可求解；
（2）利用导数分类讨论当、情况下函数的性质，进而求解；
（3）利用取倒数法求得，利用导数证明，结合归纳法和放缩法证明原不等式即可.
（1）当时，，
则，得，又，
所以在处的切线为；
（2）对恒成立，
，
设，则，
当即时，在上单调递增，
且，所以，即，
此时在上单调递增，且，
所以对恒成立.
当即时，令，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
则，又，
所以在上恒有，即，
函数在上单调递减，且，
则在上有，不符合题意.
综上，，即实数a的取值范围为
（3）由，得，又，
所以数列是以1为首项，以为公差的等差数列，
故，所以.
当时，恒成立；
当时，先证：，即证，
设，则，即证（），
令，则，
所以在上单调递减，故，
即，即.
所以当时，
.
综上，.
关键点点睛：本题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性和导数与数列的综合问题，第（3）问，利用数学归纳法和进行放缩是解决该问的关键.
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