第17章一次函数反比例函数与几何综合题专训含答案
文档属性
| 名称 | 第17章一次函数反比例函数与几何综合题专训含答案 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 345.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 华东师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2016-05-19 16:05:43 | ||
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文档简介
华师大版八年级下册第１７章一次函数反比例函数与几何综合题专训
一、一次函数反比例函数与线段结合
试题１．（2015 泰州）已知一次函数y ( http: / / www.21cnjy.com )=2x﹣4的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B，点P在该函数的图象上，P到x轴、y轴的距离分别为d1、d2．
(1)当P为线段AB的中点时，求d1+d2的值；
（2）直接写出d1+d2的范围，并求当d1+d2=3时点P的坐标；
（3）若在线段AB上存在无数个P点，使d1+ad2=4（a为常数），求a的值．
【解答】解：（1）对于一次函数y=2x﹣4，
令x=0，得到y=﹣4；令y=0，得到x=2，
∴A（2，0），B（0，﹣4），
∵P为AB的中点，
∴P（1，﹣2），
则d1+d2=3；
（2）①d1+d2≥2；
②设P（m，2m﹣4），
∴d1+d2=|m|+|2m﹣4|，
当0≤m≤2时，d1+d2=m+4﹣2m=4﹣m=3，
解得：m=1，此时P1（1，﹣2）；
当m＞2时，d1+d2=m+2m﹣4=3，
解得：m=，此时P2（，）；
当m＜0时，不存在，
综上，P的坐标为（1，﹣2）或（，）；
（3）设P（m，2m﹣4），
∴d1=|2m﹣4|，d2=|m|，
∵P在线段AB上，
∴0≤m≤2，
∴d1=4﹣2m，d2=m，
∵d1+ad2=4，
∴4﹣2m+am=4，即（a﹣2）m=0，
∵有无数个点，
∴a=2．
试题２、（2015厦门校级质检）在直角坐标系中，直线y=2x+4交x轴于A，交y轴于D
（1）以A为直角顶点作等腰直角△AMD，直接写出点M的坐标为 （﹣6，2）、（2，2）；
（2）以AD为边作正方形ABCD，连BD， ( http: / / www.21cnjy.com )P是线段BD上（不与B、D重合）的一点，在BD上截取PG=，过G作GF⊥BD，交BC于F，连AP则AP与PF有怎样的数量关系和位置关系？并证明你的结论；
（3）在（2）中的正方形中，若∠PAG=45°，试判断线段PD、PG、BG之间有何关系，并证明你的结论．
【解答】解：（1）M（﹣6，2）或（2，﹣2）；
（2）AP=PF且AP⊥PF．理由如下：
过A作AH⊥DB，如图，
∵A（﹣2，0），D（0，4），
∴AD==2，
∵四边形ABCD为正方形，
∴BD=2=2，
∴AH=DH=BD=，
而PG=，
∴DP+BG=，
而DH=DP+PH=，
∴PH=BG，
∵∠GBF=45°，
∴BG=GF，
∴Rt△APH≌Rt△PFG，
∴AP=PF，∠PAH=∠FPG，
∴∠APH+∠GPF=90°，即AP⊥PF．
（3）DP2+BG2=PG2．理由如下：
把△AGB绕A点逆时针旋转90°得到△AMD，连MP，如图，
∴∠MDA=∠ABG=45°，DM=BG，∠MAD=∠BAG，
∴∠MDP=90°，
∴DP2+BG2=PM2；
又∵∠PAG=45°，
∴∠DAP+∠BAG=45°，
∴∠MAD+∠DAP=45°，即∠MAP=45°，
而AM=AG，
∴△AMP≌△AGP，
∴MP=PG，
∴DP2+BG2=PG2．
试题３、（2015黄石）已知双曲线y=（x＞0），直线l1：y﹣=k（x﹣）（k＜0）过定点F且与双曲线交于A，B两点，设A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2），直线l2：y=﹣x+．
（1）若k=﹣1，求△OAB的面积S；
（2）若AB=，求k的值；
（3）设N（0，2），P在双曲线上，M在直线l2上且PM∥x轴，求PM+PN最小值，并求PM+PN取得最小值时P的坐标．则A，B两点间的距离为AB=）
【解答】解：（1）当k=﹣1时，l1：y=﹣x+2，
联立得，，化简得x2﹣2x+1=0，
解得：x1=﹣1，x2=+1，
设直线l1与y轴交于点C，则C（0，2）．
S△OAB=S△AOC﹣S△BOC=2（x2﹣x1）=2；
（2）根据题意得： 整理得：kx2+（1﹣k）x﹣1=0（k＜0），
∵△=[（1﹣k）]2﹣4×k×（﹣1）=2（1+k2）＞0，
∴x1、x2 是方程的两根，
∴①，
∴AB==，
=，
=，
将①代入得，AB==（k＜0），
∴=，
整理得：2k2+5k+2=0，
解得：k=﹣2或k=﹣；
（3）F（，），如图：
设P（x，），则M（﹣+，），
则PM=x+﹣==，
∵PF==，
∴PM=PF．
∴PM+PN=PF+PN≥NF=2，
当点P在NF上时等号成立，此时NF的方程为y=﹣x+2，
由（1）知P（﹣1， +1），
∴当P（﹣1， +1）时，PM+PN最小值是2．
二、一次函数反比例函数与三角形结合
试题１．（2016 黄冈校级自主招生） ( http: / / www.21cnjy.com )如图，直线OB是一次函数y=2x的图象，点A的坐标是（0，2），点C在直线OB上且△ACO为等腰三角形，求C点坐标．
【解答】解：若此等腰三角形以OA为一腰，且以A为顶点，则AO=AC1=2．
设C1（x，2x），则得x2+（2x﹣2）2=22，
解得，得C1（），
若此等腰三角形以OA为一腰，且以O为顶点，则OC2=OC3=OA=2，
设C2（x′，2x′），则得x′2+（2x′）2=22，解得=，
∴C2（），
又由点C3与点C2关于原点对称，得C3（），
若此等腰三角形以OA为底边，则C4的纵坐标为1，从而其横坐标为，得C4（），
所以，满足题意的点C有4个，坐标分别为：（），（），（），C4（）．
试题2．，（2016春 南京校级月考）△ABC的两个顶点分别为B（0，0），C（4，0），顶点A在直线l：上，
（1）当△ABC是以BC为底的等腰三角形时，写出点A的坐标；
（2）当△ABC的面积为6时，求点A的坐标；
（3）在直线l上是否存在点A，使△ABC为Rt△？若存在，求出点A的坐标，若不存在说明理由．
【解答】解：（1）作出线段BC的垂直平分线，与直线l交于点A，连接BA，CA，此时△ABC是以BC为底的等腰三角形，如图1所示，
∵B（0，0），C（4，0），
∴A横坐标为x=2，
把x=2代入y=﹣x+3，得：y=2，即A（2，2）；
（2）∵△ABC面积为6，且BC=4，
∴BC|yA纵坐标|=6，即|yA纵坐标|=3，
把y=3代入y=﹣x+3得：x=0；把y=﹣3代y=﹣x+3得：x=12，
则A（0，3）或（12，﹣3）；
（3）如图2所示，
分三种情况考虑：当∠A1BC=90°时，此时A1（0，3）；
当∠BA2C=90°时，作A2D⊥x轴，设OA=m，A2D=﹣m+3，DC=4﹣m，
由△A2BD∽△CA2D，得到A2D2=BDDC，即（﹣m+3）2=m（4﹣m），
解得：m=3.6或m=2，此时A2（3.6，1.2）或（2，2）；
当∠A3CB=90°时，此时A3（4，1）．
试题３、（2016春 建湖县校级月 ( http: / / www.21cnjy.com )考）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=k1x+b的图象与x轴交于点A（﹣3，0），与y轴交于点B，且与正比例函数y=kx的图象交点为C（3，4）．求：
