2025年九年级数学中考三轮冲刺练习函数中新定义问题压轴题训练（含答案）

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2025年九年级数学中考三轮冲刺练习函数中新定义问题压轴题训练
1．定义：在平面直角坐标系中有两个函数的图象，如果在这两个图象上分别取点（x，y1），（x，y2）（x为自变量取值范围内的任意数），都有点（x，y1）和点（x，y2）关于点（x，x）成中心对称（这三个点可以重合），那么称这两个函数互为“中心对称函数”．例如：y1x和y2互为“中心对称函数”．
（1）如果点（x，y1）和点（x，y2）关于点（x，x）成中心对称，那么三个数x，y1，y2满足的等量关系是 　 　；
（2）已知函数：①y＝﹣2x和y＝2x；②y＝﹣x+3和y＝3x﹣3；③y＝3x2+4x﹣1和y＝﹣3x2﹣2x+1，其中互为“中心对称函数”的是 　 　（填序号）；
（3）已知函数y＝3x﹣4的“中心对称函数”的图象与反比例函数（m＞0）的图象在第一象限有两个交点C，D，且△COD的面积为4．
①求m的值； 　 　；
②反比例函数的“中心对称函数”的图象在第一象限内是否存在最低点，若存在，直接写出反比例函数的“中心对称函数”的函数表达式和该函数图象在第一象限内最低点坐标；若不存在，请简要说明理由．
（4）已知三个不同的点M（t，m），N（5，n），P（1，m）都在二次函数y＝﹣ax2+（2﹣b）x﹣c（a，b，c为常数，且a＞0）的“中心对称函数”的图象上，且满足m＜n＜c．如果t2恒成立，求w的取值范围．
2．我们定义：点P在一次函数y＝ax+b上，点Q在反比例函数上，若存在P、Q两点关于y轴对称，我们称二次函数y＝ax2+bx+c为一次函数和y＝ax+b反比例函数的“向光函数”，点P称为“幸福点”．例如：点P（﹣1，﹣2）在y＝x﹣1上，点Q（1，﹣2）在上，P、Q两点关于y轴对称，此时二次函数y＝x2﹣x﹣2为一次函数y＝x﹣1和反比例函数的“向光函数”，点P（﹣1，﹣2）是“幸福点”．
（1）判断一次函数y＝x+1和反比例函数是否存在“向光函数”，若存在，请求出“幸福点”坐标；若不存在，请说明理由；
（2）若一次函数y＝x﹣k与反比例函数只有一个“幸福点”，求其“向光函数”的解析式；
（3）已知一次函数y＝ax+b与反比例函数有两个“幸福点”A、B（A在B左侧），其“向光函数”y＝ax2+bx+c与轴x交于C、D两点（C在D左侧），若有以下条件：
①a+b+c＝0②“向光函数”经过点（﹣3，4），③a＞b＞0，记四边形ACBD的面积为S，求的取值范围．
3．为了反映函数在某一范围内函数值变化的幅度，提出如下定义：在一段连续的函数图象上，当t1≤x≤t2（t1＜t2）时，函数y的最小值为m1，最大值为m2，若，则称p为该函数在区间[t1，t2]上的起伏度．
（1）函数在区间[2，6]上的起伏度为 　 　，函数y＝﹣5x+1在区间[a，a+2]上的起伏度为 　 　；
（2）试说明：一次函数y＝kx+b（k，b为常数，k≠0）在任意区间[t1，t2]（t1＜t2）上的起伏度是一个定值；
（3）下列判断正确的是 　 　（填写序号）：
①函数在区间[t，t+d]（t＞0，d为常数且d＞0）上的起伏度随着t的增大而减小；
②二次函数y＝ax2在区间[t1，t2]（t1＜t2）上的起伏度为p1，二次函数y＝a（x﹣h）2+k在区间[h+t1，h+t2]上的起伏度为p2，则p1＝p2；
③二次函数y＝ax2+bx+c在区间[t，t+4]的起伏度p的最小值为a．
（4）已知函数y＝x2﹣2x+3与在区间[t，t+1]上的起伏度相同，求t的值．
4．定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标等于它的横坐标的三倍，则称该点为“纵三倍点”．例如（1，3），（﹣2，﹣6），都是“纵三倍点”．
（1）下列函数图象上只有一个“纵三倍点”的是 　 　；（填序号）
①y＝﹣2x+1；
②；
③y＝x2+x+1．
（2）已知抛物线y＝x2+mx+n（m，n均为常数）与直线y＝x+4只有一个交点，且该交点是“纵三倍点”，求抛物线的解析式；
（3）若抛物线（a，b是常数，a＞0）的图象上有且只有一个“纵三倍点”，令w＝b2﹣2b+6a，是否存在一个常数t，使得当t≤b≤t+1时，w的最小值恰好等于t，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
