浙江省宁波市鄞州中学2023-2024学年高二下学期期中数学试题
1．（2024高二下·鄞州期中）若集合，，则下列阴影部分可以表示的为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】补集及其运算；对数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：由，解得，所以，
所以或
故选：D.
【分析】根据对数函数定义域化简集合，再结合补集概念求出 ，进而可得到答案.
2．（2024高二下·鄞州期中）若a，b是空间中的两条直线，则“a，b异面”是“a，b没有公共点”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；空间点、线、面的位置
【解析】【解答】解：空间中的两条直线a，b异面，则a，b没有公共点，
反之，空间中的两条直线a，b没有公共点，则a，b异面或者a，b平行，
所以“a，b异面”是“a，b没有公共点”的充分不必要条件.
故选：A.
【分析】由空间中两直线的位置关系结合充分条件与必要条件的定义即可得到答案.
3．（2024高二下·鄞州期中）如图，为某组数据的散点图，由最小二乘法计算得到回归直线的方程为，相关系数为，决定系数为．若经过残差分析后去掉点P，剩余的点重新计算得到回归直线的方程为，相关系数为，决定系数为．则下列结论一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．，
【答案】C
【知识点】样本相关系数r及其数字特征
【解析】【解答】解：去掉离群点P后相关性更强，拟合效果也更好，且还是正相关，所以0<，，故选项ABD错误；共8个点且离群点P的横坐标较小而纵坐标相对过大，去掉离群点后回归方程的斜率更大，故选项C正确
故选：C.
【分析】由散点可判断出正相减，去掉离群点后，线性关系更强，根据相关系数和决定系数的概念即可判断选项ABD，由离群点的位置判断去掉离群点后回归方程的斜率变化即可判断选项C.
4．（2024高二下·鄞州期中）若既能被9整除又能被7整除，则正整数a的最小值为（ ）
A．6 B．10 C．55 D．63
【答案】C
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】解：因为，
所以
，
若能被7整除，则，所以
又因为，
所以
，
若能被9整除，则，所以，
A、若，则由可知无解，故选项A错误；
B、若，则由可知无解，故选项B错误；
C、若，则由和得，故选项C正确；
D、若，则由可知无解，故选项D错误.
故选：C.
【分析】分别由和，结合已知条件和二项式定理得和，再一一检验时和的解的情况即可得出答案.
5．（2024高二下·鄞州期中）已知甲、乙两个袋子各装有10个球，其中甲袋子中装有4个黑球、3个白球和3个红球，乙袋子中装有3个黑球、2个白球和5个红球.规定抛掷一枚质地均匀的硬币，若正面朝上，则从甲袋子中随机摸出一个球：若反面朝上，则从乙袋子中随机换出一个球，下列概率中等于的为（ ）
A．摸到黑球
B．摸到红球
C．在抛出的硬币正面朝上的条件下，摸到白球
D．在抛出的硬币反面朝上的条件下，摸到红球
【答案】B
【知识点】全概率公式；条件概率
【解析】【解答】解：A、由全概率公式得摸到黑球的概率为，故选项A错误；
B、由全概率公式得摸到红球的概率为，故选项B正确；
C、在抛出的硬币正面朝上的条件下，摸到白球的概率为，故选项C错误；
D、在抛出的硬币反面朝上的条件下，摸到红球，故选项D错误.
故选：B.
【分析】由全概率公式分别计算摸到黑球的概率和摸到红球的概率即可判断选项AB；由条件概率定义计算即可判断选项CD.
6．（2024高二下·鄞州期中）若函数在区间恰有两个零点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：因为，所以是的一个零点，
因为函数在区间恰有两个零点，
所以函数在区间恰有一个非0的零点，
当，即时有一个零点，
将代入整理得即，解得，
故时有一个零点为，符合；
当，即时，
由根的分布情况得，即，解得，符合.
所以实数a的取值范围是.
故选：A.
【分析】先由可得是的一个零点，从而将问题转化成在区间恰有一个非0的零点，再根据和两种情形进行分析，当时情形将零点求出即可判断是否符合；对于情形结合根的分布得，解该不等式即可求出a的取值范围，最后综合两种情形即可得实数a的取值范围.
7．（2024高二下·鄞州期中）如图，某种雨伞架前后两排共8个孔，编号分别为号．若甲、乙、丙、丁四名同学要放伞，每个孔最多放一把伞，则甲放在奇数孔，乙放在偶数孔，且丙、丁没有放在同一排的放法有（ ）
A．68种 B．136种 C．272种 D．544种
【答案】C
【知识点】分类加法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：根据题意，分2种情况讨论：
①甲乙放在同一排，有种放法，
②甲乙不放在同一排，有种放法，
则有种不同的放法．
故选：C．
【分析】按甲乙是否放在同一排两种情况进行分类讨论，由分类加法计数原理计算即可得甲放在奇数孔，乙放在偶数孔，且丙、丁没有放在同一排的放法 ．
8．（2024高二下·鄞州期中）已知平面向量，，满足，且.若，则的最小值为（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】B
【知识点】平面向量减法运算；平面向量的数量积运算；向量在几何中的应用；解三角形
【解析】【解答】解：由题意可知，
解得，根据向量夹角的范围知，
如图所示，建立平面直角坐标系，不妨令，以原点为圆心，半径为2作圆，
因为，则在劣弧上，
设，
则，
关于作C的对称点，连接，
易知在圆上，且，
根据对称性可知，
当且仅当四点共线时取得等号，
由余弦定理知，
所以 ，
故选：B.
【分析】利用平面向量数量积公式先确定，从而确定的位置，建立合适的平面直角坐标系，设，则，关于作C的对称点，连接，。利用余弦定理求得
||，进而可得到答案.
9．（2024高二下·鄞州期中）下列式子恒成立的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A,B,D
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数的性质与运算法则；利用对数函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解：A、指数函数在R上单调递增，因为，所以，故选项A正确；
B、对数函数在上单调递增，所以；又因为，所以，故选项B正确；
C、，故选项C错误；
D、，故选项D正确.