（1）求k值与一次函数y=k1x+b的解析式；
（2）若点D在第二象限，△DAB是以AB为直角边的等腰直角三角形，请求出点D的坐标；
（3）在y轴上求一点P使△POC为等腰三角形，请求出所有符合条件的点P的坐标．
【解答】解：（1）∵正比例函数y=kx的图象经过点C（3，4），
∴4=3k，
k=，
∵一次函数y=k1x+b的图象经过A（﹣3，0），C（3，4）
∴，
∴，
∴一次函数为y=．
（2）①当DA⊥AB时，作DM⊥x轴垂足为M，
∵∠DAM+∠BAO=90°，∠BAO+∠ABO=90°，
∴∠DAM=∠ABO，
∵DA=AB，∠DMA=∠AOB，
∴△DAM≌△ABO，
∴DM=AO=3，AM=BO=2，
∴D（﹣5，3），
②当D′B⊥AB时，作D′N⊥y轴垂足为N，
同理得△D′BN≌△BAO
∴D′N=BO=2，BN=AO=3，
∴D′（﹣2，5）
∴D点坐标为（﹣5，3）或（﹣2，5）．
（3）当OP=OC时，OC==5，
则P的坐标为（0，5）或（0，﹣5），
当CP=CO时，则P的坐标是（0，8），
当PO=PC时，作CK⊥y轴垂足为K，设P的坐标为，（0，t）
在Rt△PCK中，∵PC=t，PK=4﹣t，KC=3，
∴（4﹣t）2+32=t2解得
此时P的坐标是
综上可知P的坐标为（0，5）或（0，﹣5）或（0，8）或．
试题4．（2016春 射阳县校级月考）如图，平面直角坐标系中，直线AB：y=﹣x+b交y轴于点A（0，4），交x轴于点B．
（1）求直线AB的表达式和点B的坐标；
（2）直线l垂直平分OB交AB于点D，交x轴于点E，点P是直线l上一动点，且在点D的上方，设点P的纵坐标为n．
①用含n的代数式表示△ABP的面积；
②当S△ABP=8时，求点P的坐标；
③在②的条件下，以PB为斜边在第一象限作等腰直角△PBC，求点C的坐标．
【解答】解：（1）∵把A（0，4）代入y=﹣x+b得b=4
∴直线AB的函数表达式为：y=﹣x+4．
令y=0得：﹣x+4=0，解得：x=4
∴点B的坐标为（4，0）．
（2）①∵l垂直平分OB，
∴OE=BE=2．
∵将x=2代入y=﹣x+4得：y=﹣2+4=2．
∴点D的坐标为（2，2）．
∵点P的坐标为（2，n），
∴PD=n﹣2．
∵S△APB=S△APD+S△BPD，
∴S△ABP=PDOE+PDBE=（n﹣2）×2+（n﹣2）×2=2n﹣4．
②∵S△ABP=8，
∴2n﹣4=8，解得：n=6．
∴点P的坐标为（2，6）．
③如图1所示：过点C作CM⊥l，垂足为M，再过点B作BN⊥CM于点N．
设点C（p，q）．
∵△△PBC为等腰直角三角形，PB为斜边，
∴PC=PB，∠PCM+∠MCB=90°．
∵CM⊥l，BN⊥CM，
∴∠PMC=∠BNC=90°，∠MPC+∠PCM=90°．
∴∠MPC=∠NCB．
在△PCM和△CBN中，
，
∴△PCM≌△CBN．
∴CM=BN，PM=CN．
∴，解得．
∴点C的坐标为（6，4）．
如图2所示：过点C作CM⊥l，垂足为M，再过点B作BN⊥CM于点N．
设点C（p，q）．
∵△△PBC为等腰直角三角形，PB为斜边，
∴PC=PB，∠PCM+∠MCB=90°．
∵CM⊥l，BN⊥CM，
∴∠PMC=∠BNC=90°，∠MPC+∠PCM=90°．
∴∠MPC=∠NCB．
在△PCM和△CBN中，
，
∴△PCM≌△CBN．
∴CM=BN，PM=CN．
∴，解得．
∴点C的坐标为（0，2）（不合题意）．
综上所述点C的坐标为（6，4）．
试题5．（2016春 滨海县校级月考）如图①所示，直线L：y=m（x+10）与x轴负半轴、y轴正半轴分别交于A、B两点．
（1）当OA=OB时，试确定直线L的解析式；
（2）在（1）的条件下，如图②所示 ( http: / / www.21cnjy.com )，设Q为AB延长线上一点，作直线OQ，过A、B两点分别作AM⊥OQ于M，BN⊥OQ于N，若AM=8，BN=6，求MN的长；
（3）当m取不同的值时，点B在y轴正半轴上运 ( http: / / www.21cnjy.com )动，分别以OB、AB为边，点B为直角顶点在第一、二象限内作等腰直角△OBF和等腰直角△ABE，连EF交y轴于P点，如图③．
问：当点B在y轴正半轴上运动时，试猜想PB的长是否为定值？若是，请求出其值；若不是，说明理由．
【解答】解：（1）由题意知：A（﹣10，0），B（0，10m）
∵OA=OB，
∴10m=10，即m=1．
∴L的解析式y=x+10．
（2）∵AM⊥OQ，BN⊥OQ
∴∠AMO=∠BNO=90°
∴∠AOM+∠MAO=90°
∵∠AOM+BON=90°
∴∠MAO=∠NOB
在△AMO和△ONB中，
，
∴△AMO≌△ONB．
∴ON=AM，OM=BN．
∵AM=8，BN=6，
∴MN=AM+BN=14．
（3）PB的长为定值．
理由：如图所示：过点E作EG⊥y轴于G点．
∵△AEB为等腰直角三角形，
∴AB=EB，∠ABO+∠EBG=90°．
∵EG⊥BG，
∴∠GEB+∠EBG=90°．
∴∠ABO=∠GEB．
在△ABO和△EGB中，
，
∴△ABO≌△EGB．
∴BG=AO=10，OB=EG
∵△OBF为等腰直角三角形，
∴OB=BF
∴BF=EG．
在△BFP和△GEP中，
，
∴△BFP≌△GEP．
∴BP=GP=BG=5．
试题６、（2015开县二模 ( http: / / www.21cnjy.com )）如图，矩形ABC0位于直角坐标平面，O为原点，A、C分别在坐标轴上，B的坐标为（8，6），线段BC上有一动点P，已知点D在第一象限．
（1）D是直线y=2x+6上一点，若△APD是等腰直角三角形，求点D的坐标；
（2）D是直线y=2x﹣6上一点，若△APD是等腰直角三角形．求点D的坐标．
【解答】解；（1）如图1所示，作DE⊥y轴于E点，作PF⊥y轴于F点，可得∠DEA=∠AFP=90°，
根据题意可知当△APD为等腰直角三角形时，只有∠DAP=90°满足条件，
∴AD=AP，∠DAP=90°，
∴∠EAD+∠DAB=90°，∠DAB+∠BAP=90°，
∴∠EAD=∠BAP，
∵AB∥PF，
∴∠BAP=∠FPA，
∴∠EAD=∠FPA，
在△ADE和△PAF中，
，
∴△ADE≌△PAF（AAS），
∴AE=PF=8，OE=OA+AE=14，
设点D的横坐标为x，由14=2x+6，得x=4，
∴点D的坐标是（4，14）；
（2）由点D在直线y=2x﹣6上，可设PC=m，
如图2所示，当∠ADP=90°时，AD=PD，易得D点坐标（4，2）；
如图3所示，当∠APD=90°时，AP=PD，设点P的坐标为（8，m），
则D点坐标为（14﹣m，m+8），由m+8=2（14﹣m）﹣6，得m=，
∴D点坐标（，）；
如图4所示，当∠ADP=90°时，AD=PD时，
同理可求得D点坐标（，），
D点坐标分别为（4，2）或（，）或（，）．
三、一次函数反比例函数与特殊的四边形结合
试题１、（2015酒泉） ( http: / / www.21cnjy.com )如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，点A在反比例函数y=（k＞0，x＞0）的图象上，点D的坐标为（4，3）．
（1）求k的值；
（2）若将菱形ABCD沿x轴正方向平移，当菱形的顶点D落在函数y=（k＞0，x＞0）的图象上时，求菱形ABCD沿x轴正方向平移的距离．
【解答】解：（1）过点D作x轴的垂线，垂足为F，
∵点D的坐标为（4，3），
∴OF=4，DF=3，
∴OD=5，
∴AD=5，
∴点A坐标为（4，8），
∴k=xy=4×8=32，
∴k=32；
（2）将菱形ABCD沿x轴正方向平移，使得点D落在函数（x＞0）的图象D′点处，
过点D′做x轴的垂线，垂足为F′．
∵DF=3，
∴D′F′=3，
∴点D′的纵坐标为3，
∵点D′在的图象上
