浙江省金华一中2024年自主招生数学试卷
1．（2024·金华真题）某综合实践活动小组设计了简易电子体重秤：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻（如图1），当人站上踏板时，通过电压表显示的读数换算为人的质量，已知随着的变化而变化（如图2），与踏板上人的质量的关系见图3.则下列说法不正确的是（ ）
A．在一定范围内，越大，越小
B．当时，的阻值为
C．当路板上人的质是为90kg时，
D．若电压表是程为为保护电压表，该电子体重秤可称的最大质承是115kg
2．（2024·金华真题）已知，则的值等于（ ）
A．10 B．-10 C．0 D．10或-10
3．（2024·金华真题）如图所示的矩形ABCD内放置5个大小相同的正方形且E，F，G，H四个顶点分别在矩形的四条边上，为求AD-AB的值，只要量出下面哪一条线段即可 （ ）
A．CG B．FC C．BF D．GD
4．（2024·金华真题）如图，在四边形ABCD中，，把Rt沿着AC翻折得到Rt，若，则线段DE的长度（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·金华真题）如图，由12根铅丝焊接成一个正方体框架.现要将每个正方形的4根铅丝分别涂上红、黄、蓝、白4种颜色.如果已将AD涂成红色，BF涂成黄色，GH涂成蓝色，那么该涂成白色的铅丝有 .
6．（2024·金华真题），点是边AB上的动点，以PC为边，在AC上方构造等边三角形，连接BQ.则面积的最大值是 .
7．（2024·金华真题）若平面直角坐标系内的点满足横、纵坐标都为整数，则把这样的点叫做"整点".例如：都是"整点".抛物线与轴交于点M、N两点，若该抛物线在M、N之间的部分与线段MN'所围成的区域（包括边界）恰有七个整点，则t的取值范围是 。
8．（2024·金华真题）如图，中，，射线CP从射线CA开始绕点逆时针旋转角，与射线AB相交于点，将沿射线CP翻折至处，射线与射线AB相交于点.若是等腰三角形，则的度数为 。
9．（2024·金华真题）解答下列问题：
（1）已知，求的值.
（2）已知a，b是实数，且，化简.
10．（2024·金华真题）定义运算：，若，试求的值.
11．（2024·金华真题）如图1，C，D是半圆ACB上的两点，若直径AB上存在一点，确足，则称是的"美丽角".
（1）如图2，AB是的直径，弦是上一点，连结ED交AB于点，连结是的"美丽角"吗 请说明理由；
（2）如图3，在(1)的条件下，若直径的"美丽角"为，当DE时，求CE的长.
12．（2024·金华真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点.
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点为直线AB上方抛物线上一动点，过点作轴于点，交AB于点，求的最大值及此时点的坐标；
13．（2024·金华真题）若干个工人装卸一批货物，每个工人的装卸速度相同。如果这些工人同时工作，则需10小时装卸完毕，现改变装卸方式，开始一个人干，以后每（整数）小时增加一个人干，每个参加装卸的人都一直干到装卸结束，且最后增加的一个人装卸的时间是第一个人装卸时间的.问：
（1）按改变后的装卸方式，自始至终需要多长时间
（2）参加装卸的有多少名工人
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】一次函数的图象；反比例函数的图象；反比例函数的性质；一次函数的性质
2．【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用
3．【答案】A
【知识点】矩形的判定与性质；正方形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
4．【答案】B
【知识点】翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：如图，过点D作DM⊥CE，
由折叠可知：∠AEC=∠B=90°，
∴AE//DM，
∴∠AED=∠EDM，
∴，
∵∠ACB=60°，∠ECD=30°，
设，由折叠性质可知，，
∴，
由翻折可知：∠ECA=∠BCA=60°，
∴∠ECD=30°，
∴，
∴，
∴，
即，
解得：，
∴，，
在直角三角形EDM中，DE2=DM2+EM2，
解得：，
故答案为：B.