故选：ABD.
【分析】由指数函数的单调性比较大小即可判断选项A；根据对数函数的单调性和指数函数的单调性，利用中间值0，即可判断选项B；利用对数式的运算和特殊角的正切值即可判断选项C；由对数式的运算判断选项D.
10．（2024高二下·鄞州期中）已知函数．若函数图象的两条相邻对称轴的距离为，则下列说法正确的有（ ）
A．函数的最大值为2
B．函数的最小正周期为
C．函数的图象向右平移得到函数的图象
D．函数的单调递增区间为
【答案】B,D
【知识点】二倍角的正弦公式；含三角函数的复合函数的周期；正弦函数的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】解：由题意可得，
因为函数图象的两条相邻对称轴的距离为，即，所以，
所以，所以，所以.
A、函数的最大值为1，故选项A错误；
B、的最小正周期为，故选项B正确；
C、，故选项C错误；
D、令，解得，
所以函数的单调递增区间为，故选项D正确.
故选：BD.
【分析】先由二倍角的正弦公式将函数化简为，进而由题意得，即可求得T，可判断选项B；再结合周期公式即可求出，进而求得函数解析式，即可判断选项A；由结合解析式计算即可判断选项C；令再求解该不等式即可得函数的单调递增区间可判断选项D.
11．（2024高二下·鄞州期中）如图，已知正三棱台的上、下底面边长分别为2和3，侧棱长为1，点P在侧面内运动（包含边界）．若直线AP与平面所成角的正切值为，则下列正确的为（ ）
A．存在点P和点，使得
B．在此三棱台中放置一个球体，其体积最大为
C．线段CP长度的取值范围为
D．所有满足条件的动线段AP形成的曲面面积为
【答案】A,C,D
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；球内接多面体；直线与平面所成的角；扇形的弧长与面积；余弦定理的应用
【解析】【解答】解：如图所示，延长正三棱台侧棱相交于点O，取中点，中点，连接，
则有，
所以的延长线必过点且，
过点作，则四边形是边长为1的菱形.
在中，，即，
解得，所以，
所以为边长为3等边三角形，
所以，，
所以，
因为是边长为3的等边三角形且为中点，
所以，，
在中，由余弦定理变形得，，
在中，由余弦定理变形得，
，解得，
所以，所以；
由，可得平面，
又因为平面，所以，
因为，，，可得平面，
因为AP与平面所成角的正切值为，
所以，解得，，
所以点在平面的轨迹为，
A、当点运动到点时，连接，交于点，连接，
因为平面平面，所以平面，
又平面，平面平面，所以，
所以存在点P，存在点，使得，故选项A正确；
B、因为侧棱长为1，所以内切球半径小于，若B选项正确，则，解得相互矛盾，故选项B错误；
C、当点运动到与的交点时有最小值，
因为四边形是边长为1且的菱形，
所以，所以，的最大值为，
在中，由余弦定理可得，，故选项C正确；
D、设的长度为l，则，
动线段AP形成的曲面展开为两个面积相等扇形，设其中一个的面积为，
则有，
因此所有满足条件的动线段AP形成的曲面面积为，故选项D正确；
故选：ACD.
【分析】先将正三棱台侧棱延长补成正三棱锥，求出点A到平面的距离即可确定点的运动轨迹，当点运动到点时，连接，交于点，连接，借助线面平行和面面平行的性质可得，即可判断选项A；结合题意可知，内切球半径小于，根据球体的体积公式即可判断选项B；当点运动到与的交点时有最小值，的最大值为，计算即可判断选项C；动线段AP形成的曲面展开为两个面积相等扇形，利用扇形的面积公式即可判断选项D.
12．（2024高二下·鄞州期中）已知随机变量X服从二项分布，且随机变量Y服从正态分布．若，则 ．
【答案】
【知识点】二项分布；正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：由题意可得，，所以，
所以.
故答案为：.
【分析】先由二项分布的均值公式求出，从而得，进而由概率之和为1和正态分布的对称性即可求得.
13．（2024高二下·鄞州期中）若复数z是关于x的方程的一个根，则复数z可以是 ．（写出满足条件的一个即可）
【答案】（答案不唯一）
【知识点】方程的解与虚数根
【解析】【解答】解：由可得，
所以，解得
所以或.
故答案为：（答案不唯一）.
【分析】先将方程转化为，从而得，求出方程的根，即可求得复数z.
14．（2024高二下·鄞州期中）已知函数的定义域为，且为偶函数，为奇函数；当时，．若，则 ．
【答案】
【知识点】奇偶函数图象的对称性；函数的周期性
【解析】【解答】解：为偶函数，为奇函数，，
∴
，
∴是的周期函数.
又∵，∴，
为奇函数，，
而为偶函数，∴.
∴，解得，
∴.
∴，，
设
，
其中，
则
.
故答案为：.
【分析】先根据函数的奇偶性质，得到是的周期函数，可得，列方程组即可求得k和b的值，进而求得函数f(x)的解析式，然后将所求和的每连续项记为一组，先求出每组的和，再全部相加即可求得的值 .
15．（2024高二下·鄞州期中）在①，②这两个条件中任选一个补充在下面的横线中，并解答．
已知中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且________．
（1）求角B的大小；
（2）若a，b，c成等差数列，判断的形状并加以证明．
【答案】（1）解：若选①，由正弦定理可得，
又，
所以，
即，
因为，所以，所以，即，
因为所以.
若选②，由正弦定理可得，
所以，
又，所以，所以，即，
所以.
（2）解：若a，b，c成等差数列，则为正三角形.
证明：若a，b，c成等差数列，则，
由余弦定理得，
所以，整理得即，
所以，所以，
所以为正三角形.
