第12章平面图形的认识
一、单项选择题(共6小题，每小题3分，共18分．每小题四个选项中只有一项正确)
1．[2024春·侯马期末]小林求△ABC的面积时，作了AC边上的高BE，下列作图正确的是( D )
2．[2024·海珠区一模]在等腰三角形ABC中，AB＝AC，周长为14 cm，BD是AC边上的中线，△ABD比△BCD周长长4 cm，则腰长为( A )
A．6 cm B．5 cm C．4 cm D．2 cm
3. 如图是一个由四个同心圆构成的靶子示意图，点O为圆心，且OA＝AB＝BC＝CD＝5，那么周长是接近100的圆是( C )\
第3题图
A．OA为半径的圆 B．OB为半径的圆
C．OC为半径的圆 D．OD为半径的圆
4．[2024春·呼和浩特期中]下列三角形一定为直角三角形的是( C )
①△ABC的三个内角的关系为∠A＝3∠B＝3∠C ②△ABC的三个内角的关系为∠A＝∠B＝∠C ③三角形的三个内角之比为4∶5∶9 ④三角形的一个外角与它不相邻的两个内角和为180°
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．[2024·赤峰]如图是正n边形纸片的一部分，其中l，m是正n边形两条边的一部分，若l，m所在的直线相交形成的锐角为60°，则n的值是( B )
第5题图
A．5 B．6 C．8 D．10
6．[2023春·桥西区期末]如图是可调躺椅示意图，AE与BD的交点为C，且∠CAB，∠CBA，∠E保持不变．为了舒适，需调整∠D的大小，使∠EFD＝110°.根据图中数据信息，下列调整∠D大小的方法正确的是( B )
第6题图
A．增大10° B．减小10°
C．增大15° D．减小15°
解析：延长EF，交CD于点G，如图：
第6题图
因为∠ACB＝180°－50°－60°＝70°，
所以∠ECD＝∠ACB＝70°.
因为∠DGF＝∠DCE＋∠E，
所以∠DGF＝70°＋30°＝100°.
因为∠EFD＝110°，∠EFD＝∠DGF＋∠D，
所以∠D＝10°.
而图中∠D＝20°，
所以∠D应减少10°.
二、多项选择题(共4小题，每小题4分，共16分．每小题的四个选项中有多项正确，全部选对得4分，部分选对得3分，有错选的得0分)
7．[2023秋·湘西州期末]如图，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，CH，CM分别是斜边AB上的高和中线，则下列结论正确的是( ABD )
第7题图
A．AM＝BM B．∠AHC＝90°
C．AM＝BC D．∠ACH＝∠B
8．下列生活中的做法与其背后的数学原理对应正确的是( BCD )
A．砌墙时，在两端钉钉子，沿中间的拉线砌墙(两点之间，线段最短)
B．测量运动员的跳远成绩时，皮尺与起跳线保持垂直(垂线段最短)
C．工人师傅砌门时，常用一根木条固定长方形门框(三角形具有稳定性)
D．车轱辘设计为圆形(圆上的点到圆心的距离相等)
9．[2022春·潍坊期末]一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为720°，那么原多边形的边数可能为( ABC )
A．5 B．6 C．7 D．8
解析：如图，
第9题图
三种情况：①不经过顶点剪，则比原来边数多1，
②只过一个顶点剪，则和原来边数相等，
③按照顶点连线剪，则比原来的边数少1，
设内角和为720°的多边形的边数是n，则(n－2)·180＝720，
解得n＝6.
则原多边形的边数为5或6或7.
10．[2024春·烟台期末]如图，在△ABC中，∠A＝90°，BE，CD分别平分∠ABC和∠ACB，且相交于点F，EG∥BC，CG⊥EG于点G，则下列结论中正确的是( ACD )
第10题图
A．∠CEG＝2∠DCA
B．∠DFE＝130°
C．∠EFC＝∠G
D．∠ADC＝∠GCD
三、填空题(共4小题，每小题4分，共16分．只写最后结果)
11．[2023秋·宿迁期中]到点O的距离等于4的点的集合是以点O为圆心，以4为半径的圆．
12．[2024·固原期中]一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的对角线条数是9．
13．[2024·威海]如图，在正六边形ABCDEF中，AH∥FG，BI⊥AH，垂足为点I.若∠EFG＝20°，则∠ABI＝50°．
第13题图
14．[2023春·济南期中]如图，D，E分别是△ABC边AB，BC上的点，AD＝3BD，BE＝CE，设△ADF的面积为S1，△CEF的面积为S2，若S△ABC＝8，则S1－S2的值为2．
第14题图
四、解答题(共7小题，共50分．请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(6分)[2024春·淄博期中](1)如图1，P是△ABC中BC边的延长线上一点，∠A＝50°，∠B＝70°，则∠ACP＝ ；
(2)如图2，∠ACD是△ABC的外角，若∠ACD＝110°，∠B＝50°，则∠A＝ ；
(3)如图3，若∠3＝120°，则∠1－∠2＝ ．
第15题图
解：(1)因为∠A＝50°，∠B＝70°，
所以∠ACP＝∠A＋∠B＝120°；
故答案为：120°；
(2)因为∠ACD＝110°，∠B＝50°，
所以∠A＝∠ACD－∠B＝60°，
故答案为：60°；
(3)因为∠3＝120°，
所以∠4＝180°－∠3＝60°，
所以∠1－∠2＝∠4＝60°，故答案为：60°.
