模板11-1 磁场（四大题型）
题型01安培力作用下导体的平衡与加速问题
安培力作用下导体的平衡与加速问题，解题思路与力学平衡问题和加速问题完全相同，都是在受力分析的基础上根据平衡条件、牛顿运动定律等列方程求解。解答此类问题的关键是将立体图像转化为平面图像。
一、必备基础知识
1、安培力的反向
安培力：通电导线在磁场中受的力。
左手定则：伸开左手，使拇指与其余四个手指垂直，并且都与手掌在同一个平面内；让磁感线从掌心进入，并使四指指向电流的方向，这时拇指所指的方向就是通电导线在磁场中所受安培力的方向。
特点：通电导线在磁场中所受的安培力F，总垂直于电流与磁感线两者所决定的平面，即F⊥B，F⊥I， F垂直于B和I决定的平面。也就是安培力一定垂直B和I，但B与I不一定垂直。使用左手定则判断定安培力方向时，左掌手心应迎B垂直于I的分量（B⊥＝Bsinθ）。磁感线方向（磁感应强度方向）不一定垂直于电流方向。
判断方法：①弄清楚导体所在位置的磁场分布情况；②利用左手定则准确判定导体的受力情况；③确定导体的运动方向或运动趋势的方向。
2、安培力的大小
计算公式：当磁感应强度B的方向与导线方向成θ角时，F＝BILsinθ，这是一般情况下的安培力的表达式。有两种特殊情况：磁场和电流垂直时：F＝BIL；磁场和电流平行时：F＝0。
适用范围：一般只适用于匀强磁场。
有效长度：弯曲通电导线的有效长度等于两端点所连直线的长度，相应的电流方向由始端指向末端，如下图所示。因为任意形状的闭合线圈，其有效长度L＝0，所以通电后在匀强磁场中，受到的安培力的矢量和一定为零。
3、安培力作用下导体的平衡与加速问题
问题分类：安培力作用下静态平衡问题：通电导体在磁场中受安培力和其它力作用而处于静止状态，可根据磁场方向、电流方向结合左手定则判断安培力方向。
安培力作用下动态平衡问题：此类题目是平衡问题，只是由于磁场大小或方向、电流大小或方向的变化造成安培力变化，与力学中某个力的变化类似的情景。
安培力作用下加速问题：此类题目是导体棒在安培力和其它力作用下合力不再为零，而使导体棒产生加速度，根据受力特点结合牛顿第二定律解题是常用方法。
求解关键：电磁问题力学化；立体图形平面化（如下图所示）。
二、解题模板
1、解题思路
2、注意问题
安培力的方向总是既与磁场方向垂直，又与电流方向垂直，也就是说安培力的方向总是垂直于磁场和电流所决定的平面，所以判断时要首先确定磁场与电流所确定的平面，从而判断出安培力的方向在哪一条直线上，然后再根据左手定则判断出安培力的具体方向。
当电流方向跟磁场方向不垂直时，安培力的方向仍垂直电流与磁场所决定的平面，所以仍可用左手定则来判断安培力的方向，只是磁感线不再垂直穿过手心，而是斜穿过手心。
非匀强磁场安培力的求解方法：如果导线各部分所处的位置B的大小、方向不相同，应将导体分成若干段，使每段导线所处的范围B的大小和方向近似相同，求出各段导线受的磁场力，然后再求合力。
安培力作用下导体的平衡问题与力学中的平衡问题分析方法相同，只不过多了安培力，解题的关键是画出受力分析示意图。
安培力作用下导体的加速问题与动力学问题分析方法相同，关键是做好受力分析，然后根据牛顿第二定律求出加速度。
安培力做功的特点和实质：安培力做功与路径有关，不像重力、电场力做功与路径无关。
安培力做功的实质是能量转化：①安培力做正功时将电源的能量转化为导线的动能或其他形式的能；②安培力做负功时将其他形式的能转化为电能后储存起来或转化为其他形式的能。
3、解题方法
电流元法 分割为电流元安培力方向→整段导体所受合力方向→运动方向
特殊位置法 在特殊位置→安培力方向→运动方向
等效法 环形电流 小磁针 条形磁铁 通电螺线管 多个环形电流