【知识点】等差数列的性质；两角和与差的正弦公式；解三角形；正弦定理的应用；三角形的形状判断
【解析】【分析】（1）若选①，由已知条件结合正弦定理以及运算得，即可求得B的值；若选②，由已知结合正弦定理以及两角和的正弦公式运算得，即可求得B的值；
（2）由a，b，c成等差数列得，再结合余弦定理，化简可得，于是得，进而可得为正三角形.
（1）若选①，由，结合正弦定理得，
又，
所以，
即，
又，故，所以，即，
所以；
若选②，由，
结合正弦定理得，
所以，
又，故，所以即，
所以.
（2）若a，b，c成等差数列，则为正三角形.
证明：若a，b，c成等差数列，则，
又由（1）和余弦定理得，
所以，整理得即，
所以，所以，
所以为正三角形.
16．（2024高二下·鄞州期中）某城市地铁将于2024年5月开始运营，为此召开了一个价格听证会，拟定价格后又进行了一次调查，随机抽查了50人，他们的收入与态度统计数据如下表：
月收入 （单位：百元）
赞成定价者人数 2 2 4 5 3 4
认为价格偏高者人数 4 8 9 6 2 1
（1）若以区间的中点值为该区间内的人均月收入，分别求出参与调查的人员中“赞成定价者”与“认为价格偏高者”的月平均收入；
（2）根据以上统计数据填下面列联表，依据小概率值的独立性检验，可否认为“月收入以55百元为分界点对地铁定价的态度有差异”？
对地铁定价的态度 人均月收入 合计
不低于55百元的人数 低于55百元的人数
认为价格偏高者
赞成定价者
合计
附：，其中．
参考数据
0.1 0.05 0.01 0.005
2.706 3.841 6.635 7.879
【答案】（1）解：由题意可知赞成定价者总人数为人，认为价格偏高者总人数为人，
所以“赞成定价者”的月平均收入为（百元），
“认为价格偏高者”的月平均收入为（百元）.
（2）解：由题补全列联表如下：
对地铁定价的态度 人均月收入 合计
不低于55百元的人数 低于55百元的人数
认为价格偏高者 3 27 30
赞成定价者 7 13 20
合计 10 40 50
设零假设：月收入以55百元为分界点对地铁定价的态度无差异，
因为，
所以依据小概率值的独立性检验推断成立，即认为月收入以55百元为分界点对地铁定价的态度无差异，即不能认为“月收入以55百元为分界点对地铁定价的态度有差异”.
【知识点】独立性检验的应用；2×2列联表
【解析】【分析】（1）先分别求出赞成定价者总人数和认为价格偏高者总人数，再依据平均数定义直接计算即可求得月平均收入.
（2）先根据题目表格所给数据即可填写列联表；再计算，与临界值比较即可得出结论.
（1）由题意可知赞成定价者总人数为人，
认为价格偏高者总人数为人，
所以“赞成定价者”的月平均收入为（百元），
“认为价格偏高者”的月平均收入为（百元）.
（2）由题补全列联表如下：
对地铁定价的态度 人均月收入 合计
不低于55百元的人数 低于55百元的人数
认为价格偏高者 3 27 30
赞成定价者 7 13 20
合计 10 40 50
设零假设：月收入以55百元为分界点对地铁定价的态度无差异，
由列联表表格数据得，
所以依据小概率值的独立性检验推断成立，即认为月收入以55百元为分界点对地铁定价的态度无差异，
所以依据小概率值的独立性检验不能认为“月收入以55百元为分界点对地铁定价的态度有差异”.
17．（2024高二下·鄞州期中）如图，多面体中，直角梯形所在平面与正三角形所在平面垂直，，．
（1）求该多面体的体积V；
（2）在棱上是否存在点P，使得直线和平面所成的角大小为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：取的中点，连接，
因为为正三角形，F为AB的中点，所以，
又因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
又由勾股定理可得，
所以该多面体的体积
（2）解：连接，由题意以及（1）可知且，
所以四边形是平行四边形，所以，所以，
由平面可知两两垂直，
以F为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
所以，
所以，，
设，则，
所以，
设是平面的一个法向量，
即，令，则，所以，
所以直线和平面所成的角的正弦值为
，
整理得，解得（舍去）或，
所以在棱上存在点P，使得直线和平面所成的角大小为，此时.
【知识点】平面与平面垂直的性质；直线与平面所成的角；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）取中点，连接，易知，根据线面垂直判定定理可证平面，进而利用棱锥的体积公式即可求出该多面体的体积V.
（2）先求证两两垂直，建立空间直角坐标系，设，依据已知条件求出和平面的法向量，再依据即可计算求解，进而得出结论.
（1）取中点，连接，则由为正三角形得，
又因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，又由题意，
所以该多面体的体积.
（2）连接，由题意以及（1）可知且，
所以四边形是平行四边形，所以，所以，
所以由平面可知两两垂直，
所以可建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
所以，，
设，则，
所以，
设是平面的一个法向量，则，
所以，即，取，则，
所以直线和平面所成的角的正弦值为
，
整理得，解得（舍去）或，
所以在棱上存在点P，使得直线和平面所成的角大小为，此时.
18．（2024高二下·鄞州期中）2023年11月，宁波市余姚河姆渡遗址迎来发掘五十周年，为引导青少年了解河姆渡文化，某校组织全体学生参加河姆渡历史文化知识竞赛，现从中抽取100名学生的成绩组成样本，并将得分分成以下6组：，，，，，，统计结果如图所示．
（1）试估计这100名学生的众数和中位数（保留一位小数）；
（2）从样本中得分不低于70分的学生中，用分层抽样的方法选取11人进行座谈，若从座谈名单中随机抽取3人，记得分在的人数为X，试求X的分布列和均值：
（3）以样本估计总体，根据频率分布直方图，可以认为参加知识竞赛的学生得分X近似服从正态分布，经计算．若，参赛学生可获得“参赛纪念证书”：若，参赛学生可获得“参赛先锋证书”．已知该校共600名学生参加本次文化竞赛活动，试估计获得“参赛纪念证书”的学生人数，并判断竞赛成绩为90分的学生能否获得“参赛先锋证书”．
附：若，则，，；
【答案】（1）解：由题意可得，众数为：分；
因为10×(0.01+0.015+0.02）=0.45<0.5，10×(0.01+0.015+0.02+0.03）=0.75>0.5，
所以中位数在组，
设中位数为x分，则0.45+0.03(x-70)=0.5，解得，
所以中位数约为71.7分.
