华师大版八年级下册19.2菱形单元复习试题（附答案）

华师大版八年级下册19.2菱形单元复习题
一、选择题
１、（2015滨州,第8题3分）顺次连接矩形ABCD各边中点，所得四边形必定是（　Ｄ）
　 A． 邻边不等的平行四边形 B． 矩形　 C． 正方形 D． 菱形
２、（2015娄底，第5题3分）下列命题中错误的是（　Ｃ　）
　 A． 平行四边形的对角线互相平分 　 B． 菱形的对角线互相垂直
　 C． 同旁内角互补 　 D． 矩形的对角线相等
３、（2015，广西钦州，6，3分）如图，要使 ABCD成为菱形，则需添加的一个条件是（　Ｂ　）
A．AC=AD B．BA=BC C．∠ABC=90° D． AC=BD
４、（2014广西玉林市、防城港市，第6题3分）下列命题是假命题的是（　Ｃ　）
　 A．四个角相等的四边形是矩形 B． 对角线相等的平行四边形是矩形
　 C．对角线垂直的四边形是菱形 D． 对角线垂直的平行四边形是菱形
５、2014山东烟台，第6题3分）如图，在菱形ABCD中，M，N分别在AB，CD上，且AM=CN，MN与AC交于点O，连接BO．若∠DAC=28°，则∠OBC的度数为（　Ｃ　）
　A． 28° B． 52° C． 62° D． 72°
６、（2015安徽, 第9题4分）如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=4．点E在边AB上，点F在边CD上，点G、H在对角线AC上．若四边形EGFH是菱形，则AE的长是（　Ｃ　）
　 A．2 B． 3 C． 5 D． 6
７、（2015昆明第7题，3分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列结论：①AC⊥BD；②OA=OB；③∠ADB=∠CDB；④△ABC是等边三角形，其中一定成立的是（　Ｄ　）
　 A．①②　　B．③④　　C．②③　　D．①③
８、（2014攀枝花，第9题3分）如图，两个连接在一起的菱形的边长都是1cm，一只电子甲虫，从点A开始按ABCDAEFGAB…的顺序沿菱形的边循环爬行，当电子甲虫爬行2014cm时停下，则它停的位置是（　Ａ　）
　 A．点F B． 点E C． 点A D． 点C
９、（2015温州第8题4分）如图，在Rt∠AOB的平分线ON上依次取点C，F，M，过点C作DE⊥OC，分别交OA，OB于点D，E，以FM为对角线作菱形FGMH．已知∠DFE=∠GFH=120°，FG=FE，设OC=x，图中阴影部分面积为y，则y与x之间的函数关系式是（　Ｂ　）
　 A．y= B． y= C． y=2 D． y=3
１０、如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD在第一象限内，边BC与轴平行，A,B两点的纵坐标分别为3,1，反比例函数的图像经过A,B两点，则菱形对ABCD的面积为（ D ）
A. 2 B. 4 C. D.
１１、（2015四川攀枝花第10题3分）如图，在菱形ABCD中，AB=BD，点E、F分别是AB、AD上任意的点（不与端点重合），且AE=DF，连接BF与DE相交于点G，连接CG与BD相交于点H．给出如下几个结论：
①△AED≌△DFB；②S四边形BCDG=CG2；③若AF=2DF，则BG=6GF；④CG与BD一定不垂直；⑤∠BGE的大小为定值．其中正确的结论个数为（　Ｂ　）
　 A．4 B． 3 C． 2 D． 1
１２、(2014年黑龙江牡丹江) (2014黑龙江牡丹江, 第8题3分)如图，在菱形ABCD中，E是AB边上一点，且∠A=∠EDF=60°，有下列结论：①AE=BF；②△DEF是等边三角形；③△BEF是等腰三角形；④∠ADE=∠BEF，其中结论正确的个数是（　Ｄ　）
　 A． 3 B． 4 C． 1 D． 2
二、填空题
１３、（2015乌鲁木齐,第14题4分）若菱形的周长为8，相邻两内角之比为3：1，则菱形的高是　　．
１４、（2015湘潭，第14题3分）已知菱形ABCD的面积为24cm2，若对角线AC=6cm，则这个菱形的边长为　5　cm．
１５、（2014甘肃白银、临夏,第17题4分）如图，四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，过O点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分．当菱形的两条对角线的长分别为6和8时，则阴影部分的面积为　 　．
１６、（2015本溪，第16题3分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC=8，BD=6，OE⊥BC，垂足为点E，则OE=　　．
１７、（2015营口，第17题3分）定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连接它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径，即损矩形外接圆的直径．如图，△ABC中，∠ABC=90°，以AC为一边向形外作菱形ACEF，点D是菱形ACEF对角线的交点，连接BD．若∠DBC=60°，∠ACB=15°，BD=2，则菱形ACEF的面积为　12　．
