1.2.2 单位圆与三角函数线
教学目标：
1．知识与技能: 使学生掌握如何利用单位圆中的有向线段分别表示任意角的正弦、余弦、正切函数值,并能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题.
2．过程与方法: 借助几何画板以及板演，让学生经历概念的形成过程，提高学生观察、发现、类比、猜想和实验探索的能力；在论坛上开展研究性学习，让学生借助所学知识自己去发现新问题，并加以解决，提高学生抽象概括、分析归纳、数学表述等基本数学思维能力.
3．、情感与态度三维目标：激发学生对数学研究的热情，培养学生勇于发现、勇于探索、勇于创新的精神；通过学生之间、师生之间的交流合作，实现共同探究、教学相长的教学情境.
教学重点难点：
1．重点：三角函数线的作法及其简单应用.
2．难点：利用与单位圆有关的有向线段，将任意角的正弦、余弦、正切函数值分别用它们的几何形式表示出来.
教学方法与教学手段：
1．教法选择：“设置问题，探索辨析，归纳应用，延伸拓展”——科研式教学.
2．学法指导：类比、联想，产生知识迁移；观察、实验，体验知识的形成过程；猜想、求证，达到知识的延展.
3．教学手段：本节课地点选在多媒体网络教室，学生利用三角板，直尺等探讨数学问题，做数学实验; 借助小组合作学习交流各自的观点,展示自己的才能.
课前预习：
对于角α的各种三角函数我们都是用比值来表示的，或者说是用数来表示的，今天我们再来学习正弦、余弦、正切函数的另一种表示方法——几何表示法.
角α的正弦、余弦、正切是怎样定义的？
所以=______，_________，所以点p坐标为____________.
当r=1时，=______，_________，所以点p坐标为____________.
（2）角α 的正弦、余弦、正切值与终边上P点的位置是否有关？
数轴上向量的数量（坐标）是如何规定的？
数轴上的向量的坐标是一个实数，这个实数的绝对值为线段的长度，如果向量的方向与数轴的方向相同取正，反之取负.
新课讲授
探究点1：单位圆的定义
从定义看出：角α的三角函数是两个变量的比值.为了简单地计算其正余弦、正切，我们可以使分母为1.
问题1：当r=1时，即P点到原点的距离为1.所有满足条件的点P构成什么图形？
定义：单位圆 __________________________________________________________
注意：____________________________________________________.
探究点2: 正弦线、余弦线
问题2 ：当角α是第一象限角时，能否在坐标轴上找到两个以原点为起点的向量,使P点的坐标分别是这两个向量的数量？
问题3：当终边在第一象限时，角α的正、余弦与Ｐ点的纵、横坐标y，x之间有何关系？
思考1：随着α在第一象限内转动，MP是否也跟着变化？而它的长度值是否永远等于sinα？
OM是否也跟着变化？而它的长度值是否永远等于COSα？
思考2：由问题1，2你得到角α的正、余弦值与向量的数量有什么关系？
结论：第一象限角α的正、余弦值分别等于终边与单位圆交点的____坐标、____坐标，也分别等于 , 的数量, 即
_____________________________________________________
学生独立做出四个象限角的正弦线、余弦线.
探究点3：正切线的定义
问题4：α是第一象限角，能否在坐标系中找到一个垂直于x轴的向量，使它的数量为α的正切？
以A为原点建立y′轴与y轴同向，y′轴与α角的终边(或其反向延长线)相交于点T(或T′)，则tanα=AT(或AT′).
问题5：角α是第二象限的角时能否找到一个垂直于x轴的向量，使其数量为tanα？
问题6:
α终边在x轴、y轴上时，三角函数线有何特点？数量值是多少？
总结提升：
(1)三角函数线的位置:
(2)三角函数线的方向:
【例题精讲】
类型一 作任意角的三角函数线
类型二 比较三角函数值的大小
例2.利用三角函数线比较sin1和cos1的大小.
变式训练 比较大小：
(1) sin 1和sin 1.5.
(2) cos 1和cos 1.5.
(3) tan2和tan3
类型三 利用三角函数线解等式(不等式)
例3 利用单位圆,可得满足sinα= ,且α∈(0,π)的α的集合_________________.
变式训练
利用单位圆,可得满足sinα< ,且α∈(0,π)的α的集合为____________________.
学生小结：本节课在知识点及方法上取得的收获：
当堂检测
1.若角α的正切线位于第一象限，则角α属于( )
(A)第一象限 (B)第一、二象限
(C)第三象限 (D)第一、三象限
2.sin 1，cos 1，tan 1的大小关系为( )
(A)sin 1>cos 1>tan 1
(B)sin 1>tan 1>cos 1
(C)tan 1>sin 1>cos 1
(D)tan 1>cos 1>sin 1
3.比较大小：tan 1_____ (填“＞”或“＜”).
