八年级数学下册试题 18.2.1 矩形--人教版（含解析）

18.2.1 矩形
一、单选题
1．下列性质中，矩形不一定具有的是（ ）
A． B． C． D．
2．矩形中，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在矩形中，，，点E在边上，若平分，则的长为（ ）
A． B． C． D．
4．下列命题中正确的是（ ）
A．对角线相等的四边形是矩形 B．对角线互相平分且相等的四边形是矩形
C．对角线垂直的四边形是矩形 D．对角线相等且垂直的四边形是矩形
5．如图，在四边形中，给出部分数据，若添加一个数据后，四边形是矩形，则添加的数据是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在长方形中，，，为的中点，点分别在上，若，为等腰直角三角形，则四边形的面积为（ ）

A．10 B．9 C． D．
7．如图，在矩形中，对角线与相交于点，过点作的垂线，垂足为，已知，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，四边形OABC为矩形，点A，C分别在x轴和y轴上，连接AC，点B的坐标为，∠CAO的平分线与y轴相交于点D，则点D的坐标为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，已知平分，，，于点D，于点E．如果点M是的中点，则的长是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．如图，是内部一点，，且，，依次取，，，的中点，并顺次连接得到四边形，则四边形的面积是（ ）
A．12 B．16 C．24 D．48
二、填空题
11．如图，E是矩形ABCD的对角线的交点，点F在边AE上，且DF＝DC，若∠ADF＝25°，则∠ECD＝ °．
12．如图所示，在矩形中，是上任一点，连接，是的中点，若的面积为，则矩形的面积为 ．
13．如图，四边形OABC是矩形，A（2，1），B（0，5），点C在第二象限，则点C的坐标是 ．
14．如图，在中，，点D、E分别是边的中点，点F是线段上的一点，连接，若，则线段的长为 ．
15．如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，请你添加一个条件使平行四边形ABCD成为矩形，这个条件可以是 ．

16．如图，长方形中，，，长方形内有一个点，连接，，，已知，，延长交于点，则 ．
17．如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4．点E在边AD上，且ED=3，M，N分别是边AB，BC上的动点，且BM=BN，P是线段CE上的动点，连接PM，PN．若PM+PN=4，则线段PC的长为 ．
18．如图，矩形纸片的对角线，相交于点，，将矩形纸片翻折，使点恰好落在点处，折痕为，点在边上，则的长为 ．
三、解答题
19．如图，已知四边形是平行四边形，对角线交于点是等边三角形．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，求的长．
20．（8分）如图，在中，D为斜边的中点，E为上一点，F为中点，若，．
（1）求证：为的角平分线；
（2）求的长．
21．如图,在平行四边形ABCD中,点E,F分别在,上,连接,,,,且．请从以下三个选项中:①;②;③,选择一个合适的选项作为已知条件,使四边形是矩形．（不再添加其他线条和字母）．
（1）你添加的条件是: ;（填序号，填一个即可）
（2）添加条件后,请证明四边形是矩形．
22．如图，在梯形中，，F为上一点，且，E为上一点，交于点G．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，求证：．
23．如图，在中，已知，过点C作于点D，过点B作于点M，与相交于点E，且点E是的中点，连接，过点D作，交于点N．
（1）求证：；
（2）请探究线段、、之间的数量关系，并证明你的结论．
24．（12分）综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，长方形，，．在上取一点，沿折叠，点恰好落在上的点处．
（1）点的坐标为___________．