１８、（2015四川凉山州第26题5分）菱形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B（2，0），∠DOB=60°，点P是对角线OC上一个动点，E（0，﹣1），当EP+BP最短时，点P的坐标为　（）　．
１９、（2015温州第16题5分）图甲是小明设计的带菱形图案的花边作品．该作品由形如图乙的矩形图案拼接而成（不重叠、无缝隙）．图乙中，EF=4cm，上下两个阴影三角形的面积之和为54cm2，其内部菱形由两组距离相等的平行线交叉得到，则该菱形的周长为　　cm．
三、解答题
２０、（2015湖北, 第23题7分）如图，△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=45°，△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，连接BE、CF相交于点D．
（1）求证：BE=CF；
（2）当四边形ACDE为菱形时，求BD的长．
（1）证明：∵△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，
∴AE=AB，AF=AC，∠EAF=∠BAC， ∴∠EAF+∠BAF=∠BAC+∠BAF，即∠EAB=∠FAC，
∵AB=AC， ∴AE=AF， ∴△AEB可由△AFC绕点A按顺时针方向旋转得到， ∴BE=CF；
（2）解：∵四边形ACDE为菱形，AB=AC=1，∴DE=AE=AC=AB=1，AC∥DE，
∴∠AEB=∠ABE，∠ABE=∠BAC=45°，∴∠AEB=∠ABE=45°， ∴△ABE为等腰直角三角形，
∴BE=AC=， ∴BD=BE﹣DE=﹣1．
２１、（2015青海西宁第24题8分）如图，CD是△ABC的中线，点E是AF的中点，CF∥AB．
（1）求证：CF=AD；
（2）若∠ACB=90°，试判断四边形BFCD的形状，并说明理由．
解答： （1）证明∵AE是DC边上的中线，∴AE=FE，
∵CF∥AB，∴∠ADE=∠CFE，∠DAE=∠CFE．
在△ADE和△FCE中，
， ∴△ADE≌△FCE（AAS）， ∴CF=DA．
（2）∵CD是△ABC的中线，
∴D是AB的中点， ∴AD=BD，
∵△ADE≌△FCE，∴AD=CF， ∴BD=CF， ∵AB∥CF，∴BD∥CF，
∴四边形BFCD是平行四边形， ∵∠ACB=90°，∴△ACB是直角三角形， ∴CD=AB，
∵BD=AB， ∴BD=CD， ∴四边形BFCD是菱形．
２２、（2015黔南州）（第22题）如图，已知△ABC，直线PQ垂直平分AC，与边AB交于E，连接CE，过点C作CF平行于BA交PQ于点F，连接AF．
（1）求证：△AED≌△CFD；
（2）求证：四边形AECF是菱形．
（3）若AD=3，AE=5，则菱形AECF的面积是多少？
解答： 解：（1）由作图知：PQ为线段AC的垂直平分线，
∴AE=CE，AD=CD， ∵CF∥AB， ∴∠EAC=∠FCA，∠CFD=∠AED，
在△AED与△CFD中，
， ∴△AED≌△CFD；
（2）∵△AED≌△CFD， ∴AE=CF，
∵EF为线段AC的垂直平分线，∴EC=EA，FC=FA， ∴EC=EA=FC=FA，
∴四边形AECF为菱形．
（3）∵AD=3，AE=5， ∴根据勾股定理得：ED=4， ∴EF=8，AC=6，
∴S菱形AECF=8×6÷2=24， ∴菱形AECF的面积是24
２３、（2014四川遂宁，第20题，9分）已知：如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E是CD中点，连结OE．过点C作CF∥BD交线段OE的延长线于点F，连结DF．求证：
（1）△ODE≌△FCE；
（2）四边形ODFC是菱形．
解： 证明：（1）∵CF∥BD，
∴∠DOE=∠CFE，
∵E是CD中点，
∴CE=DE，
在△ODE和△FCE中，
，
∴△ODE≌△FCE（ASA）；
（2）∵△ODE≌△FCE，
∴OD=FC，
∵CF∥BD，
∴四边形ODFC是平行四边形，
在矩形ABCD中，OC=OD，
∴四边形ODFC是菱形．
２４、（2014舟山，第20题8分）已知：如图，在 ABCD中，O为对角线BD的中点，过点O的直线EF分别交AD，BC于E，F两点，连结BE，DF．
（1）求证：△DOE≌△BOF．
（2）当∠DOE等于多少度时，四边形BFED为菱形？请说明理由．
解 （1）证明：∵在 ABCD中，O为对角线BD的中点，
∴BO=DO，∠EDB=∠FBO，
在△EOD和△FOB中
，
∴△DOE≌△BOF（ASA）；
（2）解：当∠DOE=90°时，四边形BFED为菱形，
理由：∵△DOE≌△BOF，
∴BF=DE，
又∵BF∥DE，
∴四边形EBFD是平行四边形，