【分析】过点D作DM⊥CE，首先得到∠ACB=60度，∠ECD=30度，再根据折叠可得到∠AED=∠EDM，设，由折叠性质可知，EC=CB，在直角三角形EDM中，根据勾股定理即可得DE的长.
5．【答案】AB、DH、FG.
【知识点】长方体的顶点、棱、面的特点
【解析】【解答】解：∵每个正方形的4根铅丝分别涂上红、黄、蓝、白4种颜色，
AD涂成红色，BF涂成黄色，GH涂成蓝色，
∴涂成红色的铅丝只能有EF、FG、CG，
而FG不合题意，则涂成红色的铅丝有EF、CG；
同理涂成黄色的铅丝有EH、CD；涂成蓝色的铅丝有AB、BC，
则涂成白色的铅丝有：AB、DH、FG，
故答案为：AB、DH、FG.
【分析】根据已知由AD涂成红色，BF涂成黄色，GH涂成蓝色，可EF、CG涂成红色，EH、CD涂成黄色，AE、BC涂成蓝色从而可求出涂成白色的铅丝.
6．【答案】
【知识点】二次函数的最值；等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，延长BA到E，使AE=AC，连QE，过Q作QF⊥AE交AE于点F，
∵∠BAC=120°，
∴∠CAE=60°，
∴△ACE为等边三角形，
∴CE=AC，∠CAE=∠CEA=∠ECA=60°，
∵△PCQ为等边三角形，
∴∠PCQ=∠ACE=60°，CP=CQ，
∴∠PCA=∠QCE，
∴△ACP≌△ECQ(SAS)，
∴∠PAC=∠QEC=120°，PA=QE，
∴∠QEF=∠QEC-∠AEC=120°-60°=60°，
∴∠FQE=90°-60°=30°，
∴，
∴，
∵AB=AC=18，
∴BP=AB-PA=18-QE，
∴
∵，
∴当QE=9时，S△BPQ有最大值，最大值为.
故答案为：.
【分析】如图，延长BA到E，使AE=AC，连QE，过Q作OF⊥AE交AE于点F，证出
△ACP≌△ECO(SAS)得出∠FOE=30°，然后利用勾股定理得出，用含QE的式子表示出△BPO面积，最后利用二次函数的性质即可得解.
7．【答案】
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=a（x-h）²+k的图象；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
8．【答案】或或
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质；翻折变换（折叠问题）；旋转的性质
9．【答案】（1）解：∵2-x≥0，
∴x≤2，
∴x-3≤0，
∴3-x-2+x=2x，
∴
（2）解：∵a-2≥0且2-a≥0，
∴a≥2且a≤2，
∴a=2.
将a=2代入上式，得b>1，
∴1-b<0，
∴原式
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【分析】（1）根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，列出不等式，求出x的值.
（2）根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，列出不等式，求出a的值，再根据b的取值范围，化简式子.
10．【答案】解：∵，，∴可变形为：，或，或，且为偶数，故可解得：或或.
故答案为：或或
【知识点】一元一次方程的其他应用
11．【答案】（1）解：∠CPD是的“美丽角”理由：
∵AB是⊙O的直径，弦CE⊥AB，
∴AB平分EC，
即AB为EC的垂直平分线，
∴PC=PE，
∵AB⊥EC，
∴∠CPA=∠EPA，
∵∠BPD=∠EPA，
∴∠CPA=∠BPD，
∴∠CPD是 CD的“美丽角”
（2）解：如图，连接OC，OD，
∵的美丽角为90°，
∴∠APC=∠BPD=45°，
∴∠APE=∠BPD=45°，
∵CE⊥AB，
∴∠E=∠APE=45°，
∴∠COD=2∠E=90°，
∵直径AB=4，
∴OC=OD=2，
∴；
∵∠CPD=90°，∠E=45°，
∴△CPE为等腰直角三角形，
∴PC=PE.
