4.3.2 等比数列的前n项和公式 同步巩固练 2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性必修第二册

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4.3.2 等比数列的前n项和公式 同步巩固练
2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性必修第二册
一、单选题
1．已知等比数列的各项均为正数，其前项和为，若，，则等于（ ）
A． B． C． D．
2．在正项等比数列中，为其前n项和，若，，则（ ）
A．786 B．240 C．486 D．726
3．已知数列是以1为首项，2为公比的等比数列，数列是以1为首项，2为公差的等差数列，则（ ）
A．255 B．85 C．16 D．15
4．已知数列满足，，则数列的前10项和为（ ）
A． B． C． D．
5．已知等比数列的前项和为，则（ ）
A．18 B．54 C．128 D．192
6．已知一个等比数列的项数是是偶数，其奇数项之和1011，偶数项之和为2022，则这个数列的公比为（ ）.
A．8 B． C．4 D．2
7．已知数列是等差数列，数列是等比数列，若，则（ ）
A．2 B． C． D．
8．已知数列的前项和为，且，若恒成立，则的最小值是（ ）
A． B．4 C． D．5
二、填空题
9．已知等比数列的前项和为，，，则公比 .
10．设等比数列的前项和是.已知,，则 .
11．等比数列满足，且，，成等差数列，则数列的前10项和为 ．
12．九连环是中国的一种古老智力游戏，它用九个圆环相连成串，环环相扣，以解开为胜，趣味无穷.中国的末代皇帝溥仪（1906-1967）也曾有一个精美的由九个翡翠环相连的银制的九连环（如图）.现假设有个圆环，用表示按照某种规则解下个圆环所需的最少移动次数，且数列满足，，（，），则解开九连环最少需要移动 次.
13．数学中有许多美丽的错误，法国数学家费马通过观察计算曾提出猜想：形如的数都是质数，这就是费马素数猜想.半个世纪后善于发现的欧拉算出第5个费马数不是质数，从而否定了这一种猜想．现设：，为常数，表示数列的前项和，若，则 .
14．在等比数列中，如果，那么 .
15．已知首项均为的等差数列与等比数列满足，，且的各项均不相等，设为数列的前n项和，则的最大值与最小值之差为 ．
三、解答题
16．等比数列中，，．
(1)求的通项公式；
(2)记为的前项和，若，求．
17．在等比数列{an}中，
(1)已知，求前4项和；
(2)已知公比，前5项和，求.
18．已知公差不为的等差数列满足，，，成等比数列．
(1)求；
(2)若，求的前项和.
19．已知数列满足，．
(1)证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式；
(2)若记为满足不等式的正整数k的个数，设数列的前n项和为，求关于n的不等式的最大正整数解．
参考答案
1．A
利用和公比表示，由，求出，利用等比数列性和求出，然后由即可求出.
设公比为，
，
则．因为，所以．所以，解得．
因为，所以．所以．
故选：A．
2．D
根据等比数列前n项和的性质可得，，，…成等比数列．结合等比中项的应用计算即可求解.
因为为等比数列，所以，，，…仍为等比数列．
设，因为，，所以6，，成等比数列．
由，解得或（舍去），
所以数列，，…的公比为3．
因为，，，
所以，，
故，.
故选：D
3．B
写出等差等比数列通项，再计算出其中每一项即可得到答案.
由题意得，，
，，
所以，
故选：B.
4．D
利用构造法求得，利用错位相减求和法求得正确答案.
依题意，，，则，
，
所以数列是首项为，公差为的等差数列，
所以，
所以，其前项和①，
则②，
两式相减得
，
所以.
故选：D
5．D
根据等比数列的定义结合求和定义，可得答案.
设等比数列的公比为，则，解得．
．
故选：D.
6．D
设该等比数列为,其项数为项，公比为,利用等比数列的求和公式表示出奇数项之和与偶数项之和，两式相除即可求解.
