模板11-2磁场（四大题型）
题型01 带电粒子在叠加场中的运动
电场、磁场、重力场中的两者或三者在同一区域共存，就形成叠加场。带电粒子在叠加场中的运动，一般具有较复杂的运动情景，涉及力的种类较多，包含的运动类型多，综合性强，对数学水平有较高的要求。
一、必备基础知识
1、叠加场
电场、磁场、重力场中的两者或三者在同一区域共存，就形成叠加场。
2、分类
电场力、重力并存，即电场力+重力＝F等效（恒力）：①带电粒子静止或匀速直线运动，则F电＝mg且方向相反（即F等效＝0）；②带电粒子做匀变速直线运动，则F等效≠0且与v共线；③带电粒子做匀变速曲线运动，则F等效≠0且与v不共线。该情景带电粒子没有圆周运动。
洛伦兹力、重力并存：①带电粒子做匀速直线运动，则F洛＝mg且方向相反，运动方向与F洛垂直；②带电粒子做变加速曲线运动（复杂曲线），则重力和洛伦兹力不平衡，因洛伦兹力不做功，故机械能守恒。该情景带电粒子无静止、无匀变速直线运动、无匀变速曲线运动、无匀速圆周。
磁场力、电场力并存（不计重力的微观粒子）：①带电粒子做匀速直线运动，则F洛＝F电且方向相反，运动方向与F洛垂直；②带电粒子做变加速曲线运动（复杂曲线），因洛伦兹力不做功，可用动能定理求解。该情景带电粒子无静止、无匀变速直线运动、无匀变速曲线运动、无匀速圆周。
静电力、洛伦兹力、重力并存：①带电粒子静止，则F电＝mg且方向相反，且F洛＝0；②带电粒子做匀速直线运动，则F电、mg、F洛三力平衡；③带电粒子做匀速圆周运动，则F电＝mg且方向相反，且F洛＝Fn；④带电粒子做变加速曲线运动（复杂曲线），则合力不为零且与速度方向不垂直，因洛伦兹力不做功，可用能量守恒定律或动能定理求解问题。该情景带电粒子无匀变速直线运动、无匀变速曲线运动。
3、带电体在叠加场中有约束情况下的运动
带电体在叠加场中受轻杆、轻绳、圆环、轨道等约束的情况下，常见的运动形式有直线运动和圆周运动，此时解题要通过受力分析明确变力、恒力做功情况，并注意洛伦兹力不做功的特点，运用动能定理、能量守恒定律结合牛顿运动定律求解。
二、解题模板
1、解题思路
2、注意问题
直线运动：①带电粒子所受合外力为零时，做匀速直线运动，处理这类问题，应根据受力平衡列方程求解；②带电粒子所受合外力恒定，且与初速度在一条直线上，粒子将作匀变速直线运动，处理这类问题，根据洛伦兹力不做功的特点，选用牛顿第二定律、动量定理、动能定理、能量守恒等规律列方程求解
曲线运动：①当带电粒子在所受的重力与电场力等值反向时，洛伦兹力提供向心力时，带电粒子在垂直于磁场的平面内做匀速圆周运动.处理这类问题，往往同时应用牛顿第二定律、动能定理列方程求解；②当带电粒子所受的合外力是变力，与初速度方向不在同一直线上时，粒子做非匀变速曲线运动，这时粒子的运动轨迹既不是圆弧，也不是抛物线，一般处理这类问题，选用动能定理或能量守恒列方程求解。
3、解题方法
叠加场的组成：弄清电场、磁场、重力场叠加情况；
受力分析：先分析场力（重力、电场力、磁场力），然后分析接触力（弹力、摩檫力），最后分析其它力；
运动分析：注意运动情况和受力情况的结合；
分段分析：粒子通过不同种类的场时，分段讨论；
画出轨迹：①静止或匀速直线运动（运用平衡条件）；②匀速圆周运动（运用牛顿运动定律和圆周运动规律）；③复杂曲线运动（运用动能定理或能量守恒定律）；④对于临界问题，注意挖掘隐含条件。
受力分析是基础：一般要从受力、运动、功能的角度来分析．这类问题涉及的力的种类多，含重力、电场力、磁场力、弹力、摩擦力等。
运动过程分析是关键：包含的运动种类多，含匀速直线运动、匀变速直线运动、类平抛运动、圆周运动以及其他曲线运动。
根据不同的运动过程及物理模型，选择合适的定理列方程（牛顿运动定律、运动学规律、动能定理、能量守恒定律等）求解。
（2024·贵州·高考真题）如图，边长为L的正方形区域及矩形区域内均存在电场强度大小为E、方向竖直向下且与边平行的匀强电场，右边有一半径为且与相切的圆形区域，切点为的中点，该圆形区域与区域内均存在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场。一带电粒子从b点斜向上射入电场后沿图中曲线运动，经边的中点进入区域，并沿直线通过该区域后进入圆形区域。所有区域均在纸面内，粒子始终在该纸面内运动，不计粒子重力。求：
(1)粒子沿直线通过区域时的速度大小；
(2)粒子的电荷量与质量之比；
(3)粒子射出圆形区域时速度方向与进入圆形区域时速度方向的夹角。
思路分析 第一问的思路： 第二问的思路： 第三问的思路： 详细解析 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）带电粒子在区域做直线运动，则有电场力与洛伦兹力平衡，可知粒子带正电，经边的中点速度水平向右，设粒子到达边的中点速度大小为，带电荷量为，质量为，由平衡条件则有 解得 （2）粒子从b点到边的中点的运动，可逆向看做从边的中点到b点的类平抛运动，设运动时间为，加速度大小为，由牛顿第二定律可得 由类平抛运动规律可得 联立解得粒子的电荷量与质量之比 （3）粒子从中点射出到圆形区域做匀圆周运动，设粒子的运动半径为，由洛伦兹力提供向心力可得 解得 粒子在磁场中运动轨迹图如图所示，由图可知，粒子沿半径方向射入，又沿半径方向射出，设粒子射出圆形区域时速度方向与进入圆形区域时速度方向的夹角为，由几何关系可知 可得 则有
（2024·湖南·模拟预测）如图所示，空间中CE左侧区域Ⅰ内有场强大小N/C、方向水平向左的匀强电场，一条长L=0.8m且不可伸长的轻绳一端固定在区域I内的O点，另一端系一质量m=0.2kg，带电荷量q为0.1C的绝缘带正电小球a，初始时小球静止在M点。在紧靠区域I的右侧竖直放置一足够长、半径R=1m的光滑绝缘圆筒，圆筒上端截面水平，CD是圆筒上表面的一条直径且与区域Ⅰ的O点共线，直径PQ与直径CD垂直，圆筒内左半边PQJHEC区域Ⅱ中存在大小=20N/C、方向垂直CDEF平面向里的匀强电场。第一次给M处的小球一垂直于OM斜向上的初速度（未知），使其在竖直平面内绕O点恰好做完整的圆周运动，AB为圆的竖直直径。第二次给M处的小球一垂直于OM斜向上的初速度（未知），当小球a运动到O点正上方B点时，轻绳突然断裂，小球a刚好从区域Ⅰ的边界C点竖直向下离开区域Ⅰ的电场，然后贴着圆筒内侧进入区域Ⅱ。已知重力加速度大小取g=10m/s2，绳断前﹑断后瞬间，小球a的速度保持不变，忽略一切阻力，图中ABCDEF在同一竖直平直内。求：
(1)小球a第一次在M的初速度大小和第一次经过B点时绳的拉力T；
(2)绳断后小球a从B到C过程电势能的变化量；
(3)若小球a刚进入圆筒时，另一质量=0.2kg的绝缘不带电小球b从D点以相同速度竖直向下贴着圆筒内侧进入圆筒，经过一段时间，小球a、b发生弹性碰撞，且碰撞中小球a的电荷量保持不变，则从小球b进入圆筒到与两球发生第7次碰撞后，小球b增加的机械能是多大。
【答案】(1)m/s，6N
(2)=4.8J
(3)=14J
【详解】（1）已知，由题意等效最高点在OM连线的反向延长线与圆周的交点上，设为N，则在N点满足
由几何关系可知该方向与竖直方向夹角为60°，根据牛顿第二定律，有
即小球在N点的速度为
=4m/s
从M点到N点过程中，由动能定理可得
解得
m/s
又因为从B到N点，由动能定理得
在B处，沿绳方向的合外力提供小球运动所需要的向心力，有
解得
T=6N
（2）从细线断裂后小球在竖直方向做自由落体运动，水平方向做匀减速运动，根据题意，到C点时，水平方向速度为0，竖直方向位移为L，设水平方向位移为，根据位移时间公式，有
从B到C过程电势能的变化量等于电场力做功的绝对值，即
联立解得
=4.8J
（3）因两球在竖直方向下落一样快，故它们碰撞时是水平正碰。根据水平方向碰撞时动量守恒和能量守恒。由于两球质量相等，所以它们正碰时交换水平方向速度。第一次与小球a与b球碰撞，电场力对小球a做功
