5.3.2函数的最大（小）值 同步巩固练 2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性必修第二册
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| 名称 | 5.3.2函数的最大（小）值 同步巩固练 2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性必修第二册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.2MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-03-27 16:06:22 | ||
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文档简介
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5.3.2.2函数的最大（小）值 同步巩固练
2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性必修第二册
一、单选题
1．函数在上的值域为（ ）
A． B． C． D．
2．已知函数，，在区间上有最大值，则实数t的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．若函数大于0的零点有且只有一个，则实数的值为（ ）
A．4 B． C． D．
4．已知六棱锥的所有顶点都在半径为2的球的球面上，当六棱锥的体积最大时，其侧棱长为（ ）
A． B． C． D．
5．函数，若在上有最小值，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．函数在区间上的（ ）
A．最小值为0，最大值为
B．最小值为0，最大值为
C．最小值为，最大值为
D．最小值为0，最大值为2
7．已知函数在区间上有最小值，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
8．若函数有两个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．某工厂生产一种产品，每个月的固定成本为元，每生产一件产品，成本增加元．已知每个月该工厂的销售额与月产量的关系是，，则该工厂每个月的利润的最大值为（ ）
A． 元 B． 元 C． 元 D． 元
二、填空题
10．函数的最小值是 ．
11．已知函数在区间上存在最小值，则实数的取值范围是 .
12．若函数有零点，则实数的取值范围是 .
13．甲、乙两地相距240 km，汽车从甲地以速度v(km/h)匀速行驶到乙地.已知汽车每小时的运输成本由固定成本和可变成本组成，固定成本为160元，可变成本为v3元.为使全程运输成本最小，汽车应以 km/h的速度行驶.
14．函数，的最小值为 ．
15．设，若函数在上的最大值与最小值之差为2，则实数的取值范围是 ．
16．已知函数，若函数恰有三个零点，则实数的取值范围是 .
三、解答题
17．已知函数．
(1)求的解析式；
(2)讨论在上的零点个数．
18．已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求证：．
19．已知函数
(1)讨论的单调性；
(2)当时，证明
20．已知函数
(1)当时，求过点的切线方程；
(2)求函数在区间的最小值．
21．已知函数在上的最小值为，求a的值.
22．已知函数.
(1)讨论的最值；
(2)设，若恰有个零点，求实数的取值范围.
23．已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)证明：当时，.
24．已知
(1)求的极值点；
(2)求证：.
25．已知某商品的成本和产量满足关系（元），该商品的销售单价和产量满足关系式（元），记该商品的利润为（假设生产的商品能全部售出，利润=销售额-成本）．
(1)将利润（元）表示为产量的函数；
(2)当产量为多少时，可获得最大利润？最大利润是多少万元？
26．已知函数．
(1)求函数的极值；
(2)求证：．
参考答案
1．A
求导，得到函数的单调性，从而得到函数的最值，得到值域.
由题意得，
当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
所以在处取得极小值，也是最小值，故，
因为，所以．
故所求的值域为．
故选：A
2．B
利用导数求出函数单调性，据此知函数有极大值，根据函数在开区间上有最大值可知，区间含极大值点
，
当或时，，当时，，
所以函数在，上递增函数，在上递减函数，
故时函数有极大值，且，
所以当函数在上有最大值，则且，
即，解得.
故选：B.
3．D
根据题意，函数有且仅有一个正零点，转化为方程有且仅有一个正根，令，利用导数研究函数单调性、极值，数形结合判断得解.
函数有且仅有一个正零点，即方程有且仅有一个正根，
令，则，
当时，，当时，，当时，，
即函数在和上单调递增，在上单调递减，且，
时，，时，，时，，可作出图象如下，
方程有且仅有一个正根，所以.
故选：D.
4．A
由该六棱锥为正六棱锥时，其体积最大结合体积公式得出，利用导数得出体积最大值，进而得出侧棱长.
由题意知，六棱锥的底面六边形的顶点在同一个截面圆上．
易知当六边形为正六边形时，其面积最大．要使六棱锥的体积最大，则该六棱锥为正六棱锥．
不妨设正六边形的边长为，六棱锥的高为，
则正六边形的外接圆的半径为．
由球的性质可知，，则，
所以正六棱锥的体积．
设，则．
当时，，当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减．
当时，取得最大值，即时，取得最大值，此时，
所以正六棱锥的侧棱长．
故选：A．
关键点睛：当圆内接多边形为正多边形时，多边形的面积最大；当球的内接多棱锥为正多棱锥（如上题）时，该多棱锥的体积最大．
5．A
求得导数，当时，得到在上单调递减，不符合题意；
当时，结合函数与的图象，得到存在，使得，结合函数的单调性，即可求解.