∴3=，
解得：x=，
即OF′=，
∴FF′=﹣4=，
∴菱形ABCD平移的距离为．
试题２、（2015宜宾）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是矩形，AD∥x轴，A（﹣3，），AB=1，AD=2．
（1）直接写出B、C、D三点的坐标；
（2）将矩形ABCD向右平移m个单位， ( http: / / www.21cnjy.com )使点A、C恰好同时落在反比例函数y=（x＞0）的图象上，得矩形A′B′C′D′．求矩形ABCD的平移距离m和反比例函数的解析式．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=1，BC=AD=2，
∵A（﹣3，），AD∥x轴，
∴B（﹣3，），C（﹣1，），D（﹣1，）；
（2）∵将矩形ABCD向右平移m个单位，
∴A′（﹣3+m，），C（﹣1+m，），
∵点A′，C′在反比例函数y=（x＞0）的图象上，
∴（﹣3+m）=（﹣1+m），
解得：m=4，
∴A′（1，），
∴k=，
∴矩形ABCD的平移距离m=4，
反比例函数的解析式为：y=．
试题３、2015德州）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的对角线OB，AC相交于点D，且BE∥AC，AE∥OB，
（1）求证：四边形AEBD是菱形；
（2）如果OA=3，OC=2，求出经过点E的反比例函数解析式．
【解答】（1）证明：∵BE∥AC，AE∥OB，
∴四边形AEBD是平行四边形，
∵四边形OABC是矩形，
∴DA=AC，DB=OB，AC=OB，AB=OC=2，
∴DA=DB，
∴四边形AEBD是菱形；
（2）解：连接DE，交AB于F，如图所示：
∵四边形AEBD是菱形，
∴AB与DE互相垂直平分，
∵OA=3，OC=2，
∴EF=DF=OA=，AF=AB=1，3+=，
∴点E坐标为：（，1），
设经过点E的反比例函数解析式为：y=，
把点E（，1）代入得：k=，
∴经过点E的反比例函数解析式为：y=．
试题４、（2015十堰）如图，点A（1﹣，1+）在双曲线y=（x＜0）上．
（1）求k的值；
（2）在y轴上取点B（0，1），为双曲 ( http: / / www.21cnjy.com )线上是否存在点D，使得以AB，AD为邻边的平行四边形ABCD的顶点C在x轴的负半轴上？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵点A（1﹣，1+）在双曲线y=（x＜0）上，
∴k=（1﹣）（1+）=1﹣5=﹣4；
（2）过点A作AE⊥y轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，
∵四边形ABCD是以AB，AD为邻边的平行四边形ABCD，
∴DCAB，
∵A（1﹣，1+），B（0，1），
∴BE=，
由题意可得：DF=BE=，
则=，
解得：x=，
∴点D的坐标为：（﹣，）．
四、一次函数反比例函数与动点结合
试题１、（2015武侯区模拟）如图 ( http: / / www.21cnjy.com )，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A的坐标为（﹣3，4），点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M，AB边交y轴于点H．
（1）求直线AC的函数关系式；
（2）连接BM，动点P从点A出发，沿折线 ( http: / / www.21cnjy.com )A﹣B﹣C方向以2个单位/秒的速度向终点C匀速运动，设△PMB的面积为S（S≠0），点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式（要求写出自变量t的取值范围）．
【解答】解：（1）过点A作AE⊥x轴，垂足为E，（如图）
∵A（﹣3，4），
∴AE=4，OE=3，
∴OA=5，（1分）
∵四边形ABCO为菱形，
∴OC=CB=BA=OA=5，
∴C（5，0），（2分）
设直线AC的解析式为y=kx+b
则
解得：
∴直线AC的函数关系式为：；（4分）
（2）由（1）得M（0，），
∴，
当点P在AB边上运动时，由题意得：OH=4，
∴HM=∴，
∴，（6分）
当点P在BC边上运动时，记为P1，
∵∠OCM=∠BCM，CO=CB，CM=CM，
∴，
∴S=P1BBM=（2t﹣5），
∴S=．（8分）
试题２、（2015无锡校级一模）如图 ( http: / / www.21cnjy.com )，直线分别与x轴、y轴交于A、B两点；直线与AB交于点C，与过点A且平行于y轴的直线交于点D．点E从点A出发，以每秒1个单位的速度沿x轴向左运动．过点E作x轴的垂线，分别交直线AB、OD于P、Q两点，以PQ为边向右作正方形PQMN．设正方形PQMN与△ACD重叠部分（阴影部分）的面积为S（平方单位），点E的运动时间为t（秒）．
（1）求点C的坐标．
（2）当0＜t＜5时，求S与t之间的函数关系式．并求出中S的最大值．
（3）当t＞0时，直接写出点（5，3）在正方形PQMN内部时t的取值范围．
【解答】解：（1）由题意，得
解得：
∴C（3，）；
（2）根据题意得：AE=t，OE=OA﹣EA=8﹣t
∴点Q的纵坐标为（8﹣t），点P的纵坐标为﹣（8﹣t）+6=
∴PQ=（8﹣t）+6=
当MN在AD上时，10﹣2t=t，
∴t=；当0＜t≤时，
S=AE×PQ=t（10﹣2t），
即S=﹣2t2+10t
当≤t＜5时，
S=PQ2=（10﹣2t）2，
即S=4t2﹣40t+100
当0＜t≤时，
S=﹣2（t﹣）2+
∴当t=时，
S最大值=
当≤t＜5时，S=4（t﹣5）2，
∵t＜5时，S随t的增大而减小，
∴t=时，S最大值=
∵＞，
∴S的最大值为．
（3）当t=5时，PQ=0，P，Q，C三点重合；
当t＜5时，知OE=4时是临界条件，即8﹣t=4
即t=4
∴点Q的纵坐标为5＞3，
点（5，3）在正方形边界PQ上，E继续往左移动，则点（5，3）进入正方形内部，但点Q的纵坐标再减少，当Q点的纵坐标为3时，OE=4
∴8﹣t=4
即t=4，
此时OE+PN=4+PQ=4+（10﹣2t）=6＞3满足条件，
∴3＜t＜4，
当t＞5时，由图和条件知，则有E（t﹣8，0），PQ=2t﹣10要满足点（5，3）在正方形的内部，
则临界条件N点横坐标为4 4=PQ+OE=|2t﹣10|+|t﹣8|=3t﹣18
即t=7，此时Q点的纵坐标为：﹣×2+7=．满足条件，
∴t＞7．
综上所述：3＜t＜4或t＞7时，点（5，3）都在正方形的内部
试题３、（2015蓟县一模）如图1，在 ( http: / / www.21cnjy.com )平面直角坐标系中，已知△AOB是等边三角形，点A的坐标是（0，6），点B在第一象限，点P是x轴上的一个动点，连结AP，并把AP绕着点A按逆时针方向旋转60°得到AD，连PD和BD．
（1）求B点坐标和直线AB的解析式．
（2）求证：OP=BD，并求出当点P运动到点（2，0）时点D的坐标；
（3）是否存在点P，使△OPD的面积等于？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）如图1，过点B作BE⊥y轴于E，BF⊥x轴于F，由题意可知
BF=OE=3，OF==2，
∴点B（3，3），
设直线AB的解析式为：y=kx+b，把A（0，6），B（3，3）代入，得，
解得．
∴直线AB的解析式为y=﹣x+6；
（2）如图1，∵AP绕着点A按逆时针方向旋转60°得到AD，
∴AP=AD，∠DAP=∠BAO，
∴∠OAP=∠BAD，
在△AOP与△ABD中，
，
∴△AOP≌△ABD（SAS），
∴OP=BD，
过点D作DH⊥x轴于H，延长EB交DH于G，则BG⊥DH，
