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2025年九年级数学中考三轮冲刺练习四边形与三角函数综合问题训练
1.如图,在四边形ABCD中,E是AB的中点,DB,CE交于点F,DF=FB,AF∥DC.
(1)求证:四边形AFCD为平行四边形;
(2)若∠EFB=90°,tan∠FEB=3,EF=1,求BC的长.
2.如图,在 ABCD中,点E,F分别在BC,AD上,BE=DF,AC=EF.
(1)求证:四边形AECF是矩形;
(2)若AE=BE,AB=2,tan∠ACB,求BC的长.
3.如图,在四边形ABCD中,∠ACB=∠CAD=90°,点E在BC上,AE∥DC,EF⊥AB,垂足为F.
(1)求证:四边形AECD是平行四边形;
(2)若AE平分∠BAC,BE=5,cosB,求BF和AD的长.
4.如图,在 ABCD中,AE平分∠BAD,交BC于点E,BF平分∠ABC,交AD于点F,AE与BF交于点P,连接EF,PD.
(1)求证:四边形ABEF是菱形;
(2)若AB=4,AD=6,∠ABC=60°,求tan∠ADP的值.
5.如图,在直角梯形ABCD中,AB∥DC,∠DAB=90°,AB=8,CD=5,BC=3.
(1)求梯形ABCD的面积;
(2)连接BD,求∠DBC的正切值.
6.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,CA平分∠BCD,DE∥AC,交BC的延长线于点E,∠B=2∠E.
(1)求证:AB=DC;
(2)若tanB=2,AB,求边BC的长.
7.如图,四边形ABCD中,∠B=∠D=90°,过点C作AD的平行线交AB于点E,在AD上取点F,使DF=CE,连接EF.
(1)求证:四边形CDFE是矩形;
(2)若CE=5,CD=2BE,,求AD的长.
8.如图1,在矩形ABCD中,BD为对角线,BD的垂直平分线分别交AD,BD,BC于点E,O,F,连接BE,DF.
(1)求证:四边形BEDF是菱形.
(2)如图2,连接CO,若AE=2,AD=6,求cos∠BCO的值.
9.如图,在 ABCD中,过点A作AE⊥DC交DC的延长线于点E,过点D作DF∥EA交BA的延长线于点F.
(1)求证:四边形AEDF是矩形;
(2)连接BD,若AB=AE=2,tan∠ADF=2,求BD的长.
10.如图,在四边形ABCD中,E是AB中点,DB、CE交于点F,DF=FB,AF∥DC.
(1)求证:四边形AFCD是平行四边形.
(2)若∠ADB=120°,,AD=4.求BE的长.
11.如图,在 ABCD中,AE⊥BC于点E,点F在BC的延长线上,且CF=BE,连接DF.
(1)求证:四边形AEFD是矩形;
(2)连接DE,若tan∠ABC=2,BE=1,AD=4,求DE的长.
12.如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,AB=AD,对角线AC,BD交于O,AC平分∠BAD.
(1)求证:四边形ABCD是菱形;
(2)过点C作AB的垂线交其延长线于点E,若BD=6,,求CE的长.
13.如图,点E在 ABCD的对角线DB的延长线上,AE=AD,AF⊥BD于点F,EG∥BC交AF的延长线于点G,连接DG.
(1)求证:四边形AEGD是菱形;
(2)若AF=BF,tan∠AEF,AB=4,求菱形AEGD的面积.
14.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D为AB的中点,连接CD,过点A作AG∥DC,过点C作CG∥DA,AG与CG相交于点G.
(1)求证:四边形ADCG是菱形;
(2)若AB=10,tan∠CAG,求BC的长.
15.如图,在 ABCD中,AC,BD交于点O,且AO=BO.
(1)求证:四边形ABCD是矩形;
(2)∠ADB的角平分线DE交AB于点E,当AD=6,tan∠CAB时,求AE的长.
参考答案
1.【解答】(1)证明:∵E是AB的中点,
∴AE=BE,
∵DF=BF,
∴EF是△ABD的中位线,
∴EF∥AD,
∴CF∥AD,
∵AF∥CD,
∴四边形AFCD为平行四边形;
(2)解:由(1)知,EF是△ABD的中位线,
∴AD=2EF=2,
∵∠EFB=90°,tan∠FEB=3,
∴BF=3EF=3,
∵DF=FB,
∴DF=BF=3,
∵AD∥CE,
∴∠ADF=∠EFB=90°,
∴AF,
∵四边形AFCD为平行四边形,
∴CD=AF,
∵DF=BF,CE⊥BD,
∴BC=CD.