从进入圆筒到第7次碰撞前，小球a增加的机械能为
解得
=14J
则第7次碰撞后，小球b增加的机械能为=14J
题型02 带电粒子在交变电磁场中的运动
交变电磁场的类型主要有以下三种：①电场周期性变化，磁场不变；②磁场周期性变化，电场不变；③电场和磁场周期性变化。要明确场的变化规律，找出衔接点是解题的关键。
一、必备基础知识
1、常见类型
①电场周期性变化，磁场不变；②磁场周期性变化，电场不变；③电场和磁场周期性变化。
2、分析思路
仔细分析并确定各场的变化特点及相应的时间，其变化周期一般与粒子在电场或磁场中的运动周期相关联。应抓住变化周期与运动周期之间的联系作为解题的突破口。
把粒子的运动过程还原成一个直观的运动轨迹草图进行分析。
把粒子的运动分解成多个运动阶段分别进行处理，根据每一个阶段上的受力情况确定粒子的运动规律。
二、解题模板
1、解题思路
2、注意问题
应抓住变化周期与运动周期之间的联系作为解题的突破口。
3、解题方法
先读图，看清并且明白不同场的变化情况；
受力分析，分析粒子在不同的变化场区的受力情况；
过程分析，分析粒子在不同时间段内的运动情况；
找衔接点，找出衔接相邻两个过程的速度大小及方向；
选规律，联立不同阶段的方程求解。
（2023·安徽·模拟预测）如图，两竖直平行线间存在两个有界匀强磁场，其中水平分界线上方Ⅰ区域磁场垂直纸面向里，分界线下方Ⅱ区域磁场垂直纸面向外，磁感应强度均为B。一个质量为、电荷量为的粒子以速度可以分别从左边界的两点水平射入磁场中。已知两点间的距离等于与的距离等于，粒子重力忽略不计。
（1）求粒子在磁场中做圆周运动的轨道半径；
（2）若粒子从点射入磁场中且恰好不从磁场左边界射出，求入射点到的距离；
（3）若粒子从点射入磁场中，求粒子在磁场中运动的总时间。
思路分析 第一问的思路： 第二问的思路： 第三问的思路： 详细解析 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）根据洛伦兹力提供向心力有 解得 （2）根据题意作图，如图所示 根据几何关系可知 解得 （3）由于，与的距离等于，可知粒子的运动时间为 粒子运动的周期为 联立解得
（2023·山东济南·模拟预测）如图甲所示，两平行板P、Q足够大，间距为。板间有可独立控制的变化的电场和磁场。取垂直于纸面向里为正方向，磁感应强度随时间的变化规律如图乙所示，电场强度E随时间的变化规律如图丙所示。时刻，一质量为、带电量为的粒子（不计重力），以初速度由Q板左端靠近板面的位置，沿垂直于磁场且平行于板面的方向射入磁场区。当、、取某些特定值时，可使时刻入射的粒子经垂直打在P板上（不考虑粒子反弹）。上述、、、、为已知量。
（1）若只加磁场，当时，求满足的条件；
（2）若同时加电场、磁场，当时，求满足的条件和粒子的位移；
（3）若同时加电场、磁场，当，求。
【答案】（1）；（2）（，，），；（3）见解析
【详解】（1）若只加磁场，当时，设粒子做圆周运动的半径为，由洛伦兹力提供向心力得
可得
根据题意由几何关系可得
解得
（2）若同时加电场、磁场，当时，设粒子做圆周运动的半径为，由洛伦兹力提供向心力得
可得
由丙图可知在一个电场周期内，沿电场方向的速度变化为0；根据题意由几何关系可得
解得
（，，）
粒子沿电场方向的位移为
粒子的位移为
（3）若同时加电场、磁场，当，设粒子做圆周运动的半径为，周期为，由圆周运动公式可得
由牛顿第二定律可得
可得
，
粒子运动轨迹如图所示
、为圆心，连线与水平方向的夹角为，在每个内，只有、两个位置才有可能垂直击中P板，且均要求，由题意可得
可得
设经历完整的个数为（，，，）。
若在点击中P板，根据题意由几何关系可得
当，，时，无解；
当时，有
若在点击中P板，根据题意由几何关系可得
当，时，无解；
当时，
当时，有
题型03带电粒子在磁场中运动的多解问题
带电粒子在磁场中运动时，往往由于粒子的电性不确定、磁场方向不确定、运动具有往复性等而造成多解。分析这类问题需要我们全面考虑多种可能，尽量避免因思维定势而造成漏解。
一、必备基础知识
1、问题
带电粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，由于多种因素的影响，使问题形成多解。
2、问题的类型
①带电粒子电性不确定形成多解：受洛伦兹力作用的带电粒子，可能带正电，也可能带负电，当粒子具有相同初速度时，正、负粒子在磁场中运动轨迹不同，导致多解。如下图所示，带电粒子以速度v垂直进入匀强磁场，若带正电，其轨迹为a；若带负电，其轨迹为b。
②临界状态不是唯一的形成多解：带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场时，由于粒子运动轨迹是圆弧状，因此粒子的运动情况为可能从边界穿过去了或者转过180°后从入射面边界反向飞出，如下图所示。
③磁场方向不确定形成多解：磁感应强度是矢量，如果题述条件只给出磁感应强度大小，而未说明磁感应强度方向，则应考虑因磁场方向不确定而导致的多解。如下图所示，带正电的粒子以速度v垂直进入匀强磁场，若B垂直纸面向里，其轨迹为a；若B垂直纸面向外，其轨迹为b。
④运动的往复性形成多解：带电粒子在部分是电场，部分是磁场的空间运动时，运动往往具有往复性，从而形成多解，如下图所示。
二、解题模板
1、解题思路
2、注意问题
周期性的多解问题要注意寻找通式。
3、解题方法
根据题意，确定多解的问题类型；
对运动过程进行受力分析和几何分析；
画出粒子运动的可能草图；
根据规律列方程进行求解。
（2024·陕西安康·模拟预测）如图所示，以OP为分界线将直角MON分为区域Ⅰ和Ⅱ，区域Ⅰ内存在方向垂直纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场，区域Ⅱ内存在方向垂直纸面向里、磁感应强度大小为2B的匀强磁场，OP与OM间的夹角为30°。一质量为m、带电量为的粒子从分界线上的P点以速度v、沿与分界线OP成60°角的方向射入区域Ⅰ，在区域Ⅰ偏转后直接从O点离开磁场区域，不计粒子的重力。
（1）求OP之间的距离；
（2）若粒子从P点射入的速度方向不变，大小可以改变，要使粒子仍从O点离开磁场区域，求粒子射入时速度大小的可能值。
思路分析 第一问的思路; 第二问的思路： 详细解析 【答案】（1）（2） 【详解】（1）根据牛顿第二定律 得 粒子运动轨迹如图 OP长度为 （2）粒子从点离开一定是从区域Ⅰ与相切离开磁场区域，故 根据几何关系 即 ， 解得
（2024·河南安阳·一模）如图所示，在平面直角坐标系第一象限内存在一理想边界，边界和x轴之间存在垂直纸面、磁感应强度大小为B的匀强磁场（图中未画出），边界与y轴之间存在沿x轴负方向、电场强度大小为E的匀强电场。在第四象限内存在平行于y轴向下的匀强电场，在y轴正半轴上有可移动的粒子源能无初速释放电荷量大小为e、质量为m的电子，电子从静止被电场加速后进入磁场区域均能垂直穿过x轴，图中A点坐标为，不计电子受到的重力，求：
(1)磁场的方向；
(2)边界曲线的方程；
(3)能经过A点的电子释放点的纵坐标应满足的条件。
【答案】(1)垂直纸面向里
(2)
(3)
【详解】（1）电子能垂直x轴进入第四象限，由左手定则可判定磁场垂直纸面向里。
（2）设电子由静止释放的纵坐标为y，到达边界时的速度大小为v，对应边界上点的坐标为，则有
，
解得
（3）能经过A点的粒子轨迹如图所示，
设释放点纵坐标为y，则有
即满足
时电子能经过A点。
题型04 带电粒子的运动在现代科技中的应用
带电粒子的运动与现代科技的结合，使得这类题目的考查情景较新颖，这类题型的特点为在现代科技中考查带电粒子的运动问题，学生只需进行受力分析和运动分析，运用相关的物理规律就可以解决这类问题。
一、必备基础知识
1、速度选择器
简介：平行板中电场强度E和磁感应强度B互相垂直，这种装置能把具有一定速度的粒子选择出来，所以叫做速度选择器。
