2025年九年级数学中考三轮冲刺练习圆与三角函数综合问题压轴题训练（含答案）

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2025年九年级数学中考三轮冲刺练习圆与三角函数综合问题压轴题训练
1．如图，四边形ABCD中，AB＝AD＝CD，以AB为直径的⊙O经过点C，连接AC、OD交于点E．
（1）证明：OD∥BC；
（2）若tan∠ABC＝2，证明：DA与⊙O相切；
（3）在（2）条件下，连接BD交⊙O于点F，连接EF，若BC＝1，求EF的长．
2．已知在平面直角坐标系中，点A（3，0），B（﹣3，0），C（﹣3，8），以线段BC为直径作圆，圆心为E，直线AC交⊙E于点D，连接OD．
（1）求证：直线OD是⊙E的切线；
（2）点F为x轴上任意一动点，连接CF交⊙E于点G，连接BG；
①当tan∠ACF时，求所有F点的坐标　 　（直接写出）；
②求的最大值．
3．如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，点M是上任意一点，AH＝2，CH＝4．
（1）求⊙O的半径r的长度；
（2）求sin∠CMD；
（3）直线BM交直线CD于点E，直线MH交⊙O于点N，连接BN交CE于点F，求HE HF的值．
4．如图，在⊙O中，弦AB与弦CD相交于点G，OA⊥CD于点E，过点B的直线与CD的延长线交于点F，AC∥BF．
（1）若∠FGB＝∠FBG，求证：BF是⊙O的切线；
（2）若tan∠F，CD＝a，请用a表示⊙O的半径；
（3）求证：GF2﹣GB2＝DF GF．
5．如图1，锐角△ABC内接于⊙O，D为BC的中点，连结AD并延长交⊙O于点E，连结BE，CE，过C作AC的垂线交AE于点F，点G在AD上，连结BG，CG，若BC平分∠EBG且∠BCG＝∠AFC．
（1）求∠BGC的度数．
（2）①求证：AF＝BC．
②若AG＝DF，求tan∠GBC的值．
（3）如图2，当点O恰好在BG上且OG＝1时，求AC的长．
6．如图，在⊙O中，AB是一条不过圆心O的弦，点C，D是的三等分点，直径CE交AB于点F，连结AD交CF于点G，连结AC，过点C的切线交BA的延长线于点H．
（1）求证：AD∥HC；
（2）若2，求tan∠FAG的值；
（3）连结BC交AD于点N，若⊙O的半径为5．
下面三个问题，依次按照易、中、难排列．请根据自己的认知水平，选择其中一道问题进行解答．
①若OF，求BC的长；
②若AH，求△ANB的周长；
③若HF AB＝88，求△BHC的面积．
7．如图1，⊙O为锐角三角形ABC的外接圆，点D在上，AD交BC于点E，点F在AE上，满足∠AFB﹣∠BFD＝∠ACB，FG∥AC交BC于点G，BE＝FG，连结BD，DG．设∠ACB＝α．
（1）用含α的代数式表示∠BFD．
（2）求证：△BDE≌△FDG．
（3）如图2，AD为⊙O的直径．
①当的长为2时，求的长．
②当OF：OE＝4：11时，求cosα的值．
8．如图1，四边形ABCD内接于⊙O，BD为直径，上存在点E，满足，连结BE并延长交CD的延长线于点F，BE与AD交于点G．
（1）若∠DBC＝α，请用含α的代数式表示∠AGB．
（2）如图2，连结CE，CE＝BG．求证：EF＝DG．
（3）如图3，在（2）的条件下，连结CG，AD＝2．
①若tan∠ADB，求△FGD的周长．
②求CG的最小值．