（2）解：由题参加座谈的11人中，得分在的有人，
所以的所有可能取值为0，1，2，
所以，，，
所以的分布列为：
0 1 2
所以；
（3）解：由题可知，
所以获得“参赛纪念证书”的学生人数约为：人，
又由频率分布直方图可得这100名学生得分的平均数：
，因为，则，
所以，
因为只有当，参赛学生才可获得“参赛先锋证书”，
故竞赛成绩为90分的学生不能获得“参赛先锋证书”．
【知识点】分层抽样方法；众数、中位数、平均数；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；3σ原则
【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图中众数和中位数的概念求解即可求得这100名学生的众数和中位数 ；
（2）先按照分层抽样求出在的人数为2，则的所有可能取值为0，1，2，再求出对应的概率即可求得X的分布列和均值 ；
（3）由正态分布的概率特征求解即可得到答案．
（1）由题众数在组，故众数为：75分；
由题知每组频率分别为：0.1，0.15，0.2，0.3，0.15，0.1，
所以中位数在组，故中位数为：分；
（2）由题参加座谈的11人中，得分在的有人，
所以的可能取值为0，1，2，
所以，，，
所以的分布列为：
0 1 2
所以；
（3）由题可知，
所以获得“参赛纪念证书”的学生人数约为：人，
又由频率分布直方图可得这100名学生得分的平均数：
，
因为，则，
所以，
因为只有当，参赛学生才可获得“参赛先锋证书”，
故竞赛成绩为90分的学生不能获得“参赛先锋证书”．
19．（2024高二下·鄞州期中）已知函数的定义域为M，区间，对任意，且，记，．若，则称在I上具有性质A；若，则称在I上具有性质B：若，则称在I上具有性质C；若，则称在I上具有性质D．
（1）记①充分不必要条件：②必要不充分条件；③充要条件；④既不充分也不必要条件，
则在I上单调递增是在I上具有性质A的________（填正确选项的序号）：
在I上单调递增是在I上具有性质B的________（填正确选项的序号）；
在I上单调递增是在I上具有性质D的________（填正确选项的序号）；
（2）若在满足性质B，求实数a的取值范围；
（3）是否存在m，，使得函数在区间上恰满足性质A，B，C，D中的一个？若不存在，请说明理由：若存在，求实数m的最小值．
【答案】（1）①；②；③
（2）解：对于任意的，，且，
有，，
因为在，满足性质，
所以，
所以，
所以，
因为，所以，
所以，
由于任意的，，且，
所以，所以，
所以实数的取值范围是；
（3）解：实数的最小值为，理由如下：
因为在上恰满足性质、性质、性质、性质中的一个，
所以对任意，且，
若满足性质，，
若满足性质，则，
若满足性质、，则，
性质、、同时满足，所以仅满足性质，
此时，
有恒成立．
因为的定义域为，所以，
当时，，
所以，
所以，不合题意；
当时，，
所以，
所以，
要使恒成立，只需使，
即恒成立，
若，则，，使，这与矛盾，
当时，，恒成立，
所以的最小值为．
【知识点】必要条件；充要条件；函数恒成立问题
【解析】【解答】解：（1）因为，所以，
对于性质，当时，无法判断的符号，故无法判断单调性；
当在上单调递增时，，
所以在上单调递增是在上具有性质的充分不必要条件；
故答案为：①；
对于性质，当时，，所以在上单调递增；
当在上单调递增时，，的符号无法判断，
所以在上单调递增是在上具有性质B的必要不充分条件，
故答案为：②；
对于性质D，若，则，所以在上单调递增；
当在上单调递增时，，，
所以在单调递增是在上具有性质的充要条件；
故答案为：③．
【分析】（1）结合函数的单调性、充分、必要条件的知识确定正确答案；
（2）根据性质，可得，进而可得，利用分离常数法可得，结合不等式的性质求得的取值范围；
（3）将问题转化为恒成立，分，进行讨论，由此求得的最小值.