由题意，函数，可得，
若时，当时，可得，在上单调递减，
此时函数在没有最小值，不符合题意；
当时，令，即，即与的交点，
画出函数与的图象，如图所示，
结合图象，可得存在，使得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
此时函数在上有最小值，符合题意，
综上可得，实数a的取值范围是.
故选：A.
6．B
先求得函数的导数，进而得到在区间上单调性，即可求得在区间上最小值和最大值.
，所以在区间上单调递增，
因此的最小值为，最大值为.
故选：B
7．A
根据导数确定函数的单调性，导函数的正负确定单调性进而取最值可求.
由得，由于均为单调递增函数，故在单调递增，因为在有最小值，故
故选：A
8．D
将零点问题切换成函数图像交点，再利用导数研究函数的单调性及参数的取值范围.
法一：设，则函数有两个零点转化为函数的图像与直线有两个交点，
因为，当时，；当时，，
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，则，
当时，；当时，，则，解得，即实数的取值范围是.
法二：函数有两个零点可转化为函数的图像与直线有两个交点．
因为函数的图像与轴交于点，且函数在点处的切线方程为，
所以直线与该切线平行，且该直线与轴交于点，
所以点在点上方，即，解得，即实数的取值范围是．
故选：D．
9．C
根据给定条件，求出利润的函数关系，再利用导数求出函数最大值作答.
设每个月该工厂的利润为，
则（），
求导得，当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
则当时，取得最大值，
所以该工厂每个月的利润的最大值为元．
故选：C
10．
利用导数的性质进行求解即可.
由，
当时，单调递增，
当时，单调递减，
因此，
故答案为：
11．
由题意可知，函数在区间上存在极小值，分和两种情况讨论，分析函数在区间上的单调性，在时求出函数的极值点，可得出，解出即可.
，.
当时，对任意的，，此时，函数在区间上为增函数，则函数在区间上没有最小值；
当时，令，可得，
当时，，当时，，
此时，函数的极小值点为，由题意可得，解得.
因此，实数的取值范围是.
故答案为：.
本题考查利用函数的最值点求参数，解题时要熟悉函数的最值与导数之间的关系，考查运算求解能力，属于中等题.
12．
将问题转化为，构造函数，利用导数研究的图像性质，结合图像即可得解.
由题易得函数的定义域为
函数有零点，等价于有实数根，即，
令，则，
令，得；令，得；
则在上单调递增，在上单调递减，
且，当时，，当时，，
画出与的大致图像，如图，
结合图像，易知，即
故答案为：.
13．80
根据汽车每小时的运输成本由固定成本和可变成本组成，固定成本为160元，可变成本为元，可构建函数，利用导数可求函数的极值，极值就是最值．
解：设全程运输成本为元，
由题意，得，，
．
令，得．
当时，；当时，．
所以函数在上递减，在上递增，
所以 km/h时，．
故答案为：80.
14．
求导，研究导函数的符号，得到原函数单调性情况从而得到最值情况.
因为，所以．
令，则．
所以当时，，故在上单调递增．
所以当时，，即，所以在上单调递增．
故当时，取得最小值.
故答案为：
15．
设，结合导数可得函数的值域为，最大值与最小值之差为2，从而得到函数的值域为，最大值与最小值之差也为2．然后根据题意可得或，于是可得所求的范围．
设，
则，
所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增．
∵，，，
∴函数的值域为，最大值与最小值之差为2，
∴函数的值域为，最大值与最小值之差也为2．
∵函数在上的最大值与最小值之差为2，
∴或，
解得或.
∴实数的取值范围为．
故答案为．
本题考查用导数研究函数的最值问题，具有综合性和难度，解题的关键是注意将问题进行合理的转化．
16．
根据导函数研究函数的单调性，从而画出的图象，
函数恰有三个零点，可转化为函数与有三个交点，
数形结合求出与，相切的直线斜率，从而求出的取值范围.