在RT△BDG中，∠BGD=90°，∠DBG=60°，
∴BG===1，DG=BG=，
∴OH=OF+FH=OF+BG=3+1，DH=DG+OE=3+，
∴点D的坐标为（3+1，3+），
（3）假设存在点P，使△OPD的面积等于，
①当t＞0时，如图1，∵BD=OP=t，DG=t，
∴DH=3+t，
∵△OPD的面积等于，
∴t（3+t）=，
解得t1=﹣+，t2=﹣﹣（舍去），
∴点P的坐标（﹣+，0）；
②当﹣2＜t≤0时，如图2，∵BD=OP=﹣t，BG=﹣t，
∴DH=GF=3﹣（﹣t）=3+t，
∵△OPD的面积等于，∴﹣ t（3+t）=，
解得：t3=﹣+1，t4=﹣﹣1，
∴点P的坐标为（﹣+1，0），（﹣﹣1，0），
③当t≤﹣2时，如图3，∵BD=OP=﹣t，DG=﹣t，
∴DH=﹣t﹣3，
∵△OPD的面积等于，
∴﹣t（﹣t﹣3）=，
解得：t5=﹣+，（舍去），t6=﹣﹣，
∴点P的坐标为（﹣﹣，0），
综上，存在点P，使△OPD的面 ( http: / / www.21cnjy.com )积等于，点P的坐标为P1（﹣+，0），P2（﹣+1，0），P3（﹣﹣1，0），P4（﹣﹣，0）；
试题４、（2015张家港市模拟）如图， ( http: / / www.21cnjy.com )等腰三角形OAB的一边OB在x轴的正半轴上，点A的坐标为（6，8），OA=OB，动点P从原点O出发，在线段OB上以每秒2个单位的速度向点B匀速运动，动点Q从原点O出发，沿y轴的正半轴以每秒1个单位的速度向上匀速运动，过点Q作x轴的平行线分别交OA，AB于E，F，设动点P，Q同时出发，当点P到达点B时，点Q也停止运动，他们运动的时间为t秒（t≥0）．
（1）点E的坐标为 （t，t） ，F的坐标为 （10﹣t，t） ；
（2）当t为何值时，四边形POFE是平行四边形；
（3）是否存在某一时刻，使△PEF为直角三角形？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）过点A作AD⊥OB，垂足为D，如图1，
∵点A的坐标为（6，8），
∴OD=6，AD=8，
由勾股定理得：OA=10，
∵OA=OB，
∴OB=10，
∴BD=4，
∴点B的坐标为：（10，0），
设直线OA的关系式：y=kx，
将A（6，8）代入上式，得：
6k=8，
解得：k=，
所以直线OA的关系式：y=x，
设直线AB的关系式为：y=kx+b，
将A，B两点代入上式得：
，
解得：，
所以直线AB的关系式为：y=﹣2x+20，
∵过点Q作x轴的平行线分别交OA，AB于E，F，
∴点Q、E、F三点的纵坐标相等，
∵动点Q从原点O出发，沿y轴的正半轴以每秒1个单位的速度向上匀速运动，
动点P从原点O出发，在线段OB上以每秒2个单位的速度向点B匀速运动，
∴t秒后，OQ=t，OP=2t，
∴Q、E、F三点的纵坐标均为t，
将点E的纵坐标t代入y=x，得：x=t，
∴E点的坐标为：（，t），
将点E的纵坐标t代入y=﹣2x+20，得：x=10﹣t，
∴F点的坐标为：（10﹣t，t），
故答案为：（t，t），（10﹣t，t）；
（2）由（1）知：E（t，t），F（10﹣t，t），
∴EF=10﹣t﹣t=10﹣t，
∵四边形POFE是平行四边形，
∴EF∥OP，且EF=OP，
即10﹣t=2t，
解得：t=，
∴当t为时，四边形POFE是平行四边形；
（3）过点E作EM⊥OB，垂足为M，过点F作FN⊥OB，垂足为N，
可得四边形EMNF是矩形，如图2，
①当EF⊥PF时，PE2+PF2=EF2，
由（1）知：OM=t，EM=FN=t，ON=10﹣t，EF=10﹣，
∴PM=，PN=10﹣，
∵PE2=ME2+MP2，PF2=PN2+FN2，
∴t2+（t）2+（10﹣t）2+t2=（10﹣）2，
解得：t1=0（舍去），t2=；
②当PE⊥EF时，如图3，可得四边形EPNF是矩形，
∵四边形EPNF是矩形，
∴EF=PN，
即：EF=ON﹣OP，
∴10﹣=10﹣﹣2t，
解得t=0（舍去）；
③当EF⊥PF时，如图4，可得四边形EMPF是矩形，
∵四边形EMPF是矩形，
∴EF=MP，
即EF=OP﹣OM，
∴10﹣=2t﹣t，
解得：t=4，
∴当t=和4时，使△PEF为直角三角形．
五、一次函数反比例函数与图形翻折结合
试题１、（2015天津）将一个直角三角形纸 ( http: / / www.21cnjy.com )片ABO，放置在平面直角坐标系中，点A（，0），点B（0，1），点0（0，0）．过边OA上的动点M（点M不与点O，A重合）作MN丄AB于点N，沿着MN折叠该纸片，得顶点A的对应点A′，设OM=m，折叠后的△AM′N与四边形OMNB重叠部分的面积为S．
（Ⅰ）如图①，当点A′与顶点B重合时，求点M的坐标；
（Ⅱ）如图②，当点A′，落在第二象限时，A′M与OB相交于点C，试用含m的式子表示S；
（Ⅲ）当S=时，求点M的坐标（直接写出结果即可）．
【解答】解：（Ⅰ）在Rt△ABO中，点A（，0），点B（0，1），点O（0，0），
∴OA=，OB=1，
由OM=m，可得：AM=OA﹣OM=﹣m，
根据题意，由折叠可知△BMN≌△AMN，
∴BM=AM=﹣m，
在Rt△MOB中，由勾股定理，BM2=OB2+OM2，
可得：，解得m=，
∴点M的坐标为（，0）；
（Ⅱ）在Rt△ABO中，tan∠OAB=，
∴∠OAB=30°，
由MN⊥AB，可得：∠MNA=90°，
∴在Rt△AMN中，MN=ANsin∠OAB=，
AN=ANcos∠OAB=，
∴，
由折叠可知△A'MN≌△AMN，则∠A'=∠OAB=30°，
∴∠A'MO=∠A'+∠OAB=60°，
∴在Rt△COM中，可得CO=OMtan∠A'MO=m，
∴，
∵，
∴，
即；
（Ⅲ）①当点A′落在第二象限时，把S的值代入（2）中的函数关系式中，解方程求得m，根据m的取值范围判断取舍，两个根都舍去了；
②当点A′落在第一象限时，则 ( http: / / www.21cnjy.com )S=SRt△AMN，根据（2）中Rt△AMN的面积列方程求解，根据此时m的取值范围，把S=代入，可得点M的坐标为（，0）．
试题２、（2015河北模拟）如图，在平 ( http: / / www.21cnjy.com )面直角坐标系xOy中，直线与x轴，y轴分别交于点A，点B，点D在y轴的负半轴上，若将△DAB沿直线AD折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处．
（1）求AB的长和点C的坐标；
（2）求直线CD的解析式．
【解答】解：（1）∵直线y=﹣x+8与x轴，y轴分别交于点A，点B，
∴A（6，0），B（0，8），
在Rt△OAB中，∠AOB=90°，OA=6，OB=8，
∴AB==10，
∵△DAB沿直线AD折叠后的对应三角形为△DAC，
∴AC=AB=10．
∴OC=OA+AC=OA+AB=16．
∵点C在x轴的正半轴上，
∴点C的坐标为C（16，0）．
（2）设点D的坐标为D（0，y）（y＜0），
由题意可知CD=BD，CD2=BD2，
在Rt△OCD中，由勾股定理得162+y2=（8﹣y）2，
解得y=﹣12．
∴点D的坐标为D（0，﹣12），
可设直线CD的解析式为 y=kx﹣12（k≠0）
∵点C（16，0）在直线y=kx﹣12上，
∴16k﹣12=0，
解得k=，
∴直线CD的解析式为y=x﹣12．
试题３、（2015衡阳县一模）OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x轴上，点C在y轴上，OA=10，OC=6．
（1）如图，在AB上取一点M，使得△CBM沿CM翻折后，点B落在x轴上，记作B′点．求B′点的坐标；
（2）求折痕CM所在直线的解析式．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD为矩形，
