§3.1.1 数系的扩充和复数的引入 教学设计
一、学习目标:
1、知识与技能
了解数系的扩充过程及必要性。理解复数有关概念、复数分类及相等的充要条件。初步了解虚数单位的概念和性质。
2、过程与方法
通过类比引入、分类讨论、化归转化等数学思想的应用，采取“阅读、质疑、探究”的过程，让学生体验数系的扩充过程。培养学生分析问题、解决问题的能力。
3、情感、态度与价值观
让学生在“发现问题，解决问题”中增长技能，充分认识人类理性思维对数学发展所起到的重要作用，从而进行历史唯物主义教育和辩证唯物主义教育。
二、学习重点与难点
重点：数系的扩充,复数及其相关概念，能区分虚数与纯虚数，明白各数系之间的关系。
难点：数系扩充的过程和方法，虚数i的引入。复数概念的理解应用。
三、学习方法
创设情境、启发引导、变式训练、深化概念
四、教具准备 多媒体
五、教学过程
（一）复习准备（用时约5分钟）
1.地理上，星系的扩充是怎样的？数学上，数系进行了几次扩充，N、Z、Q、R分别代表什么数集？它们之间有什么关系？
（通过数集的进一步拓展，让学生感受数系的发展与生活是密切相关的。）
2．判断下列方程在实数集中的解的个数（引导学生回顾根的个数与的关系）：
（1） （2） （3） （4）
3.思考上题(4)中，若给方程一个解，则这个解要满足什么条件？
（通过对阅读材料的讲解引入虚数i,让学生感受到数学精神的博大和学习虚数的必要性。）
（二）新课引入（用时约3分钟）
有了虚数i，新的数集中还会有什么数？这些数有什么一般形式？
满足：(1);(2)实数可以与i进行四则运算。
（按照数集扩充的原则，对实数集进行扩充，很自然的提出新的问题，让学生思考。从而引入复数的概念。）
(三)讲授新课
1、基本概念（用时约12分钟）
（1）复数定义：形如的数叫做复数，通常用小写字母z,记为（复数的代数形式），其中叫虚数单位，叫做复数的实部，叫做复数的虚部,其中。
数集叫做复数集。学生总结：
练一练：下列各数是否是复数，试找出它们各自的实部和虚部。
（学习了复数的定义后跟踪练习，体会复数可以表示为实数、虚数，为下一步复数的分类奠定基础。）
探究：由上题可以看出，复数可以表示实数，也可以表示虚数。当实数取何值时，它为实数？虚数？（由学生回答，体现思维总结过程。）
（2）复数分类：
例1：指出下列复数4,2-3i,0,, 6i中的实数、虚数、纯虚数。
例2：实数x取何值时，复数z=(x-2)+(x+3)i是①实数？②虚数？③纯虚数？
（引导学生根据实数、虚数、纯虚数的定义去分析讨论）
分析：由x∈R可知(x-2),(x+3)都是实数，根据复数z=a+bi是实数、虚数和纯虚数的条件可以分别确定m的值。
解：（1）当x+3=0,即x=-3时，复数z是实数。
（2）当x+3≠0,即x≠-3时，复数z是虚数。
（3）当x-2=0，且x+3≠0，即x=2时，复数z是纯虚数。
小结：上述例中，根据定义判断哪些是实数、虚数、纯虚数？
（先由学生小组总结，教师做最后概括。在归纳前有的数系扩充过程的基础上，实现实数系向复数系的扩充，进而掌握复数的概念以及相关的一些概念（如虚数单位、复数的实部与虚部、复数集）。）
2.拓展练习（用时7分钟）
已知复数（m∈R），
（1）指出z的实部和虚部;
（2）当实数m取何值时，复数z是实数、虚数、纯虚数。
解：（1）复数z的代数形式为：
其中实部为虚部为。
（2）当 时，即m=-2或3时，复数z为实数。
当 时，即m≠-2且m≠3时，复数z为虚数。
当 且 时，即m=4时，复数z为纯虚数。
说明：本题是拔高题，学生学完复数的定义以及分类后，再来求解这类题目。要分清复数的根本——实部和虚部。在复数的实部和虚部满足不同的条件下，确定复数的分类。注意一元二次方程根的求法和不等式组的解法（本题需要学生黑板解答）。
变式：上题中，若z=0,则实数m的值如何求解？若z=-4i那？若z=-5-4i那？
（在例2的运算基础上变式，既复习了复数的分类题目，又自然引入复数相等的概念。起到承上启下的作用。）
3、复数的相等（用时8分钟）
规定：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．
记作：。
特别的复数：
例3：求适合下列方程中，实数x和y的值：
解：(1)由复数相等的定义得：且，解得：
(2)且，解得：。
说明：类问题仍要分清复数的实部和虚部，从而利用复数相等的定义解得参数的值。（2）题可以利用移项法则求解。先让学生思考方法，教师再做总结。
课堂小结：虚数i的引入;复数、虚数、纯虚数的概念及它们之间的关系及两复数相等的充要条件。(先由学生总结，教师作最后概括)
（四）当堂检测（共30分，用时约6分钟）
1．指出下列复数哪些是实数、虚数、纯虚数。
2．下列命题正确的是： （ ）
① 两复数虚部都是0，则实部大的那个复数较大。
② 已知复数z=m2(1+i)-(m+i),若z是实数，则m的值为1.
③若i是纯虚数，则实数x=±1.
④若，则x=1,y=7.
A．②④ B. ①④ C. ②③ D. ①②
3.已知A＝{1，2，i}，B＝{－1，3}，A∩B={3},求实数a的值。
检测答案：
1.实数有：8+0i、6、、0;
虚数有：、8－4i、i、、7i;
纯虚数有：i、7i 。
2.选项：D
3.由题得：
即且解得：a=-1。
说明：检测题目针对本节课主要内容，复数的概念及分类，复数相等的充要条件，检测学生本节课内容的掌握程度，起到了检测作用。
思考（用时约2分钟）
（1）复数能判断正负吗？若能，要符合什么条件？
例如：已知，如何确定实数x,y的范围。
（2）若z∈C,当z为何值时，复数(z-2)+(z+3)i=0.
（3）两个复数能比较大小吗？
说明：通过设计思考题，引发学生课下讨论，既加深了本节课内容，又为下节课复数的几何意义埋下伏笔。
（五）作业布置（用时约2分钟）
（1）阅读课本P66阅读与欣赏：复平面与高斯;
(2)课本P54练习A1.2.3; P55练习B 1.2.3;
（3）预习复数的几何意义以及共轭复数。
(六)课后反思
这节课上的比较成功。检测满分率高达95%以上。这一堂课通过介绍数系的扩充入手，体现虚数i的引入的必要性，并将数系推广到了复数系。从而与物理学上各种矢量相沟通，使复数成为研究力、位移、速度、电场强度等量的强有力的工具。让学生感受到数学精神的博大精深，人类认识问题，发现科学的艰辛历程。通过对复数概念及复数相等充要条件的习题训练应用，让学生在“发现问题，解决问题”中增长技能，培养学生运用理性思维解决问题的能力。