9．如图1，⊙O经过等边△ABC的顶点A，C（圆心O在△ABC内），分别与AB，CB的延长线交于点D，E，连接DE，BF⊥EC交AE于点F．
（1）求证：BD＝BE．
（2）当AF：EF＝3：2，AC＝6时，求AE的长．
（3）设x，tan∠DAE＝y．
①求y关于x的函数表达式；
②如图2，连接OF，OB，若△AEC的面积是△OFB面积的10倍，求y的值．
10．如图，已知P为锐角∠MAN内部一点，过点P作PB⊥AM于点B，PC⊥AN于点C，以PB为直径作⊙O，交直线CP于点D，连接AP，BD，AP交⊙O于点E．
（1）求证：∠BPD＝∠BAC．
（2）连接EB，ED，当tan∠MAN＝2，AB＝2时，在点P的整个运动过程中．
①若∠BDE＝45°，求PD的长．
②若△BED为等腰三角形，求所有满足条件的BD的长．
（3）连接OC，EC，OC交AP于点F，当tan∠MAN＝1，OC∥BE时，记△OFP的面积为S1，△CFE的面积为S2，请写出的值．
11．如图，在平面直角坐标系中，点M是第一象限内一点，过M的直线分别交x轴，y轴的正半轴于A，B两点，且M是AB的中点．以OM为直径的⊙P分别交x轴，y轴于C，D两点，交直线AB于点E（位于点M右下方），连接DE交OM于点K．
（1）若点M的坐标为（3，4），
①求A，B两点的坐标；
②求ME的长．
（2）若3，求∠OBA的度数．
（3）设tan∠OBA＝x（0＜x＜1），y，直接写出y关于x的函数解析式．
12．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D是弧BC的中点，BC与AD、OD分别交于点E、F．
（1）求证：DO∥AC；
（2）求证：DE DA＝DC2；
（3）若tan∠CAD，求sin∠CDA的值．
13．如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是直径，点D在⊙O上，OD∥BC，过点D作DE⊥AB，垂足为E，连接CD交OE边于点F．
（1）求证：△DOE∽△ABC；
（2）求证：∠ODF＝∠BDE；
（3）连接OC，设△DOE的面积为S1，四边形BCOD的面积为S2，若，求sinA的值．
14．如图，AB是⊙O的直径，D、E为⊙O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使得CD＝BD，连接AC交⊙O于点F，连接AE、DE、DF．
（1）证明：∠E＝∠C；
（2）若∠E＝55°，求∠BDF的度数；
（3）设DE交AB于点G，若DF＝4，cosB，E是的中点，求EG ED的值．
15．如图，AB为⊙O的直径，C是圆上一点，D是的中点，弦DE⊥AB，垂足为点F．
（1）求证：BC＝DE；
（2）P是上一点，AC＝6，BF＝2，求tan∠BPC；
（3）在（2）的条件下，当CP是∠ACB的平分线时，求CP的长．
参考答案
1．【解答】解：（1）连接OC，
在△OAD和△OCD中，
∵，
∴△OAD≌△OCD（SSS），
∴∠ADO＝∠CDO，
又AD＝CD，
∴DE⊥AC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，即BC⊥AC，
∴OD∥BC；
（2）∵tan∠ABC2，
∴设BC＝a、则AC＝2a，
∴AD＝AB，
∵OE∥BC，且AO＝BO，
∴OEBCa，AE＝CEAC＝a，
在△AED中，DE2a，
在△AOD中，AO2+AD2＝（）2+（a）2a2，OD2＝（OE+DE）2＝（a+2a）2a2，