∴CB=OA=10，AB=OC=6，
∵△CBM沿CM翻折后，点B落在x轴上，记作B′点，
∴CB′=CB=10，B′M=BM，
在Rt△OCB′中，OC=6，CB′=10，
∴OB′=8，
∴B′点的坐标为（8，0）；
（2）设AM=t，则BM=B′M=6﹣t，
而AB′=OA﹣OB′=2，2，解得t=，
一、一次函数反比例函数与线段结合
试题１．（2015 泰州）已知一次函数y ( http: / / www.21cnjy.com )=2x﹣4的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B，点P在该函数的图象上，P到x轴、y轴的距离分别为d1、d2．
(1)当P为线段AB的中点时，求d1+d2的值；
（2）直接写出d1+d2的范围，并求当d1+d2=3时点P的坐标；
（3）若在线段AB上存在无数个P点，使d1+ad2=4（a为常数），求a的值．
【解答】解：（1）对于一次函数y=2x﹣4，
令x=0，得到y=﹣4；令y=0，得到x=2，
∴A（2，0），B（0，﹣4），
∵P为AB的中点，
∴P（1，﹣2），
则d1+d2=3；
（2）①d1+d2≥2；
②设P（m，2m﹣4），
∴d1+d2=|m|+|2m﹣4|，
当0≤m≤2时，d1+d2=m+4﹣2m=4﹣m=3，
解得：m=1，此时P1（1，﹣2）；
当m＞2时，d1+d2=m+2m﹣4=3，
解得：m=，此时P2（，）；
当m＜0时，不存在，
综上，P的坐标为（1，﹣2）或（，）；
（3）设P（m，2m﹣4），
∴d1=|2m﹣4|，d2=|m|，
∵P在线段AB上，
∴0≤m≤2，
∴d1=4﹣2m，d2=m，
∵d1+ad2=4，
∴4﹣2m+am=4，即（a﹣2）m=0，
∵有无数个点，
∴a=2．
试题２、（2015厦门校级质检）在直角坐标系中，直线y=2x+4交x轴于A，交y轴于D
（1）以A为直角顶点作等腰直角△AMD，直接写出点M的坐标为 （﹣6，2）、（2，2）；
（2）以AD为边作正方形ABCD，连BD， ( http: / / www.21cnjy.com )P是线段BD上（不与B、D重合）的一点，在BD上截取PG=，过G作GF⊥BD，交BC于F，连AP则AP与PF有怎样的数量关系和位置关系？并证明你的结论；
（3）在（2）中的正方形中，若∠PAG=45°，试判断线段PD、PG、BG之间有何关系，并证明你的结论．
【解答】解：（1）M（﹣6，2）或（2，﹣2）；
（2）AP=PF且AP⊥PF．理由如下：
过A作AH⊥DB，如图，
∵A（﹣2，0），D（0，4），
∴AD==2，
∵四边形ABCD为正方形，
∴BD=2=2，
∴AH=DH=BD=，
而PG=，
∴DP+BG=，
而DH=DP+PH=，
∴PH=BG，
∵∠GBF=45°，
∴BG=GF，
∴Rt△APH≌Rt△PFG，
∴AP=PF，∠PAH=∠FPG，
∴∠APH+∠GPF=90°，即AP⊥PF．
（3）DP2+BG2=PG2．理由如下：
把△AGB绕A点逆时针旋转90°得到△AMD，连MP，如图，
∴∠MDA=∠ABG=45°，DM=BG，∠MAD=∠BAG，
∴∠MDP=90°，
∴DP2+BG2=PM2；
又∵∠PAG=45°，
∴∠DAP+∠BAG=45°，
∴∠MAD+∠DAP=45°，即∠MAP=45°，
而AM=AG，
∴△AMP≌△AGP，
∴MP=PG，
∴DP2+BG2=PG2．
试题３、（2015黄石）已知双曲线y=（x＞0），直线l1：y﹣=k（x﹣）（k＜0）过定点F且与双曲线交于A，B两点，设A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2），直线l2：y=﹣x+．
（1）若k=﹣1，求△OAB的面积S；
（2）若AB=，求k的值；
（3）设N（0，2），P在双曲线上，M在直线l2上且PM∥x轴，求PM+PN最小值，并求PM+PN取得最小值时P的坐标．则A，B两点间的距离为AB=）
【解答】解：（1）当k=﹣1时，l1：y=﹣x+2，
联立得，，化简得x2﹣2x+1=0，
解得：x1=﹣1，x2=+1，
设直线l1与y轴交于点C，则C（0，2）．
S△OAB=S△AOC﹣S△BOC=2（x2﹣x1）=2；
（2）根据题意得： 整理得：kx2+（1﹣k）x﹣1=0（k＜0），
∵△=[（1﹣k）]2﹣4×k×（﹣1）=2（1+k2）＞0，
∴x1、x2 是方程的两根，
∴①，
∴AB==，
=，
=，
将①代入得，AB==（k＜0），
∴=，
整理得：2k2+5k+2=0，
解得：k=﹣2或k=﹣；
（3）F（，），如图：
设P（x，），则M（﹣+，），
则PM=x+﹣==，
∵PF==，
∴PM=PF．
∴PM+PN=PF+PN≥NF=2，
当点P在NF上时等号成立，此时NF的方程为y=﹣x+2，
由（1）知P（﹣1， +1），
∴当P（﹣1， +1）时，PM+PN最小值是2．
二、一次函数反比例函数与三角形结合
试题１．（2016 黄冈校级自主招生） ( http: / / www.21cnjy.com )如图，直线OB是一次函数y=2x的图象，点A的坐标是（0，2），点C在直线OB上且△ACO为等腰三角形，求C点坐标．
【解答】解：若此等腰三角形以OA为一腰，且以A为顶点，则AO=AC1=2．
设C1（x，2x），则得x2+（2x﹣2）2=22，
解得，得C1（），
若此等腰三角形以OA为一腰，且以O为顶点，则OC2=OC3=OA=2，
设C2（x′，2x′），则得x′2+（2x′）2=22，解得=，
∴C2（），
又由点C3与点C2关于原点对称，得C3（），
若此等腰三角形以OA为底边，则C4的纵坐标为1，从而其横坐标为，得C4（），
所以，满足题意的点C有4个，坐标分别为：（），（），（），C4（）．
试题2．，（2016春 南京校级月考）△ABC的两个顶点分别为B（0，0），C（4，0），顶点A在直线l：上，
（1）当△ABC是以BC为底的等腰三角形时，写出点A的坐标；
（2）当△ABC的面积为6时，求点A的坐标；
（3）在直线l上是否存在点A，使△ABC为Rt△？若存在，求出点A的坐标，若不存在说明理由．
【解答】解：（1）作出线段BC的垂直平分线，与直线l交于点A，连接BA，CA，此时△ABC是以BC为底的等腰三角形，如图1所示，
∵B（0，0），C（4，0），
∴A横坐标为x=2，
把x=2代入y=﹣x+3，得：y=2，即A（2，2）；
（2）∵△ABC面积为6，且BC=4，
∴BC|yA纵坐标|=6，即|yA纵坐标|=3，
把y=3代入y=﹣x+3得：x=0；把y=﹣3代y=﹣x+3得：x=12，
则A（0，3）或（12，﹣3）；
（3）如图2所示，
分三种情况考虑：当∠A1BC=90°时，此时A1（0，3）；
当∠BA2C=90°时，作A2D⊥x轴，设OA=m，A2D=﹣m+3，DC=4﹣m，
由△A2BD∽△CA2D，得到A2D2=BDDC，即（﹣m+3）2=m（4﹣m），
解得：m=3.6或m=2，此时A2（3.6，1.2）或（2，2）；
当∠A3CB=90°时，此时A3（4，1）．
试题３、（2016春 建湖县校级月 ( http: / / www.21cnjy.com )考）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=k1x+b的图象与x轴交于点A（﹣3，0），与y轴交于点B，且与正比例函数y=kx的图象交点为C（3，4）．求：
（1）求k值与一次函数y=k1x+b的解析式；
（2）若点D在第二象限，△DAB是以AB为直角边的等腰直角三角形，请求出点D的坐标；
（3）在y轴上求一点P使△POC为等腰三角形，请求出所有符合条件的点P的坐标．
【解答】解：（1）∵正比例函数y=kx的图象经过点C（3，4），
∴4=3k，
k=，