5．我们不妨约定：在平面直角坐标系中，若点M的横坐标与纵坐标之和等于点N的横坐标与纵坐标之和，则称M，N两点同为“郡系点”．
（1）已知点A的坐标为（2，6），B是反比例函数图象上的一点，且A，B两点同为“郡系点”，求点B的坐标；
（2）若点C（﹣2，y1），D（4，y2）在直线y＝kx﹣3（k≠0）上，且C，D两点同为“郡系点”，求k的值；
（3）若点E是直线上第一象限内的一点，若在抛物线（）上总存在点F，使得E，F两点同为“郡系点”，求c的取值范围．
6．若定义：若一个函数图象上存在纵坐标是横坐标2倍的点，则把该函数称为“明德函数”，该点称为“明德点”，例如：“明德函数”y＝x+1，其“明德点”为（1，2）．
（1）①判断：函数y＝2x+3 　 　“明德函数”（填“是”或“不是”）；
②函数y＝x2的图象上的明德点是 　 　；
（2）若抛物线上有两个“明德点”，求m的取值范围；
（3）若函数的图象上存在唯一的一个“明德点”，且当﹣1≤m≤3时，n的最小值为k，求k的值．
7．定义：在平面直角坐标系xOy中，函数图象上到一条坐标轴的距离等于a（a≥0），到另一条坐标轴的距离不大于a的点叫做该函数图象的“a级方点”．例如，点（2，3）为双曲线的“3级方点”，点为直线的“级方点”．
（1）下列函数中，其图象的“1级方点”恰有两个的是 　 　（只填序号）；
①y＝x；
②；
③．
（2）已知y关于x的二次函数y＝﹣（x﹣a+1）2+3（a﹣1）2﹣3（a﹣1）+2，
①当a＝2时，该函数图象的“2级方点”的坐标是 　 　；
②当该函数图象的“a级方点”恰有三个时，求a的值．
8．我们定义：点P在一次函数y＝ax+b上，点Q在反比例函数上，若存在P、Q两点关于y轴对称，我们称二次函数y＝ax2+bx+c为一次函数y＝a+b和反比例函数的“向光函数”，点P称为“幸福点”．例如：点P（﹣1，﹣2）在y＝x﹣1上，点Q（1，﹣2）在上，P、Q两点关于y轴对称，此时二次函数y＝x2﹣x﹣2为一次函数y＝x﹣1和反比例函数的“向光函数”，点P（﹣1，﹣2）是“幸福点”．
（1）判断一次函数y＝x+2和反比例函数是否存在“向光函数”，若存在，请求出“幸福点”坐标；若不是，请说明理由；
（2）若一次函数y＝x﹣k+1与反比例函数只有一个“幸福点”，求其“向光函数”的解析式；
（3）已知一次函数y＝ax+b与反比例函数有两个“幸福点”A、B（A在B左侧），其“向光函数”y＝ax2+bx+c与x轴交于C、D两点（C在D左侧），若有以下条件：①a+b+c＝0②“向光函数”经过点（﹣3，4）③a＞b＞0，记四边形ACBD的面积为S，求的取值范围．
9．我们约定：若关于x的二次函数与同时满足a1≠0，a2≠0，|a1+a2|（c1+c2）2＝0，则称函数y1与y2“回旋”函数．根据该约定，解答下列问题：
（1）求二次函数y＝x2﹣4x+3的“回旋”函数的解析式；
（2）若关于x的二次函数y＝ax2+2ax+c的顶点在它的“回旋”函数图象上，且时，﹣4≤y2≤4，求a，c的值；
（3）关于x的函数（a＞0）的图象顶点M，与x轴的交点为A，B，当它的“回旋”函数y2的顶点为N，与x轴的交点为C、D，从右到左依次是A、B、C、D，若AC＝3BC，是否存在b使得AMDN为矩形？
10．我们约定：平面直角坐标系xOy中，点A（x1，y1），B（x2，y2）满足x1≠x2，y1＝y2，则称A，B为一对“等值点”．根据约定，解决下列问题：
（1）下列函数存在“等值点”的是 　 　；（填写序号）
①y＝2x﹣2；②y＝x2﹣6x+13；③y＝﹣3x2+6x+11；④．
（2）关于x的函数y＝kx+b（k，b为常数）的图象上是否存在“等值点”？如果存在，请指出它有多少对“等值点”，如果不是，请说明理由；
（3）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的图象与x轴交于C，D两点，点E（x1，y1）和F（x2，y2），点G（x3，y3）和H（x4，y4）是该函数图象上的两对“等值点”，且满足．若以CD，EF，GH这三条线段的长为边长的三角形是直角三角形，试求该直角三角形的面积．
11．新定义：如果实数m，n满足m﹣n＝﹣2时，则称P（m，n）为“立足点”，称Q（m﹣1，5﹣n）为“制高点”，例如，P（1，3）是“立足点”，Q（0，2）是“制高点”．
（1）求正比例函数y＝x图象上“制高点”的坐标；
（2）已知点D（x1，y1），E（x2，y2）是抛物线y＝ax2+（2b﹣1）x+3c+2上的“制高点”，若a+b+c＝0，且a＞2b＞3c，求|x1﹣x2|的取值范围；
