重难点11 带电粒子在组合场、叠加场交变电磁场中的运动
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带电粒子在组合场、叠加场交变电磁场中的运动 2024：安徽卷、广东卷、甘肃卷、新课标卷、黑吉辽卷、湖南卷、湖北卷 2023：海南卷、辽宁卷、江苏卷、山东卷 2022：广东卷、湖南卷、湖北卷、山东卷 带电粒子在组合场、叠加场交变电磁场中的运动 立体空间模型
【课标要求】
1.会分析和处理带电粒子在组合场中运动的问题。
2.知道带电粒子在复合场中几种常见的运动，掌握运动所遵循你的规律。
3.掌握带电粒子在交变电、磁场运动问题的分析方法，熟悉带电粒子运动的常见模型。
【高分技巧】
带电粒子在场中无约束情况下，常见的几种情况：
①电场力、重力并存——电场力+重力＝F等效（恒力）
静止或匀速直线运动←→ F电＝mg且方向相反（即F等效＝0）；
匀加/减速直线运动←→ F等效≠0且与v共线；
匀变速曲线运动←→ F等效≠0且与v不共线；
无圆周运动
②磁场力、重力并存
匀速直线运动←→ F洛＝mg且方向相反（或F洛＝F电且方向相反），运动方向与F洛垂直；
变加速曲线运动（复杂曲线），因洛伦兹力不做功，故机械能守恒
无静止、无匀变速直线运动、无匀变速曲线运动、无匀速圆周
②磁场力、电场力并存
匀速直线运动←→ F洛＝mg且方向相反（或F洛＝F电且方向相反），运动方向与F洛垂直；
变加速曲线运动（复杂曲线），可用动能定理求解。
无静止、无匀变速直线运动、无匀变速曲线运动、无匀速圆周
③磁场力、电场力、重力并存
静止←→F电＝mg且方向相反，且F洛＝0；
匀速直线运动←→ F电、mg、F洛三力平衡；
匀速圆周运动←→F电＝mg且方向相反，且F洛＝Fn；
变加速曲线运动（复杂曲线），可用能量守恒定律或动能定理求解。
无匀变速直线运动、无匀变速曲线运动
一、单选题
1．（2024·安徽芜湖·一模）如图所示，氕、氘、氚三种核子分别从静止开始经过同一加速电压（图中未画出）加速，再经过同一偏转电压偏转，后进入垂直于纸面向里的有界匀强磁场，氕的运动轨迹如图。则氕、氘、氚三种核子射入磁场的点和射出磁场的点间距最大的是（ ）
A．氕 B．氘 C．氚 D．无法判定
【答案】C
【知识点】粒子由电场进入磁场
【详解】设核子的质量为m，带电量为q，偏转电场对应的极板长为L，板间距离为d，板间电场强度为E，进入偏转电场的速度为v0，进入磁场的速度为v，在偏转电场的侧移量为y，速度偏转角为。核子在加速电场运动过程，由动能定理得
核子在偏转电场做类平抛运动，将运动沿极板方向和垂直极板方向分解。沿极板方向做匀速直线运动，则有
垂直极板方向做匀加速直线运动，则有
由牛顿第二定律得
联立解得
速度偏转角的正切值为
可见核子在偏转电场的侧移量y与速度偏转角均与核子的质量和带电量无关，故三种核子进入磁场的位置和速度方向均相同。进入磁场的速度
核子在匀强磁场只受洛伦兹力而做匀速圆周运动，轨迹如图所示
由牛顿第二定律得
由几何关系可得，射入磁场的点和射出磁场的点间距s为
联立解得
对于氕、氘、氚三种核子电荷量相等，质量越大，两点间的距离越大，氚核的最大，C正确。
故选C。
2．（2024·广东·三模）如图所示，在，区域内有竖直向上的匀强电场，在x>x0区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，从y轴上0~y0范围内平行于x轴正方向射出大量质量为m、电荷量为+q、分布均匀的带电粒子，粒子射入的初速度均为v0，当电场强度为0时，从O点射入的粒子恰能运动到N（x0，y0）点，若电场强度为，MN右侧是粒子接收器，MN的长度为y0，不计粒子重力和粒子间的相互作用，则（ ）
A．磁感应强度的大小为
B．从处射入的粒子，恰好从N点进入磁场
C．从处射入的粒子，在磁场中偏转距离最大
D．接收器接收的粒子数占粒子总数的50%
【答案】D
【知识点】粒子由电场进入磁场
【详解】A．当电场强度为0时，从O点射入的粒子恰能运动到N点，则
根据洛伦兹力提供向心力有
解得
故A错误；
B．若粒子从处射入，则
联立解得
由此可知，粒子从N点下方进入磁场，故B错误；
C．设粒子进入磁场中时速度方向与竖直方向的夹角为θ，粒子进入磁场中的速度大小为v，则
所以粒子在磁场中偏转距离为
由此可知，粒子在磁场中偏转距离相等，故C错误；
D．由以上分析可知，粒子在电场中的竖直位移为
所以从处射入的粒子，恰好从N点进入磁场，且恰好经磁场偏转后打在M点，即只有0~范围内平行于x轴正方向射出的粒子能被接收器接收，所以接收器接收的粒子数占粒子总数的50%，故D正确。
故选D。
3．（2024·北京东城·二模）水平放置的M、N两金属板，板长均为L，板间距为d，两板间有竖直向下的匀强电场，场强大小为E，在两板左端点连线的左侧足够大空间存在匀强磁场，磁感应强度的大小为B，方向垂直纸面向里。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子以初速v0紧靠M板从右端水平射入电场，随后从P点进入磁场，从Q点离开磁场（P、Q未画出）。不考虑粒子的重力，下列说法正确的是