∵一次函数y=k1x+b的图象经过A（﹣3，0），C（3，4）
∴，
∴，
∴一次函数为y=．
（2）①当DA⊥AB时，作DM⊥x轴垂足为M，
∵∠DAM+∠BAO=90°，∠BAO+∠ABO=90°，
∴∠DAM=∠ABO，
∵DA=AB，∠DMA=∠AOB，
∴△DAM≌△ABO，
∴DM=AO=3，AM=BO=2，
∴D（﹣5，3），
②当D′B⊥AB时，作D′N⊥y轴垂足为N，
同理得△D′BN≌△BAO
∴D′N=BO=2，BN=AO=3，
∴D′（﹣2，5）
∴D点坐标为（﹣5，3）或（﹣2，5）．
（3）当OP=OC时，OC==5，
则P的坐标为（0，5）或（0，﹣5），
当CP=CO时，则P的坐标是（0，8），
当PO=PC时，作CK⊥y轴垂足为K，设P的坐标为，（0，t）
在Rt△PCK中，∵PC=t，PK=4﹣t，KC=3，
∴（4﹣t）2+32=t2解得
此时P的坐标是
综上可知P的坐标为（0，5）或（0，﹣5）或（0，8）或．
试题4．（2016春 射阳县校级月考）如图，平面直角坐标系中，直线AB：y=﹣x+b交y轴于点A（0，4），交x轴于点B．
（1）求直线AB的表达式和点B的坐标；
（2）直线l垂直平分OB交AB于点D，交x轴于点E，点P是直线l上一动点，且在点D的上方，设点P的纵坐标为n．
①用含n的代数式表示△ABP的面积；
②当S△ABP=8时，求点P的坐标；
③在②的条件下，以PB为斜边在第一象限作等腰直角△PBC，求点C的坐标．
【解答】解：（1）∵把A（0，4）代入y=﹣x+b得b=4
∴直线AB的函数表达式为：y=﹣x+4．
令y=0得：﹣x+4=0，解得：x=4
∴点B的坐标为（4，0）．
（2）①∵l垂直平分OB，
∴OE=BE=2．
∵将x=2代入y=﹣x+4得：y=﹣2+4=2．
∴点D的坐标为（2，2）．
∵点P的坐标为（2，n），
∴PD=n﹣2．
∵S△APB=S△APD+S△BPD，
∴S△ABP=PDOE+PDBE=（n﹣2）×2+（n﹣2）×2=2n﹣4．
②∵S△ABP=8，
∴2n﹣4=8，解得：n=6．
∴点P的坐标为（2，6）．
③如图1所示：过点C作CM⊥l，垂足为M，再过点B作BN⊥CM于点N．
设点C（p，q）．
∵△△PBC为等腰直角三角形，PB为斜边，
∴PC=PB，∠PCM+∠MCB=90°．
∵CM⊥l，BN⊥CM，
∴∠PMC=∠BNC=90°，∠MPC+∠PCM=90°．
∴∠MPC=∠NCB．
在△PCM和△CBN中，
，
∴△PCM≌△CBN．
∴CM=BN，PM=CN．
∴，解得．
∴点C的坐标为（6，4）．
如图2所示：过点C作CM⊥l，垂足为M，再过点B作BN⊥CM于点N．
设点C（p，q）．
∵△△PBC为等腰直角三角形，PB为斜边，
∴PC=PB，∠PCM+∠MCB=90°．
∵CM⊥l，BN⊥CM，
∴∠PMC=∠BNC=90°，∠MPC+∠PCM=90°．
∴∠MPC=∠NCB．
在△PCM和△CBN中，
，
∴△PCM≌△CBN．
∴CM=BN，PM=CN．
∴，解得．
∴点C的坐标为（0，2）（不合题意）．
综上所述点C的坐标为（6，4）．
试题5．（2016春 滨海县校级月考）如图①所示，直线L：y=m（x+10）与x轴负半轴、y轴正半轴分别交于A、B两点．
（1）当OA=OB时，试确定直线L的解析式；
（2）在（1）的条件下，如图②所示 ( http: / / www.21cnjy.com )，设Q为AB延长线上一点，作直线OQ，过A、B两点分别作AM⊥OQ于M，BN⊥OQ于N，若AM=8，BN=6，求MN的长；
（3）当m取不同的值时，点B在y轴正半轴上运 ( http: / / www.21cnjy.com )动，分别以OB、AB为边，点B为直角顶点在第一、二象限内作等腰直角△OBF和等腰直角△ABE，连EF交y轴于P点，如图③．
问：当点B在y轴正半轴上运动时，试猜想PB的长是否为定值？若是，请求出其值；若不是，说明理由．
【解答】解：（1）由题意知：A（﹣10，0），B（0，10m）
∵OA=OB，
∴10m=10，即m=1．
∴L的解析式y=x+10．
（2）∵AM⊥OQ，BN⊥OQ
∴∠AMO=∠BNO=90°
∴∠AOM+∠MAO=90°
∵∠AOM+BON=90°
∴∠MAO=∠NOB
在△AMO和△ONB中，
，
∴△AMO≌△ONB．
∴ON=AM，OM=BN．
∵AM=8，BN=6，
∴MN=AM+BN=14．
（3）PB的长为定值．
理由：如图所示：过点E作EG⊥y轴于G点．
∵△AEB为等腰直角三角形，
∴AB=EB，∠ABO+∠EBG=90°．
∵EG⊥BG，
∴∠GEB+∠EBG=90°．
∴∠ABO=∠GEB．
在△ABO和△EGB中，
，
∴△ABO≌△EGB．
∴BG=AO=10，OB=EG
∵△OBF为等腰直角三角形，
∴OB=BF
∴BF=EG．
在△BFP和△GEP中，
，
∴△BFP≌△GEP．
∴BP=GP=BG=5．
试题６、（2015开县二模 ( http: / / www.21cnjy.com )）如图，矩形ABC0位于直角坐标平面，O为原点，A、C分别在坐标轴上，B的坐标为（8，6），线段BC上有一动点P，已知点D在第一象限．
（1）D是直线y=2x+6上一点，若△APD是等腰直角三角形，求点D的坐标；
（2）D是直线y=2x﹣6上一点，若△APD是等腰直角三角形．求点D的坐标．
【解答】解；（1）如图1所示，作DE⊥y轴于E点，作PF⊥y轴于F点，可得∠DEA=∠AFP=90°，
根据题意可知当△APD为等腰直角三角形时，只有∠DAP=90°满足条件，
∴AD=AP，∠DAP=90°，
∴∠EAD+∠DAB=90°，∠DAB+∠BAP=90°，
∴∠EAD=∠BAP，
∵AB∥PF，
∴∠BAP=∠FPA，
∴∠EAD=∠FPA，
在△ADE和△PAF中，
，
∴△ADE≌△PAF（AAS），
∴AE=PF=8，OE=OA+AE=14，
设点D的横坐标为x，由14=2x+6，得x=4，
∴点D的坐标是（4，14）；
（2）由点D在直线y=2x﹣6上，可设PC=m，
如图2所示，当∠ADP=90°时，AD=PD，易得D点坐标（4，2）；
如图3所示，当∠APD=90°时，AP=PD，设点P的坐标为（8，m），
则D点坐标为（14﹣m，m+8），由m+8=2（14﹣m）﹣6，得m=，
∴D点坐标（，）；
如图4所示，当∠ADP=90°时，AD=PD时，
同理可求得D点坐标（，），
D点坐标分别为（4，2）或（，）或（，）．
三、一次函数反比例函数与特殊的四边形结合
试题１、（2015酒泉） ( http: / / www.21cnjy.com )如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，点A在反比例函数y=（k＞0，x＞0）的图象上，点D的坐标为（4，3）．
（1）求k的值；
（2）若将菱形ABCD沿x轴正方向平移，当菱形的顶点D落在函数y=（k＞0，x＞0）的图象上时，求菱形ABCD沿x轴正方向平移的距离．
【解答】解：（1）过点D作x轴的垂线，垂足为F，
∵点D的坐标为（4，3），
∴OF=4，DF=3，
∴OD=5，
∴AD=5，
∴点A坐标为（4，8），
∴k=xy=4×8=32，
∴k=32；
（2）将菱形ABCD沿x轴正方向平移，使得点D落在函数（x＞0）的图象D′点处，
过点D′做x轴的垂线，垂足为F′．
∵DF=3，
∴D′F′=3，
∴点D′的纵坐标为3，
∵点D′在的图象上
∴3=，
解得：x=，
即OF′=，
∴FF′=﹣4=，
∴菱形ABCD平移的距离为．
试题２、（2015宜宾）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是矩形，AD∥x轴，A（﹣3，），AB=1，AD=2．
（1）直接写出B、C、D三点的坐标；