结论法 同向电流互相吸引，反向电流互相排斥；两不平行的直线电流相互作用时，有转到平行且电流方向相同的趋势
转换研究 对象法 定性分析磁体在电流磁场作用下如何运动或运动趋势的问题，可先分析电流在磁体磁场中所受的安培力，然后由牛顿第三定律，确定磁体所受电流磁场的作用力，从而确定磁体所受合力及运动方向
解题步骤：
明确研究对象：通电导线或通电导体棒；
画平面图：立体图为平面图，如侧视图、剖面图或俯视图等，导体棒或导线用圆圈 表示，电流方向用“×”或“●”表示，电流垂直纸面向里画，电流垂直纸面向外画⊙；
受力分析和运动分析：分析重力、弹力、摩擦力等，然后由左手定则判断安培力的方向，分析研究对象的运动情况；
列平衡方程或牛顿第二定律的方程式进行求解。
（2024·海南·一模）如图所示，间距为的平行金属导轨倾斜放置，与水平面的夹角。一质量为的金属棒垂直导轨放置，并与定值电阻R（大小未知）、电动势（内阻不计）的电源、开关S构成闭合回路，整个装置处在竖直向上磁感应强度大小为的匀强磁场中。闭合开关S，金属棒恰好不会沿导轨向上滑动.已知金属棒与导轨间的动摩擦因数为，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，导轨和金属棒的电阻均不计，重力加速度g取，金属棒始终与导轨垂直且接触良好。
（1）求电阻R的阻值；
（2）若把电源更换为电动势为、内阻的电源，闭合开关S时，求金属棒的瞬时加速度大小。
思路分析 第一问的思路： 第二问的思路： 详细解析 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）金属棒恰好不向上滑动，所受的摩擦力方向沿导轨向下，对金属棒受力分析如图所示， 由平衡条件可知 又 联立解得 （2）若把电源更换为电动势为、内阻为的电源，开关闭合S的瞬间，金属棒所受的安培力大小 根据牛顿第二定律有 解得
（2024·北京海淀·二模）如图所示，宽为L的固定光滑平行金属导轨与水平面成α角，金属杆ab水平放置在导轨上，且与导轨垂直，处于磁感应强度大小为B、方向竖直向上的匀强磁场中。电源电动势为E，当电阻箱接入电路的阻值为R0时，金属杆恰好保持静止。不计电源内阻、导轨和金属杆的电阻，重力加速度为g。
（1）求金属杆所受安培力的大小F。
（2）求金属杆的质量m。
（3）保持磁感应强度大小不变，改变其方向，同时调整电阻箱接入电路的阻值R以保持金属杆静止，求R的最大值。
【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】（1）电路中的电流
金属杆受到的安培力
（2）金属杆受力平衡，有
解得
（3）当磁感应强度垂直斜面向上时，安培力最小，电路中的电流最小，R有最大值，依据平衡条件有
解得
题型02带电粒子在匀强磁场中的运动
这类题型为带电粒子在以某种角度垂直射入某磁场中，求粒子的轨道半径、运动时间等物理量。求解的关键是定圆心和半径，需要学生掌握一定的几何知识。
一、必备基础知识
1、洛伦兹力
定义：磁场对运动电荷的作用力叫洛伦兹力。
方向的判定方法（左手定则）：伸开左手，使拇指与其余四个手指垂直，并且都与手掌在同一个平面内；让磁感线从掌心进入，并使四指指向正电荷运动的方向，这时拇指所指的方向就是正电荷所受洛伦兹力的方向.负电荷受力的方向与正电荷受力的方向相反。
表达式：，θ为v与B的夹角。当v∥B（θ＝0°或180°）时，洛伦兹力F＝0；当v⊥B（θ＝90°）时，洛伦兹力F＝0；当v=0时，洛伦兹力F＝0。
2、带电粒子在匀强磁场中的运动