16．(6分)如图所示方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点A，点B，点C在小正方形的顶点上．
(1)画出△ABC中边BC上的高AD；
(2)画出△ABC中边AC上的中线BE；
(3)直接写出△ABE的面积为 ．
第16题图
解：(1)如图所示，线段AD即为所求作；
第16题图
(2)如图所示，线段BE即为所求作；
(3)S△ABC＝BC·AD＝×4×4＝8.
所以△ABE的面积＝S△ABC＝4，
故答案为：4.
17．(6分)[2024春·聊城期末]在△ABC中，∠A＝∠ABC＝∠ACB，BD是∠ABC的平分线，交AB边上的高CE于点F.
(1)求∠ACE的度数；
(2)求∠BFC的度数．
第17题图
解：(1)因为∠A＝∠ABC＝∠ACB，
所以∠ABC＝2∠A，∠ACB＝6∠A，
因为∠A＋∠ABC＋∠ACB＝180°，
所以∠A＋2∠A＋6∠A＝180°，
所以∠A＝20°，
所以∠ABC＝40°，
因为CE⊥AB，
所以∠AEC＝90°，
所以∠ACE＝180°－∠A－∠AEC＝180°－20°－90°＝70°；
(2)因为BD平分∠ABC，∠ABC＝40°，
所以∠ABD＝∠ABC＝20°，
因为CE⊥AB，所以∠BEF＝90°，
因为∠BFC是△BEF的外角，
所以∠BFC＝∠ABD＋∠BEF＝20°＋90°＝110°.
18．(7分)[2024春·商水县期末]阅读下列材料，并完成相应的任务：
第18题图
我们把如图1所示的四边形称为凸四边形，它的内角和为360°，把如图2所示的五边形称为凸五边形，它的内角和为540°.我们把如图3所示的四边形称为凹四边形，它的内角和是360°吗？答案是肯定的．它的证明方法和证明凸四边形的内角和为360°的方法相同．证明方法如下：如图3，连接AC.因为∠BAC＋∠B＋∠ACB＝180°……
任务：(1)将凹四边形的内角和为360°的证明过程补充完整；
(2)如图3，在凹四边形ABCD中，求证：∠BCD＝∠BAD＋∠B＋∠D；
(3)如图4，在四边形ABCD中，已知∠A＝70°，∠B＝28°，∠BCD＝150°，求∠D的度数．
解：(1)因为∠DAC＋∠D＋∠ACD＝180°，
所以凹四边形的内角和＝∠BAC＋∠B＋∠ACB＋∠DAC＋∠D＋∠ACD，
所以∠BAC＋∠B＋∠ACB＋∠DAC＋∠D＋∠ACD＝360°，
所以∠BAD＋∠B＋∠α＋∠D＝360°，
所以凹四边形ABCD的内角和为360°；
(2)证明：因为∠BAD＋∠B＋∠α＋∠D＝360°，
所以∠BAD＋∠B＋∠D＝360°－∠α.
因为∠α＋∠BCD＝360°，
所以∠BCD＝360°－∠α，
所以∠BCD＝∠BAD＋∠B＋∠D；
(3)由(2)，得∠BCD＝∠A＋∠B＋∠D.
因为∠A＝70°，∠B＝28°，∠BCD＝150°，
所以150°＝70°＋28°＋∠D，
所以∠D＝150°－70°－28°＝52°.
19．(7分)[2023·张家口模拟]已知一个三角形的第一条边长为3a＋b，第二条边长为2a－b.