（2）将矩形ABCD向右平移m个单位， ( http: / / www.21cnjy.com )使点A、C恰好同时落在反比例函数y=（x＞0）的图象上，得矩形A′B′C′D′．求矩形ABCD的平移距离m和反比例函数的解析式．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=1，BC=AD=2，
∵A（﹣3，），AD∥x轴，
∴B（﹣3，），C（﹣1，），D（﹣1，）；
（2）∵将矩形ABCD向右平移m个单位，
∴A′（﹣3+m，），C（﹣1+m，），
∵点A′，C′在反比例函数y=（x＞0）的图象上，
∴（﹣3+m）=（﹣1+m），
解得：m=4，
∴A′（1，），
∴k=，
∴矩形ABCD的平移距离m=4，
反比例函数的解析式为：y=．
试题３、2015德州）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的对角线OB，AC相交于点D，且BE∥AC，AE∥OB，
（1）求证：四边形AEBD是菱形；
（2）如果OA=3，OC=2，求出经过点E的反比例函数解析式．
【解答】（1）证明：∵BE∥AC，AE∥OB，
∴四边形AEBD是平行四边形，
∵四边形OABC是矩形，
∴DA=AC，DB=OB，AC=OB，AB=OC=2，
∴DA=DB，
∴四边形AEBD是菱形；
（2）解：连接DE，交AB于F，如图所示：
∵四边形AEBD是菱形，
∴AB与DE互相垂直平分，
∵OA=3，OC=2，
∴EF=DF=OA=，AF=AB=1，3+=，
∴点E坐标为：（，1），
设经过点E的反比例函数解析式为：y=，
把点E（，1）代入得：k=，
∴经过点E的反比例函数解析式为：y=．
试题４、（2015十堰）如图，点A（1﹣，1+）在双曲线y=（x＜0）上．
（1）求k的值；
（2）在y轴上取点B（0，1），为双曲 ( http: / / www.21cnjy.com )线上是否存在点D，使得以AB，AD为邻边的平行四边形ABCD的顶点C在x轴的负半轴上？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵点A（1﹣，1+）在双曲线y=（x＜0）上，
∴k=（1﹣）（1+）=1﹣5=﹣4；
（2）过点A作AE⊥y轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，
∵四边形ABCD是以AB，AD为邻边的平行四边形ABCD，
∴DCAB，
∵A（1﹣，1+），B（0，1），
∴BE=，
由题意可得：DF=BE=，
则=，
解得：x=，
∴点D的坐标为：（﹣，）．
四、一次函数反比例函数与动点结合
试题１、（2015武侯区模拟）如图 ( http: / / www.21cnjy.com )，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A的坐标为（﹣3，4），点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M，AB边交y轴于点H．
（1）求直线AC的函数关系式；
（2）连接BM，动点P从点A出发，沿折线 ( http: / / www.21cnjy.com )A﹣B﹣C方向以2个单位/秒的速度向终点C匀速运动，设△PMB的面积为S（S≠0），点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式（要求写出自变量t的取值范围）．
【解答】解：（1）过点A作AE⊥x轴，垂足为E，（如图）
∵A（﹣3，4），
∴AE=4，OE=3，
∴OA=5，（1分）
∵四边形ABCO为菱形，
∴OC=CB=BA=OA=5，
∴C（5，0），（2分）
设直线AC的解析式为y=kx+b
则
解得：
∴直线AC的函数关系式为：；（4分）
（2）由（1）得M（0，），
∴，
当点P在AB边上运动时，由题意得：OH=4，
∴HM=∴，
∴，（6分）
当点P在BC边上运动时，记为P1，
∵∠OCM=∠BCM，CO=CB，CM=CM，
∴，
∴S=P1BBM=（2t﹣5），
∴S=．（8分）
试题２、（2015无锡校级一模）如图 ( http: / / www.21cnjy.com )，直线分别与x轴、y轴交于A、B两点；直线与AB交于点C，与过点A且平行于y轴的直线交于点D．点E从点A出发，以每秒1个单位的速度沿x轴向左运动．过点E作x轴的垂线，分别交直线AB、OD于P、Q两点，以PQ为边向右作正方形PQMN．设正方形PQMN与△ACD重叠部分（阴影部分）的面积为S（平方单位），点E的运动时间为t（秒）．
（1）求点C的坐标．
（2）当0＜t＜5时，求S与t之间的函数关系式．并求出中S的最大值．
（3）当t＞0时，直接写出点（5，3）在正方形PQMN内部时t的取值范围．
【解答】解：（1）由题意，得
解得：
∴C（3，）；
（2）根据题意得：AE=t，OE=OA﹣EA=8﹣t
∴点Q的纵坐标为（8﹣t），点P的纵坐标为﹣（8﹣t）+6=
∴PQ=（8﹣t）+6=
当MN在AD上时，10﹣2t=t，
∴t=；当0＜t≤时，
S=AE×PQ=t（10﹣2t），
即S=﹣2t2+10t
当≤t＜5时，
S=PQ2=（10﹣2t）2，
即S=4t2﹣40t+100
当0＜t≤时，
S=﹣2（t﹣）2+
∴当t=时，
S最大值=
当≤t＜5时，S=4（t﹣5）2，
∵t＜5时，S随t的增大而减小，
∴t=时，S最大值=
∵＞，
∴S的最大值为．
（3）当t=5时，PQ=0，P，Q，C三点重合；
当t＜5时，知OE=4时是临界条件，即8﹣t=4
即t=4
∴点Q的纵坐标为5＞3，
点（5，3）在正方形边界PQ上，E继续往左移动，则点（5，3）进入正方形内部，但点Q的纵坐标再减少，当Q点的纵坐标为3时，OE=4
∴8﹣t=4
即t=4，
此时OE+PN=4+PQ=4+（10﹣2t）=6＞3满足条件，
∴3＜t＜4，
当t＞5时，由图和条件知，则有E（t﹣8，0），PQ=2t﹣10要满足点（5，3）在正方形的内部，
则临界条件N点横坐标为4 4=PQ+OE=|2t﹣10|+|t﹣8|=3t﹣18
即t=7，此时Q点的纵坐标为：﹣×2+7=．满足条件，
∴t＞7．
综上所述：3＜t＜4或t＞7时，点（5，3）都在正方形的内部
试题３、（2015蓟县一模）如图1，在 ( http: / / www.21cnjy.com )平面直角坐标系中，已知△AOB是等边三角形，点A的坐标是（0，6），点B在第一象限，点P是x轴上的一个动点，连结AP，并把AP绕着点A按逆时针方向旋转60°得到AD，连PD和BD．
（1）求B点坐标和直线AB的解析式．
（2）求证：OP=BD，并求出当点P运动到点（2，0）时点D的坐标；
（3）是否存在点P，使△OPD的面积等于？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）如图1，过点B作BE⊥y轴于E，BF⊥x轴于F，由题意可知
BF=OE=3，OF==2，
∴点B（3，3），
设直线AB的解析式为：y=kx+b，把A（0，6），B（3，3）代入，得，
解得．
∴直线AB的解析式为y=﹣x+6；
（2）如图1，∵AP绕着点A按逆时针方向旋转60°得到AD，
∴AP=AD，∠DAP=∠BAO，
∴∠OAP=∠BAD，
在△AOP与△ABD中，
，
∴△AOP≌△ABD（SAS），
∴OP=BD，
过点D作DH⊥x轴于H，延长EB交DH于G，则BG⊥DH，
在RT△BDG中，∠BGD=90°，∠DBG=60°，
∴BG===1，DG=BG=，
∴OH=OF+FH=OF+BG=3+1，DH=DG+OE=3+，
∴点D的坐标为（3+1，3+），
（3）假设存在点P，使△OPD的面积等于，
①当t＞0时，如图1，∵BD=OP=t，DG=t，
∴DH=3+t，
∵△OPD的面积等于，
