人教版八年级数学下册 18.1.2 平行四边形的判定（含解析）

18.1.2 平行四边形的判定
一、单选题
1．如图，在四边形中，已知，添加下列条件不能判定四边形是平行四边形的是（　　）

A． B． C． D．
2．如图，在平行四边形ABCD中，，，平分，交边于点，连接，若，则的长为（ ）

A．6 B．4 C． D．
3．如图，平行四边形ABCD的对角线，相交于点，的平分线与边相交于点，是中点，若，，则的长为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
4．如图，已知，以点O为圆心，适当长为半径作圆弧，与角的两边分别交于C，D两点，分别以点C，D为圆心，大于长为半径作圆弧，两条圆弧交于内一点P，连接，过点P作直线，交OB于点E，过点P作直线，交于点F．若，，则四边形的面积是（ ）

A． B． C． D．
5．如图所示，在中，，是上的点，交于点，交于点，那么四边形的周长是（ ）

A．5 B．10 C．15 D．20
6．如图，在ABCD中，，，点E在AD上，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在中，点D，E分别是，边的中点，点F在的延长线上．添加一个条件，使得四边形为平行四边形，则这个条件可以是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在平行四边形中，将沿着所在的直线翻折得到 ABC，交于点，连接，若，，，则的长是（ ）
A．1 B． C． D．
9．已知：的顶点，点C在x轴的正半轴上，按以下步骤作图：
①以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M，交于点N．
②分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内相交于点E．
③画射线，交于点，则点A的坐标为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点B，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于E，F两点，和交于点O；②以点A为圆心，长为半径画弧，交于点D；③分别以点D，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M﹐连接和交于点N，连接若，则的长为（ ）

A．2 B． C．4 D．
二、填空题
11．如图，在平行四边形中，，，的平分线交于点E，则的长为 ．
12．如图，将平行四边形ABCO放置在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，若点A的坐标是（6，0），点C的坐标是（1，4），则点B的坐标是 ．
13．如图，点E，F分别在□ABCD的边AB，CD的延长线上，连接EF，分别交AD，BC于G，H．添加一个条件使△AEG≌△CFH，这个条件可以是 ．（只需写一种情况）
14．如图，在平行四边形ABCD中，．利用尺规在、上分别截取、，使；分别以、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；作射线交于点．若，则的长为 ．
15．如图，在平行四边形ABCD中，对角线，，垂足为，且，，则与之间的距离为 ．
16．如图，在平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC，CF⊥BE，连接AE，G是AB的中点，连接GF，若AE＝4，则GF＝ ．
17．如图，点A的坐标为，点在轴上，把沿轴向右平移到，若四边形的面积为9，则点的坐标为 ．

18．如图，和都是等腰直角三角形，，点在内，，连接交于点交于点，连接．给出下面四个结论：①；②；③；④．其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题
19．已知：如图，点为对角线的中点，过点的直线与，分别相交于点，．
求证：．
20．如图，已知，，分别是和上的点，．求证：四边形是平行四边形．
21．如图，在平行四边形ABCD中，平分，交于点E，交的延长线于点F．
（1）求证：；
（2）若，求的长和的面积．
22．如图，B是AC的中点，点D，E在同侧，，．
（1）求证：≌．
（2）连接，求证：四边形是平行四边形．
23．如图，在平行四边形ABCD中，点E在边BC上，连结AE，EM⊥AE，垂足为E，交CD于点M，AF⊥BC，垂足为F，BH⊥AE，垂足为H，交AF于点N，点P显AD上一点，连接CP．
（1）若DP=2AP=4，CP=，CD=5，求△ACD的面积．
（2）若AE=BN，AN=CE，求证：AD=CM+2CE．
24．点是平行四边形的对角线所在直线上的一个动点（点不与点、重合），分别过点、向直线作垂线，垂足分别为点、．点为的中点．
（1）如图1，当点与点重合时，线段和的关系是 ；
（2）当点运动到如图2所示的位置时，请在图中补全图形并通过证明判断（1）中的结论是否仍然成立？
（3）如图3，点在线段的延长线上运动，当时，试探究线段、、之间的关系．
答案：
一、单选题
1．C
【分析】根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可知A项不符合题意；根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可知B项不符合题意；根据全等三角形的判定与性质可知D项不符合题意进而即可判断．
解：∵，，
∴由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，
∴项能判定四边形是平行四边形，
故项不符合题意；
∵，，
∴由两组对边分别平行的四边形是平行四边形，
∴项能判定四边形是平行四边形，
故项不符合题意；
∵，但和不一定平行，
∴项不能判定四边形是平行四边形，
故符合题意；
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴项能判定四边形是平行四边形，
故项不符合题意；
故选：．
2．C
【分析】由平行四边形的性质可得，，，由平行线的性质可得，由角平分线的定义可得，从而得到，推出，，过点作于点，由直角三角形的性质和勾股定理可得，，，即可得到答案．
解：四边形是平行四边形，
，，，
，
平分，
，
，
，
，
，
如图，过点作于点，
，
则，
，
，
，，
，
故选：C．
3．A
【分析】根据平行四边形的性质、平行线的性质、角平分线的定义以及等腰三角形的判定可得，进而可得，再根据三角形的中位线解答即可.
解：∵四边形是平行四边形，，
∴，，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是中点，
∴；
故选：A.
4．B
【分析】过P作于M，再判定四边形为平行四边形，再根据勾股定理求出边和高，最后求出面积．
解：过P作于M，