(1)求第三条边长m的取值范围；(用含a，b的式子表示)
(2)若a，b满足|a－5|＋(b－2)2＝0，第三条边长m为整数，求这个三角形周长的最大值．
解：(1)因为三角形的第一条边长为3a＋b，第二条边长为2a－b，
所以第三条边长m的取值范围是3a＋b－(2a－b)＜m＜3a＋b＋(2a－b)，
即a＋2b＜m＜5a，
所以第三条边长m的取值范围是a＋2b＜m＜5a；
(2)因为a，b满足|a－5|＋(b－2)2＝0，第三条边长m为整数，
所以所以
所以5＋2×2＜m＜5×5，即9＜m＜25，
则三角形的周长为3a＋b＋(2a－b)＋m＝5a＋m＝25＋m，
因为m为整数，
所以m可取最大值为24，
此时这个三角形周长的最大值为25＋24＝49，
所以这个三角形周长的最大值为49.
20．(8分)[2024春·扬州期中]如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BE平分∠ABC，若∠ABC＝60°，∠AEB＝70°.
(1)求∠CAD的度数；
(2)若点F为线段BC上的任意一点，当△EFC为直角三角形时，求∠BEF的度数．
第20题图
解：(1)因为BE平分∠ABC，∠ABC＝60°，
所以∠CBE＝∠ABC＝30°，
因为∠AEB＝∠CBE＋∠C，∠AEB＝70°，
所以∠C＝∠AEB－∠CBE＝40°，
因为AD⊥BC于点D，
所以∠ADC＝90°，
所以∠CAD＝180°－∠ADC－∠C＝50°；
(2)如图，当∠EFC＝90°时，
第20题图
∠BEF＝90°－∠CBE＝60°；
如图，当∠FEC＝90°时，
第20题图
因为∠BEC＝180°－∠AEB＝110°，
所以∠BEF＝∠BEC－∠FEC＝20°；
综上所述，∠BEF的度数为60°或20°.
21．(10分)[2023春·太康县期末]【问题呈现】
小明在学习中遇到这样一个问题：
如图1，在△ABC中，∠C＞∠B，AE平分∠BAC，AD⊥BC于点D，猜想∠B，∠C，∠EAD的数量关系．
第21题图
(1)小明阅读题目后，没有发现数量关系与解题思路．于是尝试代入∠B，∠C的值求∠EAD的值，得到下列几组对应值：
∠B/度 10 30 30 20 20
∠C/度 70 70 60 60 80
∠EAD/度 30 a 15 20 30
表中a＝ ，于是得到∠EAD与∠B，∠C的数量关系为 ；
【变式应用】
(2)小明继续研究，在图2中，∠B＝35°，∠C＝75°，其他条件不变，若把“AD⊥BC于点D”改为“F是线段AE上一点，FD⊥BC于点D”，求∠DFE的度数，并写出∠DFE与∠B，∠C的数量关系；
【思维发散】
(3)小明突发奇想，交换B，C两个字母位置，在图3中，若把(2)中的“点F在线段AE上”改为“点F是EA延长线上一点”，其余条件不变，当∠ABC＝88°，∠C＝24°时，∠F度数为 °；
【能力提升】
(4)在图4中，若点F在AE的延长线上，FD⊥BC于点D，∠B＝x，∠C＝y，其余条件不变，分别作出∠CAE和∠EDF的角平分线，交于点P，试用x，y表示∠P＝ ．
解：(1)因为∠B＝30°，∠C＝70°，
所以∠BAC＝180°－∠B－∠C＝80°，
所以Rt△ABD中，∠BAD＝90°－∠B＝60°，
因为AE平分∠BAC，
所以∠BAE＝∠BAC＝40°，
所以∠EAD＝∠BAD－∠BAE＝20°，
所以a＝20；
因为∠BAC＝180°－∠B－∠C，∠BAE＝∠BAC，∠BAD＝90°－∠B，
所以∠DAE＝∠BAD－∠BAE＝90°－∠B－(180°－∠B－∠C)＝90°－∠B－90°＋∠B＋∠C＝(∠C－∠B)，
所以∠EAD＝(∠C－∠B)；
故答案为：20，∠EAD＝(∠C－∠B)；
(2)如图2，过点A作AG⊥BC于点G，
第21题图
因为FD⊥BC，AG⊥BC，
所以FD∥AG，
所以∠EFD＝∠EAG，
因为∠B＝35°，∠C＝75°，
由(1)，得∠EAG＝(∠C－∠B)，
所以∠DFE＝(∠C－∠B)．
当∠B＝35°，∠C＝75°时，∠DFE＝20°.