当时，，
，在上恒成立，且在时，等号成立，
所以在上单调递增，且，
当时，单调递减，且，
函数恰有三个零点，可转化为函数与有三个交点，
画出的图象，所图所示：
设直线与，相切时切点为，
则，
又根据斜率公式可得：，
所以，解得：或，
当时，，
当时，，
所以要想函数与有三个交点，
直线斜率要介于两切线斜率之间，故
故答案为：
17．(1)
(2)2
（1）对函数求导后令可得，即可求得；
（2）根据函数解析式对自变量进行分类讨论，易知是其中一个零点，再通过构造函数利用零点存在定理即可得出在上有2个零点．
（1）（1）．
令可得，解得．
所以．
（2）由（1）中可得，
①当时，有，，
所以恒成立，
所以在上单调递减，，
即可得0是的一个零点．
②当时，
设，则恒成立，
即在上单调递增．
又，，
根据零点存在定理可知，使得．
当时，，所以在上单调递减；
当时，，所以在上单调递增．
又，所以．
因为，
根据零点存在定理可知，使得．
综上所述，在上的零点个数为2．
方法点睛：求解零点个数问题时要充分利用函数特征，由导函数判断出其单调性并结合零点存在定理即可得出零点个数.
18．(1)
(2)证明见解析
（1）利用导数的几何意义求解即可；
（2）首先将题意转化为证明，令，利用导数求出函数的最大值即可证明.
（1）因为，所以切点为.
又，
所以，
所以切线为.
（2）要证，只需证：，即证：.
令，，
所以，，
令，解得.
所以当时，，为增函数，
当时，，为减函数.
所以，
所以恒成立，
所以.
19．(1)答案见解析
(2)证明见解析
（1）求导得，进而分和两种情况讨论求解即可；
（2）根据题意证明，进而令，再结合（1）得，研究函数的性质得，进而得时， ，即不等式成立.
（1）解：函数的定义域为，
，
∴当时，在上恒成立，故函数在区间上单调递增；
当时，由得，由得，即函数在区间上单调递增，在上单调递减；
综上，当时，在区间上单调递增；当时，在区间上单调递增，在上单调递减；
（2）证明：因为时，证明，只需证明，
由（1）知，当时，函数在区间上单调递增，在上单调递减；
所以.
令，则，
所以当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增，
所以.
所以时， ，
所以当时，
20．(1)
(2)答案见解析
（1）设切点坐标为，得到切线方程为，将点代入切线方程，得到，得出，求得切点坐标，进而求得切线方程；
（2）求得，令，解得，分、和，三种情况得到函数的单调性，进而求得函数的最小值.
（1）解：当时，函数，可得，
设切点坐标为，则切线的斜率为，
所以切线方程为，
将点代入切线方程，可得，即，解得，则，
所以切线方程为.
（2）解：由，可得，
令，解得，且
①若时，即时，此时，单调递增，所以；
②若时，即时，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以；
③若时，即时，此时，单调递减，
所以，
综上可得，当时，最小值为；当时，最小值为；当时，最小值为.
21．1
利用导数求含参函数的最值，结合，分类研究的单调性，由单调性求在上的最值，建立关于的方程求解即可.
由，，
得，
当时，当时，，则在上单调递增，
，不合题意；
当时，当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
，
解得，不满足，故舍去；
当时，当时，，则在上单调递减，
，所以， 满足题意.
综上所述，.
22．(1)答案见解析
(2)
（1）首先求导得到，再分类讨论求解函数的最值即可.
（2）首先函数恰有个零点，即恰有个不等的实根，从而得到恰有个不等的实根，设，则，得到有两个解，再设令，利用单调性和最值求解即可.
（1）由题得，，
当时，，在上单调递减，故无最值
当时，令，得，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
故在处取得唯一的极小值，即为最小值，
即，
综上所述，当时，无最值
当时，的最小值为，无最大值.
（2），
函数恰有个零点，即恰有个不等的实根，
即恰有个不等的实根，
设，则，
，单调递增，
有两个解，即有两个解.
令，则，
当时，，单调递增
当时，，单调递减，
又时，，且，，
当时，，
当时，仅有一个零点，
的取值范围为.
23．(1)答案见解析；
(2)证明见解析.
（1）求出函数的导数，分类讨论求解导函数为正为负的不等式解集即得.