规律：带电粒子在只受洛伦兹力作用的条件下（电子等微观粒子的重力通常忽略不计），有三种运动情况：①若带电粒子的速度方向与磁场方向平行（v∥B），在匀强磁场中做匀速直线运动；②若带电粒子的速度方向与磁场方向垂直（v⊥B），在垂直于磁感线的平面内以入射速度v做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力；③运动方向与磁场方向既不平行也不垂直时，带电粒子在磁场中做等半径、等螺距的螺旋线运动。
圆周运动圆心的确定：
①由两点和两线确定圆心，画出带电粒子在匀强磁场中的运动轨迹。确定带电粒子运动轨迹上的两个特殊点（一般是射入和射出磁场时的两点），过这两点作带电粒子运动方向的垂线（这两垂线即为粒子在这两点所受洛伦兹力的方向），则两垂线的交点就是圆心，如图（a）所示。
②若只已知过其中一个点的粒子运动方向，则除过已知运动方向的该点作垂线外，还要将这两点相连作弦，再作弦的中垂线，两垂线交点就是圆心，如图（b）所示。
③若已知一个点及运动方向和另外某时刻的速度方向，但不确定该速度方向所在的点，如图（c）所示，此时要将其中一个速度的延长线与另一速度的反向延长线相交成一角（∠PAM），画出该角的角平分线，它与已知点的速度的垂线交于一点O，该点就是圆心。
④轨迹圆弧与边界切点的法线过圆心。某点的速度垂线与切点法线的交点。如图。
圆周运动半径的确定：
①物理方程法：半径R＝。
②几何法：一般由数学知识（勾股定理、三角函数等）计算来确定。如下图所示，R＝或由R2＝L2＋（R－d）2求得R＝。
圆周运动圆心角与时间的确定：
圆心角的确定：①φ（速度的偏向角）＝θ（圆弧所对应的圆心角）＝2α（弦切角），即φ＝θ＝2α＝ωt，如图所示；②偏转角φ与弦切角α的关系：φ<180°时，φ＝2α；φ>180°时，φ＝360°－2α。
运动时间的计算：①由圆心角求，t＝·T；②由弧长求，t＝。
二、解题模板
1、解题思路
2、注意问题
只有垂直于磁感应强度方向进入匀强磁场的带电粒子，才能在磁场中做匀速圆周运动。
带电粒子做匀速圆周运动的半径与带电粒子进入磁场时速率的大小有关，而周期与速率、半径都无关。
3、解题方法
画轨迹确定圆心。
确定运动过程的关系：①轨道半径与磁感应强度、运动速度相联系，即；②利用数学知识（勾股定理、三角函数等）计算来确定半径；③寻找偏转角度与圆心角、运动时间的关系；④寻找带电粒子在磁场中运动时间与周期（T＝）的关系。
运动牛顿运动定律和圆周运动的规律等，进行分析及计算。
（2024·重庆·高考真题）有人设计了一粒种子收集装置。如图所示，比荷为的带正电的粒子，由固定于M点的发射枪，以不同的速率射出后，沿射线MN方向运动，能收集各方向粒子的收集器固定在MN上方的K点，O在MN上，且KO垂直于MN。若打开磁场开关，空间将充满磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向里的匀强磁场，速率为v0的粒子运动到O点时，打开磁场开关，该粒子全被收集，不计粒子重力，忽略磁场突变的影响。
(1)求OK间的距离；
(2)速率为4v0的粒子射出瞬间打开磁场开关，该粒子仍被收集，求MO间的距离；
(3)速率为4v0的粒子射出后，运动一段时间再打开磁场开关，该粒子也能被收集。以粒子射出的时刻为计时O点。求打开磁场的那一时刻。
思路分析 第一问的思路： 第二问的思路： 第三问的思路： 详细解析 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）（1）当粒子到达О点时打开磁场开关，粒子做匀速圆周运动，设轨迹半径为r1，如图所示 由洛伦兹力提供向心力得 其中 （2）速率为4v0的粒子射出瞬间打开磁场开关，则粒子在磁场中运动的轨迹半径 r2 = 4r1 如图所示，由几何关系有 （4r1-2r1）2＋MO2 = (4r1)2 解得 （3）速率为4v0的粒子射出一段时间t到达N点，要使粒子仍然经过K点，则N点在O点右侧，如图所示 由几何关系有 （4r1-2r1）2＋ON2 = (4r1)2 解得 粒子在打开磁场开关前运动时间为 解得