由作图得：平分，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴四边形为平行四边形，，
∴，
∴，
设，
在中，，
即：，
解得：，
∴．
故选：B．
5．B
【分析】由于，，则可以推出四边形是平行四边形，然后利用平行四边形的性质可以证明的周长等于．
解：，，
则四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，，
所以：的周长等于．
故选：B．
6．D
【分析】过点B作BF⊥AD于F，由平行四边形性质求得∠A=75°，从而求得∠AEB=180°-∠A-∠ABE=45°，则△BEF是等腰直角三角形，即BF=EF，设BF=EF=x，则BD=2x，DF=，DE=DF-EF=（-1）x，AF=AD-DF=BD-DF=（2-）x，继而求得AB2=AF2+BF2=（2-）2x2+X2=（8-4）x2，从而求得，再由AB=CD，即可求得答案．
解：如图，过点B作BF⊥AD于F，
∵ABCD，
∴CD=AB，CDAB，
∴∠ADC+∠BAD=180°，
∵
∴∠A=75°，
∵∠ABE=60°，
∴∠AEB=180°-∠A-∠ABE=45°，
∵BF⊥AD，
∴∠BFD=90°，
∴∠EBF=∠AEB=45°，
∴BF=FE，
∵AD=BD，
∴∠ABD=∠A=75°，
∴∠ADB=30°，
设BF=EF=x，则BD=2x，由勾股定理，得DF=，
∴DE=DF-EF=（-1）x，AF=AD-DF=BD-DF=（2-）x，
由勾股定理，得AB2=AF2+BF2=（2-）2x2+x2=（8-4）x2，
∴
∴，
∵AB=CD，
∴，
故选：D．
7．B
【分析】利用三角形中位线定理得到DE∥AC且DE=AC，结合平行四边形的判定定理进行选择．
解：∵在△ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥AC且DE=AC，
A、根据∠B=∠F不能判定CF∥AD，即不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项错误．
B、根据DE=EF可以判定DF=AC，由“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”得到四边形ADFC为平行四边形，故本选项正确．
C、根据AC=CF不能判定AD∥DF，即不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项错误．
D、根据AD=CF，FD∥AC不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项错误．
故选：B．
8．B
【分析】利用平行四边形的性质、翻折不变性可得△AEC为等腰直角三角形，根据已知条件可得CE得长，进而得出ED的长，再根据勾股定理可得出；
解：∵四边形是平行四边形
∴AB=CD ∠B=∠ADC=60°，∠ACB＝∠CAD
由翻折可知：BA＝AB′＝DC，∠ACB＝∠AC B′=45°，
∴△AEC为等腰直角三角形
∴AE=CE
∴Rt△AE B′≌Rt△CDE
∴EB′=DE
∵在等腰Rt△AEC中，
∴
∵在Rt△DEC中， ，∠ADC=60°
∴∠DCE=30°
∴DE=1
在等腰Rt△DE B′中，EB′=DE=1
∴=
故选：B
9．A
【分析】由题意得：OE平分∠AOC，结合AD∥OC，可得AO=AF，设AH=m，则AO=AF=2+m，根据勾股定理，列出方程，即可求解．
解：由作图痕迹可知：OE平分∠AOC，
∴∠AOF=∠COF，
∵在中，AD∥OC，
∴∠COF=∠AFO，
∴∠AOF=∠AFO，
∴AO=AF，
∵，
∴FH=2，OH=3，
设AH=m，则AO=AF=2+m，
∵在中，AH2+OH2=AO2，
∴m2+32=（2+m） 2，解得：，
∴A，
故选A．
10．A
【分析】利用三角形中位线定理以及线段的垂直平分线的性质求解．
解：由作图可知垂直平分线段，垂直平分线段，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：A．
二、填空题
11．2
【分析】根据平行四边形的性质可得，则，再由角平分线的定义可得，从而求得，则，从而求得结果．
解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵的平分线交于点E，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
故答案为：2．
12．（7，4）
解：试题分析：∵四边形ABCO是平行四边形，O为坐标原点，点A的坐标是（6，0），点C的坐标是（1，4），∴BC=OA=6，6+1=7，∴点B的坐标是（7，4）；故答案为（7，4）．
考点：平行四边形的性质；坐标与图形性质．
13．（答案不唯一）
【分析】由平行四边形的性质可得： 证明 再补充两个三角形中的一组相对应的边相等即可．
解：平行四边形ABCD ，
∴AB∥CD,∠A=∠C
∵∠F=∠E
所以补充：
△AEG≌△CFH，
故答案为：（答案不唯一）
14．
【分析】如图所示，过点H作HM⊥BC于M，由作图方法可知，BH平分∠ABC，即可证明∠CBH=∠CHB，得到，从而求出HM，CM的长，进而求出BM的长，即可利用勾股定理求出BH的长．
解：如图所示，过点H作HM⊥BC于M，
由作图方法可知，BH平分∠ABC，
∴∠ABH=∠CBH，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∴∠CHB=∠ABH，∠C=180°-∠ABC=30°，
∴∠CBH=∠CHB，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
15．．
【分析】设与之间的距离为，由条件可知平行四边形ABCD的面积是的面积的2倍，可求得平行四边形ABCD的面积，，因此可求得的长．
解：∵四边形为平行四边形，
∴，，
，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
设与之间的距离为，
∵，
∴，
∴，
解得，
故答案为：．
16．2
【分析】根据平行四边形的性质结合角平分线的定义可求解∠CBE=∠BEC，即可得CB=CE，利用等腰三角形的性质得到BF=EF，进而可得GF是△ABE的中位线，根据三角形的中位线的性质可求解．
解：在平行四边形ABCD中，AB∥CD，
∴∠ABE=∠BEC．
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∴∠CBE=∠BEC，
∴CB=CE．
∵CF⊥BE，
∴BF=EF．
∵G是AB的中点，
∴GF是△ABE的中位线，
∴GF=AE，
∵AE=4，
∴GF=2．
故答案为：2．
17．（4，3）
【分析】过点A作AH⊥x轴于点H，得到AH=3，根据平移的性质证明四边形ABDC是平行四边形，得到AC=BD，根据平行四边形的面积是9得到，求出BD即可得到答案.
解：过点A作AH⊥x轴于点H，
∵A（1,3），
∴AH=3，
由平移得AB∥CD，AB=CD，
∴四边形ABDC是平行四边形，
∴AC=BD，
∵，
∴BD=3，
∴AC=3，
∴C（4，3），
故答案为：（4，3）.

