人教版八年级数学下册 18.2.1 矩形同步测试（含解析）

18.2.1 矩形
一、单选题
1．有一个内角是直角的四边形的边长，，，，那么下列结论错误的是（ ）
A．四边形的对角线互相平分 B．四边形的对角相等
C．四边形的对角线互相垂直 D．四边形的对角线相等
2．如图，在矩形中，E、F为AC上一点，，，连接、，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
3．在四边形中，，分别平分，点F为的中点，连接，则下列结论中，一定成立的是（ ）

A． B． C． D．
4．如图，长方形OABC中，点A在y轴上，点C在x轴上．，．点D在边AB上，点E在边OC上，将长方形沿直线DE折叠，使点B与点O重合．则点D的坐标为（ ）
A． B． C． D．
5．图1是某品牌畅销的冰箱，图2是它的侧面矩形示意图，对角线米，高与宽的长度比为，则冰箱的宽的长度为（　　）
A．0.5米 B．0.6米 C．0.7米 D．0.8米
6．如图，在中，，点D为中点．，绕点D旋转，分别与交于E，F两点．下列结论中错误的是（ ）
A． B．
C． D．始终为等腰直角三角形
7．如图，在矩形中，对角线、相交于点，，平分交于，以为边向矩形内作等边三角形，连接．的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在中，的平分线交于点，点分别是上的动点，若的最小值为3，则的长是（ ）
A．3 B． C． D．6
9．如图，在中，，由图中的尺规作图痕迹得到的射线与交于点E，点F为的中点，连接，若，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
10．三国时期，我国数学家赵爽创造了一副“勾股图方图”，证明了勾股定理，它由4个全等的直角三角形拼成一个大正方形和一个小正方形，如图大正方形的面积为5，小正方形的面积为1，分别取和的中点M，N，连接，则的长为 （　　）

A． B．2 C． D．3
二、填空题
11．已知，矩形，点在边上，点在边上，连接、交于点．若，，，．则 ．
12．如图是一个矩形，在上各取一点G、H，使得，再取的中点E、F．连接，已知，，则四边形的面积为 ．
13．如图，在矩形中，对角线相交于点，垂足为，则的值为 ．
14．如图，直线l1⊥l3，l2⊥l3，垂足分别为P、Q，一块含有45°的直角三角板的顶点A、B、C分别在直线l1、l2、线段PQ上，点O是斜边AB的中点，若PQ等于，则OQ的长等于 ．
15．在芯片制作过程中，需要对cm，cm的矩形区域进行划区处理，划成如图所示的“”的形式，其中为竖式矩形，为横式矩形，则芯片被利用区域的长AG的值为 cm．
16．如图，在矩形中，点E在边上，沿折叠得到，且点B，F，E三点共线，连接，若，，则 ， ．
17．如图，长方形中，，点E为射线上一动点（不与点D重合），将 ADE沿翻折得到，连接，若为直角三角形，则的长为 ．
18．如图，在等腰直角三角形中，，内取一点，且，，则＝ ．

三、解答题
19．如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在，上，，．
（1）求证：四边形是矩形；
（2），，，求的长．
20．图所示，四边形是长方形，点在边上，以为折痕，将向上翻折，点恰好落在边上的点处，已知长方形的周长.
若长为，则点坐标可表示为 ；
若点坐标为， 求点和点的坐标.
21．如图，在平行四边形 中，，过点 作交 的延长线于点 ，连接 交 于点 ．
（1）求证：四边形 是矩形；
（2）连接 ，若 ，求 的长．
22．课本再现：
（1）定理 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
已知：如图1，在中，，是边上的中线．
求证：．
证明：如图1，延长到点，使得，连接．
……
请把证明过程补充完整．
知识应用：
（2）如图2，在中，是边上的高，是边上的中线，是的中点，连接并延长交于点，连接．求证：．
23．综合与实践：
问题情景：如图，在平行四边形ABCD中，为对角线，的交点，，，，为上一动点，连接并延长交于点．
独立思考：（1）当时，求的度数；
实践探究：（2）当四边形为平行四边形时，求的长；
问题解决：（3）当点在的垂直平分线上时，直接写出的长．
答案：
一、单选题
1．C
【分析】根据已知条件判断出平行四边形，再根据有一个角是直角判断矩形，最后根据矩形的性质判断正确选项即可．
解：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵有一个内角是直角，
∴四边形是矩形，
∴对角线互相平分，对角相等，对角线相等，故A，B，D正确，不合题意；
对角线不一定互相垂直，故C错误，符合题意；
故选C．
2．B
【分析】先证明，即可得出，再根据矩形的性质得出，最后根据等边对等角即可求解．
解：∵，
∴，即，
∵四边形为矩形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
3．D
【分析】本题考查了直角三角形斜边中线，两直线平行，同旁内角互补，全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点是解题的关键，根据题意，作辅助线，在上截取，连接，由题意可得出，故，根据题意判定与，进一步推论出即可．
解：在上截取，连接．
∵，分别平分，
∴，
∴，
∵点F为的中点，
∴，
由题意可知，
，
∴，
∵，
∴，
同理可得：，
∴，
∴．
故选：D．