图例如下：
原理：①粒子受力特点：同时受方向相反的电场力和磁场力作用。②电场力和洛伦兹力平衡：qE=qvB，解得v=。
作用：①速度大小只有满足v=的粒子才能做匀速直线运动。②若v＜，电场力大，粒子向电场力方向偏，电场力做正功，动能增加。③若v＞，洛伦兹力大，粒子向磁场力方向偏，电场力做负功，动能减少。
2、质谱仪
简介：质谱仪是一种精密仪器，是测量带电粒子的质量和分析同位素的重要工具。
图例如下：
原理：
速度选择器和偏转磁场组合：①加速阶段；②匀速阶段； ③偏转过程；解得，其中都为定值，而偏转直径与成正比。
加速电场和偏转磁场组合：①加速阶段；②偏转过程；解得，其中都为定值，而偏转直径与成正比。
作用：测量带电粒子质量和分离同位素。
3、回旋计时器
构造：如图所示，D1、D2是半圆金属盒，D形盒处于匀强磁场B中，D形盒的缝隙处接交流电源。
图例如下：
原理：两个半圆金属盒处于与盒面垂直的匀强磁场B中，所以粒子在磁场中做匀速圆周运动。经过半个圆周之后，当它再次到达两盒间的缝隙时，控制两盒间的电势差，使其恰好改变正负，于是粒子经过盒缝时再一次被加速。如此，粒子在做圆周运动的过程中一次一次地经过盒缝，而两盒间的电势差一次一次地反向，粒子的速度就能够增加到很大。交流电周期和粒子做圆周运动的周期相等，使粒子每经过一次D形盒缝隙，粒子被加速一次。
4、磁流体发电
简介：磁流体发电是一项新兴技术，它可以把内能直接转化为电能。
图例如下：
原理：将等离子气体垂直于磁场方向喷入匀强磁场，正、负离子在洛伦兹力作用下发生上下偏转而聚集到A、B板上，产生电势差。设平行金属板A、B的面积为S，相距L，等离子气体的电阻率为ρ，喷入气体速率为v，板间磁场的磁感应强度为B，板外电阻为R，当正、负离子受到的洛伦兹力和静电力大小相等时，匀速通过A、B板间，此时A、B板上聚集的电荷最多，板间电势差最大，大小即为电源的电动势E。沿从S极向N极方向进行观察，如下图所示，则有，则电动势，电源内阻，由闭合电路欧姆定律知，通过的电流。
5、电磁流量计
简介：电磁流量计是应用电磁感应原理， 根据导电流体通过外加磁场时感生的电动势来测量导电流体流量的一种仪器。
图例如下：
原理：
流量(Q)：单位时间流过导管某一截面的导电液体的体积。
导电液体的流速(v)的计算：一圆柱形导管直径为d，用非磁性材料制成，其中有可以导电的液体向右流动。导电液体中的自由电荷(正、负离子)在洛伦兹力作用下发生偏转，使a、b间出现电势差，当自由电荷所受电场力和洛伦兹力平衡时，a、b间的电势差(U)达到最大，由，可得。
流量的表达式：。
电势高低的判断：根据左手定则可得φa＞φb。
6、霍尔效应模型
简介：高为h、宽为d的导体(自由电荷是电子或正电荷)置于匀强磁场B中，当电流通过导体时，在导体的上表面A和下表面A′之间产生电势差，这种现象称为霍尔效应，此电压称为霍尔电压。
图例如下：
原理：
电势高低的判断：如图所示，导体中的电流I向右时，根据左手定则可得，若自由电荷是电子，则下表面A′的电势高；若自由电荷是正电荷，则下表面A′的电势低。
霍尔电压：导体中的自由电荷(电荷量为q)在洛伦兹力作用下偏转，A、A′间出现电势差，当自由电荷所受电场力和洛伦兹力平衡时，A、A′间的电势差(U)就保持稳定，由，，，联立解得。
霍尔系数：。
二、解题模板
1、解题思路
2、注意问题
速度选择器只能选择粒子的速度，不能选择粒子的电性、电荷量、质量。
3、解题方法
回旋加速器：
粒子运动的总时间：粒子在磁场中运动一个周期，被电场加速两次，每次增加动能，加速次数，粒子在磁场中运动的总时间。该式忽略粒子在狭缝中运动的时间。
不忽略加速时间的总时间：加速时间为（粒子加速时做匀加速直线运动，有，），则。
当带电粒子速度最大时，其运动半径也最大，即rm＝，再由动能定理得：Ekm＝，所以要提高带电粒子获得的最大动能，应尽可能增大磁感应强度B和D形盒的半径rm。若D形盒半径为R，则带电粒子的最终动能Em＝，粒子获得的最大动能由磁感应强度B和金属盒半径R决定，与加速电压无关。
（2024·广东·二模）利用带电粒子在电场和磁场中受力偏转的原理，可以测定带电粒子的荷质比。如图所示，在长度为L、相距为d的平行金属板M、N间有垂直纸面向外、磁感应强度为B的匀强磁场。某带电粒子以初速度沿平行板中轴线，射入两板间，测得粒子离开磁场时，速度的偏转角为．然后在两板间加上电压，板间形成匀强电场，那么仍以初速度射入的该带电粒子将不发生偏转，沿中轴线通过磁场。不计粒子的重力，根据以上物理量，求：
（1）初速度的大小；
（2）带电粒子的荷质比．
思路分析 第一问的思路： 第二问的思路： 详细解析 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）粒子不偏转时，受到的电场力与洛伦兹力平衡 由以上两式，得带电粒子的入射速度 （2）两板间只有磁场时，带电粒子做匀速圆周运动，如图所示，设粒子做圆周运动的半径为，由几何关系得 带电粒子做匀速圆周运动所需的向心力由洛伦兹力提供 由以上各式解得带电粒子的荷质比
（2024·山东济南·三模）回旋加速器是获取高能粒子的重要工具，被广泛应用于科学研究和医学治疗中。回旋加速器的工作原理如图甲所示，真空中两个相同的半圆形区域和的圆心分别为、，两半圆形区域内分布着方向垂直纸面向里的匀强磁场。两区域间狭缝的宽度为，在狭缝间施加如图乙所示的交变电压，电压值的大小为。时刻，在点由静止释放质量为、电荷量为带电粒子，粒子经过狭缝的时间不能忽略，粒子在狭缝间的运动可视为匀变速直线运动，交变电压的变化周期，匀强磁场感应强度的大小，不计粒子重力及粒子的相对论效应，求
（1）粒子第一次在区域内做匀速圆周运动的轨道半径；
（2）粒子从开始释放到第二次刚离开区域所用的时间；
（3）若半圆形区域的直径足够大，粒子在磁场中运动的最大速度。
【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】（1）带电粒子在电场中加速，有动能定理得
在磁场中做匀速圆周运动
（2）从开始释放到第二次刚离开D2区域带电粒子共加速3次，设在电场中加速的总时间为t1
设带电粒子在磁场中运动的总时间为t2
从开始释放到第二次刚离开D2区域的总时间为
（3）设带电粒子在电场中加速n次时速度达到最大，此过程用的总时间为
当在电场中加速n次的总时间小于等于时，带电粒子通过狭缝时一直做加速运动
解得
此后带电粒子经过狭缝时将做减速运动，故
1．（2023·天津西青·模拟预测）如图所示，在x轴的上方存在垂直纸面向里，磁感应强度大小为B0的匀强磁场。位于x轴下方的离子源C发射质量为m、电荷量为q的一束负离子，其初速度大小范围，这束离子经电势差的电场加速后，从小孔O（坐标原点）垂直x轴并垂直磁场射入磁场区域，最后打到x轴上。在x轴上区间水平固定放置一探测板（），假设每秒射入磁场的离子总数为N0，打到x轴上的离子数均匀分布（离子重力不计）。
（1）求离子束从小孔O射入磁场后打到x轴最远处位置（用含的物理量a表示）；
（2）调整磁感应强度的大小，可使速度最大的离子恰好打在探测板右端，求此时的磁感应强度大小B1；
（3）保持磁感应强度B1不变，求每秒打在探测板上的离子数N；若打在板上的离子80%被吸收，20%被反向弹回，弹回速度大小为打板前速度大小的0.6倍，被吸收和被弹回的离子数在探测板上沿x轴均匀分布，求探测板受到的作用力大小。
【答案】（1）4a；（2）；（3）
【详解】（1）粒子进入电场中有
在磁场中有
打到x轴的距离为
由上述分析可知，当粒子在磁场中的半径最大，即最远，此时粒子从粒子源出来时的速度最大，解得
（2）由题意可知，速度最大粒子打在探测板最右侧，则由几何关系有
磁场中有
结合（1）中数据，解得
（3）对初速度为零的离子，经过电场加速度后，有
解得
在磁场中有
解得
磁感应强度为时，粒子打在x轴上的区间为[1.5a，3a]，每秒打在探测板上的离子数为