所以∠DFE的度数为20°，∠DFE与∠B，∠C的数量关系为∠DFE＝(∠C－∠B)；
(3)如图3，过点A作AG⊥BC于点G，而FD⊥BC，
第21题图
所以AG∥FD，
所以∠EAG＝∠EFD，
同理(1)，得∠EAG＝(∠ABC－∠C)，
所以∠EFD＝(∠ABC－∠C)，
因为∠ABC＝88°，∠C＝24°，
所以∠EFD＝(∠ABC－∠C)＝×(88°－24°)＝32°.
故答案为：32；
(4)如图4，记AF，DP的交点为Q，
第21题图
因为∠AQP＝∠DQF，
所以∠QAP＋∠QPA＝∠QDF＋∠QFD，
因为FD⊥BC，DP平分∠EDF，
所以∠QDF＝45°，
因为∠B＝x，∠C＝y，AF平分∠BAC，
所以∠BAF＝∠CAF＝∠BAC＝(180°－x－y)，
所以∠QAP＝∠CAF＝(180°－x－y)，
因为∠DEF＝∠B＋∠BAF＝x＋(180°－x－y)＝90°＋x－y，
所以∠F＝90°－∠DEF＝y－x，
由∠QAP＋∠QPA＝∠QDF＋∠QFD，得45°＋y－x＝∠P＋(180°－x－y)，
整理得∠P＝(3y－x)．
故答案为：∠P＝(3y－x)．第12章平面图形的认识
一、单项选择题(共6小题，每小题3分，共18分．每小题四个选项中只有一项正确)
1．[2024春·侯马期末]小林求△ABC的面积时，作了AC边上的高BE，下列作图正确的是( )
2．[2024·海珠区一模]在等腰三角形ABC中，AB＝AC，周长为14 cm，BD是AC边上的中线，△ABD比△BCD周长长4 cm，则腰长为( )
A．6 cm B．5 cm C．4 cm D．2 cm
3. 如图是一个由四个同心圆构成的靶子示意图，点O为圆心，且OA＝AB＝BC＝CD＝5，那么周长是接近100的圆是( )\
第3题图
A．OA为半径的圆 B．OB为半径的圆
C．OC为半径的圆 D．OD为半径的圆
4．[2024春·呼和浩特期中]下列三角形一定为直角三角形的是( )
①△ABC的三个内角的关系为∠A＝3∠B＝3∠C ②△ABC的三个内角的关系为∠A＝∠B＝∠C ③三角形的三个内角之比为4∶5∶9 ④三角形的一个外角与它不相邻的两个内角和为180°
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．[2024·赤峰]如图是正n边形纸片的一部分，其中l，m是正n边形两条边的一部分，若l，m所在的直线相交形成的锐角为60°，则n的值是( )
第5题图
A．5 B．6 C．8 D．10
6．[2023春·桥西区期末]如图是可调躺椅示意图，AE与BD的交点为C，且∠CAB，∠CBA，∠E保持不变．为了舒适，需调整∠D的大小，使∠EFD＝110°.根据图中数据信息，下列调整∠D大小的方法正确的是( )
第6题图
A．增大10° B．减小10°
C．增大15° D．减小15°
二、多项选择题(共4小题，每小题4分，共16分．每小题的四个选项中有多项正确，全部选对得4分，部分选对得3分，有错选的得0分)
7．[2023秋·湘西州期末]如图，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，CH，CM分别是斜边AB上的高和中线，则下列结论正确的是( )
第7题图
A．AM＝BM B．∠AHC＝90°
C．AM＝BC D．∠ACH＝∠B
8．下列生活中的做法与其背后的数学原理对应正确的是( )
A．砌墙时，在两端钉钉子，沿中间的拉线砌墙(两点之间，线段最短)
B．测量运动员的跳远成绩时，皮尺与起跳线保持垂直(垂线段最短)
C．工人师傅砌门时，常用一根木条固定长方形门框(三角形具有稳定性)
D．车轱辘设计为圆形(圆上的点到圆心的距离相等)
9．[2022春·潍坊期末]一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为720°，那么原多边形的边数可能为( )
A．5 B．6 C．7 D．8
10．[2024春·烟台期末]如图，在△ABC中，∠A＝90°，BE，CD分别平分∠ABC和∠ACB，且相交于点F，EG∥BC，CG⊥EG于点G，则下列结论中正确的是( )
第10题图
A．∠CEG＝2∠DCA
B．∠DFE＝130°
C．∠EFC＝∠G
D．∠ADC＝∠GCD
三、填空题(共4小题，每小题4分，共16分．只写最后结果)
11．[2023秋·宿迁期中]到点O的距离等于4的点的集合是 ．