（1）由于，所以，
对于性质，当时，无法判断的符号，故无法判断单调性；
当在上单调递增时，，
所以在上单调递增是在上具有性质的充分不必要条件；
故答案为：①；
对于性质，当时，，所以在上单调递增；
当在上单调递增时，，的符号无法判断，
所以在上单调递增是在上具有性质B的必要不充分条件，
故答案为：②；
对于性质D，若，则，所以在上单调递增；
当在上单调递增时，，，
所以在单调递增是在上具有性质的充要条件；
故答案为：③．
（2）对于任意的，，且，
有，，
由于在，满足性质，
即，
所以，
所以，
因为，所以，
所以，
由于任意的，，且，
所以，所以，
所以实数的取值范围是；
（3）实数的最小值为，理由如下：
因为在上恰满足性质、性质、性质、性质中的一个，
所以对任意，且，
若满足性质，，
若满足性质，则，
若满足性质、，则，
性质、、同时满足，所以仅满足性质，
此时，
有恒成立．
因为的定义域为，
所以，
当时，，
所以，
从而，不合题意；
当时，，
所以，
从而，
要使恒成立，只需使，
即恒成立，
若，则，，使，这与矛盾，
当时，，恒成立，
所以的最小值为．
1 / 1浙江省宁波市鄞州中学2023-2024学年高二下学期期中数学试题
1．（2024高二下·鄞州期中）若集合，，则下列阴影部分可以表示的为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024高二下·鄞州期中）若a，b是空间中的两条直线，则“a，b异面”是“a，b没有公共点”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2024高二下·鄞州期中）如图，为某组数据的散点图，由最小二乘法计算得到回归直线的方程为，相关系数为，决定系数为．若经过残差分析后去掉点P，剩余的点重新计算得到回归直线的方程为，相关系数为，决定系数为．则下列结论一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．，
4．（2024高二下·鄞州期中）若既能被9整除又能被7整除，则正整数a的最小值为（ ）
A．6 B．10 C．55 D．63
5．（2024高二下·鄞州期中）已知甲、乙两个袋子各装有10个球，其中甲袋子中装有4个黑球、3个白球和3个红球，乙袋子中装有3个黑球、2个白球和5个红球.规定抛掷一枚质地均匀的硬币，若正面朝上，则从甲袋子中随机摸出一个球：若反面朝上，则从乙袋子中随机换出一个球，下列概率中等于的为（ ）
A．摸到黑球
B．摸到红球
C．在抛出的硬币正面朝上的条件下，摸到白球
D．在抛出的硬币反面朝上的条件下，摸到红球
6．（2024高二下·鄞州期中）若函数在区间恰有两个零点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2024高二下·鄞州期中）如图，某种雨伞架前后两排共8个孔，编号分别为号．若甲、乙、丙、丁四名同学要放伞，每个孔最多放一把伞，则甲放在奇数孔，乙放在偶数孔，且丙、丁没有放在同一排的放法有（ ）
A．68种 B．136种 C．272种 D．544种
8．（2024高二下·鄞州期中）已知平面向量，，满足，且.若，则的最小值为（ ）
A．3 B． C． D．
9．（2024高二下·鄞州期中）下列式子恒成立的有（ ）
A． B．
C． D．
10．（2024高二下·鄞州期中）已知函数．若函数图象的两条相邻对称轴的距离为，则下列说法正确的有（ ）
A．函数的最大值为2
B．函数的最小正周期为
C．函数的图象向右平移得到函数的图象
D．函数的单调递增区间为
11．（2024高二下·鄞州期中）如图，已知正三棱台的上、下底面边长分别为2和3，侧棱长为1，点P在侧面内运动（包含边界）．若直线AP与平面所成角的正切值为，则下列正确的为（ ）
A．存在点P和点，使得
B．在此三棱台中放置一个球体，其体积最大为
C．线段CP长度的取值范围为
D．所有满足条件的动线段AP形成的曲面面积为
12．（2024高二下·鄞州期中）已知随机变量X服从二项分布，且随机变量Y服从正态分布．若，则 ．
13．（2024高二下·鄞州期中）若复数z是关于x的方程的一个根，则复数z可以是 ．（写出满足条件的一个即可）
14．（2024高二下·鄞州期中）已知函数的定义域为，且为偶函数，为奇函数；当时，．若，则 ．
15．（2024高二下·鄞州期中）在①，②这两个条件中任选一个补充在下面的横线中，并解答．
已知中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且________．
（1）求角B的大小；
（2）若a，b，c成等差数列，判断的形状并加以证明．
16．（2024高二下·鄞州期中）某城市地铁将于2024年5月开始运营，为此召开了一个价格听证会，拟定价格后又进行了一次调查，随机抽查了50人，他们的收入与态度统计数据如下表：
月收入 （单位：百元）
赞成定价者人数 2 2 4 5 3 4
认为价格偏高者人数 4 8 9 6 2 1
（1）若以区间的中点值为该区间内的人均月收入，分别求出参与调查的人员中“赞成定价者”与“认为价格偏高者”的月平均收入；
（2）根据以上统计数据填下面列联表，依据小概率值的独立性检验，可否认为“月收入以55百元为分界点对地铁定价的态度有差异”？
对地铁定价的态度 人均月收入 合计
不低于55百元的人数 低于55百元的人数
认为价格偏高者
赞成定价者
合计
附：，其中．
参考数据
0.1 0.05 0.01 0.005
2.706 3.841 6.635 7.879
17．（2024高二下·鄞州期中）如图，多面体中，直角梯形所在平面与正三角形所在平面垂直，，．
（1）求该多面体的体积V；
（2）在棱上是否存在点P，使得直线和平面所成的角大小为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
18．（2024高二下·鄞州期中）2023年11月，宁波市余姚河姆渡遗址迎来发掘五十周年，为引导青少年了解河姆渡文化，某校组织全体学生参加河姆渡历史文化知识竞赛，现从中抽取100名学生的成绩组成样本，并将得分分成以下6组：，，，，，，统计结果如图所示．
（1）试估计这100名学生的众数和中位数（保留一位小数）；
（2）从样本中得分不低于70分的学生中，用分层抽样的方法选取11人进行座谈，若从座谈名单中随机抽取3人，记得分在的人数为X，试求X的分布列和均值：
（3）以样本估计总体，根据频率分布直方图，可以认为参加知识竞赛的学生得分X近似服从正态分布，经计算．若，参赛学生可获得“参赛纪念证书”：若，参赛学生可获得“参赛先锋证书”．已知该校共600名学生参加本次文化竞赛活动，试估计获得“参赛纪念证书”的学生人数，并判断竞赛成绩为90分的学生能否获得“参赛先锋证书”．
附：若，则，，；
19．（2024高二下·鄞州期中）已知函数的定义域为M，区间，对任意，且，记，．若，则称在I上具有性质A；若，则称在I上具有性质B：若，则称在I上具有性质C；若，则称在I上具有性质D．
（1）记①充分不必要条件：②必要不充分条件；③充要条件；④既不充分也不必要条件，
则在I上单调递增是在I上具有性质A的________（填正确选项的序号）：
在I上单调递增是在I上具有性质B的________（填正确选项的序号）；
在I上单调递增是在I上具有性质D的________（填正确选项的序号）；
（2）若在满足性质B，求实数a的取值范围；
（3）是否存在m，，使得函数在区间上恰满足性质A，B，C，D中的一个？若不存在，请说明理由：若存在，求实数m的最小值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】补集及其运算；对数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：由，解得，所以，
所以或
故选：D.
