4.2.1 等差数列的概念 同步巩固练 2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性必修第二册
文档属性
| 名称 | 4.2.1 等差数列的概念 同步巩固练 2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性必修第二册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 471.3KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-03-27 16:06:22 | ||
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文档简介
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4.2.1 等差数列的概念 同步巩固练
2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性必修第二册
一、单选题
1．已知为等差数列，则下面数列中一定是等差数列的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知，，则a，b的等差中项为（ ）
A． B． C．1 D．
3．在等差数列中，若，则（ ）
A．18 B．30 C．36 D．72
4．已知数列为等差数列，且，则（ ）
A． B． C． D．
5．在等差数列中，是方程的两根，若，则的值为（ ）
A． B． C．2 D．6
6．等差数列满足，，则（ ）
A．4 B．3 C． D．2
7．在等差数列中，p，，且，若，，则（ ）
A． B． C． D．
8．我国古代数学家提出的“中国剩余定理”又称“孙子定理”，它是世界数学史上光辉的一页，定理涉及的是整除问题.现有如下一个整除问题：将1至2023这2023个数中，能被3除余1且被5除余2的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则此数列的项数为（ ）
A．133项 B．134项 C．135项 D．136项
二、多选题
9．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱 ”（“钱”是古代的一种重量单位）．关于这个问题，下列说法错误的是（ ）
A．戊得钱是甲得钱的一半
B．乙得钱比丁得钱多钱
C．甲、丙得钱的和是乙得钱的2倍
D．丁、戊得钱的和比甲得钱多钱
10．已知数列的前项和，则（ ）
A． B． C．是等差数列 D．是递增数列
三、填空题
11．在数列中，，则数列的通项公式为 .
12．若是，的等差中项，则 .
13．已知数列满足，，则等于 .
14．写出一个同时具有下列性质①②的数列的通项公式： ．
①；②单调递增．
15．在等差数列中，若，则 .
16．已知等差数列满足，则 .
17．已知正项数列是等差数列，若，，则的值为 .
四、解答题
18．在等差数列中，
(1)已知，，求；
(2)已知，，求d；
(3)已知，，，求n.
19．已知数列满足，（）．
(1)判断数列是否为等差数列，并说明理由；
(2)求的通项公式．
20．已知数列满足，，且当 时，有，
(1)求；
(2)若数列中，求
参考答案
1．B
令等差数列通项公式为，根据等差数列定义依次判断各项.
若等差数列通项公式为，此时，，，，
不为常数，所以不是等差数列；
不为常数，所以不是等差数列，
为常数，所以是等差数列，
不为常数，所以不是等差数列.
故选：B
2．B
先求解可得，然后根据等差中项的性质，即可得出答案.
由已知可得，.
设a，b的等差中项为，
根据等差中项的定义，有.
故选：B.
3．C
由已知求出，再利用等差中项即可.
由已知得，，
所以.
故选:C
4．D
根据等差数列的性质求得，进一步计算即可.
因为数列为等差数列，
则，
所以，
则，
故选：D.
5．B
根据韦达定理求出，根据等差数列的性质得到方程，求出，从而得到.
因为是方程的两根，
所以.
在等差数列中，，又，
所以，所以，
所以，所以.
故选：B.
6．B
设等差数列的公差为，先根据条件列方程求出和，再利用等差数列的通项公式求即可.
设等差数列的公差为，
由已知可得，
解得，
所以.
故选：B.
7．C
设出首项和公差并表示出和，然后表示出公差，最后求出结果即可．
设等差数列的公差为d，则，，
两式相减得，则，
故选：C．
8．C
由，变形得到的通项公式，从而得到不等式组，求出此数列的项数.
由题意得：能被3除余1数为1，4，7，10,……，故，，
被5除余2的数为2，7，12，17，……，故，，
由，；，，
故，，
由，得，
又，故此数列共有135项，
故选：C
9．BD
根据题意列方程，得到，，然后判断即可.
依题意，设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为，，a，，，
则由题意可知，，即，
又，所以，所以，
所以，，，，
所以甲得钱，乙得钱，丙得1钱，丁得钱，戊得钱，
所以戊得钱是甲得钱的一半，故A正确；
乙得钱比丁得钱多钱，故B错误；
甲、丙得钱的和是乙得钱的倍，故C正确；
丁、戊得钱的和比甲得钱多钱，故D错误．
故选：BD.
10．AC
由即可判断A；由的关系即可判断B；从第2项开始为等差数列，由此即可判断C；由可判断D.
