人教版八年级数学下册 18.1.1平行四边形的性质同步练习（含解析）

18.1.1平行四边形的性质
一、单选题
1．平行四边形的一组对角的平分线（ ）
A．一定相互平行 B．一定相交
C．可能平行也可能相交 D．平行或共线
2．如图，A为y轴上一点，B点坐标为（1，0），连接AB，分别以OB、AB为边构造等边和等边，且点D恰好落在AB上，点P为平面内一点，当四边形PBCD为平行四边形时，点P坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，点E是 ABCD的边AB上一点，过点E作EFBC，交CD于F，点P为EF上一点，连接PB、PD．下列说法不正确的是（　　）
A．若∠ABP＝∠CDP，则点P在 ABCD的对角线BD上
B．若AE：EB＝2：3，EP：PF＝1：2，则S△BEP：S△DFP＝3：4
C．若S△BEP＝S△DFP，则点P在AC上
D．若点P在BD上，则S△BEP＝S△DFP
4．如图，四边形中，于点E，于点F，交于点C．，连接．以下结论：①；②；③．其中正确的结论个数为（ ）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
5．如图1，已知动点在的边上沿的顺序运动，其运动速度为每秒1个单位．连结，记点的运动时间为秒，的面积为．如图2是关于的函数图象，则下列说法中错误的是（ ）
A．的值13 B．的周长为16
C．秒时，线段最短 D．的面积为12
6．如图，，直线与直线之间的距离为4，点是直线与外一点，点到直线的距离为2，点，分别是直线与直线上的动点，以点为圆心，的长为半径作弧，再以点为圆心，的长为半径作弧，两弧交于点，则点与点之间距离的最小值为（ ）

A．6 B．8 C．10 D．12
7．如图，，，是中点．连接，连接交于点，连接交于点，作射线交于点．给出结论：①是中点；②；③；④，其中正确的有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．如图，的面积为8，均是等边三角形，当时，四边形的面积为（ ）
A．8 B．16 C． D．12
9．已知点是直线外一点，数学兴趣小组的同学用了4种不同的尺规作图方法想过点作直线的平行线，根据尺规作图痕迹，直线不一定与直线平行的是（　　）
A． B．
C． D．
10．如图，将 DEBF的对角线EF向两端延长，分别至点A和点C，且使AE＝CF，连接AB，BC，AD，CD．求证：四边形ABCD为平行四边形．
以下是证明过程，其顺序已被打乱，
①∴四边形ABCD为平行四边形；
②∵四边形DEBF为平行四边形，∴OD=OB，OE=OF；
③连接BD，交AC于点O；
④又∵AE=CF，∴AE+OE=CF+OF，即OA=OC
正确的证明步骤是（ ）
A．①②③④ B．③④②①
C．③②④① D．④③②①
二、填空题
11．如图，在平行四边形中，、的平分线、分别与相交点、，与相交于点，若，，，则的为 ．

12．如图，在梯形中，，，分别以、、为边向梯形外作正方形，其面积分别是、、，且，已知的长度为7，则CD的长度为 ．
13．如图，河的两岸有，两个水文观测点，为方便联络，要在河上修一座木桥（河的两岸互相平行，垂直于河岸），现测得，两点到河岸的距离分别是5米，4米，河宽3米，且，两点之间的水平距离为12米，则的最小值是 米．

14．数学活动课上，陈老师向同学们展示了一位同学的折纸作品（如图所示）．已知平行四边形纸片，对角线，点E，F分别在边和上，交于点P．将纸片沿折叠，点A落在平行四边形ABCD外的点处，B落在对角线上的点G处，交于点H，连接．若，则 ．
15．如图，在中，，，，、、都是等边三角形，则四边形的面积为 ．

