5.1导数的概念及其意义 同步巩固练 2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性必修第二册

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5.1导数的概念及其意义 同步巩固练
2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性必修第二册
一、单选题
1．函数在处的瞬时变化率为（ ）
A． B． C． D．
2．已知函数在处的导数为，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知函数的图象在点处的切线方程是，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．函数的图象如图所示，是函数的导函数，则下列数值排序正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．质点M按规律s＝2t2＋3t做直线运动（位移单位：m，时间单位：s），则质点M在t＝2 s时的瞬时速度是（ ）
A．2 m/s B．6 m/s
C．4 m/s D．11 m/s
6．函数，则自变量从变到时函数值的增量为（ ）
A． B．
C． D．
7．已知函数，若，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知抛物线上一点P，则在点P处的切线的倾斜角为（ ）
A．30° B．45°
C．135° D．165°
二、填空题
9．函数在上的平均变化率为，在的平均变化率为，则二者的大小关系是 ．
10．已知函数的导函数为，且，，则实数t的值为 .
11．已知曲线y＝f（x）在点M（2，f（2））处的切线方程是y＝2x+3，则f（2）+f′（2）的值为 ．
12．将半径为R的球加热，若半径从R＝1到R＝m时球的体积膨胀率为，则m的值为 ．
13．已知二次函数y＝f(x)的图象如图所示，则y＝f(x)在A，B两点处的导数与的大小关系为： (填“＜”或“＞”)．
三、解答题
14．已知，求曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积S．
15．已知曲线
(1)求过点的切线方程；
(2)求满足斜率为的曲线的切线方程.
16．已知函数y＝f(x)在点x0处可导，试求下列各极限的值．
（1） ；
（2） .
17．设曲线和在其交点处两切线的夹角为，求.
18．已知函数.
(1)利用导数的定义求导函数；
(2)求曲线在点处的切线的方程.
参考答案
1．C
利用瞬时变化率的定义可求得结果.
因为，
所以，函数在处的瞬时变化率为
.
故选：C.
2．A
根据已知条件及函数在导数的定义即可求解.
由题意得函数在处的导数
，
故A项正确.
故选：A.
3．A
根据切线方程可得切点为，结合导数的几何意义求出，进而计算即可.
易得切点，所以，，即.所以.
故选：A
4．A
由图象的变化趋势，结合导数的几何意义有，即可得结果.
由图知：，即.
故选：A.
5．D
本题首先分析题意，运用物理知识，进行数学结合.
质点M在t＝2 s时位移的平均变化率为＝＝11＋2Δt，
当Δt无限趋近于0时，无限趋近于11 m/s.
故选：D.
6．C
根据变量的增量的定义进行计算．
因为 ，所以，故C项正确.
故选：C.
7．B
根据题意，利用导数的定义，求得，列出方程，即可求解.
由函数，
则，
所以，解得.
故选：B.
8．B
利用导数求得切线的斜率，由此求得倾斜角.
，
，
所以在点处切线的斜率为，
故切线的倾斜角为45°.
故选：B
9．
根据平均变化率公式得到，，再根据比较大小.
由题意，
，
，
所以，
故答案为：.
10．/
根据导数的知识列方程，化简求得的值.
依题意，
即，解得.
故答案为：
11．9
根据导数的几何意义，进行求解即可．
y＝f（x）在点M（2，f（2））处的切线方程是y＝2x+3，
∴f（2）＝2×2+3＝4+3＝7，
切线的斜率k＝2，即f′（2）＝2，
则f（2）+f′（2）＝7+2＝9，
故答案为：9
12．
求出体积的增加量，求出体积膨胀率，根据已知，列出，求解即可得出答案.
体积的增加量，
所以，.
由已知可得，，
所以，，解得或（舍去）.
故答案为：.
13．＞
根据导数的几何意义可得正确的选项.
与分别表示函数图象在点A，B处的切线斜率，由图象可得．
故答案为：＞.
14．.
根据导数的定义可求出，根据导数的几何意义，可得，进而求出切线方程以及切线与两坐标轴的交点坐标，即可求出结果.
，
根据导数的概念可得，
，
所以，则，
根据导数的几何意义可得，曲线在点处的切线的斜率，
所以曲线在点处的切线的方程为，即．
令，得；令，得．
由此知该切线与两条坐标轴的交点分别为与，所以所求三角形的面积．
15．(1)
(2)或
（1）根据导数的定义求出函数的导函数，设过点的切线的切点为，再根据导数的几何意义即可得解；
（2）设斜率为的切线的切点为，根据导数的几何意义求出参数，从而可得出答案.
（1），
设过点的切线的切点为，
则，即该切线的斜率，
因为点，在切线上，所以，
解得，故切线的斜率，
故曲线过点的切线方程为，即；
（2）设斜率为的切线的切点为，
由（1），知，得，
所以切点坐标为或，
故满足斜率为的曲线的切线方程为或，
即或.
16．（1）－f′(x0)；（2）f′(x0).
（1）利用导数的定义即可求解.
（2）利用导数的定义即可求解.
（1）原式＝
＝ (Δx→0时，－Δx→0)
＝－f′(x0)．
（2）原式＝
＝
＝[f′(x0)＋f′(x0)]＝f′(x0)．
17．
要求的值，必须先求出两曲线的交点，再利用导数分别求出在交点处两曲线切线的斜率，设出两切线的方向向量，通过向量的数量积可求得.
由，得，即，
得，即交点坐标为，
因为
所以曲线在交点处的切线的方程为，即，
又因为，
所以曲线在交点处的切线的方程为，即，
取切线的方向向量为，切线的方向向量为，
则.
18．(1)
(2)
（1）利用导数的定义可求得；
（2）分析可知点在曲线上，求出的值，利用到导数的几何意义可求得所求直线的方程.
（1）解：因为
，
所以，.
（2）解：因为，故点在曲线上，
又因为，
所以，曲线在点处的切线的方程为，即.
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