2.【解答】(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=BC,AD∥BC,
∵BE=DF,
∴AD﹣DF=BC﹣BE,
即AF=EC,
∴四边形AECF是平行四边形,
∵AC=EF,
∴平行四边形AECF是矩形;
(2)解:∵四边形AECF是矩形,
∴∠AEC=∠AEB=90°,
∵AE=BE,AB=2,
∴△ABE是等腰直角三角形,
∴AE=BEAB,
∵tan∠ACB,
∴EC=2AE=2,
∴BC=BE+EC23,
即BC的长为3.
3.【解答】(1)证明:∵∠ACB=∠CAD=90°,
∴AD∥CE,
∵AE∥DC,
∴四边形AECD是平行四边形;
(2)解:∵EF⊥AB,
∴∠BFE=90°,
∵cosB,BE=5,
∴BFBE5=4,
∴EF3,
∵AE平分∠BAC,EF⊥AB,∠ACE=90°,
∴EC=EF=3,
由(1)得:四边形AECD是平行四边形,
∴AD=EC=3.
4.【解答】(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC.
∴∠DAE=∠AEB.
∵AE是角平分线,
∴∠DAE=∠BAE.
∴∠BAE=∠AEB.
∴AB=BE.
同理AB=AF.
∴AF=BE.
∴四边形ABEF是平行四边形.
∵AB=BE,
∴四边形ABEF是菱形.
(2)解:作PH⊥AD于H,
∵四边形ABEF是菱形,∠ABC=60°,AB=4,
∴AB=AF=4,∠ABF=∠AFB=30°,AP⊥BF,
∴APAB=2,
∴PH,AH=1,
∴DH=5,
∴tan∠ADP.
5.【解答】解:(1)过C作CE⊥AB于E,
∵AB∥DC,∠DAB=90°,
∴∠ADC=90°,
∴∠A=∠ADC=∠AEC=90°,
∴四边形ADCE是矩形,
∴AD=CE,AE=CD=5,
∴BE=AB﹣AE=3,
∵BC=3,
∴CE6,
∴梯形ABCD的面积(5+8)×6=39;
(2)过C作CH⊥BD于H,
∵CD∥AB,
∴∠CDB=∠ABD,
∵∠CHD=∠A=90°,
∴△CDH∽△DBA,
∴,
∵BD10,
∴,
∴CH=3,
∴BH6,
∴∠DBC的正切值.
6.【解答】(1)证明:∵DE∥AC,
∴∠BCA=∠E.(1分)
∵CA平分∠BCD,
∴∠BCD=2∠BCA,(1分)
∴∠BCD=2∠E,(1分)
又∵∠B=2∠E,
∴∠B=∠BCD.(1分)
∴梯形ABCD是等腰梯形,即AB=DC.(2分)
(2)解:如图,作AF⊥BC,DG⊥BC,垂足分别为F,G,则AF∥DG.
在Rt△AFB中,tanB=2,∴AF=2BF.(1分)
又∵AB,且AB2=AF2+BF2,
∴5=4BF2+BF2,得BF=1.(1分)
同理可知,在Rt△DGC中,CG=1.(1分)
∵AD∥BC,∴∠DAC=∠ACB.
又∵∠ACB=∠ACD,∴∠DAC=∠ACD,∴AD=DC.∵DC=AB,∴AD.(1分)
∵AD∥BC,AF∥DG,∴四边形AFGD是平行四边形,∴FG=AD.(1分)
∴BC=BF+FG+GC=2.(1分)
7.【解答】(1)证明:∵CE∥AD,DF=CE,
∴四边形CDFE是平行四边形,
∵∠D=90°,
∴平行四边形CDFE是矩形;
(2)解:∵CE∥AD,
∴∠CEB=∠A,
∵tanA=4/3,
∴tan∠CEB=tanA,
∵∠B=90°,
∴△CBE是直角三角形,
在Rt△CBE中,tan∠CEB,
∴设BC=4a,BE=3a,
由勾股定理得:CE5a,
∵CE=5,
∴5a=5,
解得:a=1,
∴BE=3a=3,
∴CD=2BE=6,
由(1)可知:四边形CDFE是矩形,
∴DF=CE=5,EF=CD=6,∠EFD=90°,
∴△AEF是直角三角形,
在Rt△AEF中,tanA,
∴,
∴AF=4.5,
∴AD=AF+DF=4.5+5=9.5.