∴AO2+AD2＝OD2，
∴∠OAD＝90°，
则DA与⊙O相切；
（3）连接AF，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AFD＝∠BAD＝90°，
∵∠ADF＝∠BDA，
∴△AFD∽△BAD，
∴，即DF BD＝AD2 ①，
又∵∠AED＝∠OAD＝90°，∠ADE＝∠ODA，
∴△AED∽△OAD，
∴，即OD DE＝AD2②，
由①②可得DF BD＝OD DE，即，
又∵∠EDF＝∠BDO，
∴△EDF∽△BDO，
∵BC＝1，
∴AB＝AD、OD、ED＝2、BD、OB，
∴，即，
解得：EF．
方法二：连接CF、AF，
由（2）得AE＝CEAC，
∵BCAC，
∴AE＝BC，
∵，
∴∠CBF＝∠EAF，
∵AD为⊙O的切线，
∴BA⊥AD，
又∵AB＝AD，
∴△ABD为等腰直角三角形，
∵∠AFB＝90°，
∴AF⊥BD，
∴F为BD的中点，
∴AF＝BF，
在△CBF和△EAF中，
∵，
∴△CBF≌△EAF（SAS），
∴EF＝CF，∠EFA＝∠CFB，
∵∠EFA+∠EFB＝90°，
∴∠CFB+∠EFB＝90°，
∴△CFE为等腰直角三角形，
∵AE＝CE＝BC＝1，
∴EF＝CF．
2．【解答】解：（1）证明：如图1，连接DE，BD，
∵BC为圆的直径，
∴∠BDC＝90°，
∴∠BDA＝90°
∵OA＝OB
∴OD＝OB＝OA
∴∠OBD＝∠ODB
∵EB＝ED
∴∠EBD＝∠EDB
∴∠EBD+∠OBD＝∠EDB+∠ODB
即：∠EBO＝∠EDO
∵CB⊥x轴
∴∠EBO＝90°
∴∠EDO＝90°
∵点D在⊙E上
∴直线OD为⊙E的切线．
（2）①如图2，当F位于AB上时，过F作F1N⊥AC于N，
∵F1N⊥AC
∴∠ANF1＝∠ABC＝90°
∴△ANF∽△ABC
∴
∵AB＝6，BC＝8，
∴AC10，即AB：BC：AC＝6：8：10＝3：4：5
∴设AN＝3k，则NF1＝4k，AF1＝5k
∴CN＝CA﹣AN＝10﹣3k
∴tan∠ACF，解得：k
∴
即F1（，0）
如图3，当F位于BA的延长线上时，过F2作F2M⊥CA于M，
∵△AMF2∽△ABC
∴设AM＝3k，则MF2＝4k，AF2＝5k
∴CM＝CA+AM＝10+3k
∴tan∠ACF
解得：
∴AF2＝5k＝2
OF2＝3+2＝5
即F2（5，0）
故答案为：F1（，0），F2（5，0）．
②方法1：如图4，过G作GH⊥BC于H，
∵CB为直径，
∴∠BHG＝∠CBF＝∠BGC＝90°，
∴∠CBG+∠BCG＝∠BFC+∠BCG＝90°，
∴∠CBG＝∠BFC，
∴△BGH∽△FCB，
∴，
∵，
∴，
∴的最大值为．
方法2：设∠BCG＝α，则sinα，cosα，
∴sinαcosα
∵（sinα﹣cosα）2≥0，即：sin2α+cos2α≥2sinαcosα
∵sin2α+cos2α＝1，
∴sinαcosα，即
∴的最大值．
3．【解答】解：（1）如图1中，连接OC，
∵AB⊥CD，
∴∠CHO＝90°，
在Rt△COH中，∵OC＝r，OH＝r﹣2，CH＝4，
∴r2＝42+（r﹣2）2，
∴r＝5．
（2）如图1中，连接OD．
∵AB⊥CD，AB是直径，
∴，
∴∠AOC∠COD，
∵∠CMD∠COD，
∴∠CMD＝∠COA，
∴sin∠CMD＝sin∠COA．
（3）如图2中，连接AM．
∵AB是直径，
∴∠AMB＝90°，