对打探测器最左端（）的离子，轨道半径为a，则离子在磁场中
解得
打到x轴上的离子均匀分布，所以打在探测板上的离子的平均速度为
被吸收和弹回的离子数在探测板上沿x轴均匀分布，由动量定理可得
解得单位时间内探测板受到的作用力
2．（2024·天津和平·二模）将一金属或半导体薄片垂直置于磁场中，并沿垂直磁场方向通入电流，则在导体中垂直于电流和磁场方向会产生一个电势差，这一现象称为霍尔效应，此电势差称为霍尔电压。某长方体薄片霍尔元件，长为a、宽为b、厚为c，在霍尔元件中有沿x轴方向的电流强度为I，若霍尔元件中导电的载流子是自由电子，带电量为e，薄片处在沿方向磁感应强度为B的匀强磁场中，则在沿z轴方向产生霍尔电压，
（1）请判断该霍尔元件图中前、后两个侧面，哪端的电势高，并简要叙述理由；
（2）该霍尔元件在具体应用中，有，式中的称为霍尔元件灵敏度，一般要求越大越好，推导的表达式并解释为什么霍尔元件一般都做得很薄；
（3）由于金属中载流子密度很大，霍尔效应不明显，因此霍尔元件常用半导体而不是金属。一种半导体材料中同时存在电子与空穴两种载流子（空穴可视为能移动的带正电的粒子），每个载流子所带电量的绝对值均为e，单位体积内电子和空穴的数目之比为ρ，在霍尔电压稳定后，电子和空穴沿z方向定向移动的速率分别为和，求电子和空穴沿z轴方向定向移动的速率和之比。
【答案】（1）前表面，见解析；（2）见解析；（3）
【详解】（1）根据左手定则，电子向后表面偏转，故前表面电势高。
（2）电子受到的洛伦兹力与电场力平衡
电场强度
电流的微观表达式
可得
故
由表达式可知，霍尔灵敏度与元件厚度c成反比，c越小，值越大，故霍尔元件一般都做得很薄。
（3）霍尔电压稳定，则一段时间内，到达后表面的电子总电荷量和空穴总电荷量相等，有
又
可得
3．（2024·河南许昌·模拟预测）某种电磁流量计的外形如图甲所示，工作原理如图乙所示：直径为d的圆柱形管道的上、下方装有励磁线圈，励磁线圈通过恒定电流Ⅰ时，管内会产生竖直向下的匀强磁场，磁感应强度与所加的励磁电流成正比，比例系数为k；当含有大量正负离子的液体沿管道以图示方向以恒定速度v通过流量计时，在水平直径两端的a、b电极之间就会产生恒定的电势差，可以通过连接在a、b两端的电压表读出，经过转换即可得到穿过管道的液体的流量（单位时间内流过管道横截面的液体体积）。
（1）a、b哪点电势高？
（2）为了把电压表转换为流量表，需要得到流量与电压表示数的比值s，求s的值。
【答案】（1）b点电势高；（2）
【详解】（1）根据左手定则可知，正电荷受到的洛伦兹力指向b，故b点电势高；
（2）磁感应强度为
a、b电极之间产生恒定的电势差时，有
管道中液体的流量为
解得
4．（2025·重庆·一模）图为可测定比荷的某装置的简化示意图，在第一象限区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小，在x轴上距坐标原点L=0.50m的P处为离子的入射口，在y上安放接收器，现将一带正电荷的粒子以v=3.5×104m/s的速率从P处射入磁场，若粒子在y轴上距坐标原点L=0.50m的M处被观测到，且运动轨迹半径恰好最小，设带电粒子的质量为m，电量为q，不记其重力。
(1)求上述粒子的比荷；
(2)如果在上述粒子运动过程中的某个时刻，在第一象限内再加一个匀强电场，就可以使其沿y轴正方向做匀速直线运动，求该匀强电场的场强大小和方向，并求出从粒子射入磁场开始计时经过多长时间加这个匀强电场；
(3)为了在M处观测到按题设条件运动的上述粒子，在第一象限内的磁场可以局限在一个矩形区域内，求此矩形磁场区域的最小面积。
【答案】(1)
(2)，
(3)
【详解】（1）设粒子在磁场中的运动半径为r，如图所示
依题意M、P连线即为该粒子在磁场中做匀速圆周运动的直径，由几何关系得
粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力得
联立代入数据解得
（2）设所加电场的场强大小为E，当粒子经过Q点时，速度沿y轴正方向，依题意，在此时加入沿x轴正方向的匀强电场，电场力与此时洛伦兹力平衡，则有
解得
所加电场的场强方向沿x轴正方向。由几何关系可知，圆弧PQ所对应的圆心角为，设带电粒子做匀速圆周运动的周期为T，则有
，
联立代入数据解得
（3）矩形对应的最小面积如图所示
根据几何关系可知最小矩形面积为
代入数据解得
5．（2024·山东·模拟预测）如图所示，在坐标系区域内存在平行于轴、电场强度大小为（未知）的匀强电场，分界线将区域分为区域Ⅰ和区域Ⅱ，区域Ⅰ存在垂直纸面向外、磁感应强度大小为（未知）的匀强磁场，区域Ⅱ存在垂直直面向里、磁感应强度大小为的匀强磁场及沿轴负方向、电场强度大小为的匀强电场。一质量为、电荷量为的带正电粒子从点以初速度垂直电场方向进入第二象限，经点进入区域Ⅰ，此时速度与轴正方向的夹角为，经区域Ⅰ后由分界线上的点（图中未画出）垂直分界线进入区域Ⅱ，不计粒子重力及电磁场的边界效应。求：
(1)电场强度的大小；
(2)带电粒子从点运动到点的时间；
(3)粒子在区域Ⅱ中运动时，第1次和第5次经过轴的位置之间的距离。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）粒子经过点时的速度
粒子从点到点，由动能定理得
解得
（2）粒子从点到点，由运动学公式有
解得
粒子从点到A点，其运动轨迹如图1所示
由抛体运动的规律可得
由几何关系可得，粒子在区域Ⅰ中做匀速圆周运动的半径
运动时间
则
（3）粒子在区域Ⅰ中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力
解得
在A点对粒子由配速法，如图1所示，设对应的洛伦兹力与静电力平衡
方向相反，与合速度对应洛伦兹力提供向心力做匀速圆周运动，这样粒子进入区域Ⅱ中的运动分解为以的匀速直线运动和以的匀速圆周运动,静电力等于洛伦兹力
解得
合速度
设对应的匀速圆周运动的半径为，由洛伦兹力提供向心力有
解得
其运动轨迹如图2所示
粒子从第1次到第5次经过轴，共运动了2个周期，时间
距离
解得
6．（2025·重庆·模拟预测）如图所示，空间有一圆心为O，半径为d，垂直纸面向外的圆形匀强磁场区域，磁感应强度，磁场正下方有一板间距为2d的平行板电容器。y轴是电容器的中心轴线，A、B分别为极板左右边缘两点，AB连线与圆形磁场相切。连线上的P点距B点0.5d。从距圆形磁场圆周上C点L处开始存在多个间距为L1、L2 Ln的垂直纸面向外的窄条形磁场B1、B2 Bn。磁场间距Ln满足Ln=nL（n为正整数），相邻条形磁场间的无磁场区域，其间距始终为L。每个磁场的边界均与y轴平行，且位于x轴下方。现电容器左右极板间加上如图乙所示的周期为T的交变电压，大量比荷为k的正粒子从y轴上的M点以相同速度v0沿y轴正向射入电容器，其中t=0时刻射入的粒子恰好在T时刻到达P点。不计粒子重力及电场边缘效应和粒子间相互作用。
(1)求平行板电容器板长L0及电压U0的值；
(2)若t时刻打入平行板电容器的粒子能经C点沿x轴正向射出圆形磁场，求t的可能值；
(3)若窄条形磁场的磁感应强度Bn满足（n为正整数），且。将能打入条形磁场的粒子能到达的最远磁场记为Bn，到达的最近磁场记为Bm，求n-m的值。
【答案】(1)，
(2)，
(3)5
【详解】（1）粒子沿y轴方向做匀速直线运动，则
粒子沿x轴方向做匀加速直线运动，t=0时刻打入的粒子在该方向v-t图像如图所示
图像面积即为0.5d，则
联立可得
（2）粒子打入圆形磁场，圆周运动半径为
由磁汇聚可知粒子均汇聚到C点，沿x轴正向射出磁场的粒子，则必沿y轴正向射入磁场，即粒子在电场中的侧移距离为零，t时刻打入电场的粒子沿x方向的v-t图像如图所示，因其侧移距离为零，由对称性易知
或
（3）设粒子打入第n个磁场时速度与水平方向的夹角为，在该磁场中粒子圆周运动半径为粒子到达的最远磁场为第n个时，粒子是可穿过第（n-1）磁场的，如图所示