【分析】根据对数函数定义域化简集合，再结合补集概念求出 ，进而可得到答案.
2．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；空间点、线、面的位置
【解析】【解答】解：空间中的两条直线a，b异面，则a，b没有公共点，
反之，空间中的两条直线a，b没有公共点，则a，b异面或者a，b平行，
所以“a，b异面”是“a，b没有公共点”的充分不必要条件.
故选：A.
【分析】由空间中两直线的位置关系结合充分条件与必要条件的定义即可得到答案.
3．【答案】C
【知识点】样本相关系数r及其数字特征
【解析】【解答】解：去掉离群点P后相关性更强，拟合效果也更好，且还是正相关，所以0<，，故选项ABD错误；共8个点且离群点P的横坐标较小而纵坐标相对过大，去掉离群点后回归方程的斜率更大，故选项C正确
故选：C.
【分析】由散点可判断出正相减，去掉离群点后，线性关系更强，根据相关系数和决定系数的概念即可判断选项ABD，由离群点的位置判断去掉离群点后回归方程的斜率变化即可判断选项C.
4．【答案】C
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】解：因为，
所以
，
若能被7整除，则，所以
又因为，
所以
，
若能被9整除，则，所以，
A、若，则由可知无解，故选项A错误；
B、若，则由可知无解，故选项B错误；
C、若，则由和得，故选项C正确；
D、若，则由可知无解，故选项D错误.
故选：C.
【分析】分别由和，结合已知条件和二项式定理得和，再一一检验时和的解的情况即可得出答案.
5．【答案】B
【知识点】全概率公式；条件概率
【解析】【解答】解：A、由全概率公式得摸到黑球的概率为，故选项A错误；
B、由全概率公式得摸到红球的概率为，故选项B正确；
C、在抛出的硬币正面朝上的条件下，摸到白球的概率为，故选项C错误；
D、在抛出的硬币反面朝上的条件下，摸到红球，故选项D错误.
故选：B.
【分析】由全概率公式分别计算摸到黑球的概率和摸到红球的概率即可判断选项AB；由条件概率定义计算即可判断选项CD.
6．【答案】A
【知识点】函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：因为，所以是的一个零点，
因为函数在区间恰有两个零点，
所以函数在区间恰有一个非0的零点，
当，即时有一个零点，
将代入整理得即，解得，
故时有一个零点为，符合；
当，即时，
由根的分布情况得，即，解得，符合.
所以实数a的取值范围是.
故选：A.
【分析】先由可得是的一个零点，从而将问题转化成在区间恰有一个非0的零点，再根据和两种情形进行分析，当时情形将零点求出即可判断是否符合；对于情形结合根的分布得，解该不等式即可求出a的取值范围，最后综合两种情形即可得实数a的取值范围.
7．【答案】C
【知识点】分类加法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：根据题意，分2种情况讨论：
①甲乙放在同一排，有种放法，
②甲乙不放在同一排，有种放法，
则有种不同的放法．
故选：C．
【分析】按甲乙是否放在同一排两种情况进行分类讨论，由分类加法计数原理计算即可得甲放在奇数孔，乙放在偶数孔，且丙、丁没有放在同一排的放法 ．
8．【答案】B
【知识点】平面向量减法运算；平面向量的数量积运算；向量在几何中的应用；解三角形
【解析】【解答】解：由题意可知，
解得，根据向量夹角的范围知，
如图所示，建立平面直角坐标系，不妨令，以原点为圆心，半径为2作圆，
因为，则在劣弧上，
设，
则，
关于作C的对称点，连接，
易知在圆上，且，
根据对称性可知，
当且仅当四点共线时取得等号，
由余弦定理知，
所以 ，
故选：B.
【分析】利用平面向量数量积公式先确定，从而确定的位置，建立合适的平面直角坐标系，设，则，关于作C的对称点，连接，。利用余弦定理求得
||，进而可得到答案.
9．【答案】A,B,D
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数的性质与运算法则；利用对数函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解：A、指数函数在R上单调递增，因为，所以，故选项A正确；
B、对数函数在上单调递增，所以；又因为，所以，故选项B正确；
C、，故选项C错误；
D、，故选项D正确.
故选：ABD.
【分析】由指数函数的单调性比较大小即可判断选项A；根据对数函数的单调性和指数函数的单调性，利用中间值0，即可判断选项B；利用对数式的运算和特殊角的正切值即可判断选项C；由对数式的运算判断选项D.
10．【答案】B,D
【知识点】二倍角的正弦公式；含三角函数的复合函数的周期；正弦函数的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】解：由题意可得，
因为函数图象的两条相邻对称轴的距离为，即，所以，
所以，所以，所以.
A、函数的最大值为1，故选项A错误；
B、的最小正周期为，故选项B正确；
C、，故选项C错误；
D、令，解得，
所以函数的单调递增区间为，故选项D正确.
故选：BD.
【分析】先由二倍角的正弦公式将函数化简为，进而由题意得，即可求得T，可判断选项B；再结合周期公式即可求出，进而求得函数解析式，即可判断选项A；由结合解析式计算即可判断选项C；令再求解该不等式即可得函数的单调递增区间可判断选项D.
11．【答案】A,C,D
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；球内接多面体；直线与平面所成的角；扇形的弧长与面积；余弦定理的应用
【解析】【解答】解：如图所示，延长正三棱台侧棱相交于点O，取中点，中点，连接，
则有，
所以的延长线必过点且，
过点作，则四边形是边长为1的菱形.