设该等比数列为,其项数为项，公比为,
由题意易知，
设奇数项之和为,偶数项之和为，
易知奇数项组成的数列是首项为，公比为的等比数列，
偶数项组成的数列是首项为，公比为的等比数列，
则，，
所以,即.
所以这个数列的公比为2.
故选:D.
7．C
根据等差、等比数列的性质分析求解.
由题意可得，解得，
所以.
故选：C.
8．B
错位相减法求出，然后得出，即可得出答案.
，，
两式相减可得
，
所以，
因为，所以，即恒成立，故.
故选：B.
9．1或
先根据，，得到，再由求解.
在等比数列中，，，
所以，
所以，即，
解得或.
故答案为：1或.
10．13
根据等比数列片段和的性质即可求解.
因为是等比数列的前项和且，
所以，， 也成等比数列，
则.
因为,，
所以，解得.
所以.
故答案为：.
11．10
先利用，，成等差数列求出公比，再求前10项和即可.
设等比数列的公比为q，则，，．
∵，，成等差数列，∴，∴，∴，
故数列的前10项和为．
故答案为：10.
12．
由，利用累加法求数列的奇数项的通项公式，再求即可.
由题意，
故
各项相加，可得
即，
所以按规则解开九连环最少需要移动的次数为.
故答案为：341.
13．
根据对数定义可得，再结合等比数列的前项和公式求，进而求.
∵，则
显然，则
∴数列是以首项为，公比的等比数列
又∵，则
∴
故答案为：32.
14．
根据等比数列的性质可知，，成等比数列，进而根据和的值求得此新数列的首项和公比，进而利用等比数列的通项公式求得的值.
利用等比数列的性质有，成等比数列，
又，则，
故.
故答案为：.
15．/0.75
由题意可求得，分为奇数、偶数讨论的单调性并求出其最大、小值即可.
解：设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，
则解得或,
又因为的各项均不相等，所以，
则．
当n为奇数时，，易知单调递减，最大值为，且；
当n为偶数时，，易知单调递增，最小值为，且．
所以的最大值为，最小值为，
所以的最大值与最小值之差为．
故答案为：.
16．(1)或
(2)
（1）设的公比为，由题意可得 ，解方程即可求出，再由等比数列的通项公式即可得出答案；
（2）由等比数列的前项和公式表示出，解方程即可得出答案.
（1）设的公比为，由题设得，
由已知得，即，
解得（舍去），或，
故或
（2）若，则． ..
由得，此方程没有正整数解．
若，则， .
由得，解得，综上，.
17．(1)
(2)
（1）根据等比数列的通项公式求出公比，再根据等比数列前项和公式即可得解；
（2）根据等比数列前项和公式求出首项，再根据等比数列的通项公式即可得解.
（1）设公比为，由，
得，所以，
所以；
（2）由，得，
所以.
18．(1)
(2).
⑴根据已知条件设等差数列的公差为，由等差数列的通项公式，前项和公式列出方程组求出首项，公差.
⑵由⑴和题意求出通项公式，根据是首项为，公比为的等比数列求其前项和.
（1）（1）设等差数列的公差为，
由可得，则①；
因为，，成等比数列，所以，整理得；
又，所以②；
联立①②，解得，，所以.
（2）因为，所以是首项为，公比为的等比数列．
所以.
19．(1)证明见解析，
(2)8
（1）根据题意，化简得到，得出所以为等差数列，结合等差数列的通项公式，即可求解；
（2）由，求得，得到，结合乘公比错法求和，得到，进而得到答案.
（1）由取倒数得，可得，即，
又由，可得，所以为首项为，公差为的等差数列，
则，故，即数列的通项公式.
（2）由，可得，
则，则，
所以这样的有个，故，则，
所以，
则，
两式相减得：，
所以，易知为递增数列，
又因为，，，
所以，故，则最大正整数解为8．
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