课后拓展
在上，满足 的x的取值范围是（ ）
A B C D
求函数的定义域.
当x∈（0，）时，有 sinx＜x＜tanx
课后作业：第21页练习A,B
1.2.2 单位圆与三角函数线
当堂检测
1.若角α的正切线位于第一象限，则角α属于( )
(A)第一象限 (B)第一、二象限
(C)第三象限 (D)第一、三象限
2.sin 1，cos 1，tan 1的大小关系为( )
(A)sin 1>cos 1>tan 1
(B)sin 1>tan 1>cos 1
(C)tan 1>sin 1>cos 1
(D)tan 1>cos 1>sin 1
3.比较大小：tan 1_____ (填“＞”或“＜”).
课后拓展
在上，满足 的x的取值范围是（ ）
A B C D
求函数的定义域.
当x∈（0，）时，有 sinx＜x＜tanx
课件44张PPT。1.2.2 单位圆与三角函数线 力与美，数与形历来都是完美的结合，角是一个图形的概念，也是一个数量的概念，作为角的函数-三角函数是一个数量概念，但它能不能也是一个图形概念呢？换句话说，能否用几何图形的形式来表示三角函数呢？ 对于角α的各种三角函数我们都是用比值来表示的，或者说是用数来表示的，今天我们再来学习正弦、余弦、正切函数的另一种表示方法——几何表示法.1.了解单位圆的概念.
2.能够用正弦线、余弦线、正切线表示任意角的
三角函数值,并掌握三角函数线的应用（重点、难点）知识回顾
（1）角 的正弦、余弦、正切是怎样定义的？αr(3)数轴上向量的数量（坐标）是如何规定的？数轴上的向量 的坐标是一个实数，这个实数的绝对值为线段的长度，如果向量的方向与数轴的方向相同取正，反之取负.（2）角α 的正弦、余弦、正切值与终边上P点的位置是否有关？与P点位置无关，与角α的终边有关.x从定义看出：角α的三角函数是两个变量的比值.为了简单地计算其正余弦、正切，我们可以使分母为1.问题1：当r=1时，即P点到原点的距离为1.所有满足条件的点P构成什么图形？以原点为圆心，半径为１的圆.探究点1：单位圆的定义xyOP(x , y)α终边 sinα== ycosα== x我们把半径为1的圆叫做单位圆，设单位圆的圆心与坐标原点重合，如图所示，设任意角α与单位圆交于点 P(x , y)，则r = |OP| = 1.【注意】
单位圆中的“单位”
半径为1的圆是单位圆,这里的1不是1cm,不是1m,而是指1个单位长度,即作图时,规定为1个单位的长度.问题2 ：当角α是第一象限角时，能否在坐标轴上找到两个以原点为起点的向量,使P点的坐标分别是这两个向量的数量？过Ｐ作ＰＭ垂直x轴于点Ｍ，作ＰＮ垂直y轴于点Ｎ，则点Ｍ，Ｎ分别是点P在x轴、y轴上的正射影（简称射影).oP（x,y）NxM探究点2：正弦线、余弦线y问题3：当终边在第一象限时，角α的正、余弦与Ｐ点的纵、横坐标y，x之间有何关系？【思考1】随着α在第一象限内转动，MP是否也跟着变化？而它的数量值是否永远等于sinα?OM是否也跟着变化？而它的数量值是否永远等于cosα?yoxPNM一般结论：角α的余弦和正弦分别等于角α的终边与单位圆交点的横坐标和纵坐标，即正弦、余弦线是向量
正弦、余弦值是数量【思考2】由问题1，2你得到角α的正、余弦值与向量的数量有什么关系？xyoP(x , y)α终边 xyoMMP(x,y)一二象限正、余弦线α终边 xyoxyoMM三四象限正、余弦线α终边 α终边 P(x , y)P(x , y)问题4：α是第一象限角，能否在坐标系中找到一个垂直于x轴的向量，使它的数量为α的正切？Ｔ点是过单位圆与x轴正半轴的交点Ａ作圆的切线与α终边的交点．yxoPTMA探究点3：正切线的定义yx问题5：角α是第二象限的角时能否找到一个垂直于x轴的向量，使其数量为tanα？能否找到一个以Ａ点为起点在过A 的切线上的向量，使这一向量的数量为tanα ？yoα的终边TA1T1（-1，y1 ）AT1的坐标为（-1，y1），则
tanα=·x以A为原点建立y′轴与y轴同向，y′轴与α角
的终边(或其反向延长线)相交于点T，则tanα=AT.
