4.4数学归纳法 同步巩固练 2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性必修第二册

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4.4数学归纳法 同步巩固练
2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性必修第二册
一、单选题
1．用数学归纳法证明（），在验证成立时，左边计算所得的项是（ ）
A．1 B．
C． D．
2．某个与自然数有关的命题，如果当时该命题成立，可推得时该命题也成立，那么，若已知时该命题不成立，则可推得（ ）
A．当时，该命题不成立 B．当时，该命题成立
C．当时，该命题不成立 D．当时，该命题成立
3．用数学归纳法证明“对任意的，都有，第一步应该验证的等式是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
4．用数学归纳法证明“（是正整数）”，从“”到“”左端需增加的代数式为 ．
三、解答题
5．已知数列满足，，试用数学归纳法证明．
6．用数学归纳法分别证明公差为的等差数列的前项和公式与公比为的等比数列的前项和公式．
7．用数学归纳法证明：．
8．设是一个正数数列，对一切，都有证明：对一切，都有
9．证明：当时，能被64整除．
10．已知数列满足，．
(1)计算：，猜想数列的通项公式，并证明你的结论；
(2)若，，求k的取值范围．
11．设数列的各项均为正整数，且．记．如果对于所有的正整数均有．
(1)求，，，，；
(2)猜想的通项公式，并加以证明．
12．将①，，②，③，之一填入空格中（只填番号），并完成该题.
已知是数列前n项和，___________.
(1)求的通项公式；
(2)证明：对一切，能被3整除.
13．用数学归纳法证明等式：．对一切自然数n都成立．
14．数列满足且，，，构成等差数列.
(1)试求出所有三元实数组(α,β,γ)，使得为等比数列.
(2)若，求的通项公式.
15．观察下列不等式：，，，，……．
(1)根据这些不等式，归纳出一个关于正整数n的命题；
(2)用数学归纳法证明（1）中得到的命题．
16．先猜想，再用数学归纳法证明你的猜想：能被哪些自然数整除？
参考答案
1．C
根据题意代入即可得结果.
因为，
当时，左边，故C正确.
故选：C.
2．C
根据逆否命题与原命题真假性一致可得出结论.
可得题干等价于其逆否命题：当时该命题不成立，则可推得时该命题也不成立．
所以，当时该命题不成立，则当时，该命题也不成立.
故选：C.
3．D
根据数学归纳法的知识确定正确答案.
在等式中，
当时，，
故等式的左边为，右边为.
所以第一步应该验证的等式是.
故选：D
4．
根据数学归纳法的证明过程直接得出答案.
当时，等式成立；
当时，等式左边，
则再数学归纳法证明中，从“”到“”左端需增加的代数式为，
故答案为：.
5．证明见解析
先验证时，等式成立，再假设当时等式成立，可得出，然后结合已知条件，验证当时等式也成立，由此可证明出结论成立.
①当时，左边，
右边，左边右边，原等式成立；
②假设当时等式成立，即有，
那么，当时，，
，
，
，
，
所以当时，等式也成立，
由①②知，对任意，都有.
6．证明见解析
先验证当时，两个结论都成立，然后假设当时，两个结论成立，利用数列前项和的定义推导出当时，两个结论也成立，结合归纳原理可得结论成立.
证明：先证明公差为的等差数列的前项和公式，
当时，，结论成立，
假设当时，结论成立，即，
则当时，，
这说明当时，结论也成立，
由归纳原理可知，公差为的等差数列的前项和公式.
接下来证明：公比为的等比数列的前项和公式.
因为，当时，，结论成立，
假设当时，结论成立，即，
则当时，
，
这说明当时，结论也成立，
由归纳原理可知，公比为的等比数列的前项和公式.
7．见解析
利用数学归纳法，先证明当时，等式成立，假设当时成立，证明当时等式成立即可.
解：（1）当时，左边=，右边=，等式成立，
（2）假设当时，等式成立，即＋…＋＝，
当时，
＋…＋+
，
即当时等式也成立.，
由（1）（2）可知：等式对任何都成立，
故.
8．证明见解析
利用数学归纳法的步骤进行证明，要证n=k+1时，需要分和两种情况考虑
由不等式得知，知当n=1时，所得的不等式成立．
假设n=k时，不等式成立，即有，要证n=k+1时，不等式也成立．
分两种情况考虑：
在情况（1）之下，我们有，
在情况（2）之下，由于显然有，我们有，
所以无论何种情况，所证不等式都对n=k+1成立．
故知对一切正整数n，不等式都成立．
9．证明见解析.