∴∠MAB+∠ABM＝90°，
∵∠E+∠ABM＝90°，
∴∠E＝∠MAB，
∴∠MAB＝∠MNB＝∠E，
∵∠EHM＝∠NHF
∴△EHM∽△NHF，
∴，
∴HE HF＝HM HN，
∵HM HN＝AH HB（相交弦定理），
∴HE HF＝AH HB＝2 （10﹣2）＝16．
4．【解答】（1）证明：∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA，
∵OA⊥CD，
∴∠OAB+∠AGC＝90°，
又∵∠FGB＝∠FBG，∠FGB＝∠AGC，
∴∠FBG+∠OBA＝90°，
即∠OBF＝90°，
∴OB⊥FB，
∵AB是⊙O的弦，
∴点B在⊙O上，
∴BF是⊙O的切线；
（2）解：∵AC∥BF，
∴∠ACF＝∠F，
∵CD＝a，OA⊥CD，
∴CECDa，
∵tanF，
∴tan∠ACF，
即，
解得AEa，
连接OC，设圆的半径为r，则OE＝ra，
在Rt△OCE中，CE2+OE2＝OC2，
即（a）2+（ra）2＝r2，
解得ra；
（3）证明：连接BD，
∵∠DBG＝∠ACF，∠ACF＝∠F（已证），
∴∠DBG＝∠F，
又∵∠FGB＝∠BGF，
∴△BDG∽△FBG，
∴，
即GB2＝DG GF，
∴GF2﹣GB2＝GF2﹣DG GF＝GF（GF﹣DG）＝GF DF，
即GF2﹣GB2＝DF GF．
5．【解答】（1）解：∵BC平分∠EBG，
∴∠EBC＝∠CBG，
∵∠EBC＝∠EAC，
∴∠CBG＝∠EAC，
∵AC⊥FC，
∴∠AFC+∠EAC＝90°，
∵∠BCG＝∠AFC，
∴∠BCG+∠CBG＝90°，
∴∠BGC＝90°；
（2）①证明：∵∠BGC＝90°，D为BC中点，
∴GD＝CD，
∴∠DGC＝∠DCG，
∵∠BCG＝∠AFC，
∴∠DGC＝∠AFC，
∴CF＝CG，
∵∠ACF＝∠BGC＝90°，
∴△ACF≌△BGC（ASA），
∴AF＝BC；
②解：如图1，过点C作CH⊥EG于点H，
设AG＝DF＝2x，
∵△ACF≌△BGC，
∴AF＝BC＝2DG，
∴CD＝DG＝AG+DF＝4x，
∵CF＝CG，
∴HG＝HF＝3x，
∴DH＝x，AH＝5x，
∴CHx，
∴tan∠GBC＝tan∠CAF，
∴tan∠GBC的值为；
（3）解：如图2，过点O作OM⊥BE于点M，连结OC交AE于点N，
∵OB＝OC，
∴∠CBE＝∠OBC＝∠OCB，
∴OC∥BE，
∵BD＝CD，∠BDE＝∠CDN，
∴△EBD≌△NCD（ASA），
∴BE＝CN，
∵OC∥BE，
∴∠GOC＝∠MBO，
∵∠CGO＝∠OMB＝90°，OC＝OB，
∴△COG≌△OBM（AAS），
∴BM＝OG＝1，
∵OM⊥BE，
∴CN＝BE＝2BM＝2，
设OB＝OC＝r，
∵OC∥BE，
∴△GON∽△GBE，
∴，
∴，
解得r或r（舍去），
由（2）知：△ACF≌△BGC，
∴AC＝BG＝BO+OG＝r+1．
∴AC的长为．
6．【解答】（1）证明：∵点C，D是的三等分点，
∴．
由CE是⊙O的直径可得CE⊥AD，
∵HC是⊙O的切线，
∴HC⊥CE，
∴AD∥HC．
（2）解：如图1，连接AO，
∵，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵CE⊥AD，
∴∠AGC＝∠AGF＝90°，
∴△CAG≌△FAG（ASA），
∴CG＝FG，
设CG＝a，则FG＝a，
∵，
∴OG＝2a，AO＝CO＝3a．
