5.2导数的运算 同步巩固练 2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性必修第二册

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5.2导数的运算 同步巩固练
2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性必修第二册
一、单选题
1．下列各式中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知函数，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知函数与的图象关于直线对称，直线与的图象均相切，则的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
4．抛物线y＝x2＋bx＋c在点(1，2)处的切线与其平行直线bx＋y＋c＝0间的距离是（ ）
A． B．
C． D．
5．下列四组函数中，导数相等的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
6．若存在过点的直线与曲线和都相切，则的值为（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
7．函数的导数=（ ）
A． B． C． D．
8．已知直线与曲线在点处的切线垂直，则直线的斜率为（ ）
A．-1 B．1 C． D．2
9．若曲线的一条切线与直线垂直，则切线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
10．若点是函数图象上的动点（其中是自然对数的底数），则到直线的距离最小值为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
11．设函数，则 ．
12．曲线在处的切线方程为 ．
13．若直线是曲线与曲线的公切线，则 ．
14．设点在曲线上，点在曲线上，则的最小值为 .
15．已知函数是奇函数，则曲线在点处的切线方程为 ．
16．已知，则函数的导数为 ．
17．设函数，若，则 .
18．曲线在点处的切线与坐标轴围成的图形的面积为 .
19．设点在曲线上，在直线上，则的最小值 .
三、解答题
20．点P在曲线上，且曲线在点P处的切线与曲线相切，求点P的坐标．
21．已知函数，．
（1）若曲线与曲线在处的切线的斜率相同，求a的值；
（2）若存在曲线与曲线在同一点处的切线的斜率相同，求实数a的取值范围．
22．求下列函数的导函数．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
参考答案
1．D
利用基本初等函数求导公式得到答案.
AB选项，，AB错误；
CD选项，，C错误，D正确.
故选：D
2．D
根据复合函数的求导公式计算即可.
令，
则.
故选：D.
3．B
根据与的图象关于直线对称，得到，设直线与函数的图象的切点坐标为，与函数的图象的切点坐标为，由斜率相等得到，然后再利用斜率和倾斜角的关系求解.
解：因为函数与的图象关于直线对称，
所以与互为反函数，所以，
则．由，得，
设直线与函数的图象的切点坐标为，
与函数的图象的切点坐标为，
则直线的斜率，故，
显然，故，
所以直线的倾斜角为，
故选：B．
4．C
求出，进而可得结果.
抛物线过点(1，2)，∴b＋c＝1．
又∵＝2＋b，由题意得2＋b＝－b，
∴b＝－1，c＝2．
∴所求的切线方程为y－2＝x－1，即x－y＋1＝0，
∴两平行直线x－y＋1＝0和x－y－2＝0间的距离．
故选：C.
5．D
根据导数的运算逐项判断即可.
对于A，，，故A不正确；
对于B，， 故B不正确；
对于C，，故C不正确；
对于D，，故D正确.
故选:D.
6．A
设切点坐标为，利用导数求出曲线在点处的切线方程，将点的坐标代入切线方程，求出的方程，可得出切线方程，再将切线方程与二次函数的解析式联立，由可求得实数的值.
对于函数，，则曲线在点的切线斜率为，
所以，曲线在点处的切线方程为，即，
由于直线过点，可得，解得或.
当时，切线为轴，对于函数，则，解得；
当时，切线方程为，联立，整理得，
，由题意可得，解得.
综上所述，或.
故选：A.
本题考查过点与曲线相切的切线方程的求解，考查计算能力，属于中等题.
7．A
利用基本初等函数导数公式求解即可.
由，得，
故选：A.
8．C
可得，得到，进而求得直线的斜率，得到答案.
由函数，可得，
则，所以直线的斜率为.
故选：C．
9．D
先设出切点，根据切线与直线垂直，得到切线的斜率，再根据导数的几何意义列出方程，即可求出切点坐标，再由点斜式求出切线方程．
解：设切点为，，
切线与直线垂直，
切线的斜率为，
又，所以，，解得，
，即切点，
由点斜式可得，切线方程为：，即．
故选：．
10．A
设，，设与平行且与相切的直线与切于，由导数的几何意义可求出点的坐标，则到直线的距离最小值为点到直线的距离，再求解即可.