（2024·四川成都·模拟预测）如图所示，边长为L的等边三角形abc区域外存在着垂直于abc所在平面的匀强磁场，磁感应强度大小为B。P、Q均为ab边的三等分点。t = 0时刻，磁场方向正好垂直于abc所在平面向里，带负电的粒子在abc平面内以初速度v0从a点垂直于ac边射出，并从P点第一次进入三角形abc区域。粒子第一次和第二次经过bc边时，磁场方向会反向一次，磁感应强度大小始终为B，其余时间磁场方向保持不变。不计带电粒子重力，求：
（1）粒子的荷质比；
（2）粒子从a点射出后第二次到达Q点的时间。
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）由几何关系可得
由洛伦兹力提供向心力可得
解得
（2）设粒子做匀速圆周运动的周期为T，则
画出粒子的运动轨迹如图
粒子第二次到达Q点共经历三次圆周运动和三次匀速直线运动，由图可知
联立有
题型03 有界匀强磁场的运动模型
这类问题由于磁场是有边界的，空间往往受到约束从而决定了粒子运动的半径，进而影响其它物理量，造成临界状态和极值的存在。需要学生掌握一定的几何知识和具备较高的空间想象力。解题的关键在于临界状态和极值的确定。
一、必备基础知识
1、问题的描述
带电粒子在有边界的磁场中运动时，由于边界的限制往往会出现临界问题。
解决带电粒子在磁场中运动的临界问题的关键，通常以题目中的“恰好”“最大”“至少”等为突破口，寻找临界点，确定临界状态，根据磁场边界和题设条件画好轨迹，建立几何关系求解。
2、数学知识
几何模型：圆与直线相交、圆与圆相交，构造图像中的三角形。
确定角度：若有已知角度，则利用互余、互补、偏向角与圆心角的关系、弦切角与圆心角的关系确定；若没有已知角度，则利用边长关系确定。
对称性（如下图所示）：圆与直线相交，圆弧轨迹关于圆心到边界的垂线轴对称；轨迹圆和磁场圆相交，圆弧轨迹关于两圆心的连线轴对称。
3、直线边界模型
该模型粒子进出磁场具有对称性，模型图如下：
时间的计算：图甲中粒子在磁场中运动的时间t==；图乙中粒子在磁场中运动的时间t=T==；图丙中粒子在磁场中运动的时间t=T=。
4、平行边界
该模型往往存在临界条件，模型图如下：
时间的计算：图甲中粒子在磁场中运动的时间t1=，t2==；图乙中粒子在磁场中运动的时间t=；图丙中粒子在磁场中运动的时间t=T==；图丁中粒子在磁场中运动的时间t=T=。
5、圆形边界
沿径向射入圆形磁场的粒子必沿径向射出，运动具有对称性，如下图所示，粒子做圆周运动的半径r＝，粒子在磁场中运动的时间t＝T＝，运动角度关系为：θ＋α＝90°。
不沿径向射入时，射入时粒子速度方向与半径的夹角为θ，射出磁场时速度方向与半径的夹角也为θ，如图所示。
正对圆心射入圆形磁场区域，如下图所示，正对圆心射出，两圆心和出（入）射点构成直角三角形，有，则磁偏转半径，根据半径公式联立求解时间。速度v0越大，则磁偏转半径r越大，圆心角α越小，时间t越短。若r=R，构成正方形。
不正对圆心射入圆形磁场区域，如下图所示，左边两个图有两个等腰三角形，一条共同的底边；最后一个图示当r=R时，构成菱形。
6、环形磁场模型
环形磁场模型的临界圆如下图所示，三个环形磁场的临界半径分别为：；；由勾股定理(R2-R1)2=R12+r2，解得：。