由图可得
则
前n-1个式相加有
因
代入解得
前n个式相加有
故当，即粒子从C沿x轴正方向时取
同理，当，即打入电场的粒子时取
故
7．（2024·山东泰安·模拟预测）如图甲所示，在光滑绝缘水平桌面内建立xOy坐标系，在第Ⅱ象限内有平行于桌面的匀强电场，场强方向与x轴负方向的夹角θ＝45°。在第Ⅲ象限垂直于桌面放置两块相互平行的平板、，两板间距为，板间有垂直于桌面向上的匀强磁场，两板右端在y轴上，板与x轴重合，在其左端紧贴桌面有一小孔M，小孔M离坐标原点O的距离为L＝0.72 m。在第Ⅳ象限垂直于x轴放置一块平行y轴且沿y轴负向足够长的竖直平板，平板在x轴上垂足为Q，垂足Q与原点O相距现将一带负电的小球从桌面上的P点以初速度垂直于电场方向射出，刚好垂直于x轴穿过板上的M孔，进入磁场区域。已知小球可视为质点，小球的比荷，P点与小孔M在垂直于电场方向上的距离，不考虑空气阻力。求：
（1）匀强电场的场强大小；
（2）要使带电小球无碰撞地穿出磁场并打到平板上，求磁感应强度的取值范围；
（3）以小球从M点进入磁场开始计时，磁场的磁感应强度随时间呈周期性变化，规定磁场方向垂直于桌面向上为正方向，如图乙所示，求小球打到平板上的位置到Q点的距离。（，计算结果保留两位小数）
【答案】（1）；（2）；（3）0.38m
【详解】（1）小球在第Ⅱ象限内做类平抛运动，有
，
由牛顿第二定律得
联立解得
（2）设小球通过M点时的速度为v，由类平抛运动规律得
解得
小球垂直磁场方向进入两板间做匀速圆周运动，轨迹如图所示
由牛顿第二定律得
可得
小球刚好能打到Q点磁感应强度最强设为，此时小球的轨迹半径为，由几何关系得
解得
小球刚好不与板相碰时磁感应强度最小设为，此时粒子的轨迹半径为，由几何关系有
解得
综合可得磁感应强度的取值范围
（3）小球进入磁场做匀速圆周运动，设半径为，周期为T，有
，
解得
，
由磁场周期得小球在磁场中运动的轨迹如图所示
可得一个磁场周期内小球在x轴方向的位移为；由分析知有
（）
每个内，小球x方向位移
（）
小球y方向位移
可知小球在第6个内沿方向射出磁场，设打在平板上的位置到Q点距离为，有
解得
8．（2023·广东·二模）如图甲是一种利用磁场约束离子运动的装置原理图，内、外半径分别为R和3R的圆筒共轴放置，轴线水平，在轴线正下方是一对平行金属板，上板正中间的小孔a与外筒正中间的小孔b在通过轴线的同一竖直线上，a、b间距离为d、两筒之间分布着以轴为圆心的同心磁场，各处磁感应强度大小近似相等，磁感应强度为B，从右往左看截面如图乙所示。在平行板下板中央的一个质量为m、电量为e的氢离子（）从静止加速经小孔a从小孔b进入磁场，在磁场中的轨迹恰好与内筒下边缘相切；一段时间后调节板间电压为原来的2倍，并让一个氘核（）在下极板同一位置从静止加速也进入磁场。已知离子与筒壁正碰后均原速反弹且碰撞时间极短，离子与筒壁接触其电荷量不变，筒壁光滑，忽略离子间的相互作用和它们在平行板间加速的时间。
（1）求加速氢离子时平行板间的电压U多大；
（2）分析氘核是否与内筒壁碰撞，如果与内筒壁碰撞，求它与内筒壁第一次碰撞的点P（未在图中画出）与小孔b的水平距离s的大小；
（3）若氢离子第一次与筒左侧壁垂直碰撞后沿直线返回，运动到P点时与氘核相遇，筒长，求氢、氘核释放的时间间隔。
【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】（1）过筒中间轴线的竖直截面如图所示，
氢离子的轨迹刚好与内筒相切，故其半径为
r1=2R
由洛伦兹力提供向心力
解得
由动能定理
解得加速氢离子的电压为
（2）设氘核在磁场中的运动半径为r2，速度v2，由牛顿第二定律可知
由动能定理
解得
r2=4R
因为r2>2R，则氘核会与内筒碰撞；
通过作图可得氘核与轨迹碰撞点如图中的P点所示，由
可知
θ=30°
由此可得P点与小孔沿轴方向的距离为
（3）氢离子与筒的左壁垂直碰撞后原速返弹，且沿着轴做匀速直线运动，运动轨迹如图所示
氢离子在磁场中的运动周期为
氘核在磁场中的运动周期
由上述分析可知相遇前氢原子在磁场中运动的时间为
氘核在磁场中运动的时间
两粒子释放时的时间间隔
又
v1=v2
解得
9．（2024·云南·模拟预测）真空环境中的离子推进器固定在水平测试底座上，其核心部分由离子源、水平放置的两平行极板和产生匀强磁场的装置构成，简化模型如图所示。两极板间电压恒为U，极板间有磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外的匀强磁场。处于下极板左边缘的离子源发出质量为m、带电量为q的离子。某离子以速度v沿垂直于极板方向射入极板间，经过一段时间后，恰好从上极板右边缘的P点水平射出。不考虑离子重力和离子间的相互作用。
(1)判断离子所带电荷的正负；
(2)若两极板间的距离为d，求该离子刚进入电磁场瞬间受到的合外力大小；
(3)若该离子从进入电磁场到水平射出所用时间为t，求该离子经过P点时的速度大小及这段时间内对离子推进器的平均作用力大小。
【答案】(1)正电
(2)
(3)，
【详解】（1）离子在电磁场中向右偏转，根据左手定则知，离子带正电。
（2）离子受到的电场力为
洛伦兹力大小为
电场力与洛伦兹力相互垂直，由勾股定理可知，离子刚进入电磁场瞬间受到的合外力大小为
（3）设离子经过P点时的速度大小为vP，离子从进入电磁场到水平射出过程中，只有电场力做功，由动能定理得
解得
离子从进入电磁场到水平射出过程中，设离子推进器对离子的平均作用力大小为，由动量定理得
由牛顿第三定律得，这段时间内对离子推进器的平均作用力大小为
解得
21世纪教育网(www.21cnjy.com)模板11-2磁场（四大题型）
题型01 带电粒子在叠加场中的运动
电场、磁场、重力场中的两者或三者在同一区域共存，就形成叠加场。带电粒子在叠加场中的运动，一般具有较复杂的运动情景，涉及力的种类较多，包含的运动类型多，综合性强，对数学水平有较高的要求。
一、必备基础知识
1、叠加场
电场、磁场、重力场中的两者或三者在同一区域共存，就形成叠加场。
2、分类
电场力、重力并存，即电场力+重力＝F等效（恒力）：①带电粒子静止或匀速直线运动，则F电＝mg且方向相反（即F等效＝0）；②带电粒子做匀变速直线运动，则F等效≠0且与v共线；③带电粒子做匀变速曲线运动，则F等效≠0且与v不共线。该情景带电粒子没有圆周运动。
洛伦兹力、重力并存：①带电粒子做匀速直线运动，则F洛＝mg且方向相反，运动方向与F洛垂直；②带电粒子做变加速曲线运动（复杂曲线），则重力和洛伦兹力不平衡，因洛伦兹力不做功，故机械能守恒。该情景带电粒子无静止、无匀变速直线运动、无匀变速曲线运动、无匀速圆周。
磁场力、电场力并存（不计重力的微观粒子）：①带电粒子做匀速直线运动，则F洛＝F电且方向相反，运动方向与F洛垂直；②带电粒子做变加速曲线运动（复杂曲线），因洛伦兹力不做功，可用动能定理求解。该情景带电粒子无静止、无匀变速直线运动、无匀变速曲线运动、无匀速圆周。
静电力、洛伦兹力、重力并存：①带电粒子静止，则F电＝mg且方向相反，且F洛＝0；②带电粒子做匀速直线运动，则F电、mg、F洛三力平衡；③带电粒子做匀速圆周运动，则F电＝mg且方向相反，且F洛＝Fn；④带电粒子做变加速曲线运动（复杂曲线），则合力不为零且与速度方向不垂直，因洛伦兹力不做功，可用能量守恒定律或动能定理求解问题。该情景带电粒子无匀变速直线运动、无匀变速曲线运动。
3、带电体在叠加场中有约束情况下的运动
带电体在叠加场中受轻杆、轻绳、圆环、轨道等约束的情况下，常见的运动形式有直线运动和圆周运动，此时解题要通过受力分析明确变力、恒力做功情况，并注意洛伦兹力不做功的特点，运用动能定理、能量守恒定律结合牛顿运动定律求解。
二、解题模板
1、解题思路
2、注意问题