4．C
【分析】设AD=x，在Rt△OAD中，据勾股定理列方程求出x，即可求出点D的坐标．
解：设AD=x，由折叠的性质可知，OD=BD=8-x，
在Rt△OAD中，
∵OA2+AD2=OD2，
∴42+x2=（8-x）2，
∴x=3，
∴D，
故选C．
5．B
【分析】根据题意设米，则米，然后利用勾股定理构建方程求出a的值即可．
解：∵四边形是矩形，
∴，
设米，则米，
在中，由勾股定理得：，
解得：（负值已舍去），
∴（米），
故选：B．
6．B
解：连接，
∵是等腰直角三角形，且D为斜边的中点，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴
∴．
故A选项中的结论正确．
∵，
∴，
即．
∴，
又∵，
而与不一定相等，
∴不一定等于．
故B选项中的结论错误．
在中，
∴．
故C选项中的结论正确．
∵ EDC≌ FDB，
∴，
又∵，
∴是等腰直角三角形．
故D选项中的结论正确．
故选：B．
7．C
【分析】本题考查矩形的性质，等边三角形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形．过作于，推出是等边三角形，令，则，得到，由勾股定理求出，由和是等腰直角三角形，据此求解即可．
解：过作于，
四边形是矩形，
，，，，，
，
，
，
是等边三角形，
，
令，则，
，
，
平分，
，
是等腰直角三角形，
，
，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
∵ DHF是等腰直角三角形，
，
．
故选：C．
8．D
【分析】本题考查了轴对称图形的性质、直角三角形的特征、全等三角形的判定及性质，作点P关于直线的对称点，连接交于点Q，根据轴对称图形的性质及全等三角形的性质得点在边上，结合的最小值为3和直角三角形的特征即可求解．
解：作点P关于直线的对称点，连接交于点Q，如图：
则，
∵根据对称的性质知，
∴，
又∵是的平分线，点P在边上，点Q在直线上，
∴，
∴，
∴点在边上．
∵当时，线段最短．
∵的最小值为3，即最短
∵在中，
∴
故选D
9．D
【分析】本题考查了等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理、尺规作图等知识．由题意得是的平分线，再由等腰三角形的性质得，，由勾股定理得，然后由直角三角形斜边上的中线性质得，据此求解即可．
解：由图中的尺规作图得：是的平分线，
∵，
∴是等腰三角形
∴，，
∴，
∴
∵点F为的中点，
∴，
∴的周长，
故选：D．
10．C
【分析】设4个全等的直角三角形中较短的直角边长为x，根据勾股定理解求出x的值，作交的延长线于点K，易证四边形是矩形，再用勾股定理解即可．
解：大正方形的面积为5，小正方形的面积为1，
，，
设4个全等的直角三角形中较短的直角边长为x，即，
则，
在中，由勾股定理得：，
，
解得，
，
M，N分别是和的中点，
，．
如图，作交的延长线于点K，