在Rt△AOG中，AO2＝AG2+OG2，
∴（3a）2＝AG2+（2a）2，
∴，
∴．
答：tan∠FAG的值为．
（3）解：①如图1，∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵CE⊥AD，
∴AD＝2AG，
∵，
∴，
∴．
答：BC的长为．
②如图2，连接CD，
∵AD∥HC，FG＝CG，
∴AH＝AF，
∵∠HCF＝90°，
∴，
设CG＝x，则FG＝x，OG＝5﹣x，
由勾股定理得AG2＝AO2﹣OG2＝AC2﹣CG2，
即25﹣（5﹣x）2＝10﹣x2，
解得x＝1，
∴AG＝3，AD＝6，
∵，
∴∠DAC＝∠BCD，
∵∠CDN＝∠ADC，
∴△CDN∽△ADC，
∴，
∴，
∵∠BAD＝∠DAC，∠ABN＝∠ADC，
∴△ANB∽△ACD，
∴．
答：△ANB的周长为．
③如图3，过点O作OM⊥AB于点M，则，
设CG＝x，则FG＝x，OG＝5﹣x，OF＝5﹣2x，
由勾股定理得AG2＝AO2﹣OG2＝25﹣（5﹣x）2，
AF2＝AG2+FG2＝10x﹣x2+x2＝10x，
∵AD∥HC，FG＝CG，
∴，
∴，
∴，
∵∠AGF＝∠OMF＝90°，∠AFG＝∠OFM，
∴△AFG∽△OFM，
∴，
∴AF FM＝OF GF，
∴AF AM＝AF （AF+FM）＝AF2+AF FM＝AF2+OF GF＝22，
可得方程10x+x（5﹣2x）＝22，
解得x1＝2，x2＝5.5（舍去），
∴CG＝FG＝2，
∴OG＝3，
∴AG＝4，
∴，
∴S△CHA＝8，
∵AD∥HC，
∴∠CAD＝∠ACH，
∵，
∴∠B＝∠CAD，
∴∠B＝∠ACH，
∵∠H＝∠H，
∴△CHA∽△BHC，
∴．
答：△BHC的面积为．
7．【解答】解：（1）∵∠AFB﹣∠BFD＝∠ACB＝α，①
又∵∠AFB+∠BFD＝180°，②
②﹣①，得2∠BFD＝180°﹣α，
∴∠BFD＝90°；
（2）由（1）得∠BFD＝90°，
∵∠ADB＝∠ACB＝α，
∴∠FBD＝180°﹣∠ADB﹣∠BFD＝90°，
∴DB＝DF，
∵FG∥AC，
∴∠CAD＝∠DFG，
∵∠CAD＝∠DBE，
∴∠DFG＝∠DBE，
在△BDE和△FDG中，
，
∴△BDE≌△FDG（SAS）；
（3）①∵△BDE≌△FDG，
∴∠FDG＝∠BDE＝α，
∴∠BDG＝∠BDF+∠EDG＝2α，
∵DE＝DG，
∴∠DGE（180°﹣∠FDG）＝90°，
∴∠DBG＝180°﹣∠BDG﹣∠DGE＝90°，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ABD＝90°，
∴∠ABC＝∠ABD﹣∠DBG，
∴与所对的圆心角度数之比为3：2，
∴与的长度之比为3：2，
∵2，
∴3；
②如图，连接BO，
∵OB＝OD，
∴∠OBD＝∠ODB＝α，
∴∠BOF＝∠OBD+∠ODB＝2α，
∵∠BDG＝2α，
∴∠BOF＝∠BDG，
∵∠BGD＝∠BFO＝90°，
∴△BDG∽△BOF，
设△BDG与△BOF的相似比为k，
∴，
∵，
∴设OF＝4x，则OE＝11x，DE＝DG＝4kx，
∴OB＝OD＝OE+DE＝11x+4kx，BD＝DF＝OF+OD＝15x+4kx，
∴，
由k，得4k2+7k﹣15＝0，
解得k或﹣3（舍去），
∴OD＝11x+4kx＝16x，BD＝15x+4kx＝20x，
∴AD＝2OD＝32x，