（2）由（1）中信息，求出函数的最小值，再构造函数，结合不等式性质推理即得.
（1）函数的定义域为，
求导得，
当时，，函数在上单调递增，
当时，由，得，函数在上单调递减，
由，得，函数在上单调递增，
所以当时，函数在上单调递增；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增.
（2）证明：由（1）知，函数在上单调递减，在上单调递增，
则，
令函数，求导得，当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递减，则，
于是，有，当时，则，
因此，
所以.
24．(1)的极大值点为，极小值点为；
(2)证明见解析.
（1）根据函数的极值的定义及导数法求函数的极值的步骤即可求解.
（2）根据已知条件构造函数，利用导数法求的单调性及最值，进而得出函数的单调性及最值，进而证明不等式；
（1）由题意可知，,
所以的定义域为.
因为，所以，
令即，解得或.
当变化时，的变化情况如下表：
0 0
极大值 极小值
由此表可知，的极大值点为，极小值点为.
（2）由，得，
要证，只需证，即可
设，则，
设，则，
令即，解得.
当时，；
当时，；
所以函数在上单调递增，在上单调递减.
当时，函数取得极小值，也是最小值
.
所以函数在上单调递增，且，
所以是方程的唯一实数根，
当时，；
当时，；
所以函数在上单调递增，在上单调递减.
当时，函数取得极小值，也是最小值
,
所以，即，
即证.
25．(1)
(2)当产量为200时，利润最大，可获得最大利润为315万元．
（1）根据题意列式求出关于利润的表达式；
（2）利用导数求出函数的单调性，即可求解.
（1）由题意可知，
，
（2）因为，由，解得．
当时，单调递增；
当时，单调递减．
所以当时，取得最大值，且最大值为315万元．
答：当产量为200时，可获得最大利润为315万元．
26．(1)极小值为，无极大值
(2)证明见解析
（1）利用求导得出的递增区间和递减区间，即可得到结果；
（2）构造新函数，利用导数判断函数的单调性，即可得证.
（1），∴，
令，解得，
所以当时，，
当时，，
的单调递减区间为，单调递增区间为，
有极小值且为，无极大值．
（2）设函数，
则，，
因为递增，递增，
可得在上单调递增，且，
所以当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
，故，
即得证．
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5.3.2.2函数的最大（小）值 同步巩固练
2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性必修第二册
一、单选题
1．函数在上的值域为（ ）
A． B． C． D．
2．已知函数，，在区间上有最大值，则实数t的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．若函数大于0的零点有且只有一个，则实数的值为（ ）
A．4 B． C． D．
4．已知六棱锥的所有顶点都在半径为2的球的球面上，当六棱锥的体积最大时，其侧棱长为（ ）
A． B． C． D．
5．函数，若在上有最小值，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．函数在区间上的（ ）
A．最小值为0，最大值为
B．最小值为0，最大值为
C．最小值为，最大值为
D．最小值为0，最大值为2
7．已知函数在区间上有最小值，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
8．若函数有两个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．某工厂生产一种产品，每个月的固定成本为元，每生产一件产品，成本增加元．已知每个月该工厂的销售额与月产量的关系是，，则该工厂每个月的利润的最大值为（ ）
A． 元 B． 元 C． 元 D． 元
二、填空题
10．函数的最小值是 ．
11．已知函数在区间上存在最小值，则实数的取值范围是 .
12．若函数有零点，则实数的取值范围是 .
13．甲、乙两地相距240 km，汽车从甲地以速度v(km/h)匀速行驶到乙地.已知汽车每小时的运输成本由固定成本和可变成本组成，固定成本为160元，可变成本为v3元.为使全程运输成本最小，汽车应以 km/h的速度行驶.
14．函数，的最小值为 ．
15．设，若函数在上的最大值与最小值之差为2，则实数的取值范围是 ．
16．已知函数，若函数恰有三个零点，则实数的取值范围是 .
三、解答题
17．已知函数．
(1)求的解析式；
(2)讨论在上的零点个数．
18．已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求证：．
19．已知函数
(1)讨论的单调性；
(2)当时，证明
20．已知函数
(1)当时，求过点的切线方程；
(2)求函数在区间的最小值．
21．已知函数在上的最小值为，求a的值.
22．已知函数.