∴t（3+t）=，
解得t1=﹣+，t2=﹣﹣（舍去），
∴点P的坐标（﹣+，0）；
②当﹣2＜t≤0时，如图2，∵BD=OP=﹣t，BG=﹣t，
∴DH=GF=3﹣（﹣t）=3+t，
∵△OPD的面积等于，∴﹣ t（3+t）=，
解得：t3=﹣+1，t4=﹣﹣1，
∴点P的坐标为（﹣+1，0），（﹣﹣1，0），
③当t≤﹣2时，如图3，∵BD=OP=﹣t，DG=﹣t，
∴DH=﹣t﹣3，
∵△OPD的面积等于，
∴﹣t（﹣t﹣3）=，
解得：t5=﹣+，（舍去），t6=﹣﹣，
∴点P的坐标为（﹣﹣，0），
综上，存在点P，使△OPD的面 ( http: / / www.21cnjy.com )积等于，点P的坐标为P1（﹣+，0），P2（﹣+1，0），P3（﹣﹣1，0），P4（﹣﹣，0）；
试题４、（2015张家港市模拟）如图， ( http: / / www.21cnjy.com )等腰三角形OAB的一边OB在x轴的正半轴上，点A的坐标为（6，8），OA=OB，动点P从原点O出发，在线段OB上以每秒2个单位的速度向点B匀速运动，动点Q从原点O出发，沿y轴的正半轴以每秒1个单位的速度向上匀速运动，过点Q作x轴的平行线分别交OA，AB于E，F，设动点P，Q同时出发，当点P到达点B时，点Q也停止运动，他们运动的时间为t秒（t≥0）．
（1）点E的坐标为 （t，t） ，F的坐标为 （10﹣t，t） ；
（2）当t为何值时，四边形POFE是平行四边形；
（3）是否存在某一时刻，使△PEF为直角三角形？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）过点A作AD⊥OB，垂足为D，如图1，
∵点A的坐标为（6，8），
∴OD=6，AD=8，
由勾股定理得：OA=10，
∵OA=OB，
∴OB=10，
∴BD=4，
∴点B的坐标为：（10，0），
设直线OA的关系式：y=kx，
将A（6，8）代入上式，得：
6k=8，
解得：k=，
所以直线OA的关系式：y=x，
设直线AB的关系式为：y=kx+b，
将A，B两点代入上式得：
，
解得：，
所以直线AB的关系式为：y=﹣2x+20，
∵过点Q作x轴的平行线分别交OA，AB于E，F，
∴点Q、E、F三点的纵坐标相等，
∵动点Q从原点O出发，沿y轴的正半轴以每秒1个单位的速度向上匀速运动，
动点P从原点O出发，在线段OB上以每秒2个单位的速度向点B匀速运动，
∴t秒后，OQ=t，OP=2t，
∴Q、E、F三点的纵坐标均为t，
将点E的纵坐标t代入y=x，得：x=t，
∴E点的坐标为：（，t），
将点E的纵坐标t代入y=﹣2x+20，得：x=10﹣t，
∴F点的坐标为：（10﹣t，t），
故答案为：（t，t），（10﹣t，t）；
（2）由（1）知：E（t，t），F（10﹣t，t），
∴EF=10﹣t﹣t=10﹣t，
∵四边形POFE是平行四边形，
∴EF∥OP，且EF=OP，
即10﹣t=2t，
解得：t=，
∴当t为时，四边形POFE是平行四边形；
（3）过点E作EM⊥OB，垂足为M，过点F作FN⊥OB，垂足为N，
可得四边形EMNF是矩形，如图2，
①当EF⊥PF时，PE2+PF2=EF2，
由（1）知：OM=t，EM=FN=t，ON=10﹣t，EF=10﹣，
∴PM=，PN=10﹣，
∵PE2=ME2+MP2，PF2=PN2+FN2，
∴t2+（t）2+（10﹣t）2+t2=（10﹣）2，
解得：t1=0（舍去），t2=；
②当PE⊥EF时，如图3，可得四边形EPNF是矩形，
∵四边形EPNF是矩形，
∴EF=PN，
即：EF=ON﹣OP，
∴10﹣=10﹣﹣2t，
解得t=0（舍去）；
③当EF⊥PF时，如图4，可得四边形EMPF是矩形，
∵四边形EMPF是矩形，
∴EF=MP，
即EF=OP﹣OM，
∴10﹣=2t﹣t，
解得：t=4，
∴当t=和4时，使△PEF为直角三角形．
五、一次函数反比例函数与图形翻折结合
试题１、（2015天津）将一个直角三角形纸 ( http: / / www.21cnjy.com )片ABO，放置在平面直角坐标系中，点A（，0），点B（0，1），点0（0，0）．过边OA上的动点M（点M不与点O，A重合）作MN丄AB于点N，沿着MN折叠该纸片，得顶点A的对应点A′，设OM=m，折叠后的△AM′N与四边形OMNB重叠部分的面积为S．
（Ⅰ）如图①，当点A′与顶点B重合时，求点M的坐标；
（Ⅱ）如图②，当点A′，落在第二象限时，A′M与OB相交于点C，试用含m的式子表示S；
（Ⅲ）当S=时，求点M的坐标（直接写出结果即可）．
【解答】解：（Ⅰ）在Rt△ABO中，点A（，0），点B（0，1），点O（0，0），
∴OA=，OB=1，
由OM=m，可得：AM=OA﹣OM=﹣m，
根据题意，由折叠可知△BMN≌△AMN，
∴BM=AM=﹣m，
在Rt△MOB中，由勾股定理，BM2=OB2+OM2，
可得：，解得m=，
∴点M的坐标为（，0）；
（Ⅱ）在Rt△ABO中，tan∠OAB=，
∴∠OAB=30°，
由MN⊥AB，可得：∠MNA=90°，
∴在Rt△AMN中，MN=ANsin∠OAB=，
AN=ANcos∠OAB=，
∴，
由折叠可知△A'MN≌△AMN，则∠A'=∠OAB=30°，
∴∠A'MO=∠A'+∠OAB=60°，
∴在Rt△COM中，可得CO=OMtan∠A'MO=m，
∴，
∵，
∴，
即；
（Ⅲ）①当点A′落在第二象限时，把S的值代入（2）中的函数关系式中，解方程求得m，根据m的取值范围判断取舍，两个根都舍去了；
②当点A′落在第一象限时，则 ( http: / / www.21cnjy.com )S=SRt△AMN，根据（2）中Rt△AMN的面积列方程求解，根据此时m的取值范围，把S=代入，可得点M的坐标为（，0）．
试题２、（2015河北模拟）如图，在平 ( http: / / www.21cnjy.com )面直角坐标系xOy中，直线与x轴，y轴分别交于点A，点B，点D在y轴的负半轴上，若将△DAB沿直线AD折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处．
（1）求AB的长和点C的坐标；
（2）求直线CD的解析式．
【解答】解：（1）∵直线y=﹣x+8与x轴，y轴分别交于点A，点B，
∴A（6，0），B（0，8），
在Rt△OAB中，∠AOB=90°，OA=6，OB=8，
∴AB==10，
∵△DAB沿直线AD折叠后的对应三角形为△DAC，
∴AC=AB=10．
∴OC=OA+AC=OA+AB=16．
∵点C在x轴的正半轴上，
∴点C的坐标为C（16，0）．
（2）设点D的坐标为D（0，y）（y＜0），
由题意可知CD=BD，CD2=BD2，
在Rt△OCD中，由勾股定理得162+y2=（8﹣y）2，
解得y=﹣12．
∴点D的坐标为D（0，﹣12），
可设直线CD的解析式为 y=kx﹣12（k≠0）
∵点C（16，0）在直线y=kx﹣12上，
∴16k﹣12=0，
解得k=，
∴直线CD的解析式为y=x﹣12．
试题３、（2015衡阳县一模）OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x轴上，点C在y轴上，OA=10，OC=6．
（1）如图，在AB上取一点M，使得△CBM沿CM翻折后，点B落在x轴上，记作B′点．求B′点的坐标；
（2）求折痕CM所在直线的解析式．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD为矩形，
∴CB=OA=10，AB=OC=6，
∵△CBM沿CM翻折后，点B落在x轴上，记作B′点，
∴CB′=CB=10，B′M=BM，
在Rt△OCB′中，OC=6，CB′=10，
∴OB′=8，
∴B′点的坐标为（8，0）；
（2）设AM=t，则BM=B′M=6﹣t，
而AB′=OA﹣OB′=2，2，解得t=，