A．PQ间距离与E的大小无关
B．PQ间距离与v0的大小无关
C．P点的位置与粒子的比荷无关
D．带电粒子不可能打在N板上
【答案】A
【知识点】粒子由电场进入磁场
【详解】AB．粒子进入磁场时的速度为，进入磁场后粒子在磁场中做圆周运动，偏转后从MN边界离开磁场，则由洛伦兹力充当向心力有
可得
又粒子在电场中做类平抛运动，设粒子进入磁场时的速度与水平方向的夹角为，则有
根据几何关系可得，粒子进入磁场的位置与射出磁场的位置之间的距离为
所以PQ间距离与无关，与有关，故A正确，B错误；
C．根据类平抛运动的规律有，水平方向
竖直方向
加速度
可知
可知P点的位置与粒子的比荷有关，故C错误；
D．题中的值未做明确限制，若，则带电粒子有可能打在板上，故D错误。
故选A。
4．（2024·福建·模拟预测）如图，真空中有区域I和II，区域I中存在匀强电场和匀强磁场，电场方向竖直向下（与纸面平行），磁场方向垂直纸面向里，腰长为L的等腰直角三角形CGF区域（区域II）内存在匀强磁场，磁场方向垂直纸面向外。图中A、C、O三点在同一直线上，AO与GF垂直，且与电场和磁场方向均垂直。A点处的粒子源持续将比荷一定但速率不同的粒子射入区域I中，只有沿直线AC运动的粒子才能进入区域II。若区域I中电场强度大小为E、磁感应强度大小为B1，区域II中磁感应强度大小为B2，则粒子从CF边靠近F的三等分点D射出，它们在区域II中运动的时间为t0.若改变电场或磁场强弱，能进入区域II中的粒子在区域II中运动的时间为t，不计粒子的重力及粒子之间的相互作用，下列说法正确的是（ ）
A．从D点飞出的粒子速度大小为
B．粒子的比荷为
C．若仅将区域I中电场强度大小变为2E，则t > t0
D．若仅将区域II中磁感应强度大小变为，则粒子从GF边出射，出射点距离O点
【答案】D
【知识点】粒子由磁场进入电场、带电粒子在直边界磁场中运动
【详解】A．根据题意可知区域Ⅰ中粒子电场力和洛伦兹力相等，由此可得
解得
粒子在区域Ⅱ中做匀速圆周运动，速度大小不变，故从D点飞出的粒子速度大小为，故A错误；
B．粒子的运动轨迹如图所示
在区域Ⅱ中，粒子受到的洛伦兹力提供向心力，则
根据几何关系可知粒子转过的圆心角为，则
联立可得粒子的比荷为
故B错误；
C．若仅将区域Ⅰ中电场强度大小变为2E，设进入区域Ⅱ中的速度大小为，则
解得
在区域Ⅱ中，粒子受到的洛伦兹力提供向心力，则
解得
则粒子将从GF边离开区域Ⅱ，轨迹的圆心角小于，根据粒子在磁场中的周期公式
由于区域Ⅱ中的磁场不变，粒子的比荷也不变，所以周期不变，根据
因为粒子在区域Ⅱ中做圆周运动的圆心角减小，所以粒子运动时间减小，则
故C错误；
D．若仅将区域Ⅱ中磁感应强度大小变为，设粒子在区域Ⅱ中运动的半径为，根据
解得
则粒子从GF边出射，粒子在区域Ⅱ中的运动轨迹如图所示，由几何关系可得
根据勾股定理有
则出射点与O点的距离
故D正确。
故选D。
5．（2024·辽宁·模拟预测）19世纪末，阿斯顿设计并应用质谱仪测原子核的比荷从而发现了氛和氖，证实了同位素的存在。如图所示，某原子核从容器A下方的小孔飘入电压为U的加速电场，其初速度可视为0，加速后经小孔沿着垂直于磁场且垂直于磁场边界的方向进入匀强磁场中，最后打到照相底片的C点上，测得长度为x，则该原子核的比荷（ ）
A．与x成正比 B．与x成反比 C．与成正比 D．与成反比
【答案】D
【知识点】粒子由电场进入磁场、基于加速电场的质谱仪
【详解】在加速电场中，由动能定理
在磁场中，由洛伦兹力提供向心力
可得长度为
化简可得该原子核的比荷为
故选D。
6．（2024·福建泉州·模拟预测）如图所示，光滑水平地面上放置一足够长且上表面绝缘的小车，将带负电荷、电荷量q=0.5C，质量m=0.02kg的滑块放在小车的左端，小车的质量M=0.08kg，滑块与绝缘小车之间的动摩擦因数μ=0.4，它们所在空间存在磁感应强度为B=1.0T的垂直纸面向里的匀强磁场，开始时小车和滑块静止，突然给小车一个向左的冲量I=0.16N·s，g取10m/s2，那么小车与滑块因摩擦而产生的最大热量为（ ）
A．0.160J B．0.032J C．0.014J D．0.016J
【答案】C
【知识点】带电粒子在叠加场中做直线运动
【详解】开始时小车和滑块静止，突然给小车一个向左的冲量，即
解得
根据左手定则可知，滑块受到的洛伦兹力方向向上，假设二者能够达到共同速度，则
解得
当滑块脱离小车时，有
解得滑块的速度大小为
所以二者不可能达到共速，根据动量守恒定律可得
解得
根据能量守恒定律可得
故选C。
7．（2024·安徽安庆·三模）如图所示，两竖直平行边界PQ、MN间，有正交的匀强电场和匀强磁场，匀强电场方向竖直向下，匀强磁场方向垂直纸面向里．一带电小球从O点以某一速度垂直边界PQ进入该场区，恰好能沿水平方向做直线运动．下列判断正确的是（ ）
A．小球一定带正电
B．若仅改变小球的电性进入该场区，小球进入后仍将做直线运动
C．若仅改变小球的电性进入该场区，小球进入后将立即向下偏转
D．若小球以同样大小速度垂直边界MN进入场区，小球进入后仍将做直线运动