(1)讨论的最值；
(2)设，若恰有个零点，求实数的取值范围.
23．已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)证明：当时，.
24．已知
(1)求的极值点；
(2)求证：.
25．已知某商品的成本和产量满足关系（元），该商品的销售单价和产量满足关系式（元），记该商品的利润为（假设生产的商品能全部售出，利润=销售额-成本）．
(1)将利润（元）表示为产量的函数；
(2)当产量为多少时，可获得最大利润？最大利润是多少万元？
26．已知函数．
(1)求函数的极值；
(2)求证：．
参考答案
1．A
求导，得到函数的单调性，从而得到函数的最值，得到值域.
由题意得，
当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
所以在处取得极小值，也是最小值，故，
因为，所以．
故所求的值域为．
故选：A
2．B
利用导数求出函数单调性，据此知函数有极大值，根据函数在开区间上有最大值可知，区间含极大值点
，
当或时，，当时，，
所以函数在，上递增函数，在上递减函数，
故时函数有极大值，且，
所以当函数在上有最大值，则且，
即，解得.
故选：B.
3．D
根据题意，函数有且仅有一个正零点，转化为方程有且仅有一个正根，令，利用导数研究函数单调性、极值，数形结合判断得解.
函数有且仅有一个正零点，即方程有且仅有一个正根，
令，则，
当时，，当时，，当时，，
即函数在和上单调递增，在上单调递减，且，
时，，时，，时，，可作出图象如下，
方程有且仅有一个正根，所以.
故选：D.
4．A
由该六棱锥为正六棱锥时，其体积最大结合体积公式得出，利用导数得出体积最大值，进而得出侧棱长.
由题意知，六棱锥的底面六边形的顶点在同一个截面圆上．
易知当六边形为正六边形时，其面积最大．要使六棱锥的体积最大，则该六棱锥为正六棱锥．
不妨设正六边形的边长为，六棱锥的高为，
则正六边形的外接圆的半径为．
由球的性质可知，，则，
所以正六棱锥的体积．
设，则．
当时，，当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减．
当时，取得最大值，即时，取得最大值，此时，
所以正六棱锥的侧棱长．
故选：A．
关键点睛：当圆内接多边形为正多边形时，多边形的面积最大；当球的内接多棱锥为正多棱锥（如上题）时，该多棱锥的体积最大．
5．A
求得导数，当时，得到在上单调递减，不符合题意；
当时，结合函数与的图象，得到存在，使得，结合函数的单调性，即可求解.
由题意，函数，可得，
若时，当时，可得，在上单调递减，
此时函数在没有最小值，不符合题意；
当时，令，即，即与的交点，
画出函数与的图象，如图所示，
结合图象，可得存在，使得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
此时函数在上有最小值，符合题意，
综上可得，实数a的取值范围是.
故选：A.
6．B
先求得函数的导数，进而得到在区间上单调性，即可求得在区间上最小值和最大值.
，所以在区间上单调递增，
因此的最小值为，最大值为.
故选：B
7．A
根据导数确定函数的单调性，导函数的正负确定单调性进而取最值可求.
由得，由于均为单调递增函数，故在单调递增，因为在有最小值，故
故选：A
8．D
将零点问题切换成函数图像交点，再利用导数研究函数的单调性及参数的取值范围.
法一：设，则函数有两个零点转化为函数的图像与直线有两个交点，
因为，当时，；当时，，
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，则，
当时，；当时，，则，解得，即实数的取值范围是.
法二：函数有两个零点可转化为函数的图像与直线有两个交点．
因为函数的图像与轴交于点，且函数在点处的切线方程为，
所以直线与该切线平行，且该直线与轴交于点，
所以点在点上方，即，解得，即实数的取值范围是．
故选：D．
9．C
根据给定条件，求出利润的函数关系，再利用导数求出函数最大值作答.
设每个月该工厂的利润为，
则（），
求导得，当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
则当时，取得最大值，
所以该工厂每个月的利润的最大值为元．
故选：C
10．
利用导数的性质进行求解即可.
由，
当时，单调递增，
当时，单调递减，
因此，
故答案为：
11．
由题意可知，函数在区间上存在极小值，分和两种情况讨论，分析函数在区间上的单调性，在时求出函数的极值点，可得出，解出即可.
，.