（3）若点A是反比例函数图象上唯一的“立足点”，点B，C是反比例函数图象上的“制高点”，点M是反比例函数图象上的动点，求当△MBC面积与△ABC的面积相等时点M的坐标．
12．我们约定：若关于x的二次函数y1＝a1x2+b1x+c1与y2＝a2x2+b2x+c2同时满足（b2+b1）2+|c2﹣a1|＝0，（b1﹣b2）2023≠0，则称函数y1与函数y2互为“美美与共”函数．根据该约定，解答下列问题：
（1）若关于x的二次函数y1＝2x2+kx+3与y2＝mx2+x+n互为“美美与共”函数，求k，m，n的值；
（2）对于任意非零实数r，s，点P（r，t）与点Q（s，t）（r≠s）始终在关于x的函数y1＝x2+2rx+s的图象上运动，函数y2与y1互为“美美与共”函数．
①求函数y2的图象的对称轴；
②函数y2的图象是否经过某两个定点？若经过某两个定点，求出这两个定点的坐标；否则，请说明理由；
（3）在同一平面直角坐标系中，若关于x的二次函数y1＝ax2+bx+c与它的“美美与共”函数y2的图象顶点分别为点A，点B，函数y1的图象与x轴交于不同两点C，D，函数y2的图象与x轴交于不同两点E，F．当CD＝EF时，以A，B，C，D为顶点的四边形能否为正方形？若能，求出该正方形面积的取值范围；若不请说明理由．
13．若关于x的函数y，当tx≤t时，函数y的最大值为M，最小值为N，令函数h，我们不妨把函数h称之为函数y的“共同体函数”．
（1）①若函数y＝4044x，当t＝1时，求函数y的“共同体函数”h的值；
②若函数y＝kx+b（k≠0，k，b为常数），求函数y的“共同体函数”h的解析式；
（2）若函数y（x≥1），求函数y的“共同体函数”h的最大值；
（3）若函数y＝﹣x2+4x+k，是否存在实数k，使得函数y的最大值等于函数y的“共同体函数“h的最小值．若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
14．我们不妨约定：在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在不同的两点关于y轴对称，则把该函数称之为“T函数”，其图象上关于y轴对称的不同两点叫做一对“T点”．根据该约定，完成下列各题．
（1）若点A（1，r）与点B（s，4）是关于x的“T函数”y的图象上的一对“T点”，则r＝　 　，s＝　 　，t＝　 　（将正确答案填在相应的横线上）；
（2）关于x的函数y＝kx+p（k，p是常数）是“T函数”吗？如果是，指出它有多少对“T点”如果不是，请说明理由；
（3）若关于x的“T函数”y＝ax2+bx+c（a＞0，且a，b，c是常数）经过坐标原点O，且与直线l：y＝mx+n（m≠0，n＞0，且m，n是常数）交于M（x1，y1），N（x2，y2）两点，当x1，x2满足（1﹣x1）﹣1+x2＝1时，直线l是否总经过某一定点？若经过某一定点，求出该定点的坐标；否则，请说明理由．
15．我们不妨约定：若某函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称之为“H函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“H点”．根据该约定，完成下列各题．
（1）在下列关于x的函数中，是“H函数”的，请在相应题目后面的括号中打“√”，不是“H函数”的打“×”．
①y＝2x（　 　）；
②y（m≠0）（　 　）；
③y＝3x﹣1（　 　）．
（2）若点A（1，m）与点B（n，﹣4）是关于x的“H函数”y＝ax2+bx+c（a≠0）的一对“H点”，且该函数的对称轴始终位于直线x＝2的右侧，求a，b，c的值或取值范围．
（3）若关于x的“H函数”y＝ax2+2bx+3c（a，b，c是常数）同时满足下列两个条件：①a+b+c＝0，②（2c+b﹣a）（2c+b+3a）＜0，求该“H函数”截x轴得到的线段长度的取值范围．
参考答案
1．【解答】解：（1）∵点（x，y1）和点（x，y2）关于点（x，x）成中心对称，
∴点（x，x）是端点为点（x，y1）和点（x，y2）的线段的中点，
∴x，
∴y1+y2＝2x；
故答案为：y1+y2＝2x；
（2）①∵﹣2x+2x≠2x，
∴y＝﹣2x和y＝2x不是“中心对称函数”；
②∵（﹣x+3）+（3x﹣3）＝2x，
∴y＝﹣x+3和y＝3x﹣3是“中心对称函数”；
③∵（3x2+4x﹣1）+（﹣3x2﹣2x+1）＝2x，
∴y＝3x2+4x﹣1和y＝﹣3x2﹣2x+1是“中心对称函数”；
故答案为：②③；
（3）①∵2x﹣（3x﹣4）＝﹣x+4，