设PC=PE=x，则，
在Rt△PCD中，
∵PC2+PD2=CD2，
∴，
解得：或，
∴或，
∴或4
【知识点】垂径定理；圆周角定理
【解析】【分析】(1)AB是OO的直径，弦CE⊥AB，根据垂径定理得等腰三角形PCE，∠APC=∠APE，对顶角相等，可得∠APC=∠BPD，∠CPD是的“美丽角”；
(2)连接OC，OD，利用勾股定理列方程，求CD，CP，CE.
12．【答案】（1）解：∵抛物线与x轴交于点A(4，0)，与y轴交于点B(0，3)，
∴，解得，
∴抛物线的函数表达式为
（2）解：∵A(4，0)，B(0，3)，
∴OA=4，OB=3，
由勾股定理得，AB=5，
∵PQ⊥OA，
∴PQ//OB，
∴△AQM∽△AOB，
∴MQ：AQ：AM=3：4：5，
∴，，
∴5PM+6AM=5PM+10MQ，
∵B(0，3)，A(4，0)，
∴直线AB的解析式为：.
∴设，，，
∴5PM+10MQ
=5(PM+2MQ)
∵，
∴开口向下，0∴当m=1时，5PM+10MQ的最大值为 ，此时
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】(1)将点A、B坐标分别代入抛物线解析式，解方程即可；
(2)利用△AQM∽△AOB，得MQ：AQ：AM=3：4：5，则5PM+6AM=5PM+10MQ，设，，，用含m的代数式表示出5PM+10MQ，利用二次函数的性质可得答案.
13．【答案】（1）解：设装卸工作需要x小时完成，则第一人干了x小时，最后一个人干了小时，两人共干活小时，平均每人干活小时，根据题意可得：第二人与倒数第二人、第三人与倒数第三人，平均每人干活的时间也是小时，故可列方程为：，解得（小时）
（2）设共有y人参加装卸工作，又∵每（整数）小时增加一个人干，∴最后一人比第一人少干（y-1）t小时，根据题意可列方程：
，即，解此不定方程可得：，故参加人数y=2或3或4或5或7或13
【知识点】一元一次方程的实际应用-工程问题；二元一次不定方程
1 / 1浙江省金华一中2024年自主招生数学试卷
1．（2024·金华真题）某综合实践活动小组设计了简易电子体重秤：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻（如图1），当人站上踏板时，通过电压表显示的读数换算为人的质量，已知随着的变化而变化（如图2），与踏板上人的质量的关系见图3.则下列说法不正确的是（ ）
A．在一定范围内，越大，越小
B．当时，的阻值为
C．当路板上人的质是为90kg时，
D．若电压表是程为为保护电压表，该电子体重秤可称的最大质承是115kg
【答案】C
【知识点】一次函数的图象；反比例函数的图象；反比例函数的性质；一次函数的性质
2．（2024·金华真题）已知，则的值等于（ ）
A．10 B．-10 C．0 D．10或-10
【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用
3．（2024·金华真题）如图所示的矩形ABCD内放置5个大小相同的正方形且E，F，G，H四个顶点分别在矩形的四条边上，为求AD-AB的值，只要量出下面哪一条线段即可 （ ）
A．CG B．FC C．BF D．GD
【答案】A
【知识点】矩形的判定与性质；正方形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
4．（2024·金华真题）如图，在四边形ABCD中，，把Rt沿着AC翻折得到Rt，若，则线段DE的长度（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：如图，过点D作DM⊥CE，
由折叠可知：∠AEC=∠B=90°，
∴AE//DM，
∴∠AED=∠EDM，
∴，
∵∠ACB=60°，∠ECD=30°，
设，由折叠性质可知，，
∴，
由翻折可知：∠ECA=∠BCA=60°，
∴∠ECD=30°，
∴，
∴，
∴，
即，
解得：，
∴，，
在直角三角形EDM中，DE2=DM2+EM2，
解得：，
故答案为：B.
【分析】过点D作DM⊥CE，首先得到∠ACB=60度，∠ECD=30度，再根据折叠可得到∠AED=∠EDM，设，由折叠性质可知，EC=CB，在直角三角形EDM中，根据勾股定理即可得DE的长.