当时，对任意的，，此时，函数在区间上为增函数，则函数在区间上没有最小值；
当时，令，可得，
当时，，当时，，
此时，函数的极小值点为，由题意可得，解得.
因此，实数的取值范围是.
故答案为：.
本题考查利用函数的最值点求参数，解题时要熟悉函数的最值与导数之间的关系，考查运算求解能力，属于中等题.
12．
将问题转化为，构造函数，利用导数研究的图像性质，结合图像即可得解.
由题易得函数的定义域为
函数有零点，等价于有实数根，即，
令，则，
令，得；令，得；
则在上单调递增，在上单调递减，
且，当时，，当时，，
画出与的大致图像，如图，
结合图像，易知，即
故答案为：.
13．80
根据汽车每小时的运输成本由固定成本和可变成本组成，固定成本为160元，可变成本为元，可构建函数，利用导数可求函数的极值，极值就是最值．
解：设全程运输成本为元，
由题意，得，，
．
令，得．
当时，；当时，．
所以函数在上递减，在上递增，
所以 km/h时，．
故答案为：80.
14．
求导，研究导函数的符号，得到原函数单调性情况从而得到最值情况.
因为，所以．
令，则．
所以当时，，故在上单调递增．
所以当时，，即，所以在上单调递增．
故当时，取得最小值.
故答案为：
15．
设，结合导数可得函数的值域为，最大值与最小值之差为2，从而得到函数的值域为，最大值与最小值之差也为2．然后根据题意可得或，于是可得所求的范围．
设，
则，
所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增．
∵，，，
∴函数的值域为，最大值与最小值之差为2，
∴函数的值域为，最大值与最小值之差也为2．
∵函数在上的最大值与最小值之差为2，
∴或，
解得或.
∴实数的取值范围为．
故答案为．
本题考查用导数研究函数的最值问题，具有综合性和难度，解题的关键是注意将问题进行合理的转化．
16．
根据导函数研究函数的单调性，从而画出的图象，
函数恰有三个零点，可转化为函数与有三个交点，
数形结合求出与，相切的直线斜率，从而求出的取值范围.
当时，，
，在上恒成立，且在时，等号成立，
所以在上单调递增，且，
当时，单调递减，且，
函数恰有三个零点，可转化为函数与有三个交点，
画出的图象，所图所示：
设直线与，相切时切点为，
则，
又根据斜率公式可得：，
所以，解得：或，
当时，，
当时，，
所以要想函数与有三个交点，
直线斜率要介于两切线斜率之间，故
故答案为：
17．(1)
(2)2
（1）对函数求导后令可得，即可求得；
（2）根据函数解析式对自变量进行分类讨论，易知是其中一个零点，再通过构造函数利用零点存在定理即可得出在上有2个零点．
（1）（1）．
令可得，解得．
所以．
（2）由（1）中可得，
①当时，有，，
所以恒成立，
所以在上单调递减，，
即可得0是的一个零点．
②当时，
设，则恒成立，
即在上单调递增．
又，，
根据零点存在定理可知，使得．
当时，，所以在上单调递减；
当时，，所以在上单调递增．
又，所以．
因为，
根据零点存在定理可知，使得．
综上所述，在上的零点个数为2．
方法点睛：求解零点个数问题时要充分利用函数特征，由导函数判断出其单调性并结合零点存在定理即可得出零点个数.
18．(1)
(2)证明见解析
（1）利用导数的几何意义求解即可；
（2）首先将题意转化为证明，令，利用导数求出函数的最大值即可证明.
（1）因为，所以切点为.
又，
所以，
所以切线为.
（2）要证，只需证：，即证：.
令，，
所以，，
令，解得.
所以当时，，为增函数，
当时，，为减函数.
所以，
所以恒成立，
所以.
19．(1)答案见解析
(2)证明见解析
（1）求导得，进而分和两种情况讨论求解即可；
（2）根据题意证明，进而令，再结合（1）得，研究函数的性质得，进而得时， ，即不等式成立.
（1）解：函数的定义域为，
，
∴当时，在上恒成立，故函数在区间上单调递增；
当时，由得，由得，即函数在区间上单调递增，在上单调递减；
综上，当时，在区间上单调递增；当时，在区间上单调递增，在上单调递减；
（2）证明：因为时，证明，只需证明，
由（1）知，当时，函数在区间上单调递增，在上单调递减；
所以.