【答案】C
【知识点】带电粒子在叠加场中做直线运动
【详解】A．若小球带正电，则洛伦兹力向上，电场力向下，当满足
此时小球可沿水平方向做直线运动；若小球带负电，则洛伦兹力向下，电场力向上，当满足
小球也可以沿水平方向做直线运动，A错误；
BC．根据上述分析可知，仅改变小球的电性，安培力和电场力的方向都会发生改变，如开始小球带正电，洛伦兹力大于电场力，改变电性后，小球的合力向下；同理，若小球带负电，电场力大于洛伦兹力，改变电性后，合力依然向下，故B错误，C正确；
D．若小球以同样大小速度垂直边界MN进入场区，由于洛伦兹力反向，小球进入后不会做直线运动，D错误。
故选C。
二、多选题
8．（2024·云南·模拟预测）空间存在磁感应强度为B的匀强磁场，磁场方向垂直于平面向里，匀强电场的场强为E、方向沿y轴向下，将一个质量为m、带正电q的粒子从O点由静止释放，粒子的部分运动轨迹如图中曲线所示。出发后粒子第一次到达x轴的坐标为，已知该曲线在最低点的曲率半径为该点到x轴距离的2倍，该粒子运动过程中任意位置的坐标可以表示为，不计粒子的重力，则（ ）
A．该粒子运动过程中任意位置坐标的y值不可能取负值
B．该粒子运动过程中任意位置坐标的x值不可能大于a
C．粒子在运动过程中第一次运动到离x轴最远处时，距离x轴的距离
D．粒子运动过程中的最大速率
【答案】AD
【知识点】带电粒子在叠加场中的一般曲线运动
【详解】AB．粒子从初始位置运动到x轴时电场力做功为0，所以不可能运动到x轴以上位置，即y值不可能取负值；到达x轴的速度为零，所以会再次向下运动，重复前一段的轨迹向前运动，则x值会大于a，故A正确，B错误；
C．粒子第一次运动到距离x轴最远处时洛伦兹力不做功，由动能定理得
解得
在此处有
解得
故C错误；
D．最大速率满足
解得
故D正确。
故选AD。
9．如图所示，在水平匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场中，有一竖直足够长固定绝缘杆MN，小球P套在杆上，已知P的质量为m，电量为+q，电场强度为E、磁感应强度为B，P与杆间的动摩擦因数为 ，重力加速度为g，小球由静止开始下滑直到稳定的过程中（ ）
A．小球的加速度一直减小
B．小球的机械能和电势能的总和保持不变
C．下滑加速度为最大加速度一半时的速度可能是
D．下滑加速度为最大加速度一半时的速度可能是
【答案】CD
【知识点】带电粒子在叠加场中做直线运动
【详解】A．小球静止时只受电场力、重力、支持力及摩擦力，电场力水平向左，摩擦力竖直向上；开始时，小球的加速度应为
小球速度将增大，产生洛仑兹力，由左手定则可知，洛仑兹力向右，故水平方向合力将减小，摩擦力减小，故加速度增大，故A错误；
C．当洛仑兹力等于电场力时，摩擦力为零，此时加速度为g，达到最大；此后速度继续增大，则洛仑兹力增大，水平方向上的合力增大，摩擦力将增大；加速度将减小，故最大加速度的一半会有两种情况，一是在洛仑兹力小于电场力的时间内，另一种是在洛仑兹力大于电场力的情况下，则
解得
故C正确；
D．同理有
解得
故D正确；
B．而在下降过程中有摩擦力做功，故有部分能量转化为内能，故机械能和电势能的总和将减小，故B错误。
故选CD。
10．（2025·陕西宝鸡·一模）医生常用CT扫描机给病人检查病灶，CT机的部分工作原理如图所示。电子从静止开始经加速电场加速后，沿水平方向进入垂直纸面的矩形匀强磁场，最后打在靶上的P点， 产生X射线。已知MN间的电压为U， 磁场的宽度为d， 电子的比荷为k， 电子离开磁场时的速度偏转角为θ， 则下列说法正确的为（ ）
A．偏转磁场的方向垂直纸面向里 B．电子进入磁场的速度大小为
C．电子在磁场中做圆周运动的半径为 D．偏转磁场的磁感应强度大小为
【答案】AC
【知识点】粒子由电场进入磁场
【详解】A．电子经电场加速后进入磁场向下偏转，由左手定则知偏转磁场的方向垂直纸面向里，故A正确；
B．电子加速过程，由动能定理可得
解得
故B错误；
CD．如图所示，电子在匀强磁场中做匀速圆周运动
由洛伦兹力作为向心力可得
由几何关系可得
联立解得半径为
磁感应强度的大小为
故C正确，故D错误。
故选AC。
11．（2024·广西柳州·一模）如图所示，在平面直角坐标系第二象限内有沿y轴正方向的匀强电场，第四象限某正三角形区域内有方向垂直坐标平面向里、磁感应强度大小为的匀强磁场（图中未画出）。现有一质量为m、电荷量为的带电粒子（不计重力），从第二象限内的P点以平行于x轴的初速度射出，并从y轴上M点射出电场，穿过第一象限后，进入第四象限并穿过正三角形区域的磁场，最后垂直于y轴离开第四象限，则（ ）
A．粒子经过M点时速度与y轴负方向的夹角为
B．匀强电场的电场强度大小为
C．正三角形区域磁场的最小面积为
D．粒子从开始运动到第二次到达y轴的最短时间为
【答案】BC
【知识点】粒子由电场进入磁场
【详解】B．带电粒子（不计重力），从第二象限内的P点以平行于x轴的初速度射出，并从y轴上M点射出电场，则有
，
且
联立解得
，
B正确；
A．粒子经过M点时竖直速度