∵BO=DO，∠EOD=90°，
∴EB=DE，
∴四边形BFED为菱形．
２５、（2014莱芜，第21题9分）如图，已知△ABC是等腰三角形，顶角∠BAC=α（α＜60°），D是BC边上的一点，连接AD，线段AD绕点A顺时针旋转α到AE，过点E作BC的平行线，交AB于点F，连接DE，BE，DF．
（1）求证：BE=CD；
（2）若AD⊥BC，试判断四边形BDFE的形状，并给出证明．
解答： 证明：（1）∵△ABC是等腰三角形，顶角∠BAC=α（α＜60°），线段AD绕点A顺时针旋转α到AE，
∴AB=AC，
∴∠BAE=∠CAD，
在△ACD和△ABE中，
，
∴△ACD≌△ABE（SAS），
∴BE=CD；
（2）∵AD⊥BC，
∴BD=CD，
∴BE=BD=CD，∠BAD=∠CAD，
∴∠BAE=∠BAD，
在△ABD和△ABE中，
，
∴△ABD≌△ABE（SAS），
∴∠EBF=∠DBF，
∵EF∥BC，
∴∠DBF=∠EFB，
∴∠EBF=∠EFB，
∴EB=EF，
∴BD=BE=EF=FD，
∴四边形BDFE为菱形．
２６、（2015江苏盐城，第26题10分）如图，把△EFP按图示方式放置在菱形ABCD中，使得顶点E、F、P分别在线段AB、AD、AC上，已知EP=FP=4，EF=4，∠BAD=60°，且AB＞4．
（1）求∠EPF的大小；
（2）若AP=6，求AE+AF的值；
（3）若△EFP的三个顶点E、F、P分别在线段AB、AD、AC上运动，请直接写出AP长的最大值和最小值．
解答： 解：（1）如图1，过点P作PG⊥EF于G，
∵PE=PF，
∴FG=EG=EF=，∠FPG=，
在△FPG中，sin∠FPG===，
∴∠FPG=60°，
∴∠EPF=2∠FPG=120°；
（2）如图2，过点P作PM⊥AB于M，PN⊥AD于N，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB，DC=BC，
在△ABC与△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC，
∴∠DAC=∠BAC，
∴PM=PN，
在Rt△PME于Rt△PNF中，
，
∴Rt△PME≌Rt△PNF，
∴FN=EM，在Rt△PMA中，∠PMA=90°，∠PAM=∠DAB=30°，∴AM=APcos30°=3，同理AN=3，
∴AE+AF=（AM﹣EM）+（AN+NF）=6；
（3）如图3，当EF⊥AC，点P在EF的右侧时，AP有最大值，
当EF⊥AC，点P在EF的左侧时，AP有最小值，
设AC与EF交于点O，
∵PE=PF，
∴OF=EF=2，
∵∠FPA=60°，
∴OP=2，
∵∠BAD=60°，
∴∠FAO=30°，
∴AO=6，
∴AP=AO+PO=8，
同理AP′=AO﹣OP=4，
∴AP的最大值是8，最小值是4．
２７、（2014黑龙江绥化,第26题9分）在菱形ABCD和正三角形BGF中，∠ABC=60°，P是DF的中点，连接PG、PC．
（1）如图1，当点G在BC边上时，易证：PG=PC．如图2，当点F在AB的延长线上时，线段PC、PG有怎样的数量关系，写出你的猜想，并给与证明；
（3）如图3，当点F在CB的延长线上时，线段PC、PG又有怎样的数量关系，写出你的猜想（不必证明）．
解答：
（1）提示：如图1：延长GP交DC于点E，
利用△PED≌△PGF，得出PE=PG，DE=FG，
∴CE=CG，
∴CP是EG的中垂线，
在RT△CPG中，∠PCG=60°，
∴PG=PC．
（2）如图2，延长GP交DA于点E，连接EC，GC，
∵∠ABC=60°，△BGF正三角形
∴GF∥BC∥AD，
∴∠EDP=∠GFP，[]
在△DPE和△FPG中
∴△DPE≌△FPG（ASA）
∴PE=PG，DE=FG=BG，
∵∠CDE=CBG=60°，CD=CB，
在△CDE和△CBG中，
∴△CDE≌△CBG（SAS）
∴CE=CG，∠DCE=∠BCG，
∴∠ECG=∠DCB=120°，
∵PE=PG，
∴CP⊥PG，∠PCG=∠ECG=60°
∴PG=PC．
（3）猜想：PG=PC．
证明：如图3，延长GP到H，使PH=PG，连接CH，CG，DH，作ME∥DC
∵P是线段DF的中点，
∴FP=DP，
∵∠GPF=∠HPD，
∴△GFP≌△HDP，
∴GF=HD，∠GFP=∠HDP，
∵∠GFP+∠PFE=120°，∠PFE=∠PDC，
∴∠CDH=∠HDP+∠PDC=120°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴CD=CB，∠ADC=∠ABC=60°，点A、B、G又在一条直线上，
∴∠GBC=120°，
∵四边形BEFG是菱形，
∴GF=GB，
∴HD=GB，
∴△HDC≌△GBC，
∴CH=CG，∠DCH=∠BCG，
∴∠DCH+∠HCB=∠BCG+∠HCB=120°，
即∠HCG=120°
∵CH=CG，PH=PG，
∴PG⊥PC，∠GCP=∠HCP=60°，
∴PG=PC．