5.3.2函数的极值 同步巩固练 2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性必修第二册

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5．3．2．1函数的极值 同步巩固练
2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性必修第二册
一、单选题
1．函数有（ ）
A．极小值0，极大值2 B．极小值，极大值4
C．极小值，极大值3 D．极小值2，极大值3
2．已知函数在处取得极值5，则（ ）
A． B． C．3 D．7
3．已知函数 有两个极值点，求的范围（ ）．
A． B． C． D．
4．已知函数为连续可导函数，的图像如图所示，以下命题正确的是（ ）

A．是函数的极大值 B．是函数的极小值
C．在区间上单调递增 D．的零点是和
5．若函数不存在极值，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．若函数在上有极值，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数，有大于零的极值点，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
8．当是函数的极小值点，则的值为（ ）
A． B． C．或 D．或
9．若函数不存在极值点，则实数m的取值范围是（ ）
A．（，+∞） B．（－∞，）
C．[，+∞） D．（－∞，]
10．已知在处的极大值为5，则（ ）
A． B．6
C．或6 D．或2
11．已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ）
A．是函数的极小值点
B．是函数的极大值点
C．函数在上单调递增
D．函数在处的切线斜率小于零
二、多选题
12．如图所示是的导数的图象，下列结论中正确的有（ ）．
A．的单调递增区间是
B．是的极小值点
C．在区间上单调递减，在区间上单调递增
D．是的极小值点
三、填空题
13．已知函数，则的极大值为
14．如图是的导函数的图象，现有四种说法．
（1）在上是增函数，（2）是的极小值点
（3） 在上是增函数，（4）是的极小值点
以上说法正确的序号是
15．已知函数的导函数为，函数的图象如图所示，则在 处取得极大值，在 处取得极小值.
16．已知函数在处取得极小值10，则的值为 .
17．若函数在区间上有极值点，则实数a的取值范围为 ．
18．函数的导函数的图象如图所示，则下列命题正确的有 .
①为函数的单调递增区间；
②为函数的单调递减区间；
③函数在处取得极大值；
④函数在处取得极小值.
四、解答题
19．求下列函数的极值：
(1)；
(2)
(3)；
(4).
20．设，曲线在点处取得极值．
(1)求a的值：
(2)求函数的单调区间、极值；并求其区间上的最值．（）
参考答案
1．D
求出导函数，令导函数为并求根，判断根左右两侧的符号，根据极值定义求出极值即可．
易知，
令，则或，
当时，，即在内单调递增，
当时，，在内单调递减，
当时，，在内单调递增，
所以当时，函数有极大值，
当时，函数有极小值．
故选：D．
2．A
求出函数的导数，得到关于,的方程组，解出即可．
函数，
则，
因为在处取极值5，
所以，解得：，
经检验满足题意.
故.
故选：A
3．B
原问题等价于导函数有2个零点，求导，参数分离，构造新函数，根据新函数的值域求解.
，有2个极值点等价于有2个零点，令 ，
有，令，则 ，
当时，单调递减，当时，单调递增， 在时，取得极大值也是最大值，
当x趋于时，趋于，当x趋于时，趋于0，函数大致图像如下图：
所以，a的取值范围是 ；
故选：B.
4．B
根据题意结合导数判断的单调性，进而逐项分析判断.
因为，
由图可知：，；或，；
且或，；，；
可得或，；，；
且函数为连续可导函数，
则在内单调递减，在内单调递增，
可知有且仅有一个极小值，无极大值，故AC错误，B正确；
由于不知的解析式，故不能确定的零点，故D错误；
故选：B.
5．A
由题意函数不存在极值，则在上恒成立，从而可解.
函数，
则，
因为函数不存在极值，则在上恒成立，
则，得.
故选：A
6．D
由题意可得在上有零点，即在上有实数根，利用基本不等式求出的最小值，可得，再验证是否满足即可.
的定义域为，，
要函数在上有极值，
则在上有零点，即在上有实数根.
令，
则，当且仅当时等号成立，
所以.
当时，，函数单调递增，
则函数在上没有极值，
故.
故选:D.
7．D
由极值点的定义结合函数与方程参变分离即可求解.
由题意有正根，即方程有正根，
而当时，，所以的取值范围为.
故选：D.
8．A
由是函数的极小值点，则对求导，然后利用并结合极小值点左右导数值的知识即可求解.
对函数求导得：，
又由是函数的极小值点，
所以，
即，解得或，
当时，，
当时，，在区间单调递减，
当时，，在区间单调递增，
所以是的极小值点，故满足题意；
当时，，
当时，，在区间单调递增，
当时，，在区间单调递减，
所以是的极大值点，故不满足题意.
综上所述：，故A项正确.
故选：A.
9．C
根据给定条件，利用导数结合单调性建立不等式，即可求解作答.