则此时速度与y轴负方向的夹角为
所以
A错误；
C．作出粒子运动轨迹如图：
由几何关系可知
解得
则
，
正三角形区域磁场的最小面积为
C正确；
D．粒子在M点的速度
粒子在第一象限运动的时间
粒子在磁场中的周期
粒子在磁场中的运动时间
所以粒子从开始运动到第二次到达y轴的时间为
D错误。
故选BC。
12．（2024·广东湛江·模拟预测）如图为某粒子收集器的简化图，由加速、偏转和收集三部分组成。辐射状的加速电场区域边界为两个同心平行半圆弧面，圆心为O，外圆弧面AB与内圆弧面CD的电势差为U。足够长的收集板MN平行于边界ACDB，O到MN的距离为L，ACDB和MN之间存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为。现有大量质量为m、电荷量为q的带正电粒子，它们均匀地吸附在外圆弧面AB上，并从静止开始加速。不计粒子重力、粒子间的相互作用及碰撞，若测得这些粒子进入磁场后的运动半径为2L，下列说法正确的是（ ）
A．外圆弧面AB上有的粒子能打在收集板MN上
B．外圆弧面AB上有的粒子能打在收集板MN上
C．外圆弧面AB与内圆弧面CD的电势差
D．若增大外圆弧面AB与内圆弧面CD的电势差，则打在收集板MN的粒子数占比将增大
【答案】AD
【知识点】粒子由电场进入磁场、带电粒子在弧形边界磁场中运动
【详解】AB．如图，由几何关系，得
解得
又
故外圆弧面AB上有
的粒子能打在收集板MN上，故A正确，B错误；
C．粒子加速过程
在磁场中
解得外圆弧面AB与内圆弧面CD的电势差为
故C错误；
D．若增大外圆弧面AB与内圆弧面CD的电势差，进入磁场的速度增大，则粒子在磁场中的半径增大，由
得变小，再由
打在收集板MN的粒子数占比将增大，故D正确。
故选AD。
三、解答题
13．（2025·山东·模拟预测）如图所示，在平面坐标系xOy中，的矩形区域Oabc内存在沿y轴负方向的匀强电场，同时坐标平面内的其他区域分布着垂直于纸面向里的匀强磁场。一个带负电的粒子以速度从坐标原点O沿x轴负方向进入电场，由d点飞出电场，进入磁场后恰好经过b点，已知粒子的质量为m、电荷量为-q，d点为bc边的三等分点，不计粒子的重力。
(1)求匀强磁场的磁感应强度大小；
(2)若改变电场强度的大小和粒子的初速度大小，粒子从原点O沿x轴负方向进入电场，从b点飞出电场后恰好垂直经过y轴。
（i）求改变后的电场强度大小和粒子的初速度大小；
（ii）计算粒子第二次进入电场后能否再次从b点射出电场。
【答案】(1)
(2)（i），；（ii）不能
【知识点】粒子由电场进入磁场
【详解】（1）如图甲所示为粒子的运动轨迹，d点为bc的三等分点，根据类平抛运动规律有
解得
那么粒子在d点的速度大小
设速度与x轴负方向的夹角为，那么
由几何关系有
根据洛伦兹力提供向心力得
联立解得
（2）（i）设粒子在电场中运动的加速度为a，粒子的运动轨迹如图乙所示根据牛顿第二定律有
由几何关系有
、
设粒子从b点飞出电场时的速度与水平方向的夹角为，那么
此时粒子的速度大小为
根据题意，粒子垂直经过y轴，那么在磁场中运动的圆心在y轴上，则有
根据洛伦兹力提供向心力有
联立解得
（ii）设粒子第二次进入电场时的位置为e，与a点的距离为
粒子再次射出电场时在电场中的偏移量为
可知粒子第二次进入电场后，不能从b点射出电场.
14．（2025·广东·模拟预测）如图所示，足够大的挡板固定在平面直角坐标系xOy中，挡板与y轴负方向的夹角，分别交x、y轴于P、Q点，OP长度为l，挡板上有一小孔K，KP的长度为。在区域内存在着垂直于xOy平面的匀强磁场，第一象限和第四象限中除之外的区域内在挡板两侧分别存在着平行于y轴的匀强电场，电场强度大小均为E，方向如图所示。现将质量为m、电荷量为的粒子A由点释放，该粒子恰能垂直挡板穿过小孔K。已知挡板的厚度不计，粒子可以沿任意角度穿过小孔K，碰撞挡板的粒子会被挡板吸收，不计粒子重力及粒子之间的相互作用。
(1)求区域内匀强磁场的磁感应强度大小和方向；
(2)现将质量也为m、电荷量也为的粒子B由第四象限释放，该粒子能以最小速度从小孔K穿过，求粒子B释放点的坐标；
(3)若上述中两粒子A、B穿过小孔K后，分别打在挡板上的M、N点，求M、N两点之间的距离d。
【答案】(1)，方向垂直于纸面向外
(2)
(3)
【知识点】粒子在电场和磁场中的往复运动
【详解】（1）根据几何知识，粒子A垂直穿过小孔K时，粒子A由OP中点射入第一象限，此时磁场中做圆周运动的半径
根据动能定理可得
解得
根据洛伦兹力提供向心力可得
解得
区域内匀强磁场的磁感应强度大小为，方向垂直于纸面向外；
（2）粒子B从小孔K穿过时，圆周运动的最小半径
此时粒子B的速度最小，根据
解得
根据动能定理可得
解得粒子B在匀强电场中运动的竖直位移
粒子B释放点的横坐标
则粒子B释放点的坐标；
（3）两粒子A、B在匀强电场中运动的加速度大小为a，则有
解得
粒子A穿过小孔K后回到挡板时，有
解得
粒子A穿过小孔K后沿挡板方向的位移
解得
粒子B穿过小孔K后回到挡板时，有
解得
粒子B穿过小孔K后沿挡板方向的位移
解得