（2）求点的坐标；
（3）若点是平面内一点，是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形，若存在，直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由．
答案：
一、单选题
1．A
【分析】根据矩形的性质，进行判断即可．
解：∵矩形，
∴，，；
矩形的邻边不一定相等，
故选A．
2．C
【分析】此题考查了矩形的性质，根据矩形的对角线相等即可求解，解题的关键是熟练掌握矩形的性质及其应用．
解：∵四边形是矩形，
∴，
故选：．
3．C
【分析】利用角平分线和平行线内错角相等，可证明，则ED=AD，则可用勾股定理求出ED．
解：∵四边形是矩形，
∴，AB=CE=3
∴
∵平分
∴
∴
∴ED=AD=4
∴
故选： C．
4．B
【分析】根据矩形的判定方法逐一分析即可．
解：对角线相等的平行四边形是矩形，故A不符合题意；
对角线互相平分且相等的四边形是矩形，表述正确，故B符合题意；
对角线垂直的四边形不一定是矩形，故C不符合题意；
对角线相等且垂直的四边形不一定是矩形，故D不符合题意；
故选B
5．D
【分析】根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线相等的平行四边形是矩形即可得到答案．
解：当时，由题意可知，
，，
∴四边形是平行四边形，
∵,
∴四边形是矩形，
故选：D
6．D
【分析】首先根据等腰三角形的性质证得△AEG≌△DGF，从而得到AE=DG=２，AG=DF=３，从而求得CF的长度，然后利用梯形面积公式求解．
解：∵△GEF为等腰直角三角形，
∴GE=GF，∠EGF=90°，
∴∠AGE+∠DGF=90°，
又∵在长方形中∠AEG+∠AGE=90°，
∴∠AEG=∠DGF，
∴△AEG≌△DGF，
∴AE=GD，AG=DF，
∵AB=4，AD=5，E为AB的中点，点F，G分别在CD，AD上，
∴BE=AE=GD=2，AG=DF=3，
∴CF=1，
∴四边形的面积为
故选：D

7．D
【分析】本题考查矩形的性质，等腰三角形的性质．根据，可以求得的度数，再根据矩形的性质和三角形内角和，即可得到的度数．
解：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
即的度数为，
故选：D．
8．D
【分析】根据题意可知AD平分∠CAO，过D点作DE⊥AC于点E，利用角平分线的性质可知OD=OE，利用等面积法即可求出结果．
解：过D点作DE⊥AC于点E，如图所示，
∵AD平分∠CAO，
∴DO=DE，
∵点B的坐标为，
∴OA=4，OC=3，
∴，
∴，
∴，
∴OD=，
∴D点坐标为（0，），
故选：D．
9．D
【分析】本题主要考查了角平分线的性质，含30度角直角三角形的性质，直角三角形性质，解题的关键是熟练掌握直角三角形斜边中线等于斜边的一半．根据角平分线的性质得出，，根据含30度角直角三角形的性质，得出，最后得出．
解：∵平分，，
∴，
∵，，，
∴，，
∴，
∵点M是的中点，
∴．
故选：D．
10．A
【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，矩形的性质与判定，先根据三角形中位线定理可得，，，从而可得，再根据平行四边形的判定可得四边形是平行四边形，然后根据平行线的性质可得，根据矩形的判定可得平行四边形是矩形，最后利用矩形的面积公式求解即可得．
解：点分别是，的中点，且，
，
同理可得：，，
，
四边形是平行四边形，
，
，
又，
，
平行四边形是矩形，
∴四边形的面积是，
故选：A．
二、填空题
11．57.5．
【分析】根据矩形的性质由∠ADF求出∠CDF，再由等腰三角形的性质得出∠ECD即可．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=90°，
∵∠ADF=25°，
∴∠CDF=∠ADC﹣∠ADF=90°﹣25°=65°，
∵DF=DC，
∴∠ECD=，
故答案为：57.5．
12．24
【分析】根据矩形的性质和三角形中线的性质，求解即可．
解：连接，
是的中线，的面积为，
，
又∵矩形与同底等高，
矩形的面积．
故答案为：．
13．（﹣2，4）