直线运动：①带电粒子所受合外力为零时，做匀速直线运动，处理这类问题，应根据受力平衡列方程求解；②带电粒子所受合外力恒定，且与初速度在一条直线上，粒子将作匀变速直线运动，处理这类问题，根据洛伦兹力不做功的特点，选用牛顿第二定律、动量定理、动能定理、能量守恒等规律列方程求解
曲线运动：①当带电粒子在所受的重力与电场力等值反向时，洛伦兹力提供向心力时，带电粒子在垂直于磁场的平面内做匀速圆周运动.处理这类问题，往往同时应用牛顿第二定律、动能定理列方程求解；②当带电粒子所受的合外力是变力，与初速度方向不在同一直线上时，粒子做非匀变速曲线运动，这时粒子的运动轨迹既不是圆弧，也不是抛物线，一般处理这类问题，选用动能定理或能量守恒列方程求解。
3、解题方法
叠加场的组成：弄清电场、磁场、重力场叠加情况；
受力分析：先分析场力（重力、电场力、磁场力），然后分析接触力（弹力、摩檫力），最后分析其它力；
运动分析：注意运动情况和受力情况的结合；
分段分析：粒子通过不同种类的场时，分段讨论；
画出轨迹：①静止或匀速直线运动（运用平衡条件）；②匀速圆周运动（运用牛顿运动定律和圆周运动规律）；③复杂曲线运动（运用动能定理或能量守恒定律）；④对于临界问题，注意挖掘隐含条件。
受力分析是基础：一般要从受力、运动、功能的角度来分析．这类问题涉及的力的种类多，含重力、电场力、磁场力、弹力、摩擦力等。
运动过程分析是关键：包含的运动种类多，含匀速直线运动、匀变速直线运动、类平抛运动、圆周运动以及其他曲线运动。
根据不同的运动过程及物理模型，选择合适的定理列方程（牛顿运动定律、运动学规律、动能定理、能量守恒定律等）求解。
（2024·贵州·高考真题）如图，边长为L的正方形区域及矩形区域内均存在电场强度大小为E、方向竖直向下且与边平行的匀强电场，右边有一半径为且与相切的圆形区域，切点为的中点，该圆形区域与区域内均存在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场。一带电粒子从b点斜向上射入电场后沿图中曲线运动，经边的中点进入区域，并沿直线通过该区域后进入圆形区域。所有区域均在纸面内，粒子始终在该纸面内运动，不计粒子重力。求：
(1)粒子沿直线通过区域时的速度大小；
(2)粒子的电荷量与质量之比；
(3)粒子射出圆形区域时速度方向与进入圆形区域时速度方向的夹角。
（2024·湖南·模拟预测）如图所示，空间中CE左侧区域Ⅰ内有场强大小N/C、方向水平向左的匀强电场，一条长L=0.8m且不可伸长的轻绳一端固定在区域I内的O点，另一端系一质量m=0.2kg，带电荷量q为0.1C的绝缘带正电小球a，初始时小球静止在M点。在紧靠区域I的右侧竖直放置一足够长、半径R=1m的光滑绝缘圆筒，圆筒上端截面水平，CD是圆筒上表面的一条直径且与区域Ⅰ的O点共线，直径PQ与直径CD垂直，圆筒内左半边PQJHEC区域Ⅱ中存在大小=20N/C、方向垂直CDEF平面向里的匀强电场。第一次给M处的小球一垂直于OM斜向上的初速度（未知），使其在竖直平面内绕O点恰好做完整的圆周运动，AB为圆的竖直直径。第二次给M处的小球一垂直于OM斜向上的初速度（未知），当小球a运动到O点正上方B点时，轻绳突然断裂，小球a刚好从区域Ⅰ的边界C点竖直向下离开区域Ⅰ的电场，然后贴着圆筒内侧进入区域Ⅱ。已知重力加速度大小取g=10m/s2，绳断前﹑断后瞬间，小球a的速度保持不变，忽略一切阻力，图中ABCDEF在同一竖直平直内。求：
(1)小球a第一次在M的初速度大小和第一次经过B点时绳的拉力T；
(2)绳断后小球a从B到C过程电势能的变化量；
(3)若小球a刚进入圆筒时，另一质量=0.2kg的绝缘不带电小球b从D点以相同速度竖直向下贴着圆筒内侧进入圆筒，经过一段时间，小球a、b发生弹性碰撞，且碰撞中小球a的电荷量保持不变，则从小球b进入圆筒到与两球发生第7次碰撞后，小球b增加的机械能是多大。
题型02 带电粒子在交变电磁场中的运动
交变电磁场的类型主要有以下三种：①电场周期性变化，磁场不变；②磁场周期性变化，电场不变；③电场和磁场周期性变化。要明确场的变化规律，找出衔接点是解题的关键。
一、必备基础知识
1、常见类型
①电场周期性变化，磁场不变；②磁场周期性变化，电场不变；③电场和磁场周期性变化。
2、分析思路
仔细分析并确定各场的变化特点及相应的时间，其变化周期一般与粒子在电场或磁场中的运动周期相关联。应抓住变化周期与运动周期之间的联系作为解题的突破口。
把粒子的运动过程还原成一个直观的运动轨迹草图进行分析。
把粒子的运动分解成多个运动阶段分别进行处理，根据每一个阶段上的受力情况确定粒子的运动规律。
二、解题模板
1、解题思路
2、注意问题
应抓住变化周期与运动周期之间的联系作为解题的突破口。
3、解题方法
先读图，看清并且明白不同场的变化情况；
受力分析，分析粒子在不同的变化场区的受力情况；
过程分析，分析粒子在不同时间段内的运动情况；
找衔接点，找出衔接相邻两个过程的速度大小及方向；
选规律，联立不同阶段的方程求解。
（2023·安徽·模拟预测）如图，两竖直平行线间存在两个有界匀强磁场，其中水平分界线上方Ⅰ区域磁场垂直纸面向里，分界线下方Ⅱ区域磁场垂直纸面向外，磁感应强度均为B。一个质量为、电荷量为的粒子以速度可以分别从左边界的两点水平射入磁场中。已知两点间的距离等于与的距离等于，粒子重力忽略不计。
（1）求粒子在磁场中做圆周运动的轨道半径；
（2）若粒子从点射入磁场中且恰好不从磁场左边界射出，求入射点到的距离；
（3）若粒子从点射入磁场中，求粒子在磁场中运动的总时间。
（2023·山东济南·模拟预测）如图甲所示，两平行板P、Q足够大，间距为。板间有可独立控制的变化的电场和磁场。取垂直于纸面向里为正方向，磁感应强度随时间的变化规律如图乙所示，电场强度E随时间的变化规律如图丙所示。时刻，一质量为、带电量为的粒子（不计重力），以初速度由Q板左端靠近板面的位置，沿垂直于磁场且平行于板面的方向射入磁场区。当、、取某些特定值时，可使时刻入射的粒子经垂直打在P板上（不考虑粒子反弹）。上述、、、、为已知量。
（1）若只加磁场，当时，求满足的条件；
（2）若同时加电场、磁场，当时，求满足的条件和粒子的位移；
（3）若同时加电场、磁场，当，求。
题型03带电粒子在磁场中运动的多解问题
带电粒子在磁场中运动时，往往由于粒子的电性不确定、磁场方向不确定、运动具有往复性等而造成多解。分析这类问题需要我们全面考虑多种可能，尽量避免因思维定势而造成漏解。
一、必备基础知识
1、问题
带电粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，由于多种因素的影响，使问题形成多解。
2、问题的类型
①带电粒子电性不确定形成多解：受洛伦兹力作用的带电粒子，可能带正电，也可能带负电，当粒子具有相同初速度时，正、负粒子在磁场中运动轨迹不同，导致多解。如下图所示，带电粒子以速度v垂直进入匀强磁场，若带正电，其轨迹为a；若带负电，其轨迹为b。
②临界状态不是唯一的形成多解：带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场时，由于粒子运动轨迹是圆弧状，因此粒子的运动情况为可能从边界穿过去了或者转过180°后从入射面边界反向飞出，如下图所示。
③磁场方向不确定形成多解：磁感应强度是矢量，如果题述条件只给出磁感应强度大小，而未说明磁感应强度方向，则应考虑因磁场方向不确定而导致的多解。如下图所示，带正电的粒子以速度v垂直进入匀强磁场，若B垂直纸面向里，其轨迹为a；若B垂直纸面向外，其轨迹为b。
④运动的往复性形成多解：带电粒子在部分是电场，部分是磁场的空间运动时，运动往往具有往复性，从而形成多解，如下图所示。
二、解题模板
1、解题思路
2、注意问题
周期性的多解问题要注意寻找通式。
3、解题方法
根据题意，确定多解的问题类型；
对运动过程进行受力分析和几何分析；
画出粒子运动的可能草图；
根据规律列方程进行求解。