，故A正确；
当时，，
当时，，不适合上式，故B错误；
从第2项开始为等差数列，所以其偶数项构成等差数列，故C正确；
因为，故D错误.
故选：AC.
11．
根据可得为等差数列，从而可求的通项公式.
由题设可得，故为等差数列，
故，
故，
故答案为：
12．
根据等差中项的性质得到方程，解得即可.
解：因为是，的等差中项，
所以，所以.
故答案为：
13．
先根据条件判断得数列是等差数列，再设公差为，根据条件列方程求出，进而可得.
由知，数列是等差数列，
设公差为，由，得，
所以．
故答案为：.
14．（符合此种形式即可）
先猜想数列是一个等差数列，进而根据性质①得到首项与公差的关系，然后根据性质②得到答案.
假设数列为等差数列，设其公差为d，首项为，由性质①可得： ，
即，
再根据②可知，公差，显然（）满足题意.
故答案为：（符合此种形式即可）
15．
根据等差数列的性质即可求解.
由可得，故，
，
故答案为：
16．
由等差数列的性质可得，代入条件式，可求得，再根据，可得解.
在等差数列中，，又，
，解得，又，而，解得.
故答案为：.
17．
根据等差数列的通项公式，建立方程求得方差，可得答案.
设等差数列的公差为，，
由，，
，，
，解得，
.
故答案为：4.
18．(1)
(2)
(3)
（1）根据等差数列通项公式代入计算即可；
（2）根据等差数列通项公式代入计算即可；
（3）根据等差数列通项公式代入计算即可；
（1）由知：；
（2）因为，，所以，所以，
解得；
（3）由知：，解得.
19．(1)不是，理由见解析
(2)
（1）当时，，即，
而不满足，所以不是等差数列．
（2）由题，当时，是等差数列，且公差为2，
所以（），又不适合上式，
所以的通项公式为.
数列从第2项起成等差，写通项公式时注意第n项是等差数列中的第几项.
20．(1)
(2)
（1）根据题意可知数列为等差数列，结合等差数列的通项公式运算求解；
（2）由（1）可得：，利用累加法求通项公式.
（1）因为当 时，有，可知数列为等差数列，设公差为d，
由题意可得：，解得，
所以.
（2）由（1）可得：，
当时，则
，
即，
且也满足上式，所以.
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4.2.1 等差数列的概念 同步巩固练
2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性必修第二册
一、单选题
1．已知为等差数列，则下面数列中一定是等差数列的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知，，则a，b的等差中项为（ ）
A． B． C．1 D．
3．在等差数列中，若，则（ ）
A．18 B．30 C．36 D．72
4．已知数列为等差数列，且，则（ ）
A． B． C． D．
5．在等差数列中，是方程的两根，若，则的值为（ ）
A． B． C．2 D．6
6．等差数列满足，，则（ ）
A．4 B．3 C． D．2
7．在等差数列中，p，，且，若，，则（ ）
A． B． C． D．
8．我国古代数学家提出的“中国剩余定理”又称“孙子定理”，它是世界数学史上光辉的一页，定理涉及的是整除问题.现有如下一个整除问题：将1至2023这2023个数中，能被3除余1且被5除余2的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则此数列的项数为（ ）
A．133项 B．134项 C．135项 D．136项
二、多选题
9．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱 ”（“钱”是古代的一种重量单位）．关于这个问题，下列说法错误的是（ ）
A．戊得钱是甲得钱的一半
B．乙得钱比丁得钱多钱
C．甲、丙得钱的和是乙得钱的2倍
D．丁、戊得钱的和比甲得钱多钱
10．已知数列的前项和，则（ ）
A． B． C．是等差数列 D．是递增数列
三、填空题
11．在数列中，，则数列的通项公式为 .
12．若是，的等差中项，则 .
13．已知数列满足，，则等于 .
14．写出一个同时具有下列性质①②的数列的通项公式： ．
①；②单调递增．
15．在等差数列中，若，则 .
16．已知等差数列满足，则 .
17．已知正项数列是等差数列，若，，则的值为 .
四、解答题
18．在等差数列中，
(1)已知，，求；
(2)已知，，求d；
(3)已知，，，求n.
19．已知数列满足，（）．
(1)判断数列是否为等差数列，并说明理由；
(2)求的通项公式．
20．已知数列满足，，且当 时，有，
(1)求；
(2)若数列中，求
参考答案
1．B
令等差数列通项公式为，根据等差数列定义依次判断各项.