则M、N两点之间的距离
15．（2024·河南新乡·一模）如图所示，在第一象限有水平向左的匀强电场，在第二象限有垂直纸面向里的匀强磁场，一电荷量为、质量为的带电粒子（不计重力）在距原点距离为处垂直于轴以大小为的初速度进入第一象限，经过一段时间后以偏离原来的方向进入第二象限，再经过一段时间后垂直于轴射出磁场。求：
(1)粒子出电场时的坐标；
(2)匀强磁场的磁感应强度大小；
(3)粒子在电场和磁场中运动的总时间。
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】粒子由电场进入磁场、带电粒子在直边界磁场中运动、带电粒子在匀强电场中做类抛体运动的相关计算
【详解】（1）设带电粒子进入磁场时的速度大小为v，在电场中做类平抛运动，由几何关系得粒子射出电场时的速度大小为
x轴方向
其中
解得
即
故粒子射出电场时的坐标为。
（2）如图所示
由几何关系
可知粒子在磁场中运动的半径为
由洛伦兹力提供向心力
解得
（3）由（1）可知，粒子在电场中运动的时间为
粒子在磁场中运动的时间为
粒子在电场和磁场中运动的时间为
联立解得
16．（2024·河南鹤壁·模拟预测）如图所示，长为的绝缘细线一端固定在O点，另一端连接一质量为、电荷量为的带正电小球，整个区域内有电场强度大小为、方向水平向右的匀强电场，现将小球拉至最高位置并给小球一水平向左的初速度，让小球恰好能在竖直面内做半径为L的圆周运动，PQ为竖直直径，重力加速度g取，，。
(1)求小球运动过程中的最小动能；
(2)求小球电势能最小时细线的张力；
(3)若在某时刻剪断细线，同时在整个区域内加上一个方向垂直纸面的匀强磁场，恰使小球做匀速直线运动，求所加匀强磁场的磁感应强度。
【答案】(1)0.5J
(2)24N，方向水平向左
(3)，方向垂直纸面向外；或，方向垂直纸面向里
【知识点】带电粒子在叠加场中做直线运动、带电物体（计重力）在匀强电场中的圆周运动
【详解】（1）当小球运动到重力与电场力的“等效最高点”时动能最小，此时重力和电场力的合力提供向心力，细线张力为零，有
其中小球受到的电场力
重力
小球的最小动能
（2）由题意可知当小球运动至圆周运动轨迹的最右端时其电势能最小，从“等效最高点”到该处的过程中，由动能定理有
其中θ为重力与电场力的合力与竖直方向的夹角，且
又根据牛顿第二定律有
联立解得
方向水平向左。
（3）由题意可知，剪断细线后，小球沿切线方向做匀速直线运动，小球受到的重力、电场力和洛伦兹力三力平衡，又根据左手定则，小球受到的洛伦兹力沿半径方向，所以剪断细线时，小球的位置应在重力和电场力的“等效最高点”或“等效最低点”。
①当小球的位置在“等效最高点”时，有
由（1）知
解得
方向垂直纸面向外。
②当小球的位置在“等效最低点”时，有
小球从“等效最高点”到“等效最低点”的过程，根据动能定理有
联立解得
方向垂直纸面向里。
17．（2024·陕西·模拟预测）如图所示的坐标平面，在第二、三象限存在半径为的圆形匀强磁场区域，圆心位于位置，磁感应强度大小为B，方向垂直坐标平面向里；在第一象限存在正交的匀强电场和匀强磁场，电场方向沿轴负方向，匀强磁场的大小和方向与第二、三象限的磁场均相同。圆形磁场边界上有一个点，点与轴的距离为。一个质量为电荷量为的粒子从点垂直磁场方向射入圆形匀强磁场区域，恰好从坐标原点沿轴正方向进入正交的电磁场区域。已知电场强度大小为，不计粒子所受重力，求：
(1)带电粒子从点垂直进入圆形匀强磁场时的速度大小；
(2)带电粒子在第一象限距轴的最大距离；
(3)带电粒子在第一象限的轨迹与轴相切点的坐标。
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】带电粒子在叠加场中的一般曲线运动
【详解】（1）带电粒子垂直磁场方向进入圆形匀强磁场做匀速圆周运动，轨迹如图1所示。
设与轴负方向的夹角为，由几何关系，得
解得
由几何关系可知为等边三角形，则轨迹半径
根据洛伦兹力提供向心力，得
解得
（2）将速度分解，设某一分速度使粒子受到的洛伦兹力与电场力平衡，即
又
联立解得
由左手定则知速度方向沿轴正方向，与方向相同。令
解得
方向也与方向相同，所以带电粒子的运动可以分解为速度为的匀速直线运动与速度为的逆时针方向的匀速圆周运动的合运动，轨迹如图2所示
粒子做匀速圆周运动，由牛顿第二定律，得
带电粒子将做旋轮线运动，图中实线表示它的轨迹，点为粒子距轴的最远点。在这一点粒子的速度
，
它到轴的距离
联立解得
（3）粒子在第一象限的运动周期
点为粒子运动轨迹与轴的相切点。点坐标
联立解得
根据运动的周期性，粒子与轴相切点的坐标
18．（2024·江苏镇江·一模）如图所示，绝缘中空轨道竖直固定，圆弧段COD光滑，对应圆心角为120°，C、D 两端等高，O为最低点，圆弧圆心为，半径为R（R远大于轨道内径），直线段轨道AC、HD粗糙，与圆弧段分别在C、D端相切，整个装置处于方向垂直于轨道所在平面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场中，在竖直虚线MC左侧和ND右侧还分别存在着场强大小相等、方向水平向右和向左的匀强电场。现有一质量为m、电荷量恒为q、直径略小于轨道内径、可视为质点的带正电小球，与直线段轨道间的动摩擦因数为μ，从轨道内距C点足够远的P点由静止释放，若，小球所受电场力等于其重力的倍。重力加速度为g。求：