（2024·陕西安康·模拟预测）如图所示，以OP为分界线将直角MON分为区域Ⅰ和Ⅱ，区域Ⅰ内存在方向垂直纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场，区域Ⅱ内存在方向垂直纸面向里、磁感应强度大小为2B的匀强磁场，OP与OM间的夹角为30°。一质量为m、带电量为的粒子从分界线上的P点以速度v、沿与分界线OP成60°角的方向射入区域Ⅰ，在区域Ⅰ偏转后直接从O点离开磁场区域，不计粒子的重力。
（1）求OP之间的距离；
（2）若粒子从P点射入的速度方向不变，大小可以改变，要使粒子仍从O点离开磁场区域，求粒子射入时速度大小的可能值。
（2024·河南安阳·一模）如图所示，在平面直角坐标系第一象限内存在一理想边界，边界和x轴之间存在垂直纸面、磁感应强度大小为B的匀强磁场（图中未画出），边界与y轴之间存在沿x轴负方向、电场强度大小为E的匀强电场。在第四象限内存在平行于y轴向下的匀强电场，在y轴正半轴上有可移动的粒子源能无初速释放电荷量大小为e、质量为m的电子，电子从静止被电场加速后进入磁场区域均能垂直穿过x轴，图中A点坐标为，不计电子受到的重力，求：
(1)磁场的方向；
(2)边界曲线的方程；
(3)能经过A点的电子释放点的纵坐标应满足的条件。
题型04 带电粒子的运动在现代科技中的应用
带电粒子的运动与现代科技的结合，使得这类题目的考查情景较新颖，这类题型的特点为在现代科技中考查带电粒子的运动问题，学生只需进行受力分析和运动分析，运用相关的物理规律就可以解决这类问题。
一、必备基础知识
1、速度选择器
简介：平行板中电场强度E和磁感应强度B互相垂直，这种装置能把具有一定速度的粒子选择出来，所以叫做速度选择器。
图例如下：
原理：①粒子受力特点：同时受方向相反的电场力和磁场力作用。②电场力和洛伦兹力平衡：qE=qvB，解得v=。
作用：①速度大小只有满足v=的粒子才能做匀速直线运动。②若v＜，电场力大，粒子向电场力方向偏，电场力做正功，动能增加。③若v＞，洛伦兹力大，粒子向磁场力方向偏，电场力做负功，动能减少。
2、质谱仪
简介：质谱仪是一种精密仪器，是测量带电粒子的质量和分析同位素的重要工具。
图例如下：
原理：
速度选择器和偏转磁场组合：①加速阶段；②匀速阶段； ③偏转过程；解得，其中都为定值，而偏转直径与成正比。
加速电场和偏转磁场组合：①加速阶段；②偏转过程；解得，其中都为定值，而偏转直径与成正比。
作用：测量带电粒子质量和分离同位素。
3、回旋计时器
构造：如图所示，D1、D2是半圆金属盒，D形盒处于匀强磁场B中，D形盒的缝隙处接交流电源。
图例如下：
原理：两个半圆金属盒处于与盒面垂直的匀强磁场B中，所以粒子在磁场中做匀速圆周运动。经过半个圆周之后，当它再次到达两盒间的缝隙时，控制两盒间的电势差，使其恰好改变正负，于是粒子经过盒缝时再一次被加速。如此，粒子在做圆周运动的过程中一次一次地经过盒缝，而两盒间的电势差一次一次地反向，粒子的速度就能够增加到很大。交流电周期和粒子做圆周运动的周期相等，使粒子每经过一次D形盒缝隙，粒子被加速一次。
4、磁流体发电
简介：磁流体发电是一项新兴技术，它可以把内能直接转化为电能。
图例如下：
原理：将等离子气体垂直于磁场方向喷入匀强磁场，正、负离子在洛伦兹力作用下发生上下偏转而聚集到A、B板上，产生电势差。设平行金属板A、B的面积为S，相距L，等离子气体的电阻率为ρ，喷入气体速率为v，板间磁场的磁感应强度为B，板外电阻为R，当正、负离子受到的洛伦兹力和静电力大小相等时，匀速通过A、B板间，此时A、B板上聚集的电荷最多，板间电势差最大，大小即为电源的电动势E。沿从S极向N极方向进行观察，如下图所示，则有，则电动势，电源内阻，由闭合电路欧姆定律知，通过的电流。
5、电磁流量计
简介：电磁流量计是应用电磁感应原理， 根据导电流体通过外加磁场时感生的电动势来测量导电流体流量的一种仪器。
图例如下：
原理：
流量(Q)：单位时间流过导管某一截面的导电液体的体积。
导电液体的流速(v)的计算：一圆柱形导管直径为d，用非磁性材料制成，其中有可以导电的液体向右流动。导电液体中的自由电荷(正、负离子)在洛伦兹力作用下发生偏转，使a、b间出现电势差，当自由电荷所受电场力和洛伦兹力平衡时，a、b间的电势差(U)达到最大，由，可得。
流量的表达式：。
电势高低的判断：根据左手定则可得φa＞φb。
6、霍尔效应模型
简介：高为h、宽为d的导体(自由电荷是电子或正电荷)置于匀强磁场B中，当电流通过导体时，在导体的上表面A和下表面A′之间产生电势差，这种现象称为霍尔效应，此电压称为霍尔电压。
图例如下：
原理：
电势高低的判断：如图所示，导体中的电流I向右时，根据左手定则可得，若自由电荷是电子，则下表面A′的电势高；若自由电荷是正电荷，则下表面A′的电势低。
霍尔电压：导体中的自由电荷(电荷量为q)在洛伦兹力作用下偏转，A、A′间出现电势差，当自由电荷所受电场力和洛伦兹力平衡时，A、A′间的电势差(U)就保持稳定，由，，，联立解得。
霍尔系数：。
二、解题模板
1、解题思路
2、注意问题
速度选择器只能选择粒子的速度，不能选择粒子的电性、电荷量、质量。
3、解题方法
回旋加速器：
粒子运动的总时间：粒子在磁场中运动一个周期，被电场加速两次，每次增加动能，加速次数，粒子在磁场中运动的总时间。该式忽略粒子在狭缝中运动的时间。
不忽略加速时间的总时间：加速时间为（粒子加速时做匀加速直线运动，有，），则。
当带电粒子速度最大时，其运动半径也最大，即rm＝，再由动能定理得：Ekm＝，所以要提高带电粒子获得的最大动能，应尽可能增大磁感应强度B和D形盒的半径rm。若D形盒半径为R，则带电粒子的最终动能Em＝，粒子获得的最大动能由磁感应强度B和金属盒半径R决定，与加速电压无关。
（2024·广东·二模）利用带电粒子在电场和磁场中受力偏转的原理，可以测定带电粒子的荷质比。如图所示，在长度为L、相距为d的平行金属板M、N间有垂直纸面向外、磁感应强度为B的匀强磁场。某带电粒子以初速度沿平行板中轴线，射入两板间，测得粒子离开磁场时，速度的偏转角为．然后在两板间加上电压，板间形成匀强电场，那么仍以初速度射入的该带电粒子将不发生偏转，沿中轴线通过磁场。不计粒子的重力，根据以上物理量，求：
（1）初速度的大小；
（2）带电粒子的荷质比．
（2024·山东济南·三模）回旋加速器是获取高能粒子的重要工具，被广泛应用于科学研究和医学治疗中。回旋加速器的工作原理如图甲所示，真空中两个相同的半圆形区域和的圆心分别为、，两半圆形区域内分布着方向垂直纸面向里的匀强磁场。两区域间狭缝的宽度为，在狭缝间施加如图乙所示的交变电压，电压值的大小为。时刻，在点由静止释放质量为、电荷量为带电粒子，粒子经过狭缝的时间不能忽略，粒子在狭缝间的运动可视为匀变速直线运动，交变电压的变化周期，匀强磁场感应强度的大小，不计粒子重力及粒子的相对论效应，求
（1）粒子第一次在区域内做匀速圆周运动的轨道半径；
（2）粒子从开始释放到第二次刚离开区域所用的时间；
（3）若半圆形区域的直径足够大，粒子在磁场中运动的最大速度。
1．（2023·天津西青·模拟预测）如图所示，在x轴的上方存在垂直纸面向里，磁感应强度大小为B0的匀强磁场。位于x轴下方的离子源C发射质量为m、电荷量为q的一束负离子，其初速度大小范围，这束离子经电势差的电场加速后，从小孔O（坐标原点）垂直x轴并垂直磁场射入磁场区域，最后打到x轴上。在x轴上区间水平固定放置一探测板（），假设每秒射入磁场的离子总数为N0，打到x轴上的离子数均匀分布（离子重力不计）。
（1）求离子束从小孔O射入磁场后打到x轴最远处位置（用含的物理量a表示）；
（2）调整磁感应强度的大小，可使速度最大的离子恰好打在探测板右端，求此时的磁感应强度大小B1；
（3）保持磁感应强度B1不变，求每秒打在探测板上的离子数N；若打在板上的离子80%被吸收，20%被反向弹回，弹回速度大小为打板前速度大小的0.6倍，被吸收和被弹回的离子数在探测板上沿x轴均匀分布，求探测板受到的作用力大小。