二、解题模板
1、解题思路
2、注意问题
带电粒子刚好穿出磁场边界的条件：带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切；时间最长或最短的临界条件：①当以一定的速率垂直射入磁场时，运动的弧长越长，运动时间越长；②当比荷相同，入射速率v不同时，圆心角越大，运动时间越长。
3、解题方法
极值的求解方法：
①物理方法：利用临界条件求极值；利用问题的边界条件求极值；利用矢量图求极值。
②数学方法：利用三角函数求极值；利用二次方程的判别式求极值；利用不等式的性质求极值；利用图像法、等效法、数学归纳法求极值。
（2024·河北·模拟预测）如图，xOy坐标系所在的平面内，在区域内有垂直纸面向里的匀强磁场。x轴上的点向直线的右侧各个方向发射大量质量为m、电荷量为q的带负电粒子，速度大小均为v。其中某粒子在点垂直于y轴离开磁场区域。不计粒子重力。
(1)求磁感应强度B的大小；
(2)从P点发出的粒子中是否有粒子能回到P点？若无，请说明理由；若有，请求出粒子从P点发出到回到P点的时间。
思路分析 第一问的思路： 第二问的思路： 详细解析 【答案】(1) (2)有， 【详解】（1）如图中轨迹①所示 从P点水平射入磁场的粒子可以垂直于y轴离开磁场，在磁场中，洛伦兹力提供粒子做圆周运动的向心力，设轨迹半径为r，则有 由几何关系得 解得 （2）假设有粒子能回到P点，如图中轨迹②所示，设从P点沿x轴上方与x轴成角发射的粒子能回到P点，由几何知识得 解得 故假设成立，即有粒子能回到P点 粒子在磁场中运动时轨迹所对应的圆心角 粒子在磁场中运动的时间 粒子做匀速直线运动的时间 粒子从P点发出到回到P点的时间 联立解得
（2024·贵州遵义·一模）如图所示，虚线左侧空间存在与直流电源相连的两块正对平行金属板，两板间电压恒为U，板长为，板间距离为L，两板间存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里；右侧空间足够大区域内存在磁感应强度大小为，方向也垂直纸面向里的匀强磁场。S为两板中轴线上的粒子源，能够沿中轴线射出初速度相同的同种带电粒子，沿直线穿过板间区域，从P点进入右侧区域并运动到M点，间的距离为L。保持两板间电压U不变，撤掉左侧磁场，再次从S射出的粒子最终打在下板上某点A处（图中未画出）。不计粒子重力及粒子间的相互作用，忽略电场和磁场的边缘效应。求：
(1)粒子的电性及初速度大小；
(2)粒子的荷质比；
(3)粒子刚到A点时的速度。
【答案】(1)粒子带正电，
(2)
(3)，速度方向与板夹角为
【详解】（1）根据粒子在磁场中的偏转方向结合左手定则可知，粒子带正电。
在左侧空间里，粒子以沿直线穿过该区域，则有
，
解得
（2）在右侧空间里，粒子做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力得
又
解得粒子的荷质比为
（3）撤掉左侧磁场后，粒子在该区域做类平抛运动，在A点速度方向与板夹角为，由动能定理得
解得
则有
解得
题型04 带电粒子在组合场中的运动
组合场为电场、磁场交替出现但不重叠，带电粒子在电场力作用下的运动与洛伦兹力作用下的运动有不同的特点，在高考中常把这两种情景组合起来，学生需要将带电粒子运动的过程划分为几个不同的阶段，对不同的阶段选取不同的规律处理，对速度、距离等的衔接要理清思路。
一、必备基础知识
1、组合场
电场与磁场各位于一定的区域内，并不重叠，或在同一区域，电场、磁场交替出现。
2、类型