∴函数y＝3x﹣4的“中心对称函数”为y＝﹣x+4，
如图，设C，D的坐标分别为 （x1，y1），（x2，y2），
由﹣x+4得x2﹣4x+m＝0，
∴x1，x2是方程x2﹣4x+m＝0的两根，
∴x1+x2＝4，x1 x2＝m，且y1+y2＝（﹣x1+4）+（﹣x2+4）＝8﹣（x1+x2）＝8﹣4＝4，
∴S△COD（y1+y2） |x2﹣x1|＝2|x2﹣x1|＝22，
∵△COD的面积为4，
∴24，
解得m＝3；
经检验，m＝3是原方程的解，
故答案为：3；
②反比例函数y的“中心对称函数”的图象在第一象限内存在最低点，理由如下：
∵2x﹣（）＝2x，
∴反比例函数y的“中心对称函数”为y＝2x，
∵x＞0，
∴2x（）2+2 （）2+22，
∴2x的最小值为2，此时0，即x，
∴该函数图象在第一象限内最低点坐标为（，2）；
（4）∵2x﹣[﹣ax2+（2﹣b）x﹣c]＝ax2+bx+c，
∴二次函数y＝﹣ax2+（2﹣b）x﹣c的“中心对称函数”为y＝ax2+bx+c，
∵N（5，n），P（1，m）在函数 y＝ax2+bx+c的上，
∴m＝a+b+c，n＝25a+5b+c，
∵m＜n＜c，
∴a+b+c＜25a+5b+c＜c，
∴a+b＜25a+5b＜0，
∴b＞﹣6a且b＜﹣5a，
∵a＞0，
∴56，
∵M（t，m），P（1，m）的纵坐标相等，
∴抛物线对称轴为直线x，
∵抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x，
∴，
∴t+1，
∴5＜t+1＜6，
设ht2﹣t（t+1）2+3，
当t+1＝5时，h；
当t+1＝6时，h＝﹣15，
∴﹣15＜h，
∵t2恒成立，
∴w．
2．【解答】解：（1）一次函数y＝x+1和反比例函数存在“向光函数”，理由如下：
点P在一次函数y＝ax+b上，点Q在反比例函数上，若存在P、Q两点关于y轴对称，我们称二次函数y＝ax2+bx+c为一次函数和y＝ax+b反比例函数的“向光函数”，点P称为“幸福点”．设“幸福点”坐标为P（m，n），则Q（﹣m，n），
∴，
解并检验得：，，
∴一次函数y＝x+2和反比例函数是存在“向光函数”，“幸福点”坐标为（1，2），（﹣2，﹣1）；
（2）∵一次函数y＝x﹣k关于y轴对称的直线函数解析式为y＝﹣x﹣k，而且一次函数y＝x﹣k与反比例函数只有一个“幸福点”，
所以y＝﹣x﹣k与反比例函数只有一个交点，
∴y＝﹣x﹣k③，，
整理得：x2+kx+（k+3）＝0，
Δ＝k2﹣4（k+3）＝0，
解得：k1＝﹣2，k2＝6，
当k＝﹣2时，则一次函数y＝x+2与反比例函数只有一个“幸福点”，向光函数”的解析式为：y＝x2+2x+1，
当k＝6时，则一次函数y＝x﹣6与反比例函数只有一个“幸福点”，向光函数”的解析式为：y＝x2﹣6x+9，
∴“向光函数”的解析式为：y＝x2+2x+1或y＝x2﹣6x+9．
（3）已知一次函数y＝ax+b与反比例函数有两个“幸福点”A、B（A在B左侧），其“向光函数”y＝ax2+bx+c与轴x交于C、D两点（C在D左侧），
∴A、B关于y轴对称的点A′、B′一定在y＝﹣ax+b上，且是y＝﹣ax+b与的交点坐标，
∴，
整理得：ax2﹣bx+c＝0，
由①②得，，
∴，
即“向光函数”为y＝ax2+（2a﹣1）x+（1﹣3a），
又∵a＞b＞0，
∴，
∴，
∵ax2﹣（2a﹣1）x+（1﹣3a）＝0，
∴x1＝﹣1，，
∴xB′＝﹣1，，
∴xB＝1，，
∴B（1，3a﹣1），，
令“向光函数”y＝ax2+bx+c中，y＝0得0＝ax2+bx+c即0＝ax2+（2a﹣1）x+（1﹣3a），
解得x1＝1，，
∴xD＝1，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的取值范围是：．
3．【解答】解：（1）函数y，t1＝2，t2＝6，
∴，
函数y＝﹣5x+1，m2＝﹣5a+1，m1＝﹣5（a+2）+1，
∴5，
故答案为：．
（2）当k＞0时，y随着x的增大而增大，
则，
当k＜0时，y随着x的增大而减小，k，
∴p＝|k|．
∴一次函数y＝kx+b（k，b为常数，k≠0）在任意区间[t1，t2]（t1＜t2）上的起伏度是定值|k|．
（3）对三个选项依次分析如下：
①函数在区间[t，t+d]，随着x的增大而增大，则，
∵设y′＝t2+dt，其图象为开口向上的抛物线，对称轴为x，[t，t+d]（t＞0，d为常数且d＞0）在对称轴右侧，y′的值随t的增大而增大，
∴随着t的增大而减小，①正确，