16．如图，在等边中，，是上一点，且，连接，以为腰向右作等腰，，连接，取的中点，连接，则的长是 ．

17．如图所示，在Rt△ABC外作等边△ADE，点E在AB边上，AC＝5，∠ABC＝30°，AD＝3．将△ADE沿AB方向平移，得到△A′D′E′，连接BD′．给出下列结论：①AB＝10；②四边形ADD′A′为平行四边形；③AB平分∠D′BC；④当平移的距离为4时，BD′＝3．其中正确的是 （填上所有正确结论的序号）．
18．如图，，过点的直线分别交于点． 下列结论：

①若为的中点，则；
②若于点，则为的中点；
③若为的中点，则；
④．
其中正确的结论有 ． （填写序号即可）
三、解答题
19．如图，平行四边形ABCD中，把沿翻折得到，相交于点．
（1）求证：DE∥AC；
（2）连接交于点，连接，在不添加辅助线的条件下请直接写出图中所有等腰三角形．
20．已知：如图，在四边形中，，平分交于点E，．
（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）若，求证：；
（3）在（2）的条件下，连接、，若，求的度数．
21．在平行四边形中，，，∠BAD＝120°．
（1）若，则______；
（2）如图，求对角线的长（用含，的式子表示）；
（3）如图，四边形也是平行四边形，连结并延长交于点，若AG⊥BE，，，，求的长．
22．如图，在平行四边形中，，，． 动点从点出发沿以2cm/s速度向终点运动，同时点从点出发，以8cm/s速度沿射线运动，当点到达终点时，点也随之停止运动，设点的运动时间为秒（）
（1）的长为 ．
（2）用含的代数式表示线段的长．
（3）连结．是否存在的值，使得与互相平分？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；
（4）若点关于直线对称的点恰好落在直线上，请直接写出的值．
23．如图，在平行四边形ABCD中，为对角线，垂直平分分别交、于点E、F，交于点O．
（1）试说明：；
（2）试说明：；
（3）如果在平行四边形ABCD中，，，有两动点P、Q分别从B、D两点同时出发，沿和各边运动一周，即点P自B→A→E→B停止，点Q自D→F→C→D停止，点P运动的路程是m，点Q运动的路程是n，当四边形是平行四边形时，求m与n满足的数量关系．（画出示意图）
答案：
一、单选题
1．D
【分析】分两种情况：如果平行四边形的邻边不相等，那么它的一组对角的平分线互相平行；如果平行四边形的邻边相等，那么它的一组对角的平分线共线．
解：如图，平行四边形ABCD中，AE、CF分别平分∠BAD、∠BCD，
∵四边形ABCD是平行四边形，AD∥BC，
∴∠BAD＝∠BCD，∠2＝∠3，
∵AE、CF分别平分∠BAD、∠BCD，
∴，
∴∠2＝∠4，
∴∠3＝∠4，
∴AE∥CF；
当平行四边形ABCD是菱形时，AE与CF共线．
故选：D．
2．B
【分析】利用等边三角形的性质可得点D和C的坐标，再利用平行四边形的性质可得P的坐标．
解：如图，
以OB、AB为边构造等边△OBD和等边△ABC，
∴∠ODB=∠OBD=60，OB=1，∠CAB=60°，
∴∠OAB=30°，
∴∠OAD=∠DOA=30°，
∴OD=AD=1，
∵点D为AB的中点，
∴AB=2，AO=，
∴，
∴∠CAO=90°，
∴，
∵四边形PBCD是平行四边形，
∴DPBC，DP=BC，
由平移可知，
故选：B．
3．D
【分析】根据平行四边形的性质和判定进行判断即可．
解：A、若∠ABP＝∠CDP，则点P在 ABCD的对角线BD上，说法正确；
B、若AE：EB＝2：3，EP：PF＝1：2，则S△BEP：S△DFP＝3：4，说法正确；
C、过点P作，分别交AD，BC于G，H，
∵，，
∴四边形ABHG是平行四边形，
同理：四边形CDGH、四边形BHPE，四边形DGPE都是平行四边形，
∴，，
又，
∴，
∴，
同理：，
∴点P在AC上，C说法正确；
D、若点P在BD上，不能得出EP＝PF，所以S△BEP不一定等于S△DFP，说法错误；
故选：D．
4．C
【分析】根据可判定①，用反证法证明②，根据证得，得到可判断③．
解：∵于点E，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，故①正确；
用反证法证明②，
假设，
则有为等腰三角形，F为的中点，
又，可证得，与题设不符；
由（1）知，
∴，
连接，
∵
∴四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，故③正确；
故正确的个数有2个．
故选：C．

