5.3.1函数的单调性 同步巩固练 2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性必修第二册

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5.3.1函数的单调性 同步巩固练
2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性必修第二册
一、单选题
1．函数的单调递减区间为（ ）
A． B．
C． D．
2．设是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象最有可能的是（ ）
A． B．
C． D．
3．若函数在区间单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数的定义域为，，其导函数满足，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
5．已知函数为偶函数，定义域为R，当时，，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
6．已知在上是可导函数，的图象如图所示，则不等式的解集为（ ）

A． B．
C． D．
7．函数的导函数的图象如图所示，则下列判断中正确的 （　　）

A．在上单调递增
B．在上单调递减
C．在上单调递减
D．在上单调递增
8．已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围为（ ）．
A． B．
C． D．
9．已知定义在上的函数的导函数为，且对任意都有，，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
10．已知定义在上的函数的导函数为，若，且，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．已知函数，则函数的单调递增区间是 ．
12．已知定义域为上的函数，它的导函数的图象如图所示，则函数的单调减区间是 ．
13．已知函数在区间上单调递增，则实数m的取值范围是 ．
14．设，分别是定义域为的奇函数和偶函数，当时，且，则不等式的解集为 .
三、解答题
15．已知函数．讨论的单调性.
16．已知函数.
(1)若，求实数的值;
(2)求函数的单调区间.
17．已知函数
(1)若函数在处的切线与直线垂直，求实数a的值；
(2)讨论函数的单调性．
18．已知函数.
(1)在上是增函数，求a的取值范围；
(2)讨论函数的单调性．
参考答案
1．C
求出定义域后再求导，根据导函数小于0求出单调递减区间即可得．
的定义域为，
，
由，可得，
故的单调递减区间为．
故选：C．
2．C
根据导函数的图象可得的单调性，即可结合选项求解.
由的图象可知：当和时，，所以单调递增，当时，，所以单调递减，
结合选项可知，只有C中函数符合要求，
故选：C
3．A
函数在区间上单调递增，转化为导函数在该区间上大于等于0恒成立，进而求出结果.
由题意得：在区间上恒成立，而，所以.
故选：A
4．B
构造函数，判定其单调性计算即可.
根据题意可令，
所以在上单调递减，
则原不等式等价于，
由，
解之得.
故选：B
5．B
根据导函数小于0，得到偶函数在上单调递减，从而对不等式变形后得到，解出解集.
因为当时，，故偶函数在上单调递减，
故变形为：，
所以，显然不满足不等式，
解得：，故.
故选：B
6．D
根据给定图象，求出和的解集，再求解给定不等式作答.
由题图可知，且当和时，，
当时，，则原不等式等价于，
等价于或，
等价于或，
解得:或或．
故选：D．
7．C
由的增减性与的正负之间的关系进行判断，
时，，故在上单调递减，
时，，故在上单调递增，
当时，，故在上单调递减，
当时，，故在上单调递增，
显然C正确，其他选项错误.
故选：C.
8．D
根据题意参变分离得到，求出的最小值，进而求出实数a的取值范围.
由题意得：在上恒成立，即，其中在处取得最小值，，所以，解得：，
故选：D
9．A
令，利用导数法判断其单调性，再利用其单调性解不等式.
解：令，
则，
所以在R上递增，
又，
则不等式等价于，
所以，
故选：A
10．A
设，求导可得在上单调递减，再根据转化为，再结合的单调性求解即可.
设，则.
因为，所以，即，
所以在上单调递减.
不等式等价于不等式，即.
因为，所以，所以.
因为在上单调递减，所以，解得
故选：A
11．
利用导数法求单调区间即可
函数，其定义域，
则在恒成立，
所以函数 的单调递增区间是.
故答案为：.
12．
根据导数符号与原函数单调性之间的关系结合导函数的图象可得出函数的单调递减区间.
观察图象可得当时，，
当时，，
当时，，
所以函数的单调递减区间为.
故答案为：.
13．
求出函数的导数，问题转化为在上恒成立，令，利用导数求出的最大值即可.
，
若函数在区间上单调递增，则在上恒成立，
即在上恒成立，即在上恒成立，
令，∴，
当时，，，则，
∴在区间上单调递增，∴，
∴，则实数m的取值范围是.
故答案为：.
14．
构造函数，由已知条件判断导数的符号从而判断的单调性，结合函数奇偶性及零点即可得解.
设，，
因为是定义域为的奇函数，
所以，
即当时，，单调递增，
由已知得为奇函数，且在，上均为增函数，
因为，所以的解集为.
故答案为：
15．答案见解析
求出函数的导数，再分类讨论求出大于0、小于0的解集得解.
函数的定义域为，求导得，
当时，由，得，则在上单调递减，
由，得，则在上单调递增；
当时，在上恒成立，则在上单调递增；
当时，由，得，则在上单调递减，
由，得，则在上单调递增；
所以当时，的减区间为，的增区间为；
当时，的增区间为，无减区间；
当时，的减区间为的增区间为．
16．(1)
(2)当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；
当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.
（1）借助导数运算即可求解；
（2）求导，判断导数的符号，令导数大于0，求单调递增区间；令导数小于0，求单调递减区间.
（1），
因为，
所以.
（2）函数的定义域为.
，
当时，恒成立，
所以的单调递增区间为，无单调递减区间；
当时，令解得，
的解集为，
的解集为，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为.
综上所述：当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；
当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.
17．(1)
(2)答案见解析
（1）由导数的几何意义以及导数的运算直线垂直的代数性质即可得解.
（2）首先讨论时的情况，其次若，令，解得，
结合对进行分类讨论即可.
（1）由题意，若函数在处的切线与直线垂直，
则，解得.
（2）由题意，
所以若，则，
所以此时在定义域内单调递增；
若，令，解得，
若，则当时，，此时单调递增，
当时，，此时单调递减，
当时，，此时单调递增；
若，则当时，，此时单调递减，
当时，，此时单调递增；
综上所述，若，在定义域内单调递增；
若，则当时， 单调递增，
当时， 单调递减，
当时， 单调递增；
若，则当时， 单调递减，
当时， 单调递增.
18．(1)
(2)答案见解析
（1）利用导数与函数的关系得到在上恒成立，从而得解；
（2）首先求出定义域，再求出导函数，分和两种情况，求出函数的单调区间.
（1）因为，所以的定义域为，
则，
因为在上是增函数，即在上恒成立，
则在上恒成立，
因为在上恒成立，所以在上恒成立，
即在上恒成立，即，
因为，所以，则，
所以，则.
（2）由（1）得，
当时，，则在上是增函数；
当时，，
所以；
或；
，
所以在上是减函数，在和上是增函数.
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