在中，，即，
解得，所以，
所以为边长为3等边三角形，
所以，，
所以，
因为是边长为3的等边三角形且为中点，
所以，，
在中，由余弦定理变形得，，
在中，由余弦定理变形得，
，解得，
所以，所以；
由，可得平面，
又因为平面，所以，
因为，，，可得平面，
因为AP与平面所成角的正切值为，
所以，解得，，
所以点在平面的轨迹为，
A、当点运动到点时，连接，交于点，连接，
因为平面平面，所以平面，
又平面，平面平面，所以，
所以存在点P，存在点，使得，故选项A正确；
B、因为侧棱长为1，所以内切球半径小于，若B选项正确，则，解得相互矛盾，故选项B错误；
C、当点运动到与的交点时有最小值，
因为四边形是边长为1且的菱形，
所以，所以，的最大值为，
在中，由余弦定理可得，，故选项C正确；
D、设的长度为l，则，
动线段AP形成的曲面展开为两个面积相等扇形，设其中一个的面积为，
则有，
因此所有满足条件的动线段AP形成的曲面面积为，故选项D正确；
故选：ACD.
【分析】先将正三棱台侧棱延长补成正三棱锥，求出点A到平面的距离即可确定点的运动轨迹，当点运动到点时，连接，交于点，连接，借助线面平行和面面平行的性质可得，即可判断选项A；结合题意可知，内切球半径小于，根据球体的体积公式即可判断选项B；当点运动到与的交点时有最小值，的最大值为，计算即可判断选项C；动线段AP形成的曲面展开为两个面积相等扇形，利用扇形的面积公式即可判断选项D.
12．【答案】
【知识点】二项分布；正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：由题意可得，，所以，
所以.
故答案为：.
【分析】先由二项分布的均值公式求出，从而得，进而由概率之和为1和正态分布的对称性即可求得.
13．【答案】（答案不唯一）
【知识点】方程的解与虚数根
【解析】【解答】解：由可得，
所以，解得
所以或.
故答案为：（答案不唯一）.
【分析】先将方程转化为，从而得，求出方程的根，即可求得复数z.
14．【答案】
【知识点】奇偶函数图象的对称性；函数的周期性
【解析】【解答】解：为偶函数，为奇函数，，
∴
，
∴是的周期函数.
又∵，∴，
为奇函数，，
而为偶函数，∴.
∴，解得，
∴.
∴，，
设
，
其中，
则
.
故答案为：.
【分析】先根据函数的奇偶性质，得到是的周期函数，可得，列方程组即可求得k和b的值，进而求得函数f(x)的解析式，然后将所求和的每连续项记为一组，先求出每组的和，再全部相加即可求得的值 .
15．【答案】（1）解：若选①，由正弦定理可得，
又，
所以，
即，
因为，所以，所以，即，
因为所以.
若选②，由正弦定理可得，
所以，
又，所以，所以，即，
所以.
（2）解：若a，b，c成等差数列，则为正三角形.
证明：若a，b，c成等差数列，则，
由余弦定理得，
所以，整理得即，
所以，所以，
所以为正三角形.
【知识点】等差数列的性质；两角和与差的正弦公式；解三角形；正弦定理的应用；三角形的形状判断
【解析】【分析】（1）若选①，由已知条件结合正弦定理以及运算得，即可求得B的值；若选②，由已知结合正弦定理以及两角和的正弦公式运算得，即可求得B的值；
（2）由a，b，c成等差数列得，再结合余弦定理，化简可得，于是得，进而可得为正三角形.
（1）若选①，由，结合正弦定理得，
又，
所以，
即，
又，故，所以，即，
所以；
若选②，由，
结合正弦定理得，
所以，
又，故，所以即，
所以.
（2）若a，b，c成等差数列，则为正三角形.
证明：若a，b，c成等差数列，则，
又由（1）和余弦定理得，
所以，整理得即，
所以，所以，
所以为正三角形.
16．【答案】（1）解：由题意可知赞成定价者总人数为人，认为价格偏高者总人数为人，
所以“赞成定价者”的月平均收入为（百元），
“认为价格偏高者”的月平均收入为（百元）.
（2）解：由题补全列联表如下：
对地铁定价的态度 人均月收入 合计
不低于55百元的人数 低于55百元的人数
认为价格偏高者 3 27 30
赞成定价者 7 13 20
合计 10 40 50
设零假设：月收入以55百元为分界点对地铁定价的态度无差异，
因为，
所以依据小概率值的独立性检验推断成立，即认为月收入以55百元为分界点对地铁定价的态度无差异，即不能认为“月收入以55百元为分界点对地铁定价的态度有差异”.
【知识点】独立性检验的应用；2×2列联表
【解析】【分析】（1）先分别求出赞成定价者总人数和认为价格偏高者总人数，再依据平均数定义直接计算即可求得月平均收入.
（2）先根据题目表格所给数据即可填写列联表；再计算，与临界值比较即可得出结论.
（1）由题意可知赞成定价者总人数为人，
认为价格偏高者总人数为人，
所以“赞成定价者”的月平均收入为（百元），
“认为价格偏高者”的月平均收入为（百元）.
（2）由题补全列联表如下：
对地铁定价的态度 人均月收入 合计
不低于55百元的人数 低于55百元的人数
认为价格偏高者 3 27 30
赞成定价者 7 13 20
合计 10 40 50
设零假设：月收入以55百元为分界点对地铁定价的态度无差异，
由列联表表格数据得，
所以依据小概率值的独立性检验推断成立，即认为月收入以55百元为分界点对地铁定价的态度无差异，
所以依据小概率值的独立性检验不能认为“月收入以55百元为分界点对地铁定价的态度有差异”.