函数不存在极值点,s
由函数求导得：，
因函数是R上的单调函数，而抛物线开口向上，
因此有，恒成立，于是得，解得，
所以实数m的取值范围是.
故选：C.
10．B
求出函数的导数，利用极大值及极大值点求出并验证即得.
函数，求导得，
依题意，，即，解得或，
当时，，
当或时，，当时，，因此在处取得极小值，不符题意；
当时，，
当时，，当或时，，因此在处取得极大值，符合题意，
所以，所以.
故选：B
11．C
根据导函数图象，求得函数单调性，结合极值点定义，即可容易判断选择.
由图象得时，，时，，
故在单调递减，在单调递增，
故是函数的极小值点，即选项A、B错误，C正确；
对选项D：显然，故D错误.
故选：C．
12．BC
利用导数的正负与函数的单调性的关系，结合函数的极值与极值点的定义即可求解.
由导函数的图象可知，当或时，；当或时，；
所以的单调递增区间为和，单调递减区间为和.故A错误，C正确；
所以或是的极小值点；故B正确；
所以是取得极大值点；故D错误.
故选：BC.
13．
求出函数导数，令导数等于0，判断出极大值点，进而求得极大值，即得答案.
由函数得函数，
令，则或，
当时，，当时，，当时，
故为函数的极大值点，极大值为，
故答案为：
14．（2），（3）
利用函数的导数的图象，对选项逐一判断即可.
由函数的图象可知：，，
在上不是增函数，不正确；
时，函数在递减，
在递增，是的极小值点；所以正确；
在上，函数是增函数，所以正确；
函数在递增，在递减，是的极大值点，所以D不正确．
故答案为：
本题主要考查函数的图象的应用，导数与函数的图象的区别，函数的极值以及函数的单调性的判断，属于中档题．
15．
结合图象说明当或时，，当或时，，且，由此确定函数的极值点.
由图象可得当时，，所以，
当时，，所以，
当时，，所以，
当时，，所以，
又，，所以，
所以时函数取极小值，当时函数取极大值.
故答案为：；.
16．
题意说明，，由此可求得的值．然后代入检验1是极小值点．
，由题意，
解得或，
若，，不是极值点，舍去．
若时，，
当时，，当或时，，
是极大值点，是极小值点，满足题意．
∴．
故答案为：.
17．
由题意可得在区间上有变号零点，则可得，从而可求得a的取值范围.
解：函数在区间上有极值点，
所以在区间上有变号零点．
且函数在区间上单调，所以，即，
解得．
故答案为：．
18．②④
由导函数图象可知为的单调递增区间，为的单调递减区间，可知①错误，②正确；由可知③错误；根据且在处函数单调性发生变化，由极小值定义可确定④正确.
①当时，由图象知，可知的一个单调递增区间为
在上单调递增，但并非完整的单调递增区间，①错误；
②当时，由图象知，可知的一个单调递减区间为，②正确；
③由图象知 不是的极值点，③错误；
④由图像知，且在上，在上
即在上单调递减，在上单调递增 是的极小值点.
故答案为：②④
本题考查根据导函数图象研究原函数的性质，涉及到单调区间的判断、极值点的确定等知识；关键是能够熟练掌握导函数与原函数单调性之间的关系以及极值点的定义.
19．(1)极小值为1，无极大值
(2)极小值为3，无极大值.
(3)极大值；极小值；
(4)极小值，没有极大值．
求出函数的定义域以及导函数，根据导函数即可得出函数的极值.
（1）因为，定义域是R，
所以.
解可得，或.
由可得，所以在上单调递增；
当时，恒成立，所以在单调递减.
所以时，取得极小值为，无极大值.
（2）函数的定义域为，.
解可得，.
由可得，所以在上单调递增；
由可得，所以在单调递减.
所以时，取得极小值为，无极大值.
（3）函数的定义域是R，，
令，解得或，
当变化时，、的变化情况如下表：
0 0
极大值 极小值
由表可知，函数的极大值为；的极小值为.
（4）函数的定义域为，.
令，得.
当变化时，、的变化情况如下表：
0
极小值
由表可知，的极小值为，且没有极大值．
20．(1)
(2)答案见解析
（1）依题意得到，从而求得，再进行检验即可得解；
（2）结合（1）中结论，易得的单调区间和极值，进而可得其区间上的最值，由此得解.
（1）因为，
所以，
因为在点处取得极值，
所以，则，解得，
当时，，
令，得或；令，得；
所以在和上单调递减，在上单调递增，
故在处取得极大值，满足要求，
所以.
（2）由（1）可知，，
且在和上单调递减，在上单调递增，
故的极大值为，
的极小值为，
所以在上单调递增，上单调递减，
因为，，，
又，
所以在上的最大值为，最小值为.
易错点睛：本题第1小题非常容易犯的错误是求得参数后，没有进行检验，这样并不能保证求得的参数一定满足条件.
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