12．[2024·固原期中]一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的对角线条数是 ．
13．[2024·威海]如图，在正六边形ABCDEF中，AH∥FG，BI⊥AH，垂足为点I.若∠EFG＝20°，则∠ABI＝ ．
第13题图
14．[2023春·济南期中]如图，D，E分别是△ABC边AB，BC上的点，AD＝3BD，BE＝CE，设△ADF的面积为S1，△CEF的面积为S2，若S△ABC＝8，则S1－S2的值为 ．
第14题图
四、解答题(共7小题，共50分．请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(6分)[2024春·淄博期中](1)如图1，P是△ABC中BC边的延长线上一点，∠A＝50°，∠B＝70°，则∠ACP＝ ；
(2)如图2，∠ACD是△ABC的外角，若∠ACD＝110°，∠B＝50°，则∠A＝ ；
(3)如图3，若∠3＝120°，则∠1－∠2＝ ．
第15题图
16．(6分)如图所示方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点A，点B，点C在小正方形的顶点上．
(1)画出△ABC中边BC上的高AD；
(2)画出△ABC中边AC上的中线BE；
(3)直接写出△ABE的面积为 ．
第16题图
17．(6分)[2024春·聊城期末]在△ABC中，∠A＝∠ABC＝∠ACB，BD是∠ABC的平分线，交AB边上的高CE于点F.
(1)求∠ACE的度数；
(2)求∠BFC的度数．
第17题图
18．(7分)[2024春·商水县期末]阅读下列材料，并完成相应的任务：
第18题图
我们把如图1所示的四边形称为凸四边形，它的内角和为360°，把如图2所示的五边形称为凸五边形，它的内角和为540°.我们把如图3所示的四边形称为凹四边形，它的内角和是360°吗？答案是肯定的．它的证明方法和证明凸四边形的内角和为360°的方法相同．证明方法如下：如图3，连接AC.因为∠BAC＋∠B＋∠ACB＝180°……
任务：(1)将凹四边形的内角和为360°的证明过程补充完整；
(2)如图3，在凹四边形ABCD中，求证：∠BCD＝∠BAD＋∠B＋∠D；
(3)如图4，在四边形ABCD中，已知∠A＝70°，∠B＝28°，∠BCD＝150°，求∠D的度数．
19．(7分)[2023·张家口模拟]已知一个三角形的第一条边长为3a＋b，第二条边长为2a－b.
(1)求第三条边长m的取值范围；(用含a，b的式子表示)
(2)若a，b满足|a－5|＋(b－2)2＝0，第三条边长m为整数，求这个三角形周长的最大值．
20．(8分)[2024春·扬州期中]如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BE平分∠ABC，若∠ABC＝60°，∠AEB＝70°.
(1)求∠CAD的度数；
(2)若点F为线段BC上的任意一点，当△EFC为直角三角形时，求∠BEF的度数．
第20题图
21．(10分)[2023春·太康县期末]【问题呈现】
小明在学习中遇到这样一个问题：
如图1，在△ABC中，∠C＞∠B，AE平分∠BAC，AD⊥BC于点D，猜想∠B，∠C，∠EAD的数量关系．
第21题图
(1)小明阅读题目后，没有发现数量关系与解题思路．于是尝试代入∠B，∠C的值求∠EAD的值，得到下列几组对应值：
∠B/度 10 30 30 20 20
∠C/度 70 70 60 60 80
∠EAD/度 30 a 15 20 30
表中a＝ ，于是得到∠EAD与∠B，∠C的数量关系为 ；
【变式应用】
(2)小明继续研究，在图2中，∠B＝35°，∠C＝75°，其他条件不变，若把“AD⊥BC于点D”改为“F是线段AE上一点，FD⊥BC于点D”，求∠DFE的度数，并写出∠DFE与∠B，∠C的数量关系；
【思维发散】
(3)小明突发奇想，交换B，C两个字母位置，在图3中，若把(2)中的“点F在线段AE上”改为“点F是EA延长线上一点”，其余条件不变，当∠ABC＝88°，∠C＝24°时，∠F度数为 °；
【能力提升】
(4)在图4中，若点F在AE的延长线上，FD⊥BC于点D，∠B＝x，∠C＝y，其余条件不变，分别作出∠CAE和∠EDF的角平分线，交于点P，试用x，y表示∠P＝ ．
