人教版八年级数学下册 18.2.2菱形（含解析）

18.2.2菱形
一、单选题
1．在菱形中，对角线，相交于点O，下列说法错误的是（　　）
A． B． C． D．
2．如图，菱形中，，则菱形的面积为（　　）
A．48 B．40 C．24 D．20
3．如图，四边形的对角线，相交于点O，，且，则添加下列一个条件能判定四边形是菱形的是（　　）
A． B． C． D．
4．如图，菱形中，过顶点作交对角线于点，已知，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，四边形为菱形，已知．则点C的坐标是（　　）
A． B． C． D．
6．如图，，以点为圆心，为半径画弧交，于点，；分别以点，为圆心大于为半径画弧，两弧交于点；以点为顶点作，射线与交于点，连接；则四边形的面积为（ ）

A． B． C． D．
7．如图，在平行四边形ABCD中，于点，于点，若，，则的长为（ ）

A．2 B． C．3 D．
8．已知四边形是菱形，相交于点O，下列结论正确的是（ ）
A． B．菱形的面积等于
C．平分 D．若，则四边形是正方形
9．如图，菱形中，，是边上的点，沿折叠，点恰好落在上的点，那么的度数是（ ）

A． B． C． D．
10．如图，在菱形中，，，点E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则的最小值为（ ）
A．2 B． C．4 D．
二、空题
11．如图，在菱形中，对角线与相交于点，已知，，则的长为 ．

12．如图，在菱形中，过点作，交对角线于点，若，则点到的距离是 ．
13．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，，．若，，则四边形OCED的面积为 .
14．如图，在菱形中，，，交于点，为的中点，连接并延长，交于点，点为的中点，连接，则 ．
15．如图，在菱形中，直线分别交．．于点．和．且，连接．若，则= ．
16．如图，在平行四边形中，，，，分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，过，两点作直线，与交于点，与交于点，连接，，则四边形的周长为 ．
17．如图，在中，，，，点从点出发，沿方向以每秒的速度向终点运动；同时，动点从点出发沿方向以每秒的速度向终点运动，将 BPQ沿翻折，点的对应点为点，设点、运动的时间为秒，要使四边形为菱形，则的值为 秒.
18．如图，将一张矩形纸片沿着对角线向上折叠，顶点C落到点E处，交于点F．过点D作，交于点G，连接交于点O，，，则 ．

三、解答题
19．已知
（1）化简；
（2）如图，在菱形中，，对角线，若的周长为，求的值
20．如图，已知菱形，，E、F分别是、的中点，连接、．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，求菱形的面积．
21．如图，在四边形中，，，对对角线，交于点O，平分，过点C作，交的延长线于点E，连接．
（1）求证：四边形是菱形．
（2）若，，求的长．
22．已知：如图1，四边形是平行四边形，点、在对角线所在直线上，且．
（1）求证：；
（2）如图2，连接、，若平分，四边形是什么特殊的四边形 请说明理由．
23．如图，在矩形中，．
（1）在图①中，P是上一点，垂直平分，分别交边于点E、F，求证：四边形是菱形；
（2）若菱形的四个顶点都在矩形的边上，当菱形的面积最大时，菱形的边长是 ．
24．如果我们身旁没有量角器或三角尺，又需要作60°，30°，15°等大小的角，该怎么办呢？
小西进行了以下操作研究（如图1）：
第1步：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平．
第2步：再次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到了线段BN．
小雅在小西研究的基础上，再次动手操作（如图2）：
将MN延长交BC于点G，将△BMG沿MG折叠，点B刚好落在AD边上点H处，连接GH，把纸片再次展平．
请根据小西和小雅的探究，完成下列问题：
①直接写出BE和BN的数量关系：　 ；
②根据定理：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角是30°，请求出∠ABM的度数；
③求证：四边形BGHM是菱形．
答案：
一、单选题
1．D
【分析】本题主要考查了菱形的性质，解题的关键是掌握菱形四边相等，对角线互相垂直平分，据此即可解答．
解：∵四边形是菱形，
∴，，，
∴，
而与不一定相等，故A、B、C正确，不符合题意；D不正确，符合题意．
故选：D．
2．C
【分析】本题考查了菱形的性质，根据菱形对角线垂直即可解答，熟知菱形的面积等于对角线相乘除以2，是解题的关键．
解：，四边形是菱形，
菱形的面积=，
故选：C．
3．B
【分析】根据菱形的判定方法分别对各个选项进行判定，即可得出结论．
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
当时，四边形是矩形；故选项A不符合题意；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形为菱形，故选项B符合题意；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是矩形；故选项C不符合题意；
当时，不能判定四边形为菱形；故选项D不符合题意．
故选：B．
4．D
【分析】先说明ABD=∠ADC=∠CBD，然后再利用三角形内角和180°求出即可∠CBD度数，最后再用直角三角形的内角和定理解答即可.
解：∵菱形ABCD
∴AB=AD
∴∠ABD=∠ADC
∴∠ABD=∠CBD
又∵
∴∠CBD=∠BDC=∠ABD=∠ADB=（180°-134°）=23°
∴=90°-23°=67°
故答案为D.
5．C
【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理．先根据点和点的坐标得出，，再根据勾股定理求出，最后根据菱形的性质得出，即可解答．
解：∵．
∴，，
∴，
∵四边形为菱形，
∴，，
∵C点在第三象限，
∴．
故选：C．
6．B
【分析】根据题意可得是的角平分线，可判定四边形是菱形，如图所示，过点作于点，可求出的长，根据即可求解．
解：根据作图可知，是的角平分线，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴四边形是平行四边形，且，
∴平行四边形是菱形，
如图所示，过点作于点，