②∵二次函数y＝ax2在区间[t1，t2]（t1＜t2）上的图象和二次函数y＝a（x﹣h）2+k在区间[h+t1，h+t2]图象形状大小完全相同，
∴p1＝p2，②正确，
③由于二次函数y＝ax2+bx+c图象为抛物线，其对称轴为x，
根据二次函数的图象，当对称轴在[t，t+4]中间位置时，二次函数在区间[t，t+4]上起伏度p最小．我们定义x＝t所对应的函数值为f（t）．
此时f（t）＝f（t+4），二次函数的极值为f（），xt+2，
∴p1．
∴③错误．
故答案为：①②．
（4）已知函数y＝x2﹣2x+3与在区间[t，t+1]上的起伏度相同，求t的值．
根据（2）可知一次函数在区间[t，t+1]的起伏度p＝k．
对于函数y＝x2﹣2x+3，其对称轴为x1，f（1）为函数最小值．根据对称轴和区间[t，t+1]的位置关系进行分类讨论：
①当（t+1）＜1时，即t＜0，f（t）＞f（t+1）＞f（1），p＝f（t）﹣f（t+1）＝﹣2t+1，t，符合题意；
②当t＞1时，f（t+1）＞f（t）＞f（1），p＝f（t+1）﹣f（t）＝2t﹣1，t，符合题意；
③当t≤1≤（t+1），即且0≤t≤1，分为2种情况：
当1﹣t≥（t+1）﹣1时，即0≤t，p＝f（t）﹣f（1）＝t2﹣2t+1，t＝1，不符合t的范围；
当1﹣t≤（t+1）﹣1时，即t≤1，f（t+1）≥f（t）≥f（1），p＝f（t+1）﹣f（1）＝t2，t，不符合t的范围；
故综上可得t或．
4．【解答】解：（1）①由得，
∴在直线y＝﹣2x+1上只有一个“纵三倍点”：（，）；
②由得：，，
∴反比例函数y的图象上有两个“纵三倍点”：（，﹣3），（，3）；
③由得：，
∴二次函数y＝x2+x+1的图象上只有一个“纵三倍点”：（1，3）；
故答案为：①③；
（2）∵抛物线y＝x2+mx+n（m，n均为常数）与直线y＝x+4只有一个交点，
∴方程x2+（m﹣1）x+n﹣4＝0有两个相等的实数根，即Δ＝0，
∴（m﹣1）2﹣4（n﹣4）＝0，
∴nm2m①，
∵抛物线y＝x2+mx+n与直线y＝x+4交点是“纵三倍点”，
∴x＝2，y＝6，
∴n＝﹣2m+2②，
联立①②，得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣3x+8；
（3）∵抛物线（a，b是常数，a＞0）的图象上有且只有一个“纵三倍点”，
∴方程3x＝ax2+bx有且只有一个实数根，
∴Δ＝（b﹣3）2﹣4a＝0，
∴a（b﹣3）2，
∴w＝b2﹣2b+6a＝b2﹣2b+（b﹣3）2＝2（b﹣2）2+1，
根据题意，当t≤b≤t+1时，w的最小值恰好等于t，
当t+1≤2，即t≤1时，当b＝t+1时，w有最小值，
∴t＝2（t+1﹣2）2+1，
即2t2﹣5t+3＝0，
解得：t1＝1，t2（舍去），
∴此时不存在常数t，使得当t≤b≤t+1时，w的最小值恰好等于t；
当t≤2≤t+1，即1≤t≤2时，w的最小值为1，
即t≤b≤t+1时，w的最小值为1，不符合题意；
当t＞2时，t＝2（t﹣2）2+1，
即2t2﹣9t+9＝0，
解得：t1（舍去），t2＝3，
∴存在常数t＝3，使得当t≤b≤t+1时，w的最小值恰好等于t；
综上所述，t的值为1或3．
5．【解答】解：（1）∵点B是反比例函数图象上的一点，
∴设点B的坐标为（b，），
∵点A的坐标为（2，6），A，B两点同为“郡系点”，
∴，
整理得b2﹣8b+16＝0，
解得b＝4，
经验证b＝4是分式方程的解，
∴，
∴点B的坐标为（4，4）．
（2）∵点C（﹣2，y1），D（4，y2）在直线y＝kx﹣3（k≠0）上，
∴y1＝﹣2k﹣3，y2＝4k﹣3，
∵C，D两点同为“郡系点”，
∴﹣2﹣2k﹣3＝4+4k﹣3，
整理得6k＝﹣6，
∴k＝﹣1．
（3）对于一次函数图象，
令x＝0，得y＝3；令y＝0，得x＝6．
∵点E是直线上第一象限内的一点，
∴设点E的坐标为（n，），其中0＜n＜6，
∴点E的横、纵坐标之和为：，
∵0＜n＜6，N随n的增大而增大，
∴，即3＜N＜6．
∵点F在抛物线（）上，
∴设点F的坐标为（m，），其中，
∴点F的横、纵坐标之和为：，
∵二次函数的图象开口向上，对称轴为，
∴当时，M随m的增大而增大，
∴，即，
∵抛物线（）上总存在点F，使得E，F两点同为“郡系点”，
∴，
解得．
6．【解答】解：（1）①令2x+3＝2x，方程无解，
∴函数y＝2x+3不是“明德函数”；
②令y＝x2＝2x，解得x＝0或x＝2，
∴函数y＝x2的图象上的“明德点”是：（0，0）或（2，4）；