解：设，，
设与平行且与相切的直线与切于
所以．
所以
则到直线的距离为，
即到直线的距离最小值为，
故选：A．
11．
根据函数求导法则求导后，即可计算出结果.
因为，
所以.
故答案为：.
12．
先求解出，然后可求切线的点斜式方程，再将其转化为一般式方程即可.
因为，所以，
所以切线方程为，即为，
故答案为：.
13．5
由直线是曲线的切线求解，可得切线方程，再设直线与曲线的切点，由切点处的导数值等于切线的斜率，且切点处的函数值相等列式求解n，则答案可求．
由，得，由，解得，
则直线与曲线相切于点，
∴，得，
∴直线是曲线的切线，
由，得，设切点为，
则，且，联立可得，
解得，所以．
∴．
故答案为：5．
14．/
根据与互为反函数，的最小值为P或Q中一个点到的最短距离的两倍，求其最小值即可得出答案.
由，得：，.
所以与互为反函数．
则它们的图象关于对称．
要使的距离最小，则线段垂直直线.
点在曲线上，点Q在曲线上，
设，.
又P，Q的距离为P或Q中一个点到的最短距离的两倍．
以Q点为例，Q点到直线的最短距离
所以当，即时，d取得最小值，
则的最小值等于.
故答案为：
15．
先根据函数的奇偶性求出再利用导数的几何意义求解斜率，最后点斜式写出直线方程.
由题意函数为奇函数可知
所以，所以，
则函数可化为，
则，
则由导数得几何意义可知曲线在点(0，0)处的切线斜率为-1.
所以曲线在点处的切线方程为
故答案为: .
16．，
求出的解析式，根据导数的运算法则求解即可.
∵，∴，
∴
故答案为：，.
17．1
根据函数求导法则，建立方程，可得答案.
由题意可知，且，则，
整理可得，解得.
故答案为：.
18．/0.25
先求出切线方程，后求围成的三角形面积即可.
易知的定义域为，而，故切点为，
设切线斜率为，且，故，
切线方程为，化简得，
当时，，当时，，
易知围成的图形是三角形，设面积为，故.
故答案为：
19．
当曲线在点处的切线与直线平行时，最小，最小值为切线与直线之间的距离，即切点到直线的距离，先根据导数的几何意义求出切点坐标，再利用点到直线的距离公式进行求值.
函数的定义域为，求导得，
当曲线在点处的切线与直线平行时，最小，最小值为切线与直线之间的距离，即切点到直线的距离.
设，由导数的几何意义，可得，解得（舍去），
故切点为，点到直线的距离
所以的最小值为
故答案为：
结论点睛：本题考查利用导数的几何意义研究曲线上某点的切线方程，需要注意：
（1）已知切点求斜率，即求该点处的导数值：；
（2）已知斜率，求切点，即解方程；
（3）已知过某点(不是切点)的切线斜率为时，常需设出切点，利用＝求解.
20．或..
设出点坐标，求出在点P处的切线方程，与曲线联立方程，令判别式等于零可求解.
设，则，，
所以曲线在点P处的切线为，即，
而此直线与曲线相切，所以切线与曲线只有一个公共点，
由得，
则，解得，则，
所以点P的坐标为或..
21．（1）；（2）
（1）由导数的几何意义知，即可求解；
（2）设切点为，，则，分离转化为有解问题即可求解.
（1）由可得，
所以曲线在处的切线的斜率为，
由可得，
所以曲线在处的切线的斜率为，
因为曲线与曲线在处的切线的斜率相同，
所以，即，得．
（2）设切点为，，
由题意得，即，
则，
当且仅当，即时，等号成立，
故实数的取值范围为.
22．(1)
(2)．
(3)
(4)
根据求导公式及导数的运算法则进行求导即可.
（1）.
（2）.
（3）因为，
所以.
（4）因为，
所以.
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