在Rt△ABD中，cos∠ADB，
∴cosα．
方法二：连接OB，作BM⊥AD于M，
由题意知，△BDF和△BEF都是等腰三角形，
∴EM＝MF，
设OE＝11，OF＝4，
设DE＝m，则OB＝m+11，OM＝3.5，BD＝m+15，DM＝m+7.5，
∴OB2﹣OM2＝BD2﹣DM2，
即（m+11）2﹣3.52＝（m+15）2﹣（m+7.5）2，
解得m＝5或m＝﹣12（舍去），
∴cosα．
8．【解答】解：（1）∵BD为⊙O的直径，
∴∠BAD＝90°，
∵，
∴∠ABG＝∠DBC＝α，
∴∠AGB＝90°﹣α；
（2）∵BD为⊙O的直径，
∴∠BCD＝90°，
∴∠BEC＝∠BDC＝90°﹣α，
∴∠BEC＝∠AGB，
∵∠CEF＝180°﹣∠BEC，∠BGD＝180°﹣∠AGB，
∴∠CEF＝∠BGD，
又∵CE＝BG，∠ECF＝∠GBD，
∴△CFE≌△BDG（ASA），
∴EF＝DG；
（3）①如图，连接DE，
∵BD为⊙O的直径，
∴∠A＝∠BED＝90°，
在Rt△ABD中，tan∠ADB，AD＝2，
∴ABAD，
∵，
∴，
即，
∴AD＝CE，
∵CE＝BG，
∴BG＝AD＝2，
∵在Rt△ABG中，sin∠AGB，
∴∠AGB＝60°，AGBG＝1，
∴EF＝DG＝AD﹣AG＝1，
∵在Rt△DEG中，∠EGD＝60°，
∴EGDG，DEDG，
在Rt△FED中，DF，
∴FG+DG+DF，
∴△FGD的周长为；
②如图，过点C作CH⊥BF于H，
∵△BDG≌△CFE，
∴BD＝CF，∠CFH＝∠BDA，
∵∠BAD＝∠CHF＝90°，
∴△BAD≌△CHF（AAS），
∴FH＝AD，
∵AD＝BG，
∴FH＝BG，
∵∠BCF＝90°，
∴∠BCH+∠HCF＝90°，
∵∠BCH+∠HBC＝90°，
∴∠HCF＝∠HBC，
∵∠BHC＝∠CHF＝90°，
∴△BHC∽△CHF，
∴，
设GH＝x，
∴BH＝2﹣x，
∴CH2＝2（2﹣x），
在Rt△GHC中，CG2＝GH2+CH2，
∴CG2＝x2+2（2﹣x）＝（x﹣1）2+3，
当x＝1时，CG2的最小值为3，
∴CG的最小值为．
9．【解答】证明：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝∠C＝60°，
∵∠DEB＝∠BAC＝60°，∠D＝∠C＝60°，
∴∠DEB＝∠D，
∴BD＝BE；
（2）如图1，过点A作AG⊥BC于点G，
∵△ABC是等边三角形，AC＝6，
∴BG，
∴在Rt△ABG中，AGBG＝3，
∵BF⊥EC，
∴BF∥AG，
∴，
∵AF：EF＝3：2，
∴BEBG＝2，
∴EG＝BE+BG＝3+2＝5，
在Rt△AEG中，AE；
（3）①如图1，过点E作EH⊥AD于点H，
∵∠EBD＝∠ABC＝60°，
∴在Rt△BEH中，，
∴EH，BH，
∵，
∴BG＝xBE，
∴AB＝BC＝2BG＝2xBE，
∴AH＝AB+BH＝2xBEBE＝（2x）BE，
∴在Rt△AHE中，tan∠EAD，
∴y；
②如图2，过点O作OM⊥BC于点M，
设BE＝a，
∵，
∴CG＝BG＝xBE＝ax，
∴EC＝CG+BG+BE＝a+2ax，
∴EMECa+ax，
∴BM＝EM﹣BE＝axa，
∵BF∥AG，
∴△EBF∽△EGA，
∴，
∵AG，
∴BF，
∴△OFB的面积，
∴△AEC的面积，
∵△AEC的面积是△OFB的面积的10倍，
∴，
∴2x2﹣7x+6＝0，
解得：，
∴，
