4.2.2 等差数列的前n项和公式 同步巩固练 2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性必修第二册

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4.2.2 等差数列的前n项和公式 同步巩固练
2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性必修第二册
一、单选题
1．已知等差数列的前n项和为，且满足，则（ ）
A．5 B．10 C．7 D．14
2．设是等差数列的前项和，若，则（ ）
A． B． C． D．
3．设等差数列的前项和为，若，则当取得最小值时，的值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
4．已知数列的前项和，若，则（ ）
A．578 B．579
C．580 D．581
5．已知正项数列满足，且为等差数列，设，若数列的前项和为10，则（ ）
A．30 B．31 C．40 D．41
6．已知等差数列的公差，，，记该数列的前n项和为，则的最大值为（ ）
A．20 B．24 C．36 D．40
7．在数列中，，则等于（ ）
A．445 B．765 C．1080 D．3105
8．若数列的通项公式为，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．设为等差数列的前项和，若，，则 .
10．设是等差数列的前项和，，，则 .
11．已知等差数列的前项和为，若，则当最小时，的值为 .
12．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）．如取正整数，根据上述运算法则得出，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）．现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列满足：（m为正整数），当时， ．
13．已知数列满足，则数列的前项和的最大值是 ．
14．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差不相等，但是逐项差数的差或者高次差成等差数列．如数列1，3，6，10，前后两项之差得到新数列2，3，4，新数列2，3，4为等差数列，这样的数列称为二阶等差数列，对这类高阶等差数列的研究，后人一般称为“垛积术”，现有高阶等差数列，其前7项分别为3，4，6，9，13，18，24，则该数列的通项公式为
15．设数列的前n项和为，若，且是等差数列．则的值为 ．
16．在数列中，，则 .
三、解答题
17．已知等差数列的前项和为，且，.
（1）求的通项公式；
（2）求正整数，使得.
18．已知数列的前n项和为.若为等差数列，且满足，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求.
19．已知各项都为正数的数列 的前 项和为 , 且满足 .
(1)求数列的通项公式;
(2)若，求数列的前项和.
20．已知等差数列的首项，公差为为的前项和，为等差数列．
(1)求与的关系；
(2)若为数列的前项和，求使得成立的的最大值．
21．在等差数列中，已知：，.
(1)求数列的公差及通项公式；
(2)求数列的前项和的最小值，并指出此时正整数的值.
参考答案
1．D
根据等差数列的前项和公式，结合等差数列的通项公式即得.
设等差数列的公差为，
由，可得，
即，
因此.
故选：D.
2．B
根据等差数列片段和性质及已知，设，求得，即可得结果.
由等差数列片段和性质知：是等差数列.
由，可设，则，于是依次为，
所以，所以.
故选：B
3．B
根据等差数列的性质即可求解,,进而根据数列的单调性求解.
，即.
因此数列单调递增，
故当取得最小值时，的值为8.
故选：B.
4．B
由的关系得出通项公式，再讨论，两种情况，结合求和公式得出.
当时，
当时，，经检验时，不成立.
故得到.
令，则，解得，且，
当时，
，
当时，
，
故：，.
故选：B.
5．C
根据条件求出，然后利用裂项相消法求和即得
因为，结合等差数列定义可得，所以，
所以 ，
所以数列的前n项和为，故．
故选：C
6．C
根据给定条件，结合等差数列性质求出及通项公式，再确定所有非负数项即可得解.
等差数列中，公差，即数列是递减等差数列，
显然，而，且，解得，则，
，由，得，因此数列前9项均为非负数，从第10项起均为负数，
所以的最大值为.
故选：C.
7．B
根据题意可得数列是首项为，公差为的等差数列，去绝对值后利用分组求和的方法即可求出结果.
依题意由可得为定值，
因此可知数列是以为首项，公差为的等差数列，
即可得，所以当时，，当时，，
所以
.
故选：B
8．A
利用裂项相消求和可得答案.
，
则.
故选：A.
9．-6.
根据等差数列的定义和性质， ，可以计算 ，进而可得 .
根据等差数列的定义和性质可得，，又，所以，又，所以，.
本题考查等差数列的定义和性质，前n项和的性质，比较基础．
10．200
根据等差数列前项和性质结合等差数列基本量的计算求出新等差数列的公差，最后根据等差数列的前项和公式计算可得.
依题意，，，，…，依次成等差数列，
设该等差数列的公差为.又，，
因此，解得，
所以.
故答案为：200
11．1012
由等差数列，和，求出最小时的值.
因为等差数列中，
，
所以，
则当最小时，.
故答案为：
12．265
首先根据题意得到，再根据求解即可.
，
，
，所以．
所以．
故答案为：265
13．
化简得到，得出为等差数列，求得，得到时，，结合等差数列的求和公式，即可求解.
由数列满足，可得，
又由，可得，所以数列表示首项为，公差为的等差数列，
所以，
令，即，解得，且，
所以，当时，；当时，，
所以数列的前项和的最大值是.
故答案为：.
14．
利用高阶等差数列的定义，结合累加法求得数列的通项公式.
数列中，由后项减前项，得，
因此当时，，
，而满足上式，
所以该数列的通项公式为.
故答案为：
15．52
根据给定条件求出，再求出数列的通项即可计算作答.
依题意，因是等差数列，则其公差，
于是得，，
当时，，而满足上式，
因此，，
所以.
故答案为：52
16．
根据等差数列的定义可知数列为首项为1公差为1的等差数列，结合通项公式求出，进而利用裂项相消法求和即可.
由得，又，
则数列为首项为1，公差为1的等差数列，所以，得，
所以，
所以.
故答案为：
17．（1）；（2）.
（1）将代入和，解出即可求出通项公式；（2）利用，则的性质，将所求转化为，代入，解出即可.
（1）解：设等差数列的公差为，则有，解得
故
（2）
解得
18．(1)，
(2)
（1）根据题意求出的通项公式，可求得，再由与的关系求出；
（2）由的通项公式，知，分和讨论，并利用等差数列前n项和公式求解.
（1）由题意，设等差数列的公差为，又，，
，，
，
，则，，
，又，
，.
（2）由（1）得，，
当时，，
当时，
，
.
19．(1)；
(2).
（1）根据给定条件，利用变形给定的递推公式，再利用等差数列求解即得.
（2）由（1）的信息求出数列的前项和，并确定其正数项、负数项，再分段求解即得.
（1）数列中，，当时，，由两式相减，
得，即，
又数列的各项都为正数，则，当时，，解得，
因此数列是首项为3，公差为3的等差数列，
所以.
（2）由（1）得，，，即，
设的前项和为，则，
当时，，当时，，
于是当时，；
当时，，
所以数列的前项和.
20．(1)
(2)7
（1）由为等差数列可得，即可得到与的关系;
（2）由裂项相消法得到，再解不等式即可求得n的最大值.
（1）因为为等差数列，所以，
即，从而得到 ，
化简得 ，所以.
（2）当时，，
所以，
解得，又因为，所以的最大值7．
21．(1)公差为2，
(2)的最小值为，此时的值为2
（1）设出公差，利用等差数列通项公式基本量计算出公差，得到通项公式；
（2）计算出，得到最小值及此时的的值.
（1）设等差数列的公差为，
由，
，
，
所以等差数列的公差为，通项公式.
（2）因为，
所以，
当时，有最小值，此时正整数的值为.
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