∵四边形是菱形，，
∴，，
∴，，
∴在中，，，
∴，
故选：．
7．D
【分析】首先判定四边形是菱形，利用面积求出，利用勾股定理求出，再次利用面积可得结果．
解：在中，，
∴四边形是菱形，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
故选：D．
8．C
【分析】本题考查了菱形的性质，熟记相关结论是解题关键．
解：如图所示：
∵菱形的对角线互相垂直平分，
∴
不一定成立，故A错误；
菱形的面积，
故B错误；
∵菱形的对角线平分一组对角，
∴平分，故C正确；
∵菱形的对角线互相垂直平分，
∴显然成立，
故D错误；
故选：C．
9．B
【分析】已知四边形是菱形，根据菱形的性质可得，，，平分，再由，即可得；根据折叠可得，可得，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可得答案．
解：∵四边形是菱形，
∴，，
∴，平分，
∵，
∴，，
根据折叠可得，则，
∴．
故选B
10．B
【分析】由题意得：B关于的对称点D，连接交于点P，则就是的最小值，求出即可．
解：连接交于点P，连接，
由菱形的对角线互相垂直平分，可得B、D关于对称，则，
，
，
是等边三角形，
，
（等腰三角形三线合一的性质），
∴为的最小值，
在中，
，
即的最小值是；
故选：B．
二、填空题
11．
【分析】由菱形的性质可得，，由勾股定理可求，即可求解．
解：∵四边形是菱形，，，
∴，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
12．．
【分析】直接利用菱形的性质结合全等三角形的判定与性质得出 AE = CE ，即可得出答案．
解：
如图所示：连接 EC，
∵四边形ABCD 是菱形，
∴BD 平分∠ABC ， AB = BC ，
在△ABE 和△CBE中，
，
∴△ABE≌△CBE （ SAS ），
∴∠BAE =∠BCE =90°，
则 AE = CE =．
故答案为：．
13．
【分析】连接OE，与DC交于点F，由四边形ABCD为矩形得到对角线互相平分且相等，进而得到OD=OC，再由两组对边分别平行的四边形为平行四边形得到OCED为平行四边形，根据邻边相等的平行四边形为菱形得到四边形OCED为菱形，得到对角线互相平分且垂直，求出菱形OCED的面积即可．
解：连接OE，与DC交于点F，
∵四边形ABCD为矩形，
∴OA=OC，OB=OD，且AC=BD，即OA=OB=OC=OD，AB=CD，
∵OD∥CE，OC∥DE，
∴四边形ODEC为平行四边形，
∵OD=OC，
∴四边形OCED为菱形，
∴DF=CF，OF=EF，DC⊥OE，
∵DE∥OA，且DE=OA，
∴四边形ADEO为平行四边形，
∵AD=，AB=2，
∴OE=，CD=2，
则S菱形OCED=OE DC=××2=．
故答案为．
14．
【分析】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形中位线，由菱形的性质可得，，，由勾股定理计算出，由三角形中位线定理可得，，证明可得，再由，即可得到答案，熟练掌握相关知识并灵活运用是解此题的关键．
解：∵四边形是菱形，，，
∴，，，
在中，由勾股定理，得，
∵点为的中点，
∴是 CAF的中位线，
∴，，
∴，，
∵为的中点，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
15．
【分析】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握菱形的性质是本题的关键．先证，可得，由等腰三角形的性质可得，即可求解．
解：∵四边形是菱形，
∴，，，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，且