(1)小球在轨道AC上下滑的最大速度；
(2)经足够长时间，小球克服摩擦力做的总功；
(3)经足够长时间，小球经过O点时，对轨道的压力大小。
【答案】(1)
(2)
(3)或
【知识点】用动能定理求解外力做功和初末速度、带电粒子在叠加场中做直线运动、带电粒子在磁场中做圆周运动的相关计算
【详解】（1）当小球合力为零时，加速度为零，速度最大，有
，
又
解得
（2）小球第一次沿轨道AC下滑过程中，电场力在垂直轨道方向的分量为
重力在垂直轨道方向上的分量为
因此，电场力与重力的合力方向恰好沿AC方向，且刚开始时小球与管壁无作用力。当小球开始运动后，由左手定则可知，洛伦兹力导致小球对管壁有压力，从而导致滑动摩擦力增大，由牛顿第二定律
小球一开始做加速度逐渐减小的加速运动，直到加速度为零，开始做匀速直线运动，最终小球在CD间做往复运动，由动能定理
解得克服摩擦力做功
（3）小球经过O点时满足
小球经过O点向右运动时
小球经过O点向左运动时
解得小球对轨道的弹力为
或
21世纪教育网(www.21cnjy.com)重难点11 带电粒子在组合场、叠加场交变电磁场中的运动
考点分析 三年考情分析 2025命题热点
带电粒子在组合场、叠加场交变电磁场中的运动 2024：安徽卷、广东卷、甘肃卷、新课标卷、黑吉辽卷、湖南卷、湖北卷 2023：海南卷、辽宁卷、江苏卷、山东卷 2022：广东卷、湖南卷、湖北卷、山东卷 带电粒子在组合场、叠加场交变电磁场中的运动 立体空间模型
【课标要求】
1.会分析和处理带电粒子在组合场中运动的问题。
2.知道带电粒子在复合场中几种常见的运动，掌握运动所遵循你的规律。
3.掌握带电粒子在交变电、磁场运动问题的分析方法，熟悉带电粒子运动的常见模型。
【高分技巧】
带电粒子在场中无约束情况下，常见的几种情况：
①电场力、重力并存——电场力+重力＝F等效（恒力）
静止或匀速直线运动←→ F电＝mg且方向相反（即F等效＝0）；
匀加/减速直线运动←→ F等效≠0且与v共线；
匀变速曲线运动←→ F等效≠0且与v不共线；
无圆周运动
②磁场力、重力并存
匀速直线运动←→ F洛＝mg且方向相反（或F洛＝F电且方向相反），运动方向与F洛垂直；
变加速曲线运动（复杂曲线），因洛伦兹力不做功，故机械能守恒
无静止、无匀变速直线运动、无匀变速曲线运动、无匀速圆周
②磁场力、电场力并存
匀速直线运动←→ F洛＝mg且方向相反（或F洛＝F电且方向相反），运动方向与F洛垂直；
变加速曲线运动（复杂曲线），可用动能定理求解。
无静止、无匀变速直线运动、无匀变速曲线运动、无匀速圆周
③磁场力、电场力、重力并存
静止←→F电＝mg且方向相反，且F洛＝0；
匀速直线运动←→ F电、mg、F洛三力平衡；
匀速圆周运动←→F电＝mg且方向相反，且F洛＝Fn；
变加速曲线运动（复杂曲线），可用能量守恒定律或动能定理求解。
无匀变速直线运动、无匀变速曲线运动
一、单选题
1．（2024·安徽芜湖·一模）如图所示，氕、氘、氚三种核子分别从静止开始经过同一加速电压（图中未画出）加速，再经过同一偏转电压偏转，后进入垂直于纸面向里的有界匀强磁场，氕的运动轨迹如图。则氕、氘、氚三种核子射入磁场的点和射出磁场的点间距最大的是（ ）
A．氕 B．氘 C．氚 D．无法判定
2．（2024·广东·三模）如图所示，在，区域内有竖直向上的匀强电场，在x>x0区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，从y轴上0~y0范围内平行于x轴正方向射出大量质量为m、电荷量为+q、分布均匀的带电粒子，粒子射入的初速度均为v0，当电场强度为0时，从O点射入的粒子恰能运动到N（x0，y0）点，若电场强度为，MN右侧是粒子接收器，MN的长度为y0，不计粒子重力和粒子间的相互作用，则（ ）
A．磁感应强度的大小为
B．从处射入的粒子，恰好从N点进入磁场
C．从处射入的粒子，在磁场中偏转距离最大
D．接收器接收的粒子数占粒子总数的50%
3．（2024·北京东城·二模）水平放置的M、N两金属板，板长均为L，板间距为d，两板间有竖直向下的匀强电场，场强大小为E，在两板左端点连线的左侧足够大空间存在匀强磁场，磁感应强度的大小为B，方向垂直纸面向里。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子以初速v0紧靠M板从右端水平射入电场，随后从P点进入磁场，从Q点离开磁场（P、Q未画出）。不考虑粒子的重力，下列说法正确的是
A．PQ间距离与E的大小无关
B．PQ间距离与v0的大小无关
C．P点的位置与粒子的比荷无关
D．带电粒子不可能打在N板上