令，则，
所以当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增，
所以.
所以时， ，
所以当时，
20．(1)
(2)答案见解析
（1）设切点坐标为，得到切线方程为，将点代入切线方程，得到，得出，求得切点坐标，进而求得切线方程；
（2）求得，令，解得，分、和，三种情况得到函数的单调性，进而求得函数的最小值.
（1）解：当时，函数，可得，
设切点坐标为，则切线的斜率为，
所以切线方程为，
将点代入切线方程，可得，即，解得，则，
所以切线方程为.
（2）解：由，可得，
令，解得，且
①若时，即时，此时，单调递增，所以；
②若时，即时，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以；
③若时，即时，此时，单调递减，
所以，
综上可得，当时，最小值为；当时，最小值为；当时，最小值为.
21．1
利用导数求含参函数的最值，结合，分类研究的单调性，由单调性求在上的最值，建立关于的方程求解即可.
由，，
得，
当时，当时，，则在上单调递增，
，不合题意；
当时，当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
，
解得，不满足，故舍去；
当时，当时，，则在上单调递减，
，所以， 满足题意.
综上所述，.
22．(1)答案见解析
(2)
（1）首先求导得到，再分类讨论求解函数的最值即可.
（2）首先函数恰有个零点，即恰有个不等的实根，从而得到恰有个不等的实根，设，则，得到有两个解，再设令，利用单调性和最值求解即可.
（1）由题得，，
当时，，在上单调递减，故无最值
当时，令，得，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
故在处取得唯一的极小值，即为最小值，
即，
综上所述，当时，无最值
当时，的最小值为，无最大值.
（2），
函数恰有个零点，即恰有个不等的实根，
即恰有个不等的实根，
设，则，
，单调递增，
有两个解，即有两个解.
令，则，
当时，，单调递增
当时，，单调递减，
又时，，且，，
当时，，
当时，仅有一个零点，
的取值范围为.
23．(1)答案见解析；
(2)证明见解析.
（1）求出函数的导数，分类讨论求解导函数为正为负的不等式解集即得.
（2）由（1）中信息，求出函数的最小值，再构造函数，结合不等式性质推理即得.
（1）函数的定义域为，
求导得，
当时，，函数在上单调递增，
当时，由，得，函数在上单调递减，
由，得，函数在上单调递增，
所以当时，函数在上单调递增；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增.
（2）证明：由（1）知，函数在上单调递减，在上单调递增，
则，
令函数，求导得，当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递减，则，
于是，有，当时，则，
因此，
所以.
24．(1)的极大值点为，极小值点为；
(2)证明见解析.
（1）根据函数的极值的定义及导数法求函数的极值的步骤即可求解.
（2）根据已知条件构造函数，利用导数法求的单调性及最值，进而得出函数的单调性及最值，进而证明不等式；
（1）由题意可知，,
所以的定义域为.
因为，所以，
令即，解得或.
当变化时，的变化情况如下表：
0 0
极大值 极小值
由此表可知，的极大值点为，极小值点为.
（2）由，得，
要证，只需证，即可
设，则，
设，则，
令即，解得.
当时，；
当时，；
所以函数在上单调递增，在上单调递减.
当时，函数取得极小值，也是最小值
.
所以函数在上单调递增，且，
所以是方程的唯一实数根，
当时，；
当时，；
所以函数在上单调递增，在上单调递减.
当时，函数取得极小值，也是最小值
,
所以，即，
即证.
25．(1)
(2)当产量为200时，利润最大，可获得最大利润为315万元．
（1）根据题意列式求出关于利润的表达式；
（2）利用导数求出函数的单调性，即可求解.
（1）由题意可知，
，
（2）因为，由，解得．
当时，单调递增；
当时，单调递减．
所以当时，取得最大值，且最大值为315万元．
答：当产量为200时，可获得最大利润为315万元．
26．(1)极小值为，无极大值
(2)证明见解析
（1）利用求导得出的递增区间和递减区间，即可得到结果；
（2）构造新函数，利用导数判断函数的单调性，即可得证.
（1），∴，
令，解得，
所以当时，，
当时，，
的单调递减区间为，单调递增区间为，
有极小值且为，无极大值．
（2）设函数，
则，，
因为递增，递增，
可得在上单调递增，且，
所以当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
，故，
即得证．
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