则，
四边形是矩形，
，，，
，
，
故选C．
二、填空题
11．6
【分析】过点作，垂足为，交于点H，证明，得出是等腰直角三角形，进而得出四边形是平行四边形，即可求解．
解：如图所示，过点作，垂足为，交于点H，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，，，
∴,
∴
∴,，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
故答案为：6．
12．
【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、矩形的判定与性质等知识点，根据题意可得、为等边三角形，结合E、F为的中点可推出四边形为矩形，据此即可求解．
解：∵，，
∴
∵
∴、为等边三角形，
∴，
∵E、F为的中点，
∴垂直平分，垂直平分，，
∴
∴四边形为矩形，
又，
∴
∴，，
∴四边形的面积为：。
故答案为：
13．
【分析】本题考查矩形的性质，等边三角形的判定和性质．根据矩形的对角线相等且平分，以及到线段两端点的距离相等的点在线段的中垂线上，得到为等边三角形，利用30度角的直角三角形的性质和勾股定理进行求解即可．
解：∵矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
14．
【分析】由“AAS”可证△ACP≌△CBQ，可得AP＝CQ，PC＝BQ，由“AAS”可证△APO≌△BHO，可得AP＝BH，OP＝OH，由等腰直角三角形的性质和直角三角形的性质可求解．
解：如图，连接PO，并延长交l2于点H，
∵l1⊥l3，l2⊥l3，
∴l1∥l3，∠APC＝∠BQC＝∠ACB＝90°，
∴∠PAC+∠ACP＝90°＝∠ACP+∠BCQ，
∴∠PAC＝∠BCQ，
在△ACP和△CBQ中，
，
∴△ACP≌△CBQ（AAS），
∴AP＝CQ，PC＝BQ，
∴PC+CQ＝AP+BQ＝PQ＝，
∵AP∥BQ，
∴∠OAP＝∠OBH，
∵点O是斜边AB的中点，
∴AO＝BO，
在△APO和△BHO中，
，
∴△APO≌△BHO（AAS），
∴AP＝BH，OP＝OH，
∴BH+BQ＝AP+BQ＝PQ，
∴PQ＝QH＝，
∵∠PQH＝90°，
∴PH＝PQ＝12，
∵OP＝OH，∠PQH＝90°，
∴OQ＝PH＝6．
故答案为：6
15．
【分析】根据已知条件cm，，求得cm，由图知（cm），，于是得到cm，即可得到结论．
解：∵cm，，
∴cm，
∵（cm），，
∴cm，
∴（cm），
故答案为：．
16．
【分析】本题考查勾股定理，矩形的性质，折叠的性质，掌握矩形的性质是解题的关键．设交于H，，，根据勾股定理得到，，解得，，然后根据三角形的面积求出解题即可．
解：设交于H，如图：
设，，
∵沿折叠得到，
∴，，
∵，
∴，
在中，，
∴①，
在中，，
∴②，
①②联立解得，或（舍去），
∴，，
∴；
，
∵沿折叠得到，
∴，，
∴，
∴，
∴；
故答案为：，．
17．8或
【分析】本题考查折叠的性质，长方形的性质，勾股定理，解题的关键是正确进行分类讨论．分为两种情况，一种是点在线段上，另一种是点在的延长线上，利用勾股定理分别求解即可．
解：∵将沿翻折得到，
∴，，
①如图1，当点在线段上时，
，
，，三点共线，
，
，
，
；
②如图2，当点在的延长线上时，
，，，
，
设，则，
，
，
，
解得，
，
综上，的值为8或．
故答案为：8或．
18．
【分析】过点作与点，作于点，可得四边形是矩形，有，，进而求得，，在中，根据勾股定理得出，从而得出含有、的式子，得出，即可求得．
解：如图：过点作与点，作于点，可得矩形，有，，
，，
，
，中，，，
，
．
，
中，，
，
，
，
．
，
．
故答案为：．

三、解答题
19．
解：（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴平行四边形是矩形；
（2）解：由（1）知四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
由勾股定理得：，
又∵，
∴，
∴，
∴．
20．
解：∵长方形的周长，长为
∴BC=OA=x，AB=8-x
∴B
故答案为：
∵A（5，0）
∴OA=BC=5，
∴AB=OC=3
∴B（5,3）
由折叠可知：AE=OA=5，DE=OD
在中，由勾股定理得，
∴CE=1
故
设，则，在中，
∴
解得，
故.
21．
解：（1）证明：，
，
，
，
四边形是平行四边形，点E在的延长线上，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形；
（2）四边形是矩形，四边形是平行四边形，
∴AE=CD=AB，，，
，
是等边三角形，
，，
∴∠AFB=900，，
，
的长是．
22．
解：（1）是边上的中线，
．
，
四边形是平行四边形．
，
四边形是矩形．
．
，
．
（2）如图，连接．
是边上的高，是边上的中线，
，是的中点．
．
，
．
．
是的中点，
．
是线段的垂直平分线．
．
23．
解：（1），，
，
，
．
答：的度数为．
（2），
，，
，
∵BD、为对角线，
，
，
，
，
四边形为平行四边形，
，
，
∵∠DBA=300，，，
，
．
（3）如图，连接，，过点作垂线，

，，
四边形为平行四边形，
在线段垂直平分线上，
，
，
四边形为矩形，
，
，
，，
．