18．①③④
【分析】由题意易得，，，，则可证，然后根据全等三角形的性质及平行四边形的性质与判定可进行求解．
解：∵和都是等腰直角三角形，
∴，，，，
∵，，
∴，故①正确；
∴，
∴，，故③正确；
∵，，，
∴，；故②错误；
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，故④正确；
故答案为①③④．
三、解答题
19．
解：证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，，
∵点为对角线的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
20．
解：证明：，
，
又，
，
，
，
四边形是平行四边形．
21．
解：（1）证明：在中，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴．
（2）解：∵，
∴；
过D作交的延长线于H，

∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的面积．
22．
（1）解：∵B是的中点，
∴．
在和中，
∴≌（）．
（2）如图所示，
∵≌，
∴，
∴．
又∵，
∴四边形是平行四边形．
23．
解：
（1）解：作CG⊥AD于G，如图1所示：
设PG＝x，则DG＝4﹣x，
在Rt△PGC中，GC2＝CP2﹣PG2＝17﹣x2，
在Rt△DGC中，GC2＝CD2﹣GD2＝52﹣（4﹣x）2＝9+8x﹣x2，
∴17﹣x2＝9+8x﹣x2，
解得：x＝1，即PG＝1，
∴GC＝4，
∵DP＝2AP＝4，
∴AD＝6，
∴S△ACD＝×AD×CG＝×6×4＝12；
（2）证明：连接NE，如图2所示：
∵AH⊥AE，AF⊥BC，AE⊥EM，
∴∠AEB+∠NBF＝∠AEB+∠EAF＝∠AEB+∠MEC＝90°，
∴∠NBF＝∠EAF＝∠MEC，
在△NBF和△EAF中， ，
∴△NBF≌△EAF（AAS），
∴BF＝AF，NF＝EF，
∴∠ABC＝45°，∠ENF＝45°，FC＝AF＝BF，
∴∠ANE＝∠BCD＝135°，AD＝BC＝2AF，
在△ANE和△ECM中，，
∴△ANE≌△ECM（ASA），
∴CM＝NE，
又∵NF＝NE＝MC，
∴AF＝MC+EC，
∴AD＝MC+2EC．
24．
解：（1）如图1，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，
∵AE⊥BP，CF⊥BP，
∴∠AEO＝∠CFO＝90°，
∵∠AOE＝∠COF，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴OE＝OF；
（2）补全图形如图所示，仍然成立，
证明如下：延长交于点，
∵，
∴，
∴，
∵点为的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）当点在线段的延长线上时，线段、、之间的关系为，
证明如下：延长交的延长线于点，如图所示，
由（2） 可知 ，
∴，，
又∵，，
∴，
∴．