我们把轴上向量 叫做α的正切线.四个象限角的正切线答：角α的终边在x轴上时,点P与点M 重合,点T与点A重合,此时,正弦线和正切线都变成了一点,它们的数量为0,而余弦线OM=1或-1.α终边在x轴、y轴上时，三角函数线有何特点？数量值是多少？问题6:当角α的终边落在y轴上时,正弦线MP=1或-1,余弦线变成了一点，它表示的数量为零,正切线不存在.【总结提升】
(1)三角函数线的位置:
正弦线在α的终边与单位圆的交点到x轴的垂直的
直线上；
余弦线在x轴上；
正切线在单位圆与x轴正方向的交点的切线上；
三条有向线段中两条在单位圆内,一条在单位圆外.(2)三角函数线的方向:
正弦线由垂足指向α的终边与单位圆的交点,
余弦线由原点指向垂足；
正切线由切点A指向与α终边或者终边延长线的交点.【例题精讲】类型一 作任意角的三角函数线同理可作出 的正弦线、
余弦线和正切线，如图，
即 的正弦线为 ，余弦线为 ,正切线为 .步骤：
1：恰当建系，画单位圆；
2：正确做出角的终边，设α的终边与单位圆交于点P；
3.作PM⊥x轴于M，则向量MP是正弦线，向量OM是余弦线；
4：设单位圆与x轴的正半轴交于点A，过点A作垂线与角α的终边（或其反向延长线）交于点T，则向量AT就是正切线；
5：三角函数值等于对应三角函数线的数量。
注意： 简单介绍: “有向线段”（带有方向的线段）的数量：绝对值等于有向线段的长度，方向与坐标轴方向相同时为正，反之为负。则有向线段的数量等于角的正弦、余弦和正切的值。类型二 比较三角函数值的大小
例2.利用三角函数线比较sin1和cos1的大小.
【解题探究】1.典例2中1与 的大小关系如何?
提示:1> .
【解析】如图,借助三角函数线可知sin1>cos1.
答案:sin1>cos1变式训练 比较大小：
(1) sin 1和sin 1.5.
(2) cos 1和cos 1.5.
(3) tan2和tan3
解：由三角函数线得
sin 1cos 1>cos 1.5；tan 2例3.利用单位圆,求满足 sinα= ,且α∈(0,π)的α的
集合为 .
【解析】1.典例3中 sinα= 时,角α的值为多少?
提示:sinα= 时,α= 或α=
类型三 利用三角函数线解不等式
例3 利用单位圆,可得满足sinα< ,且α∈(0,π)的α的集合为 .
【解析】1.如图所示,
终边落在阴影内的角α满足sinα<
答案: 【方法技巧】
1.用三角函数线来解基本的三角等式或不等式的步骤
(1)作出取等号的角的终边；（临界情况）
(2)利用三角函数线的直观性,在单位圆中确定满足不等式的角的范围；
(3)将图中的范围用不等式表示出来 .1.若角α的正切线位于第一象限，则角α属于( )
(A)第一象限 (B)第一、二象限
(C)第三象限 (D)第一、三象限
【解析】选D.由正切线的定义知，当角α是第一、三象限的角时，正切线都在第一象限．2.sin 1，cos 1，tan 1的大小关系为( )
(A)sin 1>cos 1>tan 1
(B)sin 1>tan 1>cos 1
(C)tan 1>sin 1>cos 1
(D)tan 1>cos 1>sin 1
【解析】选C.设1 rad角的终边与单位圆交点为P(x，y)，
从而cos 1【解析】因为 由它们的正切线知
答案：＜1.单位圆中三角函数线的作法 （1）建立平面直角坐标系，画出单位圆;（2）找出 终边所在位置，设 的终边与单位圆交于点P,作 于M，作 于N ，则 是正弦线， 是余弦线.（3）设单位圆与x轴的正半轴交于点A，过点A的切线与角的终边交于点T（或其反向延长线交于点 ），则向量 就是正切线. 2.单位圆中三角函数线的应用：（1）利用三角函数线比较三角函数值的大小；
（2）已知三角函数值求角；
（3）利用三角函数线研究角的范围，解不等式.4. 已知α∈ 试比较sinα,α,tanα的大小.
【解题指南】本题可以利用正弦线,所对的弧长及正切线来表示
sinα,α,tanα,并借助它们所在的扇形及三角形的面积大小
来解决.【解析】如图所示,设角α的终边与单位圆交于点P,单位圆交x轴正
半轴于点A,作PM⊥x轴,PN⊥y轴,作AT⊥x轴,交α的终边于点T,由三
角函数线定义,得sinα=ON=MP,tanα=AT,
又α= 的长,
所以S△AOP=
又因为S△AOP