8.【解答】(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,AB=CD,
∴∠EDO=∠FBO,DE∥BF,
∵EF是BD的垂直平分线,
∴OB=OD,BE=DE,
∴∠BDF=∠DBF,
在△DOE和△BOF中,
,
∴△DOE≌△BOF(ASA),
∴DE=BF,
∴四边形BEDF是平行四边形,
∵EF⊥BD,
∴四边形BEDF是菱形;
(2)解:∵四边形ABCD是矩形,
∴∠A=90°,
∵EF是BD的垂直平分线,
∴BE=DE=AD﹣AE=6﹣2=4,
∴AB2,
∴BD4
∵OB=OD,∠BCD=90°,
∴OB=OC,
∴∠BCO=∠CBD=∠ADB,
∴cos∠BCO=cos∠ADB.
9.【解答】(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥DC,
∵DF∥EA,
∴四边形AEDF是平行四边形,
∵AE⊥DE,
∴∠E=90°,
∴四边形AEDF是矩形;
(2)解:如图,
∵四边形AEDF是矩形,
∴AE=DF=2,∠F=90°,
∴,
∴AF=2DF=4,
∴BF=AB+AF=6,
∴在Rt△BDF中,
.
10.【解答】(1)证明:∵DB、CE交于点F,DF=FB,
∴F是DB的中点,
∵E是AB的中点,
∴EF∥AD,
∴CF∥AD,
∵AF∥DC,
∴四边形AFCD是平行四边形.
(2)解:作AH⊥BD交BD的延长线于点H,则∠H=90°,
∵∠ADB=120°,AD=4,
∴∠ADH=90°﹣∠ADB=60°,
∴sin60°,
∴AHAD4=2,
∵tan∠FBE,
∴BH=3AH=3×26,
∴AB2,
∴BEAB2,
∴BE的长是.
11.【解答】(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,AD=BC,
∵CF=BE,
∴CF+EC=BE+EC,即BC=EF,
∴AD=EF且AD∥EF,
∴四边形AEFD是平行四边形,
∵AE⊥BC,
∴∠AEF=90°,
∴四边形AEFD是矩形.
(2)解:连接DE,
在Rt△ABE中,∠AEB=90°,BE=1,
∵,
∴AE=2BE=2,
在Rt△ADE中,∠DAE=90°,AD=4,
∴.
12.【解答】(1)证明:∵AB∥CD,
∴∠CAB=∠DCA,
∵AC为∠DAB的平分线,
∴∠CAB=∠DAC,
∴∠DCA=∠DAC,
∴AD=CD,
∵AB=AD,
∴AB=CD,
∵AB∥CD,
∴四边形ABCD是平行四边形,
又∵AB=AD,
∴平行四边形ABCD是菱形;
(2)解:∵四边形ABCD是菱形,BD=6,
∴OA=OC,OB=ODBD=3,BD⊥AC,
∴∠AOB=90°,
∴tan∠OAB,
∴OAOB3=4,
∴AC=2OA=8,AB5,
∵CE⊥AB,
∴S菱形ABCD=AB CEAC BD8×6=24,
即5CE=24,
∴CE,
即CE的长为.
13.【解答】(1)证明:∵AE=AD,AF⊥BD,
∴EF=DF,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,
∵EG∥BC,
∴AD∥EG,
∴∠GEF=∠ADF,
在△GEF和△ADF中,
,
∴△GEF≌△ADF(ASA),
∴GF=AF,
∵EF=DF,
∴四边形AEGD是平行四边形,
∵AE=AD,
∴四边形AEGD是菱形;
(2)解:∵AF⊥BD,AF=BF,
∴△AFB是等腰直角三角形,
∵AB=4,
∴由勾股定理得,,
∵tan∠AEF,
∴,
即,
∴EF,
∵四边形AEGD是菱形,
∴AG=2AF,ED=2EF,
∴菱形AEGD的面积.
14.【解答】(1)证明:∵AG∥DC,CG∥DA,
∴四边形ADCG是平行四边形,
∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D为AB边的中点,
∴AD=CDAB,
∴四边形ADCG是菱形;
(2)解:∵CG∥DA,
∴∠BAC=∠ACG,
∴tan∠CAG=tan∠BAC,
∴设BC=3x,AC=4x,
∴AB=5x=10,
∴x=2,
∴BC=3x=6.
15.【解答】(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AC=2AO,BD=2BO,
∵AO=BO,
∴AC=BD,
∴ ABCD为矩形;
(2)解:过点E作EG⊥BD于点G,如图所示:
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠DAB=90°,
∴EA⊥AD,
∵DE为∠ADB的角平分线,
∴EG=EA,
∵AO=BO,
∴∠CAB=∠ABD,
∵AD=6,tan∠CAB,
∴tan∠CAB=tan∠ABD,
∴ABAD=8,
∴BD10,sin∠CAB=sin∠ABD,
设AE=EG=x,则BE=8﹣x,
在△BEG中,∠BGE=90°,
∴sin∠ABD,
∴,
解得:x=3,
∴AE=3.
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