磁场与磁场的组合：磁场与磁场的组合问题实质就是两个有界磁场中的圆周运动问题，带电粒子在两个磁场中的速度大小相同，但轨迹半径和运动周期往往不同。解题时要充分利用两段圆弧轨迹的衔接点与两圆心共线的特点，进一步寻找边角关系。
先磁场后电场：①进入电场时粒子速度方向与电场方向相同或相反，如下图所示，粒子在电场中做加速或减速运动，用动能定理或运动学公式进行求解；②进入电场时粒子速度方向与电场方向垂直，如下图所示，粒子在电场中做类平抛运动，利用相关知识进行求解。
先电加速后磁偏转：带电粒子先在匀强电场中做匀加速直线运动，然后垂直进入匀强磁场做匀速圆周运动，如下图所示。
先电偏转后磁偏转：带电粒子先在匀强电场中做类平抛运动，然后垂直进入磁场做匀速圆周运动，如下图所示。
二、解题模板
1、解题思路
2、注意问题
过程的划分：将粒子运动的过程划分为几个不同的阶段，对不同的阶段选取不同的规律处理。
关键点的寻找：确定带电粒子在场区边界的速度(包括大小和方向)是解决该类问题的关键。
运动轨迹的绘制：根据受力分析和运动分析，大致画出粒子的运动轨迹图，有利于形象、直观地解决问题。
3、解题方法
（2024·福建·高考真题）如图，直角坐标系中，第Ⅰ象限内存在垂直纸面向外的匀强磁场。第Ⅱ、Ⅲ象限中有两平行板电容器、，其中垂直轴放置，极板与轴相交处存在小孔、；垂直轴放置，上、下极板右端分别紧贴轴上的、点。一带电粒子从静止释放，经电场直线加速后从射出，紧贴下极板进入，而后从进入第Ⅰ象限；经磁场偏转后恰好垂直轴离开，运动轨迹如图中虚线所示。已知粒子质量为、带电量为，、间距离为，、的板间电压大小均为，板间电场视为匀强电场，不计重力，忽略边缘效应。求：
(1)粒子经过时的速度大小；
(2)粒子经过时速度方向与轴正向的夹角；
(3)磁场的磁感应强度大小。
思路分析 第一问的思路： 第二问的思路： 第三问的思路： 详细解析 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）粒子从M到N的运动过程中，根据动能定理有 解得 （2）粒子在中，根据牛顿运动定律有 根据匀变速直线运动规律有 、 又 解得 （3）粒子在P处时的速度大小为 在磁场中运动时根据牛顿第二定律有 由几何关系可知 解得
（2024·云南昆明·模拟预测）如图所示，在直角坐标系第一象限内有平行于坐标平面的匀强电场（图中未画出），在第二象限内有垂直坐标平面向外的匀强磁场。一个质量为m、电荷量为的带电粒子，在M点沿y轴正方向以速度进入磁场，过y轴上的N点后进入电场，运动轨迹与x 轴交于P点，并且过P点时速度大小仍为。已知M、N、P三点到O点的距离分别为L、和3L，不计粒子重力，求：
(1)匀强磁场的磁感应强度的大小。
(2)匀强电场的电场强度的大小和方向。
【答案】(1)
(2)，方向与竖直方向成指向左下方
【详解】（1）粒子在磁场中做圆周运动的圆心为，如图
在中，由几何关系可得
解得
洛伦兹力提供粒子做圆周运动的向心力，有
解得
（2）由几何关系可知，粒子过N点时速度方向与y轴正方向的夹角
粒子进入电场后在N、P两点速度大小相等，说明两点的连线为等势线，所以电场方向垂直N、P连线斜向下，有几何关系可知，粒子在N点时速度方向与N、P连线的夹角也为，所以电场方向为与竖直方向成指向左下方。设粒子由N点运动到P 点的时间为t，沿NP方向有
垂直NP方向根据动量定理有
联立解得
1．（2024·四川遂宁·模拟预测）如图所示，半径为的虚线圆边界在竖直平面内，是水平直径，圆边界内存在垂直纸面向外磁感应强度为的匀强磁场，过点的竖直线与水平线间存在电场强度大小恒为（为未知量）的匀强电场。点是点右下方固定的点，虚线与的夹角为。现让带电量为、质量为的带正电粒子（不计重力）从点射入磁场，然后从点离开磁场，轨迹圆的半径等于，当匀强电场竖直向上时，粒子经过一段时间从运动到点时速度正好水平向右，求：
