6.3.2—6.3.4向量线性运算的坐标表示 课件（共32张PPT）

(共32张PPT)
第6章 平面向量及其应用
6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示
6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示
6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示
复习回顾
平面向量基本定理
若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量, 则对于这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.
探索新知
向量的正交分解
探索新知
向量的坐标表示
思考：如图,在直角坐标系中，已知A(1,0),B(0,1),
C(3,4),D(5,7).设 填空：
（1）若用 来表示 ，则：
3
5
4
7
如图， 分别是与x轴、y轴方向相同
的单位向量，若以 为基底，则
（2）向量 能否由 表示出来？可以的话，如何表示？
3
5
4
7
提示:
②
其中，x叫做 在x轴上的坐标，y叫做 在y轴上
的坐标，②式叫做向量的坐标表示.
这样，平面内的任一向量 都可由x，y唯一确定，我们把有序数对（x,y）叫做向量 的坐标，记作
显然，
O
x
y
A
在直角坐标平面中，以原点O为起点作 ，则点
A的位置由向量 唯一确定.
设 ，则向量 的坐标（x,y）就是终点A的坐标；反过来，终点A的坐标(x,y)也就是向量 的坐标.
因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一有序实数对唯一表示.
典例分析
1.向量正交分解与坐标表示
例1.如图，取与x轴、y轴同向的两个单位向量i、j作为基底，分别用i、j表示 、、，并求出它们的坐标．
解析：（1） ＝6i＋2j，＝2i＋4j，＝－4i＋2j，
它们的坐标表示为：＝(6,2)，＝(2,4)，＝(－4,2)．
巩固训练
如图，分别用基底{i，j}表示向量a，b，c，d，并求出它们的坐标
典例分析
2.向量的坐标应用
例2.已知边长为2的正三角形ABC，顶点A在坐标原点，AB边在x轴上，C在第一象限，D为AC的中点，分别求向量， 的坐标．
解析 ：如图，正三角形ABC的边长为2，则顶点A(0,0)，B(2,0)，C(2cos 60°，2sin 60°)，
∴C(1，)，∴ ＝(2,0)， ＝(1，)
巩固训练
已知O是坐标原点，点A在第一象限，||＝4，∠xOA＝60°.
求向量的坐标；
解析：设点A(x，y)，则x＝4cos 60°＝，y＝4sin 60°＝，
即A(2，6)，＝(2，6)．
探索新知
向量加、减的坐标表示
思考：已知 ， 你能得出 的坐标吗？
即
同理可得
两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）.
【思考】已知点A(,),B(,),那么向量的坐标是什么
一般地,一个任意向量的坐标如何计算
[提示] =(-,-),任意一个向量的坐标等于表示该向量的
有向线段的终点坐标减去始点坐标.
典例分析
3.向量加法的坐标表示
例1.设向量a、b的坐标分别是(－1,2)，(3，－5)，则a＋b＝______。
解析：a＋b＝(－1,2)＋(3，－5)＝(－1＋3,2－5)＝(2，－3)。
巩固训练
若向量＝(1,2)，＝(3,4)，则＝(　　)
A．(4,6)　　 B．(－4，－6) C．(－2，－2) D．(2,2)
解析：＝＋＝(1,2)＋(3,4)＝(4,6)．
答案：A
典例分析
4.向量减法的坐标表示
例2.已知平面上三个点A(4,6)、B(7,5)、C(1,8)，求、、－.
巩固训练
典例分析
5.向量坐标运算的综合应用
例3. 已知点O(0,0)，A(1，t)，B(4t,5)及＝－，试求t为何值时：
(1)点P在x轴上；(2)点P在y轴上；(3)点P在第四象限．
巩固训练
已知在平行四边形ABCD中，AB∥DC，且A，B，D三点的坐标分别为(0，0)，(2，0)，(1，1)，则顶点C的横坐标的取值范围是________．
解析：当ABCD为平行四边形时，
则＝＋＝(2，0)＋(1，1)＝(3，1)，
故满足题意的顶点C的横坐标的取值范围是(1，3)∪(3，＋∞)．
探索新知
向量数乘的坐标表示
思考1：
平面向量数乘运算的坐标表示：
已知a＝(x，y)，λ∈R，则λa＝ ，即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘以原来向量的相应坐标．
(λx，λy)
思考2：如果向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(b≠0)，根据共线向量定理，a与b共线时，存在唯一实数λ，使a＝λb，那么根据向量数乘运算的坐标表示，你能发现a与b的坐标之间的关系吗？
[提示]若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且a与b共线，则　消去得
平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.向量a，b(b≠0)共线的充要条件
是
记忆口诀：
交叉相乘，差是0
中点坐标公式
若P1，P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)(b≠0)，线段的中点P的
坐标为(x，y)，则 , 此公式为线段的中点坐标公式.
定比分点公式
若P1，P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)(b≠0)，线段的任意一点P，
且满足，则P的坐标为(x，y)，
则 , 此公式定比分点公式.
典例分析
1.向量数乘运算的坐标表示
例1.已知向量a＝(1,2)，b＝(3，－4)，c＝(－2,6)，试求a＋3b,3a－2b＋c.
巩固训练
（1）已知 ，求 的坐标。
（2）若A、B、C三点的坐标分别为(2，－4)，(0,6)，(－8,10)，
典例分析
2.平面向量共线的坐标运算
例2.已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当k为何值时，ka＋b与a－3b平行？
平行时它们是同向还是反向？
（1）已知a＝（4，2），b＝（6，y），且a∥b，则y＝________.
（2）若a＝(，cos α)，b＝(3，sin α)，且a∥b，则锐角α＝________.
巩固训练
解析：（1）因为a∥b，所以 4y－2×6＝0 解得y＝3 .
（2）　∵a＝(，cos α)，b＝(3，sin α)，a∥b，∴sin α－3cos α＝0，
即tan α＝，又0<α<，故α＝.　
典例分析
3.向量共线的判定及点共线问题
例3.如果向量＝i－2j，＝i＋mj，其中i，j分别是x轴、y轴正方向上的单位向量，试确定实数m的值，使A，B，C三点共线．
巩固训练
如图所示，已知直角梯形ABCD，AD⊥AB，AB＝2AD＝2CD，过点C作CE⊥AB于E，M为CE的中点，试建立适当的坐标系并用向量的方法证明：
(1)DE∥BC；
(2)D，M，B三点共线．
证明：如图，以E为原点，AB所在直线为x轴，EC所在直线为y轴建立直角坐标系，
设|AD|＝1，则|CD|＝1，|AB|＝2. ∵CE⊥AB，而AD＝DC.∴四边形AECD为正方形．
∴可求得各点坐标分别为E(0,0)，B(1,0)，C(0,1)，D(－1,1)，A(－1,0)．
(1)∵＝(－1,1)－(0,0)＝(－1,1)，
＝(0,1)－(1,0)＝(－1,1)，∴＝，∴∥，即DE∥BC.
(2)连接MB，MD，∵M为EC的中点，
∴M(0，)，∴＝(－1,1)－(0，)＝(－1，)，＝(1,0)－(0，)＝(1，－)，∴＝－，∴∥.
又MD与MB有公共点M，∴D，M，B三点共线．
完成教材—— 第30页 练习 第1，2，3题
第36 页 习题6.3 第2,3,4题
不积跬步，无以至千里；
不积小流，无以成江海。
谢 谢 ~~