5．C
【分析】根据图象上点的坐标和图象的特点，利用平行四边形的性质可以判断出答案．
解：∵P在BC上时，△ABP的面积为S随t的增大而增大，
∴根据点（5，6）可以得到BC=5，S=6，
∴A到BC的距离为，
当P在CD上时，S不变，
∴CD=8-5=3，
∴a=5+3+5=13， ABCD的周长为2×（5+3）=16， ABCD的面积，5×=12，
故A，B，D都不符合题意；
当AP⊥BC时，AP最短，根据勾股定理，
，故C符合题意．
故选：C．
6．B
【分析】根据作图可知四边形是平行四边形，连接，根据垂线段最短，得到当与直线和直线垂直时，点与点之间距离最短，即可得出结论．
解：如图：由作图可知，四边形是平行四边形，

∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴点到直线的距离等于点到直线的距离，
∴点到直线的距离为2，
连接，则：当与直线和直线垂直时，点与点之间距离最短，
即：；
故选B．
7．D
【分析】①先证，进而可证四边形为平行四边形，然后根据平行四边形的性质可对结论①进行判断；
②由①正确可知：点为的中点，据此可证点为的重心，则为的中线，然后先证和全等得，进而可证和全等，据此可对结论②进行判断；
③由②可知，然后根据等腰三角形的性质可对结论③进行判断；
④根据四边形为平行四边形可对结论④进行判断，综上所述即可得出答案．
解：①点为的中点，
，
，
，
，
四边形为平行四边形，
，
即点为的中点，
结论①正确；
②由①正确可知：点为的中点，
为的中线，
又点是中点，
为的中线，
与交于点，
点为的重心，
为的中线，
，
在和中，
，
，
，
在和中，
，
，
，
结论②正确；
③由②可知：，
，
，
结论③正确；
④由①可知：四边形为平行四边形，
，
结论④正确．
综上所述：正确的结论为①②③④，共4个．
故选：D．
8．B
【分析】先根据等边三角形的性质证明，从而可得，同理可得，因此四边形是平行四边形.再证三点共线，三点共线.从而可得与底相同，高相同，由此可求得的面积.
解：
和都是等边三角形，
，
，
即，
，
.
是等边三角形，
，
.
同理可得，
∴四边形是平行四边形.
，
，
三点共线，三点共线.
作于G, 于H，
则，
且，
.
，
.
故选：B．
9．D
【分析】根据作图轨迹，结合平行四边形的判定与性质可对选项A判断；
根据作图轨迹，结合平行线的判定可对选项B判断；
根据作图轨迹，结合平行线的判定可对选项C判断；
根据作图轨迹可得，无法判断，则可判断选项D．
解：A．连接，
，
根据作图可知，，
∴四边形是平行四边形，
∴，即，
故A正确，但不符合题意；
B．如图，
根据作图可知，
∴，
故B正确，但不符合题意；
C．如图，
根据作图可知，，
∴，
故C正确，但不符合题意；
D．如图，
，
根据作图可知，
无法证明，
故D错误，符合题意；
故选：D．
10．C
【分析】连接BD，交AC于点O，由平行四边形DEBF的性质可得OD=OB，OE=OF，从而由已知可得OA=OC，即可得四边形ABCD为平行四边形．
解：连接BD，交AC于点O，如图
∵四边形DEBF为平行四边形
∴OD=OB，OE=OF
∵AE=CF
∴AE+OE=CF+OF
即OA=OC
∴四边形ABCD为平行四边形
故正确的证明步骤是：③②④①
故选：C．
二、填空题
11．
【分析】由题中条件证出，则，同理，则，进而得出的长，过作交延长线于，如图所示，由平行四边形的判定与性质，得到，利用勾股定理求出，即可得结论．
解：四边形是平行四边形，如图所示：