10．【解答】解：（1）∵PB⊥AM、PC⊥AN，
∴∠ABP＝∠ACP＝90°，
∴∠BAC+∠BPC＝180°，
又∠BPD+∠BPC＝180°，
∴∠BPD＝∠BAC；
（2）①如图1，
∵∠APB＝∠BDE＝45°，∠ABP＝90°，
∴BP＝AB＝2，
∵∠BPD＝∠BAC，
∴tan∠BPD＝tan∠BAC，
∴2，
∴BPPD，
∴PD＝2；
②当BD＝BE时，∠BED＝∠BDE，
∴∠BPD＝∠BPE＝∠BAC，
∴tan∠BPE＝2，
∵AB＝2，
∴BP，
∴BD＝2；
当BE＝DE时，∠EBD＝∠EDB，
∵∠APB＝∠BDE、∠DBE＝∠APC，
∴∠APB＝∠APC，
∴AC＝AB＝2，
过点B作BG⊥AC于点G，得四边形BGCD是矩形，
∵AB＝2、tan∠BAC＝2，
∴AG＝2，
∴BD＝CG＝22；
当BD＝DE时，∠DEB＝∠DBE＝∠APC，
∵∠DEB＝∠DPB＝∠BAC，
∴∠APC＝∠BAC，
设PD＝x，则BD＝2x，
∴2，
∴，
∴x，
∴BD＝2x＝3，
综上所述，当BD＝2、3或22时，△BDE为等腰三角形；
（3）如图3，过点O作OH⊥DC于点H，
∵tan∠BPD＝tan∠MAN＝1，
∴BD＝PD，
设BD＝PD＝2a、PC＝2b，
则OH＝a、CH＝a+2b，
过点B作BQ⊥AN于点Q，
则QC＝BD＝2a，AQ＝BQ＝CD＝2a+2b，
∴AC＝4a+2b，
∵OC∥BE且∠BEP＝90°，
∴∠PFC＝90°，
∴∠PAC+∠APC＝∠OCH+∠APC＝90°，
∴∠OCH＝∠PAC，
∴△ACP∽△CHO，
∴，即OH AC＝CH PC，
∴a（4a+2b）＝2b（a+2b），
∴a＝b，
即CP＝2a、CH＝3a，
则OCa，
∵△CPF∽△COH，
∴，即，
则CFa，OF＝OC﹣CFa，
∵BE∥OC且BO＝PO，
∴OF为△PBE的中位线，
∴EF＝PF，
∴．
11．【解答】解：（1）①连接DM、MC，如图1．
∵OM是⊙P的直径，
∴∠MDO＝∠MCO＝90°．
∵∠AOB＝90°，
∴四边形OCMD是矩形，
∴MD∥OA，MC∥OB，
∴，．
∵点M是AB的中点，即BM＝AM，
∴BD＝DO，AC＝OC．
∵点M的坐标为（3，4），
∴OB＝2OD＝8，OA＝2OC＝6，
∴点B的坐标为（0，8），点A的坐标为（6，0）；
②在Rt△AOB中，OA＝6，OB＝8，
∴AB10．
∴BMAB＝5．
∵∠OBM＝∠EBD，∠BOM＝∠BED，
∴△OBM∽△EBD，
∴，
∴，
∴BE，
∴ME＝BE﹣BM5；
（2）连接DP、PE，如图2．
∵3，
∴OK＝3MK，
∴OM＝4MK，PM＝2MK，
∴PK＝MK．
∵OD＝BD，OP＝MP，
∴DP∥BM，
∴∠PDK＝∠MEK，∠DPK＝∠EMK．
在△DPK和△EMK中，
，
∴△DPK≌△EMK，
∴DK＝EK．
∵PD＝PE，
∴PK⊥DE，
∴cos∠DPK，
∴∠DPK＝60°，
∴∠DOM＝30°．
∵∠AOB＝90°，AM＝BM，
∴OM＝BM，
∴∠OBA＝∠DOM＝30°；
（3）y关于x的函数解析式为y．
提示：连接PD、OE，如图3．
设MK＝t，则有OK＝yt，OM＝（y+1）t，
BM＝OM＝（y+1）t，DP＝PM，
PKt．
由DP∥BM可得△DKP∽△EKM，
则有，可得MEt．
∵OM是⊙P的直径，
∴∠OEM＝90°，
∴OE2＝OM2﹣ME2＝[（y+1）t]2﹣[t]2 （y2﹣2y），