4．（2024·福建·模拟预测）如图，真空中有区域I和II，区域I中存在匀强电场和匀强磁场，电场方向竖直向下（与纸面平行），磁场方向垂直纸面向里，腰长为L的等腰直角三角形CGF区域（区域II）内存在匀强磁场，磁场方向垂直纸面向外。图中A、C、O三点在同一直线上，AO与GF垂直，且与电场和磁场方向均垂直。A点处的粒子源持续将比荷一定但速率不同的粒子射入区域I中，只有沿直线AC运动的粒子才能进入区域II。若区域I中电场强度大小为E、磁感应强度大小为B1，区域II中磁感应强度大小为B2，则粒子从CF边靠近F的三等分点D射出，它们在区域II中运动的时间为t0.若改变电场或磁场强弱，能进入区域II中的粒子在区域II中运动的时间为t，不计粒子的重力及粒子之间的相互作用，下列说法正确的是（ ）
A．从D点飞出的粒子速度大小为
B．粒子的比荷为
C．若仅将区域I中电场强度大小变为2E，则t > t0
D．若仅将区域II中磁感应强度大小变为，则粒子从GF边出射，出射点距离O点
5．（2024·辽宁·模拟预测）19世纪末，阿斯顿设计并应用质谱仪测原子核的比荷从而发现了氛和氖，证实了同位素的存在。如图所示，某原子核从容器A下方的小孔飘入电压为U的加速电场，其初速度可视为0，加速后经小孔沿着垂直于磁场且垂直于磁场边界的方向进入匀强磁场中，最后打到照相底片的C点上，测得长度为x，则该原子核的比荷（ ）
A．与x成正比 B．与x成反比 C．与成正比 D．与成反比
6．（2024·福建泉州·模拟预测）如图所示，光滑水平地面上放置一足够长且上表面绝缘的小车，将带负电荷、电荷量q=0.5C，质量m=0.02kg的滑块放在小车的左端，小车的质量M=0.08kg，滑块与绝缘小车之间的动摩擦因数μ=0.4，它们所在空间存在磁感应强度为B=1.0T的垂直纸面向里的匀强磁场，开始时小车和滑块静止，突然给小车一个向左的冲量I=0.16N·s，g取10m/s2，那么小车与滑块因摩擦而产生的最大热量为（ ）
A．0.160J B．0.032J C．0.014J D．0.016J
7．（2024·安徽安庆·三模）如图所示，两竖直平行边界PQ、MN间，有正交的匀强电场和匀强磁场，匀强电场方向竖直向下，匀强磁场方向垂直纸面向里．一带电小球从O点以某一速度垂直边界PQ进入该场区，恰好能沿水平方向做直线运动．下列判断正确的是（ ）
A．小球一定带正电
B．若仅改变小球的电性进入该场区，小球进入后仍将做直线运动
C．若仅改变小球的电性进入该场区，小球进入后将立即向下偏转
D．若小球以同样大小速度垂直边界MN进入场区，小球进入后仍将做直线运动
二、多选题
8．（2024·云南·模拟预测）空间存在磁感应强度为B的匀强磁场，磁场方向垂直于平面向里，匀强电场的场强为E、方向沿y轴向下，将一个质量为m、带正电q的粒子从O点由静止释放，粒子的部分运动轨迹如图中曲线所示。出发后粒子第一次到达x轴的坐标为，已知该曲线在最低点的曲率半径为该点到x轴距离的2倍，该粒子运动过程中任意位置的坐标可以表示为，不计粒子的重力，则（ ）
A．该粒子运动过程中任意位置坐标的y值不可能取负值
B．该粒子运动过程中任意位置坐标的x值不可能大于a
C．粒子在运动过程中第一次运动到离x轴最远处时，距离x轴的距离
D．粒子运动过程中的最大速率
9．如图所示，在水平匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场中，有一竖直足够长固定绝缘杆MN，小球P套在杆上，已知P的质量为m，电量为+q，电场强度为E、磁感应强度为B，P与杆间的动摩擦因数为 ，重力加速度为g，小球由静止开始下滑直到稳定的过程中（ ）
A．小球的加速度一直减小
B．小球的机械能和电势能的总和保持不变
C．下滑加速度为最大加速度一半时的速度可能是
D．下滑加速度为最大加速度一半时的速度可能是
10．（2025·陕西宝鸡·一模）医生常用CT扫描机给病人检查病灶，CT机的部分工作原理如图所示。电子从静止开始经加速电场加速后，沿水平方向进入垂直纸面的矩形匀强磁场，最后打在靶上的P点， 产生X射线。已知MN间的电压为U， 磁场的宽度为d， 电子的比荷为k， 电子离开磁场时的速度偏转角为θ， 则下列说法正确的为（ ）
A．偏转磁场的方向垂直纸面向里 B．电子进入磁场的速度大小为
C．电子在磁场中做圆周运动的半径为 D．偏转磁场的磁感应强度大小为
11．（2024·广西柳州·一模）如图所示，在平面直角坐标系第二象限内有沿y轴正方向的匀强电场，第四象限某正三角形区域内有方向垂直坐标平面向里、磁感应强度大小为的匀强磁场（图中未画出）。现有一质量为m、电荷量为的带电粒子（不计重力），从第二象限内的P点以平行于x轴的初速度射出，并从y轴上M点射出电场，穿过第一象限后，进入第四象限并穿过正三角形区域的磁场，最后垂直于y轴离开第四象限，则（ ）
A．粒子经过M点时速度与y轴负方向的夹角为
B．匀强电场的电场强度大小为
C．正三角形区域磁场的最小面积为
D．粒子从开始运动到第二次到达y轴的最短时间为