故答案为：①不是；②（0，0）或（2，4）；
（2）由题意可知，2x，
整理得，（m﹣1）x2+（m﹣2）xm＝0，
∵抛物线上有两个“明德点”，
∴Δ＝（m﹣2）2﹣4m（m﹣1）＞0且m﹣1≠0，
解得m且m≠1．
（3）由题意可知，x2+（m﹣k+2）xk＝2x，
整理得，x2+（m﹣k）xk＝0，
∴Δ＝（m﹣k）2﹣4（k）＝0，
整理得，n＝（m﹣k）2+2k（﹣1≤m≤3），
对称轴为直线m＝k，此时n的最小值为2k；
根据题意需要分类讨论：
①，
∴k＝0；
②，无解；
③，
∴k或k（舍去）．
综上，k的值为0或．
7．【解答】解：（1）函数图象的“1级方点”是指函数图象上落在以原点为中心，边长为2且一边平行于x轴的正方形上的点，
①直线y＝x与正方形有两个交点（1，1）和（﹣1，﹣1）；
②反比例函数与正方形没有交点；
③抛物线与正方形有两个交点和．
故答案为：①③；
（2）①把a＝2代入y＝﹣（x﹣a+1）2+3（a﹣1）2﹣3（a﹣1）+2得：
y＝﹣（x﹣1）2+3（2﹣1）2﹣3（2﹣1）+2＝﹣（x﹣1）2+2，
∵函数图象的“2级方点”是指函数图象上落在以原点为中心，边长为4且一边平行于x轴的正方形上的点，
∴把x＝2代入y＝﹣（x﹣1）2+2得：y＝1，
把x＝﹣2代入y＝﹣（x﹣1）2+2得：y＝﹣7，
把y＝2代入y＝﹣（x﹣1）2+2得：2＝﹣（x﹣1）2+2，
解得：x＝1，
把y＝﹣2代入y＝﹣（x﹣1）2+2得：﹣2＝﹣（x﹣1）2+2，
解得：x＝3或x＝﹣1，
∴当a＝2时，该函数图象的“2级方点”的坐标是（2，1）或（1，2）或（﹣1，﹣2）．
②∵二次函数y＝﹣（x﹣a+1）2+3（a﹣1）2﹣3（a﹣1）+2，
∴抛物线的开口向下，顶点为[a﹣1，3（a﹣1）2﹣3（a﹣1）+2]，
当抛物线顶点在y＝a时，抛物线恰有三个“a级方点”，如图，
则3（a﹣1）2﹣3（a﹣1）+2＝a，
解得；
②当抛物线经过点（a，a）时，抛物线恰有三个“a级方点”，
则﹣1+3（a﹣1）2﹣3（a﹣1）+2＝a，
解得（不合题意，舍去），
∴a的值为2，，．
8．【解答】解：（1）存在“向光函数”，理由如下：
设一次函数上任意一点P（a，a+2），则P点关于y轴的对称点Q（﹣a，a+2），
当﹣a（a+2）＝﹣3时，解得a＝1或a＝﹣3，
∴P（1，3）或（﹣3，﹣1）是“幸福点”，一次函数y＝x+2和反比例函数存在“向光函数”；
（2）设一次函数上任意一点P（b，b﹣k+1），则P点关于y轴的对称点Q（﹣b，b﹣k+1），
当﹣b（b﹣k+1）＝k+2时，b2+b（1﹣k）+k+2＝0，
∵一次函数y＝x﹣k+1与反比例函数只有一个“幸福点”，
∴Δ＝（1﹣k）2﹣4（k+2）＝0，
解得k＝﹣1或k＝7，
当k＝﹣1时，y＝x+2，y，则“向光函数”为y＝x2+2x+1；
当k＝7时，y＝x﹣6，y，则“向光函数”为y＝x2﹣6x+9；
（3）设一次函数上任意一点P（x，ax+b），则P点关于y轴的对称点Q（﹣x，ax+b），
当﹣x（ax+b）＝c时，ax2+bx+c＝0，
∵一次函数y＝ax+b与反比例函数有两个“幸福点”，
∴Δ＝b2﹣4ac＞0，xA+xB，xA xB，
∵“向光函数”y＝ax2+bx+c与x轴交于C、D两点，
∴xC+xD，xC xD，
∵“向光函数”经过点（﹣3，4），
∴9a﹣3b+c＝4，
∵a+b+c＝0，
∴b＝2a﹣1，c＝1﹣3a，
∴y＝ax2+（2a﹣1）x+（1﹣3a），
∵a＞b＞0，
∴a＞2a﹣1＞0，
∴a＜1，
∴xD﹣xC，yA﹣yB＝a（xA﹣xB）＝a4a﹣1，
∴SCD×（yA﹣yB）（4a﹣1），
∴（4）2，
∵12，
∴2．
9．【解答】解：（1）∵|a1+a2|（c1+c2）2＝0，
∴a1+a2＝0，b1﹣b2＝0，c1+c2＝0，
∴a1＝﹣a2，b1＝b2，c1＝﹣c2，
根据“回旋”函数的定义得：二次函数y＝x2﹣4x+3的“回旋”函数的解析式y＝﹣x2﹣4x﹣3；
（2）根据“回旋”函数的定义：二次函数y1＝ax2+2ax+c的“回旋”函数的解析式为y2＝﹣ax2+2ax﹣c，
∵y1＝ax2+2ax+c＝a（x+1）2+c﹣a，
∴顶点坐标为（﹣1，c﹣a），
∵关于x的二次函数y1＝ax2+2ax+c的顶点在它的“回旋”函数y2图象上，
∴c﹣a＝﹣a﹣2a﹣c，
解得：a＝﹣c，
∴二次函数y1＝ax2+2ax+c的“回旋”函数的解析式为y2＝﹣ax2+2ax+a＝﹣a（x﹣1）2+2a，
由题意得，当x时，﹣4≤y2≤4，