，，，
，
平分，
，
，
，
同理，
，即，
，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
过作交延长线于，如图所示：

，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
在中，，则由勾股定理可得，
故答案为：．
12．14
【分析】本题考查平行四边形的性质和判定、平行线性质，以及勾股定理，过点B作，得到，证明四边形平行四边形，推出，，得到，结合，推出，得到，即可解题．
解：如图所示，过点B作，
，
，
，
，
，
四边形平行四边形，
则，，，
又，即，
，
，
又，则．
故答案为：．
13．18
【分析】作垂直于河岸，使等于河宽，连接，与靠近A的河岸相交于M，作垂直于另一条河岸，则且，于是为平行四边形，故；根据“两点之间线段最短”，最短，即最短，也就是最短，据此求解即可．
解：作垂直于河岸，使等于河宽，连接，与靠近A的河岸相交于M，作垂直于另一条河岸， 过点A作交的延长线于点C，
则且，于是为平行四边形，

故，
当时，最小，也就是最短，
∵（米），（米），（米）
∴在中，（米），
∴的最小值为：（米）
故答案为：18 ．
14．
【分析】连接，利用直角性质求得，，由折叠的性质以及，推出是线段的垂直平分线，则，求得，证明四边形是平行四边形，得到，在求得即可．
解：连接，
∵平行四边形纸片，且，，
∴，，
∴，，
由折叠的性质知，，，是线段的垂直平分线，则，
∵，
∴，即，
∴，由平行四边形的性质得，∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，即，
∴，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
15．6
【分析】根据题中的等式关系可推出两组对边分别相等，从而可判断四边形为平行四边形．由勾股定理的逆定理判定，则，故易求所以由平行四边形的面积公式即可解答．
解：在中，，，，
，
，
，都是等边三角形，
，
．
和都是等边三角形，
，
．
在与中，
≌，
，
同理可证≌，
，
四边形是平行四边形．
，
如图，过点作，交于点，

，
．
即四边形的面积是．
故答案为．
16．
【分析】如图，在上取点使，连接，，记，的交点为，证明，可得，，再证明，可得四边形为平行四边形，可得，，即，重合，即，从而可得答案．
解：如图，在上取点使，连接，，记，的交点为，

∵等边，，，
∴，，，
∴，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∴，，
∵的中点为，
∴，重合，即，
∵，，
∴，
∴；
故答案为：．
17．①②④．
【分析】根据含30角的直角三角形的性质可得AB＝2AC＝10，可判定①；根据平移的性质可得A'D'＝AD，A'D'//AD，证得四边形ADD'A'为平行四边形，可判定②；当平移的距离为4时，EE'＝4，证得BE'＝D'E'，，则∠E'BD'＝∠E'D'B＝∠A'E'D'＝30°，即∠A'D'B＝60°+30°＝90°，再由含30°角的直角三角形的性质可得BD'＝A'D'＝3，则可判断④；由④得：当平移的距离为4时，∠E'BD'＝∠ABC＝30°，则可判断③．
解：∵∠ACB＝90°，AC＝5，∠ABC＝30°，
∴AB＝2AC＝10，故①正确；
由平移的性质得：A'D'＝AD，A'D'//AD，
∴四边形ADD′A′为平行四边形，故②正确；
当平移的距离为4时，EE'＝4，
∴BE'＝AB﹣AE﹣EE'＝10﹣3﹣4＝3，
由平移的性质得：∠A'D'E'＝∠A'E'D'＝∠AED＝60°，A'D'＝D'E'＝DE＝AD＝3，
∴BE'＝D'E'，
∴∠E'BD'＝∠E'D'B＝∠A'E'D'＝30°，
∴∠A'D'B＝60°+30°＝90°，
∴BD'＝A'D'＝3，故④正确；
由④得：当平移的距离为4时，∠E'BD'＝∠ABC＝30°，故③错误；
故填①②④．
18．①②③
【分析】①在的延长线上截取，连接，则，先证四边形为平行四边形，得，，根据得，进而得据此可证和全等，进而得然后根据，得，则，据此可对结论①进行判断；
②过点作交的延长线于，连接，先证和全等，得，进而可证四边形为平行四边形，则，据此可对结论②进行判断；
③当为的中点时，由①的解答过程可知：，由此可对结论结论③进行判断；
④延长到，是，连接则由于过点的直线分别交于点，因此无法判定，点为的中点，因此无法判定成立，据此可对结论④进行判断，综上所述即可得出答案．
解：①在的延长线上截取，连接，则，如图1所示：