12．（2024·广东湛江·模拟预测）如图为某粒子收集器的简化图，由加速、偏转和收集三部分组成。辐射状的加速电场区域边界为两个同心平行半圆弧面，圆心为O，外圆弧面AB与内圆弧面CD的电势差为U。足够长的收集板MN平行于边界ACDB，O到MN的距离为L，ACDB和MN之间存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为。现有大量质量为m、电荷量为q的带正电粒子，它们均匀地吸附在外圆弧面AB上，并从静止开始加速。不计粒子重力、粒子间的相互作用及碰撞，若测得这些粒子进入磁场后的运动半径为2L，下列说法正确的是（ ）
A．外圆弧面AB上有的粒子能打在收集板MN上
B．外圆弧面AB上有的粒子能打在收集板MN上
C．外圆弧面AB与内圆弧面CD的电势差
D．若增大外圆弧面AB与内圆弧面CD的电势差，则打在收集板MN的粒子数占比将增大
三、解答题
13．（2025·山东·模拟预测）如图所示，在平面坐标系xOy中，的矩形区域Oabc内存在沿y轴负方向的匀强电场，同时坐标平面内的其他区域分布着垂直于纸面向里的匀强磁场。一个带负电的粒子以速度从坐标原点O沿x轴负方向进入电场，由d点飞出电场，进入磁场后恰好经过b点，已知粒子的质量为m、电荷量为-q，d点为bc边的三等分点，不计粒子的重力。
(1)求匀强磁场的磁感应强度大小；
(2)若改变电场强度的大小和粒子的初速度大小，粒子从原点O沿x轴负方向进入电场，从b点飞出电场后恰好垂直经过y轴。
（i）求改变后的电场强度大小和粒子的初速度大小；
（ii）计算粒子第二次进入电场后能否再次从b点射出电场。
14．（2025·广东·模拟预测）如图所示，足够大的挡板固定在平面直角坐标系xOy中，挡板与y轴负方向的夹角，分别交x、y轴于P、Q点，OP长度为l，挡板上有一小孔K，KP的长度为。在区域内存在着垂直于xOy平面的匀强磁场，第一象限和第四象限中除之外的区域内在挡板两侧分别存在着平行于y轴的匀强电场，电场强度大小均为E，方向如图所示。现将质量为m、电荷量为的粒子A由点释放，该粒子恰能垂直挡板穿过小孔K。已知挡板的厚度不计，粒子可以沿任意角度穿过小孔K，碰撞挡板的粒子会被挡板吸收，不计粒子重力及粒子之间的相互作用。
(1)求区域内匀强磁场的磁感应强度大小和方向；
(2)现将质量也为m、电荷量也为的粒子B由第四象限释放，该粒子能以最小速度从小孔K穿过，求粒子B释放点的坐标；
(3)若上述中两粒子A、B穿过小孔K后，分别打在挡板上的M、N点，求M、N两点之间的距离d。
15．（2024·河南新乡·一模）如图所示，在第一象限有水平向左的匀强电场，在第二象限有垂直纸面向里的匀强磁场，一电荷量为、质量为的带电粒子（不计重力）在距原点距离为处垂直于轴以大小为的初速度进入第一象限，经过一段时间后以偏离原来的方向进入第二象限，再经过一段时间后垂直于轴射出磁场。求：
(1)粒子出电场时的坐标；
(2)匀强磁场的磁感应强度大小；
(3)粒子在电场和磁场中运动的总时间。
16．（2024·河南鹤壁·模拟预测）如图所示，长为的绝缘细线一端固定在O点，另一端连接一质量为、电荷量为的带正电小球，整个区域内有电场强度大小为、方向水平向右的匀强电场，现将小球拉至最高位置并给小球一水平向左的初速度，让小球恰好能在竖直面内做半径为L的圆周运动，PQ为竖直直径，重力加速度g取，，。
(1)求小球运动过程中的最小动能；
(2)求小球电势能最小时细线的张力；
(3)若在某时刻剪断细线，同时在整个区域内加上一个方向垂直纸面的匀强磁场，恰使小球做匀速直线运动，求所加匀强磁场的磁感应强度。
17．（2024·陕西·模拟预测）如图所示的坐标平面，在第二、三象限存在半径为的圆形匀强磁场区域，圆心位于位置，磁感应强度大小为B，方向垂直坐标平面向里；在第一象限存在正交的匀强电场和匀强磁场，电场方向沿轴负方向，匀强磁场的大小和方向与第二、三象限的磁场均相同。圆形磁场边界上有一个点，点与轴的距离为。一个质量为电荷量为的粒子从点垂直磁场方向射入圆形匀强磁场区域，恰好从坐标原点沿轴正方向进入正交的电磁场区域。已知电场强度大小为，不计粒子所受重力，求：
(1)带电粒子从点垂直进入圆形匀强磁场时的速度大小；
(2)带电粒子在第一象限距轴的最大距离；
(3)带电粒子在第一象限的轨迹与轴相切点的坐标。
18．（2024·江苏镇江·一模）如图所示，绝缘中空轨道竖直固定，圆弧段COD光滑，对应圆心角为120°，C、D 两端等高，O为最低点，圆弧圆心为，半径为R（R远大于轨道内径），直线段轨道AC、HD粗糙，与圆弧段分别在C、D端相切，整个装置处于方向垂直于轨道所在平面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场中，在竖直虚线MC左侧和ND右侧还分别存在着场强大小相等、方向水平向右和向左的匀强电场。现有一质量为m、电荷量恒为q、直径略小于轨道内径、可视为质点的带正电小球，与直线段轨道间的动摩擦因数为μ，从轨道内距C点足够远的P点由静止释放，若，小球所受电场力等于其重力的倍。重力加速度为g。求：
(1)小球在轨道AC上下滑的最大速度；
(2)经足够长时间，小球克服摩擦力做的总功；
(3)经足够长时间，小球经过O点时，对轨道的压力大小。
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