即当﹣1≤x≤2时，﹣4≤y2≤4，
若a＞0，
则当x＝1时，y2＝﹣a（1﹣1）2+2a＝2a＝4，
解得：a＝2，
∴c＝﹣2；
若a＜0，
则当x＝1时，y2＝﹣a（1﹣1）2+2a＝2a＝﹣4，
解得：a＝﹣2，
∴c＝2；
综上所述，a＝2，c＝﹣2或a＝﹣2，c＝2；
（3）如图，
设点A、B、C、D的横坐标分别为：x1，x2，x3，x4，
∵y1＝ax2+bx+c＝a（x）2，
∴点M的坐标为（，），且x1，x2，
根据“回旋”函数的定义：y2＝﹣ax2+bx﹣c＝﹣a（x）2，
∴点N的坐标为（，），且x3，x4，
∴AC＝x1﹣x3，BC＝x2﹣x3，
∵AC＝3BC，
∴3，
∴，
当四边形AMDN是矩形时，则∠ADN＝90°，设左侧抛物线的对称轴交x轴于点H，
在Rt△ADN中，tan∠NDHtan∠ANH，
∴NH2＝AH DH，
而NH，
AH，
同理可得：DH，
（）2，
将代入，得：b＝0（舍去）或b＝6（舍去）或b＝﹣6，
即当b＝﹣6时，四边形AMDN为矩形．
10．【解答】解：（1）①y＝2x﹣2是一次函数，函数值随x的增大而增大，不存在“等值点”；
②y＝x2﹣6x+13和③y＝﹣3x2+6x+11是二次函数，存在“等值点”；
④是反比例函数，在每个象限函数值随x的增大而减少，不存在“等值点”；
故答案为：②③；
（2）当k＝0时，关于x的函数y＝kx+b（k，b为常数）的图象上存在“等值点”；当k≠0时，不存在“等值点”；理由如下：
当k＝0时，函数y＝b的图象是一条平行于x轴的直线，其上的点的纵坐标都相等，
故存在无数对“等值点”；
当k≠0时，假设函数y＝kx+b图象是一条与x轴不平行的直线，其上任意两点的纵坐标都不相等，故不存在“等值点”；
（3）∵2a2+2a（y1﹣y3）0，
∴y1＝﹣a，y3＝a，
又∵E和F，G和H是两对“等值点”，
∴E（x1，﹣a），F（x2，﹣a），G（x3，a），H（x4，a），
∴x1，x2为方程ax2+bx+c＝﹣a的两根，
∴EF＝|x1﹣x2|，
同理可知：x3，x4为方程ax2+bx+c＝a的两根，
∴GH＝|x3﹣x4|，
设C，D的横坐标为x5，x6，它们为方程ax2+bx+c＝0的两根，
∴CD＝|x5﹣x6|，
显然EF＜CD＜GH，
又∵以CD，EF，GH这三条线段的长为边长的三角形是直角三角形，
∴EF2+CD2＝GH2，即，
∴b2﹣4ac＝8a2，
∴CD，EF2，GH2，
∴该直角三角形的面积为2×22．
11．【解答】解：（1）设正比例函数y＝x图象上“制高点”的坐标为（m﹣1，5﹣n），
根据题意得，
解得：，
∴正比例函数y＝x图象上“制高点”的坐标为（1，1）；
（2）∵a+b+c＝0，且a＞2b＞3c，
∴a＞0，c＜0，b＝﹣（a+c），
∴ax2+（2b﹣1）x+3c+2＝﹣x+2，
∴ax2+2bx+3c＝0，
则x1+x2，x1x2，
则|x1﹣x2|，
由a＞2b＝﹣2（a+c），得，
由2b＝﹣2（a+c）＞3c，得，
∴，
设函数m＝4（）2﹣4（）+4＝4（）2+3，
当时，函数m的值随自变量的增大而减少，
当，m，
当，m＝19，
即|x1﹣x2|；
（3）设点A的坐标为（m，n），根据题意得，
整理得m2+2m﹣k＝0，
∵点A是反比例函数唯一“立足点”，
∴Δ＝22﹣4（﹣k）＝0，
解得k＝﹣1，
∴反比例函数的解析式为y，
当k＝﹣1时，m2+2m+1＝0，
解得m1＝m2＝﹣1，
∴n1，
∴点A的坐标为（﹣1，1），
设点B（m﹣1，5﹣n）是反比例函数y图象上的“制高点”，
根据题意得，
消去n并整理得m2﹣4m+2＝0，
解得m＝2，n＝4，
∴点B，C的坐标分别为（1，1）、（1，1），
由点B、C的坐标得，直线BC的解析式为y＝﹣x+2，
∵△MBC面积与△ABC的面积相等，
∴MA∥BC，
可设直线MA的解析式为y＝﹣x+b1，
将A（1，1）代入得b＝0，
∴直线MA的解析式为y＝﹣x，
联立得x，
解得x＝1或x＝﹣1，
∴M（1，﹣1），
在y＝﹣x+2中，令x＝0，则y＝2，
将直线y＝﹣x向上平移4个单位得到直线y＝﹣x+4，直线y＝﹣x+4与双曲线y交点为M，
此时也满足△MBC面积与△ABC的面积相等，
联立得x+4，
解得x＝2±，
则点M（2，2）或（2，2），
综上，点M的坐标为（1，﹣1）或（2，2）或（2，2）．
12．【解答】解：（1）由题意可知，a2＝c2，a1＝c2，b1＝﹣b2≠0，
∴m＝3，n＝2，k＝﹣1．
答：k的值为﹣1，m的值为3，n的值为2．