17．【答案】（1）解：取的中点，连接，
因为为正三角形，F为AB的中点，所以，
又因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
又由勾股定理可得，
所以该多面体的体积
（2）解：连接，由题意以及（1）可知且，
所以四边形是平行四边形，所以，所以，
由平面可知两两垂直，
以F为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
所以，
所以，，
设，则，
所以，
设是平面的一个法向量，
即，令，则，所以，
所以直线和平面所成的角的正弦值为
，
整理得，解得（舍去）或，
所以在棱上存在点P，使得直线和平面所成的角大小为，此时.
【知识点】平面与平面垂直的性质；直线与平面所成的角；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）取中点，连接，易知，根据线面垂直判定定理可证平面，进而利用棱锥的体积公式即可求出该多面体的体积V.
（2）先求证两两垂直，建立空间直角坐标系，设，依据已知条件求出和平面的法向量，再依据即可计算求解，进而得出结论.
（1）取中点，连接，则由为正三角形得，
又因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，又由题意，
所以该多面体的体积.
（2）连接，由题意以及（1）可知且，
所以四边形是平行四边形，所以，所以，
所以由平面可知两两垂直，
所以可建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
所以，，
设，则，
所以，
设是平面的一个法向量，则，
所以，即，取，则，
所以直线和平面所成的角的正弦值为
，
整理得，解得（舍去）或，
所以在棱上存在点P，使得直线和平面所成的角大小为，此时.
18．【答案】（1）解：由题意可得，众数为：分；
因为10×(0.01+0.015+0.02）=0.45<0.5，10×(0.01+0.015+0.02+0.03）=0.75>0.5，
所以中位数在组，
设中位数为x分，则0.45+0.03(x-70)=0.5，解得，
所以中位数约为71.7分.
（2）解：由题参加座谈的11人中，得分在的有人，
所以的所有可能取值为0，1，2，
所以，，，
所以的分布列为：
0 1 2
所以；
（3）解：由题可知，
所以获得“参赛纪念证书”的学生人数约为：人，
又由频率分布直方图可得这100名学生得分的平均数：
，因为，则，
所以，
因为只有当，参赛学生才可获得“参赛先锋证书”，
故竞赛成绩为90分的学生不能获得“参赛先锋证书”．
【知识点】分层抽样方法；众数、中位数、平均数；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；3σ原则
【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图中众数和中位数的概念求解即可求得这100名学生的众数和中位数 ；
（2）先按照分层抽样求出在的人数为2，则的所有可能取值为0，1，2，再求出对应的概率即可求得X的分布列和均值 ；
（3）由正态分布的概率特征求解即可得到答案．
（1）由题众数在组，故众数为：75分；
由题知每组频率分别为：0.1，0.15，0.2，0.3，0.15，0.1，
所以中位数在组，故中位数为：分；
（2）由题参加座谈的11人中，得分在的有人，
所以的可能取值为0，1，2，
所以，，，
所以的分布列为：
0 1 2
所以；
（3）由题可知，
所以获得“参赛纪念证书”的学生人数约为：人，
又由频率分布直方图可得这100名学生得分的平均数：
，
因为，则，
所以，
因为只有当，参赛学生才可获得“参赛先锋证书”，
故竞赛成绩为90分的学生不能获得“参赛先锋证书”．
19．【答案】（1）①；②；③
（2）解：对于任意的，，且，
有，，
因为在，满足性质，
所以，
所以，
所以，
因为，所以，
所以，
由于任意的，，且，
所以，所以，
所以实数的取值范围是；
（3）解：实数的最小值为，理由如下：
因为在上恰满足性质、性质、性质、性质中的一个，
所以对任意，且，
若满足性质，，
若满足性质，则，
若满足性质、，则，
性质、、同时满足，所以仅满足性质，
此时，
有恒成立．
因为的定义域为，所以，
当时，，
所以，
所以，不合题意；
当时，，
所以，
所以，
要使恒成立，只需使，
即恒成立，
若，则，，使，这与矛盾，
当时，，恒成立，
所以的最小值为．
【知识点】必要条件；充要条件；函数恒成立问题
【解析】【解答】解：（1）因为，所以，
对于性质，当时，无法判断的符号，故无法判断单调性；
当在上单调递增时，，
所以在上单调递增是在上具有性质的充分不必要条件；
故答案为：①；
对于性质，当时，，所以在上单调递增；
当在上单调递增时，，的符号无法判断，
所以在上单调递增是在上具有性质B的必要不充分条件，
故答案为：②；
对于性质D，若，则，所以在上单调递增；
当在上单调递增时，，，
所以在单调递增是在上具有性质的充要条件；
故答案为：③．
【分析】（1）结合函数的单调性、充分、必要条件的知识确定正确答案；
（2）根据性质，可得，进而可得，利用分离常数法可得，结合不等式的性质求得的取值范围；
（3）将问题转化为恒成立，分，进行讨论，由此求得的最小值.
（1）由于，所以，
对于性质，当时，无法判断的符号，故无法判断单调性；
当在上单调递增时，，
所以在上单调递增是在上具有性质的充分不必要条件；
故答案为：①；
对于性质，当时，，所以在上单调递增；
当在上单调递增时，，的符号无法判断，
所以在上单调递增是在上具有性质B的必要不充分条件，
故答案为：②；
对于性质D，若，则，所以在上单调递增；
当在上单调递增时，，，
所以在单调递增是在上具有性质的充要条件；
故答案为：③．
（2）对于任意的，，且，
有，，
由于在，满足性质，
即，
所以，
所以，
因为，所以，
所以，
由于任意的，，且，
所以，所以，
所以实数的取值范围是；
（3）实数的最小值为，理由如下：
因为在上恰满足性质、性质、性质、性质中的一个，
所以对任意，且，
若满足性质，，
若满足性质，则，
若满足性质、，则，
性质、、同时满足，所以仅满足性质，
此时，
有恒成立．
因为的定义域为，
所以，
当时，，
所以，
从而，不合题意；
当时，，
所以，
从而，
要使恒成立，只需使，
即恒成立，
若，则，，使，这与矛盾，
当时，，恒成立，
所以的最小值为．
1 / 1