即OE ，
BE＝BM+ME＝（y+1）tt，
∴x＝tan∠OBA，
∴x21，
整理得：y．
12．【解答】解：（1）因为点D是弧BC的中点，
所以∠CAD＝∠BAD，即∠CAB＝2∠BAD，
而∠BOD＝2∠BAD，
所以∠CAB＝∠BOD，
所以DO∥AC；
（2）∵，
∴∠CAD＝∠DCB，
∴△DCE∽△DAC，
∴CD2＝DE DA；
（3）∵tan∠CAD，连接BD，则BD＝CD，
∠DBC＝∠CAD，在Rt△BDE中，tan∠DBE，
设：DE＝a，则CD＝2a，
而CD2＝DE DA，则AD＝4a，
∴AE＝3a，
∴3，
而△AEC∽△DEF，
即△AEC和△DEF的相似比为3，
设：EF＝k，则CE＝3k，BC＝8k，
tan∠CAD，
∴AC＝6k，AB＝10k，
∴sin∠CDA．
13．【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵DE⊥AB，
∴∠DEO＝90°，
∴∠DEO＝∠ACB，
∵OD∥BC，
∴∠DOE＝∠ABC，
∴△DOE∽△ABC；
（2）证明：∵△DOE∽△ABC，
∴∠ODE＝∠A，
∵∠A和∠BDC是所对的圆周角，
∴∠A＝∠BDC，
∴∠ODE＝∠BDC，
∴∠ODF＝∠BDE；
（3）解：∵△DOE∽△ABC，
∴，
即S△ABC＝4S△DOE＝4S1，
∵OA＝OB，
∴，即S△BOC＝2S1，
∵，
∴，
∴，
即，
∴sinA＝sin∠ODE．
14．【解答】（1）证明：连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC，
∵CD＝BD，
∴AD垂直平分BC，
∴AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
又∵∠B＝∠E，
∴∠E＝∠C；
（2）解：∵四边形AEDF是⊙O的内接四边形，
∴∠AFD＝180°﹣∠E，
又∵∠CFD＝180°﹣∠AFD，
∴∠CFD＝∠E＝55°，
又∵∠E＝∠C＝55°，
∴∠BDF＝∠C+∠CFD＝110°；
（3）解：连接OE，
∵∠CFD＝∠E＝∠C，
∴FD＝CD＝BD＝4，
在Rt△ABD中，cosB，BD＝4，
∴AB＝6，
∵E是的中点，AB是⊙O的直径，
∴∠AOE＝90°，
∵AO＝OE＝3，
∴AE＝3，
∵E是的中点，
∴∠ADE＝∠EAB，
∴△AEG∽△DEA，
∴，
即EG ED＝AE2＝18．
15．【解答】（1）证明：∵D是 的中点，
∴，
∵DE⊥AB且AB为⊙O的直径，
∴，
∴，
∴BC＝DE；
（2）解：连接OD，
∵，
∴∠CAB＝∠DOB，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵DE⊥AB，
∴∠DFO＝90°，
∴△ACB∽△OFD，
∴，
设⊙O的半径为r，
则 ，
解得r＝5，经检验，r＝5是方程的根，
∴AB＝2r＝10，
∴，
∴，
∵∠BPC＝∠CAB，
∴；
（3）解：如图，过点B作BG⊥CP交CP于点G，
∴∠BGC＝∠BGP＝90°，
∵∠ACB＝90°，CP是∠ACB 的平分线，
∴∠ACP＝∠BCP＝45°，
∴∠CBG＝45°，
∴，
∴，
∴，
∴GP3，
．CP＝CG+GP＝437．
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