（2）①∵点P（r，t）与点Q（s，t）（r≠s）始终在关于x的函数y1＝x2+2rx+s的图象上运动，
∴对称轴为x，
∴s＝﹣3r，
∴，
∴对称轴为x．
答：函数y2的图象的对称轴为x．
②，
令3x2+2x＝0，
解得，
∴过定点（0，1），（）．
答：函数y2的图象过定点（0，1），（）．
（3）由题意可知，，
∴，
∴CD，EF，
∵CD＝EF且b2﹣4ac＞0，
∴|a|＝|c|．
1°若a＝﹣c，则，
要使以A，B，C，D为顶点的四边形能构成正方形，
则△CAD，△CBD为等腰直角三角形，
∴CD＝2|yA|，
∴，
∴，
∴b2+4a2＝4，
∴，
∵b2＝4﹣4a2＞0，
∴0＜a2＜1，
∴S正＞2，
2°若a＝c，则A、B关于y轴对称，以A，B，C，D为顶点的四边形不能构成正方形，
综上，当a＝﹣c时，以A，B，C，D为顶点的四边形能构成正方形，此时S＞2．
13．【解答】解：（1）①∵t＝1，
∴x，
∵函数y＝4044x，
∴函数的最大值M＝6066，函数的最小值N＝2022，
∴h＝2022；
②当k＞0时，函数y＝kx+b在tx≤t有最大值M＝ktk+b，有最小值N＝ktk+b，
∴hk；
当k＜0时，函数y＝kx+b在tx≤t有最大值M＝ktk+b，有最小值N＝ktk+b，
∴hk；
综上所述：h＝|k|；
（2）t1，即t，
函数y（x≥1）最大值M，最小值N，
∴h，
当t时，h有最大值；
（3）存在实数k，使得函数y的最大值等于函数y的“共同体函数“h的最小值，理由如下：
∵y＝﹣x2+4x+k＝﹣（x﹣2）2+4+k，
∴函数的对称轴为直线x＝2，y的最大值为4+k，
①当2≤t时，即t，
此时M＝﹣（t2）2+4+k，N＝﹣（t2）2+4+k，
此时h的最小值为；
②当t2时，即t，
此时N＝﹣（t2）2+4+k，M＝﹣（t2）2+4+k，
∴h＝2﹣t，
∵t，
此时h的最小值为；
③当t2≤t，即2≤t，
此时N＝﹣（t2）2+4+k，M＝4+k，
∴h（t）2，
∴h的最小值为，
由题意可得，4+k，
解得k；
④当t＜2≤t，即t＜2，
此时N＝﹣（t2）2+4+k，M＝4+k，
∴h（t）2，
∴h的最小值为；
综上，我们发现h的最小值为
∴4+k，
解得k；
综上所述：k的值为．
14．【解答】解：（1）∵A，B关于y轴对称，
∴s＝﹣1，r＝4，
∴A的坐标为（1，4），
把A（1，4）代入是关于x的“T函数”中，得：t＝4，
故答案为r＝4，s＝﹣1，t＝4；
（2）当k＝0时，有y＝p，
此时存在关于y轴对称的点，
∴y＝kx+p是“T函数”，且有无数对“T”点，
当k≠0时，不存在关于y轴对称的点，
若存在，设其中一点（x0，kx0+p），则对称点（﹣x0，﹣kx0+p），
∴kx0+p＝﹣kx0+p，
∴k＝0，与k≠0矛盾，
∴不存在，
∴y＝kx+p不是“T函数”；
（3）∵y＝ax2+bx+c过原点，
∴c＝0，
∵y＝ax2+bx+c是“T函数”，
∴b＝0，
∴y＝ax2，
联立直线l和抛物线得：
，
即：ax2﹣mx﹣n＝0，
，，
又∵，
化简得：x1+x2＝x1x2，
∴，即m＝﹣n，
∴y＝mx+n＝mx﹣m，
当x＝1时，y＝0，
∴直线l必过定点（1，0）．
15．【解答】解：（1）①y＝2x是“H函数”．②y（m≠0）是“H函数”．③y＝3x﹣1不是“H函数”．
故答案为：√，√，×．
（2）∵A，B是“H点”，
∴A，B关于原点对称，
∴m＝4，n＝﹣1，
∴A（1，4），B（﹣1，﹣4），
代入y＝ax2+bx+c（a≠0）
得，
∴，
∵该函数的对称轴始终位于直线x＝2的右侧，
∴2，
∴2，
∴﹣1＜a＜0，
∵a+c＝0，
∴0＜c＜1，
综上所述，﹣1＜a＜0，b＝4，0＜c＜1．
（3）∵y＝ax2+2bx+3c是“H函数”，
∴设H（p，q）和（﹣p，﹣q），
代入得到，
解得ap2+3c＝0，2bp＝q，
∵p2＞0，
∴a，c异号，
∴ac＜0，
∵a+b+c＝0，
∴b＝﹣a﹣c，
∵（2c+b﹣a）（2c+b+3a）＜0，
∴（2c﹣a﹣c﹣a）（2c﹣a﹣c+3a）＜0，
∴（c﹣2a）（c+2a）＜0，
∴c2＜4a2，
∴4，
∴﹣22，
设t，则﹣2＜t＜0，
设函数与x轴交于（x1，0），（x2，0），
∴x1，x2是方程ax2+2bx+3c＝0的两根，
∴|x1﹣x2|
＝2
＝2，
∵﹣2＜t＜0，
∴2＜|x1﹣x2|＜2．
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