2．（2024·天津和平·二模）将一金属或半导体薄片垂直置于磁场中，并沿垂直磁场方向通入电流，则在导体中垂直于电流和磁场方向会产生一个电势差，这一现象称为霍尔效应，此电势差称为霍尔电压。某长方体薄片霍尔元件，长为a、宽为b、厚为c，在霍尔元件中有沿x轴方向的电流强度为I，若霍尔元件中导电的载流子是自由电子，带电量为e，薄片处在沿方向磁感应强度为B的匀强磁场中，则在沿z轴方向产生霍尔电压，
（1）请判断该霍尔元件图中前、后两个侧面，哪端的电势高，并简要叙述理由；
（2）该霍尔元件在具体应用中，有，式中的称为霍尔元件灵敏度，一般要求越大越好，推导的表达式并解释为什么霍尔元件一般都做得很薄；
（3）由于金属中载流子密度很大，霍尔效应不明显，因此霍尔元件常用半导体而不是金属。一种半导体材料中同时存在电子与空穴两种载流子（空穴可视为能移动的带正电的粒子），每个载流子所带电量的绝对值均为e，单位体积内电子和空穴的数目之比为ρ，在霍尔电压稳定后，电子和空穴沿z方向定向移动的速率分别为和，求电子和空穴沿z轴方向定向移动的速率和之比。
3．（2024·河南许昌·模拟预测）某种电磁流量计的外形如图甲所示，工作原理如图乙所示：直径为d的圆柱形管道的上、下方装有励磁线圈，励磁线圈通过恒定电流Ⅰ时，管内会产生竖直向下的匀强磁场，磁感应强度与所加的励磁电流成正比，比例系数为k；当含有大量正负离子的液体沿管道以图示方向以恒定速度v通过流量计时，在水平直径两端的a、b电极之间就会产生恒定的电势差，可以通过连接在a、b两端的电压表读出，经过转换即可得到穿过管道的液体的流量（单位时间内流过管道横截面的液体体积）。
（1）a、b哪点电势高？
（2）为了把电压表转换为流量表，需要得到流量与电压表示数的比值s，求s的值。
4．（2025·重庆·一模）图为可测定比荷的某装置的简化示意图，在第一象限区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小，在x轴上距坐标原点L=0.50m的P处为离子的入射口，在y上安放接收器，现将一带正电荷的粒子以v=3.5×104m/s的速率从P处射入磁场，若粒子在y轴上距坐标原点L=0.50m的M处被观测到，且运动轨迹半径恰好最小，设带电粒子的质量为m，电量为q，不记其重力。
(1)求上述粒子的比荷；
(2)如果在上述粒子运动过程中的某个时刻，在第一象限内再加一个匀强电场，就可以使其沿y轴正方向做匀速直线运动，求该匀强电场的场强大小和方向，并求出从粒子射入磁场开始计时经过多长时间加这个匀强电场；
(3)为了在M处观测到按题设条件运动的上述粒子，在第一象限内的磁场可以局限在一个矩形区域内，求此矩形磁场区域的最小面积。
5．（2024·山东·模拟预测）如图所示，在坐标系区域内存在平行于轴、电场强度大小为（未知）的匀强电场，分界线将区域分为区域Ⅰ和区域Ⅱ，区域Ⅰ存在垂直纸面向外、磁感应强度大小为（未知）的匀强磁场，区域Ⅱ存在垂直直面向里、磁感应强度大小为的匀强磁场及沿轴负方向、电场强度大小为的匀强电场。一质量为、电荷量为的带正电粒子从点以初速度垂直电场方向进入第二象限，经点进入区域Ⅰ，此时速度与轴正方向的夹角为，经区域Ⅰ后由分界线上的点（图中未画出）垂直分界线进入区域Ⅱ，不计粒子重力及电磁场的边界效应。求：
(1)电场强度的大小；
(2)带电粒子从点运动到点的时间；
(3)粒子在区域Ⅱ中运动时，第1次和第5次经过轴的位置之间的距离。
6．（2025·重庆·模拟预测）如图所示，空间有一圆心为O，半径为d，垂直纸面向外的圆形匀强磁场区域，磁感应强度，磁场正下方有一板间距为2d的平行板电容器。y轴是电容器的中心轴线，A、B分别为极板左右边缘两点，AB连线与圆形磁场相切。连线上的P点距B点0.5d。从距圆形磁场圆周上C点L处开始存在多个间距为L1、L2 Ln的垂直纸面向外的窄条形磁场B1、B2 Bn。磁场间距Ln满足Ln=nL（n为正整数），相邻条形磁场间的无磁场区域，其间距始终为L。每个磁场的边界均与y轴平行，且位于x轴下方。现电容器左右极板间加上如图乙所示的周期为T的交变电压，大量比荷为k的正粒子从y轴上的M点以相同速度v0沿y轴正向射入电容器，其中t=0时刻射入的粒子恰好在T时刻到达P点。不计粒子重力及电场边缘效应和粒子间相互作用。
(1)求平行板电容器板长L0及电压U0的值；
(2)若t时刻打入平行板电容器的粒子能经C点沿x轴正向射出圆形磁场，求t的可能值；
(3)若窄条形磁场的磁感应强度Bn满足（n为正整数），且。将能打入条形磁场的粒子能到达的最远磁场记为Bn，到达的最近磁场记为Bm，求n-m的值。
7．（2024·山东泰安·模拟预测）如图甲所示，在光滑绝缘水平桌面内建立xOy坐标系，在第Ⅱ象限内有平行于桌面的匀强电场，场强方向与x轴负方向的夹角θ＝45°。在第Ⅲ象限垂直于桌面放置两块相互平行的平板、，两板间距为，板间有垂直于桌面向上的匀强磁场，两板右端在y轴上，板与x轴重合，在其左端紧贴桌面有一小孔M，小孔M离坐标原点O的距离为L＝0.72 m。在第Ⅳ象限垂直于x轴放置一块平行y轴且沿y轴负向足够长的竖直平板，平板在x轴上垂足为Q，垂足Q与原点O相距现将一带负电的小球从桌面上的P点以初速度垂直于电场方向射出，刚好垂直于x轴穿过板上的M孔，进入磁场区域。已知小球可视为质点，小球的比荷，P点与小孔M在垂直于电场方向上的距离，不考虑空气阻力。求：
（1）匀强电场的场强大小；
（2）要使带电小球无碰撞地穿出磁场并打到平板上，求磁感应强度的取值范围；
（3）以小球从M点进入磁场开始计时，磁场的磁感应强度随时间呈周期性变化，规定磁场方向垂直于桌面向上为正方向，如图乙所示，求小球打到平板上的位置到Q点的距离。（，计算结果保留两位小数）
8．（2023·广东·二模）如图甲是一种利用磁场约束离子运动的装置原理图，内、外半径分别为R和3R的圆筒共轴放置，轴线水平，在轴线正下方是一对平行金属板，上板正中间的小孔a与外筒正中间的小孔b在通过轴线的同一竖直线上，a、b间距离为d、两筒之间分布着以轴为圆心的同心磁场，各处磁感应强度大小近似相等，磁感应强度为B，从右往左看截面如图乙所示。在平行板下板中央的一个质量为m、电量为e的氢离子（）从静止加速经小孔a从小孔b进入磁场，在磁场中的轨迹恰好与内筒下边缘相切；一段时间后调节板间电压为原来的2倍，并让一个氘核（）在下极板同一位置从静止加速也进入磁场。已知离子与筒壁正碰后均原速反弹且碰撞时间极短，离子与筒壁接触其电荷量不变，筒壁光滑，忽略离子间的相互作用和它们在平行板间加速的时间。
（1）求加速氢离子时平行板间的电压U多大；
（2）分析氘核是否与内筒壁碰撞，如果与内筒壁碰撞，求它与内筒壁第一次碰撞的点P（未在图中画出）与小孔b的水平距离s的大小；
（3）若氢离子第一次与筒左侧壁垂直碰撞后沿直线返回，运动到P点时与氘核相遇，筒长，求氢、氘核释放的时间间隔。
9．（2024·云南·模拟预测）真空环境中的离子推进器固定在水平测试底座上，其核心部分由离子源、水平放置的两平行极板和产生匀强磁场的装置构成，简化模型如图所示。两极板间电压恒为U，极板间有磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外的匀强磁场。处于下极板左边缘的离子源发出质量为m、带电量为q的离子。某离子以速度v沿垂直于极板方向射入极板间，经过一段时间后，恰好从上极板右边缘的P点水平射出。不考虑离子重力和离子间的相互作用。
(1)判断离子所带电荷的正负；
(2)若两极板间的距离为d，求该离子刚进入电磁场瞬间受到的合外力大小；
(3)若该离子从进入电磁场到水平射出所用时间为t，求该离子经过P点时的速度大小及这段时间内对离子推进器的平均作用力大小。
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