(1)粒子在A点射入磁场时的速度以及粒子从A到的运动时间；
(2)的值以及粒子从到的平均速度大小；
(3)若匀强电场由指向，则两点间的电势差为多少？
【答案】(1)，
(2)，
(3)
【详解】（1）由洛伦兹力提供向心力
其中，解得
过A点作速度的垂线，与的中垂线交于，设A点的速度与夹角为，则，如图所示，根据几何关系有
解得
所以粒子在A点射入磁场时的速度方向与水平线夹角为右上方
粒子在磁场中运动周期
解得运动时间为
（2）粒子从点离开磁场时，速度
方向与水平线夹角右下方；把点的速度分解为水平方向和竖直方向，则有
，
由类平抛运动的规律可得
，，两点间的距离为
粒子从到的平均速度
综合解得
，，，
（3）当匀强电场由指向，把分别沿着水平方向和竖直方向分解，则有
，
当匀强电场由指向两点间的电势差
综合计算可得
2．（2024·安徽·一模）芯片制造中的重要工序之一是离子的注入，实际生产中利用电场和磁场来控制离子的运动。如图所示，MN为竖直平面内的一条水平分界线，MN的上方有方向竖直向下的匀强电场，电场强度大小为E，MN的下方有垂直于竖直平面向外的匀强磁场。一质量为m，电荷量为q（）的带正电粒子从MN上的A点射入电场，从MN上的C点射入磁场，此后在电场和磁场中沿闭合轨迹做周期性运动。粒子射入电场时的速度方向与MN的夹角，速度大小为，不计带电粒子受到的重力。
(1)求A、C两点间的距离L；
(2)求电场强度与磁感应强度大小之比；
(3)若只通过减小电场强度的大小，使粒子能从下往上经过C点，求电场强度的最小值。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）带正电粒子在电场中做类斜抛运动，则水平方向有
竖直方向
由牛顿第二定律
联立可得，A、C两点间的距离为
（2）如图
粒子在磁场中做匀速圆周运动，由几何关系
由洛伦兹力提供向心力
联立可得电场强度与磁感应强度大小之比为
（3）如图
粒子第一次从磁场返回电场时经过C点，此时电场强度最小，则电场中从A点到D点，有
由牛顿第二定律
粒子在磁场中做匀速圆周运动，半径不变，则有
由几何关系
联立可得
3．（2024·天津河西·三模）一种圆柱形粒子探测装置的横截面如图所示，内圆区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，外圆是探测器，AB和PM分别为内圆的两条相互垂直的直径，两个粒子先后从P点沿径向射入磁场。粒子1经磁场偏转后打在探测器上的Q点，粒子2经磁场偏转后从磁场边界C点离开，最后打在探测器上的N点，PC圆弧恰好为内圆周长的三分之一，粒子2在磁场中运动的时间为t。装置内部为真空状态，忽略粒子所受重力及粒子间相互作用力。求
（1）粒子1的在P点受力方向和电性；
（2）若两粒子的入射速率相等，比较粒子1与粒子2的比荷大小；
（3）改变粒子2入射方向，连率变为原来的，则粒子2在磁场中运动的最长时间为多少？
【答案】（1）向下，带负电；（2）粒子1的比荷大于粒子2的比荷；（3）
【详解】（1）粒子1受向下偏转，受力向下，由左手定则可知，粒子1带负电。
（2）根据洛伦兹力提供粒子在磁场中做圆周运动所需的向心力
可得
由题图可知粒子1运动的半径小于粒子2运动的半径，若两粒子的速度相同，则粒子1的比荷大于粒子2的比荷。
（3）设内圆半径为R，根据几何关系，粒子2在磁场中运动半径为
粒子2速率变为原来的，此时粒子2在磁场中运动半径为
PC圆弧恰好为内圆周长的三分之一，则粒子2在磁场中轨迹所对应的圆心角为