【分析】作AM⊥x轴于M，CN⊥y轴于N，则∠AMO＝∠BNC＝90°，OM＝2，AM＝1，OB＝5，证明△BCN≌△AOM（AAS），得出BN＝AM＝1，CN＝OM＝2，得出ON＝OB﹣BN＝4，即可得出答案．
解：作AM⊥x轴于M，CN⊥y轴于N，如图所示：
则∠AMO＝∠BNC＝90°，
∴∠AOM+∠OAM＝90°，
∵A（2，1），B（0，5），
∴OM＝2，AM＝1，OB＝5，
∵四边形OABC是矩形，
∴BC＝AO，∠AOC＝90°，BC∥OA，
∴∠CBN＝∠AOB，
∵∠AOM+∠AOB＝90°，
∴∠CBN＝∠AOB＝∠OAM，
在△BCN和△AOM中， ，
∴△BCN≌△AOM（AAS），
∴BN＝AM＝1，CN＝OM＝2，
∴ON＝OB﹣BN＝4，
∴点C的坐标是（﹣2，4）；
故答案为（﹣2，4）．
14．3
【分析】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线性质是解题的关键．先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可以得到的长，然后利用三角形的中位线求出长，再利用解题即可．
解：∵，点D是的中点，
∴，
∵D、E分别是，的中点，
∴，
∴，
故答案为3．
15．（答案不唯一）
【分析】依据矩形的判定定理进行判断即可．
解：∵四边形为平行四边形，
∴当时，四边形为矩形．
故答案为（答案不唯一）．
16．
【分析】此题考查矩形的性质、等腰三角形的判定和性质以及勾股定理，延长交于F，根据已知条件得到，根据矩形的性质得到，，根据余角的性质得到，进一步推出，根据勾股定理即可得到结论．
解：延长交于点F，如图，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，解得．
故答案为：．
17．2
解：∵DE=AB=CD=3，
∴△CDE是等腰直角三角形．
作点N关于EC的对称点N'，则点N'在直线CD上，连接PN'，如图：
∵PM+PN=4．∴PM+PN'=4=BC，即MN'=4，
此时M，P，N'三点共线且MN'∥BC，∴四边形MBCN'是矩形，
∴BM=CN'，∠PN'C=90°．
∵BM=BN，CN=CN'，
∴BN=CN=BC=2，
∴PM=PN'=2，∴PC=2．
18．
【分析】本题考查翻折变换，等边三角形的判定和性质，含30度的直角三角形的性质；首先证明是等边三角形，根据含30度角的直角三角形的性质得出，证明，根据，即可求解．
解：四边形是矩形，
，，
由翻折性质可知：，，
，
是等边三角形，
，
，，则
,，
，
故答案为：6．
三、解答题
19．
解：（1）证明：四边形是平行四边形，
．
是等边三角形，
，
，
四边形是矩形．
（2）解：四边形是矩形，
．
是等边三角形，
，则，
．
20．
解：（1）证明：∵，
∴，
∵D为斜边的中点，F为中点，
∴是的中位线，
∴，
∴，
∴，
∴为的角平分线；
（2）解：∵D为斜边的中点，F为中点，，
∴，
∵，
∴，
在中，D为斜边的中点，
∴．
21．
解：（1）解:根据平行四边形性质与判定,矩形的判定,选择①（或②）,选择其中一个序号填写即可．
（2）解:证明:若选①判定如下:
∵四边形是平行四边形,
∴,,,
∵,
∴在和中,
,
∴,
∴,
∵,
∴为平行四边形,
∵,
∴为矩形;
若选②判定如下:
解:∵四边形是平行四边形,
∴,
∵,
∴为平行四边形,
∵,
∴为矩形．
22．
解：（1）证明：∵，
∴四边形是平行四边形．
∵，
∴四边形是矩形．
（2）证明：∵四边形是矩形，
∴，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
23．
解：（1）证明：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
∴．
（2）结论：．
由（1）可得．
作于点F，
又，
∴，
∵点是的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴．
24．
（1）解：∵
∴点的坐标为
故答案为：
（2）解：由题意得：
∴
设，则
在中：
解得：
∴点
（3）解：由题意得可得：
设点
为对角线，则有：
解得：
故
为对角线，则有：
解得：
故
为对角线，则有：
解得：
故
综上所述：