5．（2024·金华真题）如图，由12根铅丝焊接成一个正方体框架.现要将每个正方形的4根铅丝分别涂上红、黄、蓝、白4种颜色.如果已将AD涂成红色，BF涂成黄色，GH涂成蓝色，那么该涂成白色的铅丝有 .
【答案】AB、DH、FG.
【知识点】长方体的顶点、棱、面的特点
【解析】【解答】解：∵每个正方形的4根铅丝分别涂上红、黄、蓝、白4种颜色，
AD涂成红色，BF涂成黄色，GH涂成蓝色，
∴涂成红色的铅丝只能有EF、FG、CG，
而FG不合题意，则涂成红色的铅丝有EF、CG；
同理涂成黄色的铅丝有EH、CD；涂成蓝色的铅丝有AB、BC，
则涂成白色的铅丝有：AB、DH、FG，
故答案为：AB、DH、FG.
【分析】根据已知由AD涂成红色，BF涂成黄色，GH涂成蓝色，可EF、CG涂成红色，EH、CD涂成黄色，AE、BC涂成蓝色从而可求出涂成白色的铅丝.
6．（2024·金华真题），点是边AB上的动点，以PC为边，在AC上方构造等边三角形，连接BQ.则面积的最大值是 .
【答案】
【知识点】二次函数的最值；等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，延长BA到E，使AE=AC，连QE，过Q作QF⊥AE交AE于点F，
∵∠BAC=120°，
∴∠CAE=60°，
∴△ACE为等边三角形，
∴CE=AC，∠CAE=∠CEA=∠ECA=60°，
∵△PCQ为等边三角形，
∴∠PCQ=∠ACE=60°，CP=CQ，
∴∠PCA=∠QCE，
∴△ACP≌△ECQ(SAS)，
∴∠PAC=∠QEC=120°，PA=QE，
∴∠QEF=∠QEC-∠AEC=120°-60°=60°，
∴∠FQE=90°-60°=30°，
∴，
∴，
∵AB=AC=18，
∴BP=AB-PA=18-QE，
∴
∵，
∴当QE=9时，S△BPQ有最大值，最大值为.
故答案为：.
【分析】如图，延长BA到E，使AE=AC，连QE，过Q作OF⊥AE交AE于点F，证出
△ACP≌△ECO(SAS)得出∠FOE=30°，然后利用勾股定理得出，用含QE的式子表示出△BPO面积，最后利用二次函数的性质即可得解.
7．（2024·金华真题）若平面直角坐标系内的点满足横、纵坐标都为整数，则把这样的点叫做"整点".例如：都是"整点".抛物线与轴交于点M、N两点，若该抛物线在M、N之间的部分与线段MN'所围成的区域（包括边界）恰有七个整点，则t的取值范围是 。
【答案】
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=a（x-h）²+k的图象；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
8．（2024·金华真题）如图，中，，射线CP从射线CA开始绕点逆时针旋转角，与射线AB相交于点，将沿射线CP翻折至处，射线与射线AB相交于点.若是等腰三角形，则的度数为 。
【答案】或或
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质；翻折变换（折叠问题）；旋转的性质
9．（2024·金华真题）解答下列问题：
（1）已知，求的值.
（2）已知a，b是实数，且，化简.
【答案】（1）解：∵2-x≥0，
∴x≤2，
∴x-3≤0，
∴3-x-2+x=2x，
∴
（2）解：∵a-2≥0且2-a≥0，
∴a≥2且a≤2，
∴a=2.
将a=2代入上式，得b>1，
∴1-b<0，
∴原式
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【分析】（1）根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，列出不等式，求出x的值.
（2）根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，列出不等式，求出a的值，再根据b的取值范围，化简式子.
10．（2024·金华真题）定义运算：，若，试求的值.
【答案】解：∵，，∴可变形为：，或，或，且为偶数，故可解得：或或.