∵为的中点，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴
在和中，
，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
即，
故结论①正确；
②过点作交的延长线于，连接，如图2所示：

∴，
∵
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
又，
∴四边形为平行四边形，
∴，
即点为的中点，
故结论②正确；
③当为的中点时，
由①的解答过程可知：，
∴
故结论③正确；
④延长到，使，连接，如图3所示：

∴
∵过点的直线分别交于点，
∴无法判定，点为的中点，
因此无法判定成立，
故结论④不正确．
综上所述：正确的结论是①②③．
故答案为：①②③．
三、解答题
19．
解：（1）证明：∵四边形是平行四边形，
，
∵把沿翻折得到，
，
，
在和中，
，
，
，
，
又∵∠EFD=∠AFC，
，
；
（2）解：，
是等腰三角形，
∵四边形是平行四边形，
，
，
∵把沿翻折得到，
，
，
在和中，
，
，
，
是等腰三角形．
20．
解：（1）证明：∵，
∴,
又，
∴,
∴；
，
∴,
∴，
∴四边形为平行四边形；
（2）证明：，，
∴为等边三角形，
∴，
∵平行四边形ABCD中，，
∴，
（3）解：∵为等边三角形，
∴，
∵平行四边形ABCD中，，
∴，
∴，
又，，
∴，
∴，
∵
∴
∴．
21．
（1）解：如图1，延长，过点作的延长线于点，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，．
，
，
．
故答案为：；
（2）解：如图1，延长，过点作的延长线于点，
，
．
，
，．
∵BC=b，
，
；
（3）解：过点作，交的延长线于点，连接、，如图所示：
四边形是平行四边形，，，
，，
，
，
在中，
，，
，
四边形是平行四边形，
，，
四边形是平行四边形，
∴，，
，
，
，
．
22．
解：（1）∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
（2）在平行四边形ABCD中，，，
由题意得，，
当点Q与点B重合时，，
∴，
当点Q在线段上时，，
当点Q在线段的延长线上时，，
综上所述，或；
（3）存在，理由如下：
如图，连接，
若与互相平分，则四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴当时，与
（4）当点P关于直线对称的点落在点A下方时，如图，
由对称得，，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
解得；
当点P关于直线对称的点落在点A上方时，如图，
由对称得，，
∵，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，
综上所述，t的值为或2．
23．
（1）解：四边形是平行四边形，
，
，
垂直平分，
，
在和中，
，
（），
；
（2）解：四边形是平行四边形，
，，
，
，
在和中，
，
（）；
（3）解：垂直平分，
，
，
，
，
的周长是
，
故的周长也是，
①当P在上，Q在上，
，
，
在和中
，
（），
，
②当P在上，Q在上，
，
，
，
，
在和中
，
（），
，
，
，
；
③当P在上，Q在上，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
在和中
，
（），
，
；
综上所述：m与n满足的数量关系是．