运用数学归纳法进行证明即可.
（1）当时，能被64整除．
（2）假设当时，能被64整除，
则当时，．
故也能被64整除．
综合（1）（2）可知当时，能被64整除．
10．(1)，，，，，证明见解析
(2)
（1）根据递推式写出对应项，并猜测通项公式，应用数学归纳法证明即可；
（2）利用作差法求的最小项，根据恒成立求参数范围.
（1）由题设，，，，
猜测，数学归纳法证明如下：
由上及已知有均满足，
假设，成立，则，满足上式；
综上，且.
（2）取，故，
当时，当时，且为最小项，
所以有，则.
11．(1)，，，，
(2)，证明见解析
（1）利用代入法进行求解即可；
（2）根据前五项的特点进行猜想，然后利用数学归纳法进行证明即可.
（1）因为数列的各项均为正整数，
所以数列是递增数列，
因为，，
所以舍去，
同理可得：舍去，舍去，舍去，
所以，，，，；
（2）猜想：，证明过程如下：
当时，显然成立，
假设当时成立，即，
当时，，
解得：，或，
因为数列的各项均为正整数，
所以数列是递增数列，
显然，
所以，舍去，
所以当时，成立，
综上所述：
12．(1)
(2)证明见解析
（1）若选①，类比作差证明数列是隔项等差数列即可；
若选②，利用类比作差和阶差法可以求解；
若选③，利用公式作差后因式分解，找出与的关系，再根据等差数列的定义和通项公式即可求出.
（2）利用数学归纳法证明结论即可.
（1）若选①：
因为
所以，
两式相减得，
所以是隔项等差数列，
且，
所以为奇数，
为偶数，
所以.
若选②：，
所以，
两式相减得，，
所以，
所以.
若选③：
因为①，
所以②，
所以，
即，
所以，
所以，
所以，
所以，
因为，所以，
所以，
所以，
又，
所以，
所以，
所以，
所以是首项为1，公差为2的等差数列，
所以，
所以的通项公式.
（2）当时，，能够被3整除；
假设当时，能被3整除，则有,所以，
则当时，，所以当时能被3整除.
综上所述，对一切，能被3整除.
13．证明见解析.
根据数学归纳法证明，先验证当时成立，再假设时等式成立，等式两边同时乘以，化简即可证明时等式也成立.
（1）当时，左边，而右边
所以当时等式成立.
（2）假设当时等式成立，即，
两边同时乘以，得
即当时等式也成立，
由(1)和(2)，对一切自然数n，等式成立.
14．(1)
(2)
(1）由题意可知，化简得，从而可得，由于的任意性，从而可令，从而求得恒成立，从而可求解.
(2)由题意可记，可知是的两根，从而求出，然后利用归纳法证明，从而可求解.
（1）依题意得
设， 则
又因为，则 从而为常数，
由的任意性知 ，于是，又由于等比数列中不能有，
故， 于是， 此时恒为 ，满足等比数列的要求.
（2）记
注意到是关于的一元二次方程的两根，故
下面归纳证明：，
当时，结论显然成立；
对，假设结论对成立，
注意到，故
从而结论对也成立，完成归纳.
综上.
关键点点睛：（2)中关键是根据，构造出，然后利用数学归纳法证明，从而可求解.
15．(1)（n为正整数）；
(2)证明见解析.
（1）不完全归纳得解；
（2）利用数学归纳法证明即可.
（1）解：不等式可写为：，，，，
所以归纳得到命题：（n为正整数）．
（2）证明：①当n＝1时，易知命题成立；
②假设当时，命题成立，即．
则当时，
，
即时，命题也成立．
由①②可知，．
16．能被自然数6，1，2，3整除;证明见解析
先分别用n取1,2,3,4时验证，则可猜想：可以被6整除，利用数学归纳法证明即可．
时，原式，时，原式，时，原式，时，原式，这些数都可以被6整除，所以猜想：可以被6整除，那么也可被1，2,3整除；
证明：（1）当时，，命题显然成立；
（2）假设当时，能被6整除．
当时，，
其中两个连续自然数之积是偶数，它的3倍能被6整除，
由假设知能被6整除,
故，，6分别能被6整除，
所以当时，命题也成立．
据（1）（2），可知可以被6整除．
故能被自然数6,，1，2，3整除.
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