故答案为：或或
【知识点】一元一次方程的其他应用
11．（2024·金华真题）如图1，C，D是半圆ACB上的两点，若直径AB上存在一点，确足，则称是的"美丽角".
（1）如图2，AB是的直径，弦是上一点，连结ED交AB于点，连结是的"美丽角"吗 请说明理由；
（2）如图3，在(1)的条件下，若直径的"美丽角"为，当DE时，求CE的长.
【答案】（1）解：∠CPD是的“美丽角”理由：
∵AB是⊙O的直径，弦CE⊥AB，
∴AB平分EC，
即AB为EC的垂直平分线，
∴PC=PE，
∵AB⊥EC，
∴∠CPA=∠EPA，
∵∠BPD=∠EPA，
∴∠CPA=∠BPD，
∴∠CPD是 CD的“美丽角”
（2）解：如图，连接OC，OD，
∵的美丽角为90°，
∴∠APC=∠BPD=45°，
∴∠APE=∠BPD=45°，
∵CE⊥AB，
∴∠E=∠APE=45°，
∴∠COD=2∠E=90°，
∵直径AB=4，
∴OC=OD=2，
∴；
∵∠CPD=90°，∠E=45°，
∴△CPE为等腰直角三角形，
∴PC=PE.
设PC=PE=x，则，
在Rt△PCD中，
∵PC2+PD2=CD2，
∴，
解得：或，
∴或，
∴或4
【知识点】垂径定理；圆周角定理
【解析】【分析】(1)AB是OO的直径，弦CE⊥AB，根据垂径定理得等腰三角形PCE，∠APC=∠APE，对顶角相等，可得∠APC=∠BPD，∠CPD是的“美丽角”；
(2)连接OC，OD，利用勾股定理列方程，求CD，CP，CE.
12．（2024·金华真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点.
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点为直线AB上方抛物线上一动点，过点作轴于点，交AB于点，求的最大值及此时点的坐标；
【答案】（1）解：∵抛物线与x轴交于点A(4，0)，与y轴交于点B(0，3)，
∴，解得，
∴抛物线的函数表达式为
（2）解：∵A(4，0)，B(0，3)，
∴OA=4，OB=3，
由勾股定理得，AB=5，
∵PQ⊥OA，
∴PQ//OB，
∴△AQM∽△AOB，
∴MQ：AQ：AM=3：4：5，
∴，，
∴5PM+6AM=5PM+10MQ，
∵B(0，3)，A(4，0)，
∴直线AB的解析式为：.
∴设，，，
∴5PM+10MQ
=5(PM+2MQ)
∵，
∴开口向下，0∴当m=1时，5PM+10MQ的最大值为 ，此时
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】(1)将点A、B坐标分别代入抛物线解析式，解方程即可；
(2)利用△AQM∽△AOB，得MQ：AQ：AM=3：4：5，则5PM+6AM=5PM+10MQ，设，，，用含m的代数式表示出5PM+10MQ，利用二次函数的性质可得答案.
13．（2024·金华真题）若干个工人装卸一批货物，每个工人的装卸速度相同。如果这些工人同时工作，则需10小时装卸完毕，现改变装卸方式，开始一个人干，以后每（整数）小时增加一个人干，每个参加装卸的人都一直干到装卸结束，且最后增加的一个人装卸的时间是第一个人装卸时间的.问：
（1）按改变后的装卸方式，自始至终需要多长时间
（2）参加装卸的有多少名工人
【答案】（1）解：设装卸工作需要x小时完成，则第一人干了x小时，最后一个人干了小时，两人共干活小时，平均每人干活小时，根据题意可得：第二人与倒数第二人、第三人与倒数第三人，平均每人干活的时间也是小时，故可列方程为：，解得（小时）
（2）设共有y人参加装卸工作，又∵每（整数）小时增加一个人干，∴最后一人比第一人少干（y-1）t小时，根据题意可列方程：
，即，解此不定方程可得：，故参加人数y=2或3或4或5或7或13
【知识点】一元一次方程的实际应用-工程问题；二元一次不定方程
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