∴，
故答案为：25．
16．26
【分析】根据作图可得，且平分，设与的交点为O，证明四边形为菱形，证明为的中线，然后勾股定理求得，利用菱形的性质即可求解．
解：如图，设与的交点为O，
根据作图可得，且平分，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵垂直平分，
∴，
∴四边形是菱形，，
∵，
∴，
∴，
∴E为的中点，
中，，，
∴，
∴四边形的周长为．
故答案为：26．
17．4
【分析】利用菱形的性质得出，再利用等边三角形的判定方法得出是等边三角形，进而利用求出即可．
解：要使四边形为菱形，则，
，，
，
当四边形为菱形，此时是等边三角形，
，
设秒时，则，
解得：，即的值为4．
故答案为：4．
18．
【分析】首先依据两直线平行内错角相等及折叠证明，从而可得到，然后证明四边形是菱形，根据折叠特性设 ， 再由勾股定理得到，解得x的值，再根据勾股定理，即可解答．
解：由折叠的性质可知：
∵，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形；
∵，，
∴，
∴．
假设 ，
∴．
∴在直角中，，即，
解得，
即，
∴，
∴．
三、解答题
19．（1）；（2）
【分析】（1）先计算分式的减法，再把除法化为乘法运算，约分后可得结果；
（2）利用菱形的性质先求解a的大小，再代入求值即可．
（1）解：；
（2）∵四边形是菱形，
∴，
∵的周长为，，
∴，
∴，
∴，
当时，．
20．
解：（1）证明：∵四边形是菱形，
∴，
又∵，
∴是等边三角形，
∵E是的中点，
∴，
∴，
∵E、F分别是、的中点，
∴，，
∵四边形是菱形，
∴且，
∴且，
则四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是矩形；
（2）∵是等边三角形，，
∴．
21．
解：（1）证明：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴平行四边形是菱形；
（2）解：∵四边形是菱形，对角线，交于点O，
∴，，，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴，
在中，，O为中点，
∴．
22．
解：（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
在和中，
，
；
（2）解：四边形是菱形，理由如下：
如图，连接交于点，
，
，，
∴，
四边形是平行四边形，
平分，
，
，
，
四边形是菱形，
23．
解：（1）证明∶如图1中，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形．
（2）解∶如图2中，当P与C重合时，菱形面积最大．
设，
在 中，，
∴，
∴，
∴．
故答案为： ．
24．
①解：∵对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，
∴BE＝ AB，
∵再次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到了线段BN．
∴AB＝BN，
∴BE＝ BN；
②解：∵由折叠的性质得：∠BEN＝∠AEN＝90°，
∵BE＝BN，
∴∠BNE＝30°，
∴∠ABN＝60°，
由折叠的性质得：∠ABM＝∠ABN＝30°；
③证明：由②得∠ABM＝30°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠ABC＝90°，
∴∠AMB＝∠BMN＝60°，∠MBG＝60°，
∴△BMG是等边三角形，
∴BM＝BG，
由折叠得BM＝MH，BG＝GH，
∴BM＝MH＝BG＝GH，
∴四边形BGHM是菱形．