若等差数列通项公式为，此时，，，，
不为常数，所以不是等差数列；
不为常数，所以不是等差数列，
为常数，所以是等差数列，
不为常数，所以不是等差数列.
故选：B
2．B
先求解可得，然后根据等差中项的性质，即可得出答案.
由已知可得，.
设a，b的等差中项为，
根据等差中项的定义，有.
故选：B.
3．C
由已知求出，再利用等差中项即可.
由已知得，，
所以.
故选:C
4．D
根据等差数列的性质求得，进一步计算即可.
因为数列为等差数列，
则，
所以，
则，
故选：D.
5．B
根据韦达定理求出，根据等差数列的性质得到方程，求出，从而得到.
因为是方程的两根，
所以.
在等差数列中，，又，
所以，所以，
所以，所以.
故选：B.
6．B
设等差数列的公差为，先根据条件列方程求出和，再利用等差数列的通项公式求即可.
设等差数列的公差为，
由已知可得，
解得，
所以.
故选：B.
7．C
设出首项和公差并表示出和，然后表示出公差，最后求出结果即可．
设等差数列的公差为d，则，，
两式相减得，则，
故选：C．
8．C
由，变形得到的通项公式，从而得到不等式组，求出此数列的项数.
由题意得：能被3除余1数为1，4，7，10,……，故，，
被5除余2的数为2，7，12，17，……，故，，
由，；，，
故，，
由，得，
又，故此数列共有135项，
故选：C
9．BD
根据题意列方程，得到，，然后判断即可.
依题意，设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为，，a，，，
则由题意可知，，即，
又，所以，所以，
所以，，，，
所以甲得钱，乙得钱，丙得1钱，丁得钱，戊得钱，
所以戊得钱是甲得钱的一半，故A正确；
乙得钱比丁得钱多钱，故B错误；
甲、丙得钱的和是乙得钱的倍，故C正确；
丁、戊得钱的和比甲得钱多钱，故D错误．
故选：BD.
10．AC
由即可判断A；由的关系即可判断B；从第2项开始为等差数列，由此即可判断C；由可判断D.
，故A正确；
当时，，
当时，，不适合上式，故B错误；
从第2项开始为等差数列，所以其偶数项构成等差数列，故C正确；
因为，故D错误.
故选：AC.
11．
根据可得为等差数列，从而可求的通项公式.
由题设可得，故为等差数列，
故，
故，
故答案为：
12．
根据等差中项的性质得到方程，解得即可.
解：因为是，的等差中项，
所以，所以.
故答案为：
13．
先根据条件判断得数列是等差数列，再设公差为，根据条件列方程求出，进而可得.
由知，数列是等差数列，
设公差为，由，得，
所以．
故答案为：.
14．（符合此种形式即可）
先猜想数列是一个等差数列，进而根据性质①得到首项与公差的关系，然后根据性质②得到答案.
假设数列为等差数列，设其公差为d，首项为，由性质①可得： ，
即，
再根据②可知，公差，显然（）满足题意.
故答案为：（符合此种形式即可）
15．
根据等差数列的性质即可求解.
由可得，故，
，
故答案为：
16．
由等差数列的性质可得，代入条件式，可求得，再根据，可得解.
在等差数列中，，又，
，解得，又，而，解得.
故答案为：.
17．
根据等差数列的通项公式，建立方程求得方差，可得答案.
设等差数列的公差为，，
由，，
，，
，解得，
.
故答案为：4.
18．(1)
(2)
(3)
（1）根据等差数列通项公式代入计算即可；
（2）根据等差数列通项公式代入计算即可；
（3）根据等差数列通项公式代入计算即可；
（1）由知：；
（2）因为，，所以，所以，
解得；
（3）由知：，解得.
19．(1)不是，理由见解析
(2)
（1）当时，，即，
而不满足，所以不是等差数列．
（2）由题，当时，是等差数列，且公差为2，
所以（），又不适合上式，
所以的通项公式为.
数列从第2项起成等差，写通项公式时注意第n项是等差数列中的第几项.
20．(1)
(2)
（1）根据题意可知数列为等差数列，结合等差数列的通项公式运算求解；
（2）由（1）可得：，利用累加法求通项公式.
（1）因为当 时，有，可知数列为等差数列，设公差为d，
由题意可得：，解得，
所以.
（2）由（1）可得：，
当时，则
，
即，
且也满足上式，所以.
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