福建省部分优质高中2024-2025学年高二下学期第一次阶段性质量检测 数学试卷（含解析）

福建省部分优质高中2024 2025学年高二下学期第一次阶段性质量检测数学试卷
一、单选题（本大题共8小题）
1．若公差为的等差数列满足，，则n等于（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
2．若，则（ ）
A． B．6 C．3 D．-3
3．在数列中，，（，），则（ ）
A． B．1 C． D．2
4．已知的一个极值点为2，则实数（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．已知为函数的导函数，且．若，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知等比数列满足，，记为其前项和，则（ ）
A． B． C． D．7
7．已知函数，则曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
8．已知数列的首项为1，且，设数列中不在数列中的项按从小到大的顺序排列构成数列，则数列的前100项和为（ ）
A．11449 B．11195 C．11209 D．11202
二、多选题（本大题共3小题）
9．下列求导的运算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知在首项为1，公差为d的等差数列中，、、是等比数列的前三项，数列的前n项和为，则（ ）
A．或 B．
C．是等差数列 D．
11．已知函数，则下列说法中正确的是（ ）
A．的图象关于原点对称
B．的值域为
C．当时，桓成立
D．若在上恰有1012个不同解，则符合条件的a只有一个
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知为等差数列的前项和，且，则 ．
13．已知函数，若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数= .
14．已知函数在上有两个极值点，则实数的取值范围是 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知数列的前n项和为，且满足
(1)证明数列为等比数列，并求它的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和
16．已知函数.
(1)求的图象在点处的切线方程；
(2)求函数的极值；
17．设等差数列的前n项和为，且，（为常数）
(1)求a的值；
(2)求的通项公式；
(3)若，求数列的前n项和
18．已知函数，.
(1)讨论的单调区间；
(2)若直线为的切线，求a的值；
(3)已知，若曲线在处的切线与C有且仅有一个公共点，求a的取值范围.
19．已知函数.
(1)若恒成立，求的取值范围；
(2)判断的单调性，并说明理由；
(3)证明：.（证明时可使用下列结论：当时，成立）.
参考答案
1．【答案】B
【详解】由题意可得，则，解得.
故选：B.
2．【答案】C
【详解】.
故选：C.
3．【答案】A
【详解】因为，（，），
所以，，，，
所以是以为周期的周期数列，则.
故选：A
4．【答案】B
【详解】，令0，得或，
又的一个极值点为2，则，解得，经检验满足题意.
故选：B.
5．【答案】D
【详解】由题意可得，所以，解得，
所以，即，
又，当且仅当，即时，等号成立，
所以，，
故选：D
6．【答案】A
【详解】设等比数列的公比为，
因为，，所以，解得或，
当时，，，所以；
当时，，，所以；
综上可得.
故选：A
7．【答案】A
【详解】由，得，
所以，得，
所以，，，，
故所求切线方程为，即.
故选：A.
8．【答案】D
【详解】数列的首项为1，且，
当时，，
，而满足上式，因此，
，而，
因此数列的前100项和为数列的前107项的和减去数列的前7项的和，
所以数列的前100项和为.
故选：D
9．【答案】ACD
【详解】对于A，，故A正确；
对于B，，故B错误；
对于C，，故C正确；
对于D，，故D正确；
故选：ACD.
10．【答案】AC
【详解】由题意，则，整理得，可得或，
当时，，，则，即是等差数列，此时；
当时，，，则，即是等差数列，
此时，易知公比为4，故；
综上，A、C对，B、D错.
故选：AC
11．【答案】ACD
【详解】对选项A：因为
所以A正确；
对选项B：设，则可表为，
因为，
故为上的奇函数，而时，均为增函数，
故为上的增函数，而为上的增函数，
故为上的增函数，故为上的增函数，
因为是增函数，所以，
所以的值域为，所以B不正确；
对选项C：设，
则（不恒为零），
所以在上递减，所以即，所以C正确；
对选项D：因为，
所以关于对称，又的图象关于原点对称，
故是周期函数且周期，而，
所以在上递增，可作出草图，如下图
设，则，该方程两根满足，
显然均不为0且最多仅有一个属于，
不妨设,
若时，方程在区间[上有1013个实数根；
若时，方程在区间[上有2026个实数根；
若时，在区间上有2024个实数根；
若时，方程在区间上有1012个实数根；
代入方程可得：，唯一，
所以D正确.
故选：ACD
12．【答案】2
【详解】由等差数列的前项和可得：
，
，
则，所以．
故答案为：
13．【答案】
【详解】因为，
所以，
又切线与直线垂直，
所以，解得，
故答案为：1
14．【答案】
【详解】因为函数在上有两个极值点，
所以在上有两个变号零点，
因为，令，即，可得，
令，则，
令，得，令，得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
又，作出函数在上图象，
当时，直线与函数在上的图象有两个交点，
设两个交点的横坐标分别为、，且，由图可知，
当或时，，此时，
当时，，此时，
所以函数在上递增，在上递减，在上递增，
此时，函数有两个极值点，合乎题意.因此，实数的取值范围为.
故答案为：.
15．【答案】(1)证明见解析，；
(2).
【详解】（1）由题设，则，整理得，
又，
所以是首项为1，公比为3的等比数列，则.
（2）由，则，
所以，
所以，
所以.
16．【答案】(1)
(2)极小值为，无极大值
【详解】（1），
，
故的图象在点处的切线为，
即；
（2）的定义域为，
由（1）知，
令得，令得，
故函数在上单调递减，在上单调递增，
故在上取得极小值，极小值为，无极大值；
17．【答案】(1)0
(2)
(3)
【详解】（1）当时，，
当时，，
因为是等差数列，则时也应满足，即，
又，所以，解得；
（2）由（1）得
（3），
18．【答案】(1)答案见解析；
(2)1；
(3).
【详解】（1）由，，
当时，，在上单调递增，
当时，令，解得，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
综上，当时，在上单调递增，无单调减区间；
当时，在区间上单调递减，在上单调递增.
（2）设切点为，依题意得，所以，
又因为，代入，可得，
设，
则，所在上单调递增，
因为，所以，.
（3），，
所以曲线在处的切线方程为，即，
设，，
，
①当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，
有且仅有一个零点，符合题意；
②当时，，在上单调递减，有且仅有一个零点，符合题意；
③当时，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
因为，，当，，所以有两个零点，不符题意；
④当时，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
因为，，当，，所以有两个零点，不符题意；
综上，a的取值范围是.
19．【答案】(1)
(2)在内单调递增，理由见解析
(3)证明见解析
【详解】（1），
，
令，等号不同时取，
所以当时，在上单调递增， .
①若，即在上单调递增，
所以在上的最小值为，符合题意.
②若，即，
此时，
又函数在的图象不间断，
据零点存在性定理可知，存在，
使得，且当时，在上单调递减，
所以，与题意矛盾，舍去.
综上所述，实数的取值范围是；
（2），令，
则，即
，
所以在上单调递增，
即当时，，所以在内单调递增.
（3）由（2）得，当时，，
所以当时，.
又当时，成立，
所以当时，，
即.
所以当时，.