根据几何关系，当粒子2的轨迹对应的弦为直径PM时，粒子2在磁场中运动的时间最长，此时的圆心角为
速度改变后，粒子2在磁场中运动的最长时间为
4．（2024·福建厦门·三模）亥姆霍兹线圈是一对平行的完全相同的圆形线圈。如图所示，两线圈通入方向相同的恒定电流，线圈间形成平行于中心轴线O1O2的匀强磁场。沿O1O2建立x轴，一圆形探测屏垂直于x轴放置，其圆心位于x轴上的P点。在线圈间加上平行于x轴的匀强电场，粒子源从x轴上的O点以垂直于x轴的方向持续发射初速度大小为v0的粒子。已知粒子质量为m，电荷量为q（q>0），电场强度大小为E，磁感应强度大小为B，电场和磁场均沿x轴正方向，探测屏半径为R，不计粒子重力和粒子间相互作用。
（1）若未加电场，求粒子在匀强磁场中做圆周运动的半径r；
（2）若线圈中不通电，粒子恰好打在探测屏边缘，求探测屏中心与粒子源间的距离d1；
（3）若要使粒子恰好打在探测屏的中心，求探测屏中心与粒子源间的最小距离d2。
【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】（1）粒子在磁场中，由洛伦兹力提供向心力可得
解得轨道半径为
（2）粒子在电场中做类平抛运动，沿x轴方向有
，
垂直于x轴方向有
联立解得
（3）粒子回到x轴最短时间为
沿x轴方向
，
联立解得
5．（2024·甘肃平凉·三模）某研究小组设计了一磁悬浮电梯，简化模型如图所示，不计电阻、间距为 l、足够长的光滑平行导轨固定在竖直平面内，导轨间存在着垂直于轨道平面、磁感应强度大小相等、磁场方向相反的匀强磁场，每个磁场区域均为边长为l的正方形。在质量为m、边长为l、总电阻为R、匝数为N的正方形金属线圈EFGH中通入电流后静止在导轨上，此时线圈的发热功率为P0，重力加速度为g。
（1）求匀强磁场的磁感应强度大小；
（2）若增大通入的电流后，线圈的发热功率为（），求线圈开始向上运动瞬间的加速度；
（3）若线圈中不通入电流，线圈由图中位置下落5l时达到最大速度，求该过程中线圈产生的焦耳热。
【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】（1）线圈通入电流后静止在导轨上，根据平衡条件有
此时线圈的发热功率
联立解得
（2）若增大通入的电流后，线圈的发热功率
根据牛顿第二定律有
又
联立解得
（3）若线圈中不通入电流，线圈静止释放，线圈速度增大，感应电动势增大，感应电流增大，磁场对线圈的安培力增大，线圈做加速度减小得加速运动，当加速度为0时，线圈速度达到最大，此时感应电动势为
感应电流的最大值为
根据平衡条件有
根据（1）中分析知
此时线圈的发热功率
结合上述解得
由于线圈由图中位置下落5l时达到最大速度，根据能量守恒
解得该过程中线圈产生的焦耳热
6．（2024·福建泉州·模拟预测）如图所示，在与水平面成θ=37°角的平面内放置两条平行、光滑且足够长的金属轨道，其电阻可忽略不计。空间存在着匀强磁场，磁感应强度B=0.50T，方向垂直轨道平面向上。导体棒ab、cd垂直于轨道放置，且与金属轨道接触良好构成闭合回路，每根棒的质量m=0.25kg、电阻r=5.0×10-2Ω，轨道的宽度l=0.40m。现对棒ab施加平行于轨道向上的拉力，使之匀速向上运动。在棒ab匀速向上运动的过程中，棒cd始终保持静止，取重力加速度g=10m/s2，sin37°=0.6.求：
（1）棒cd受到的安培力大小；
（2）棒ab运动的速度大小；
（3）拉力对棒ab做功的功率。
【答案】（1）1.5N；（2）3.75m/s；（3）11.25W
【详解】（1）导体棒cd静止时受力平衡，设所受安培力为F安，则
F安=mgsinθ
解得
F安=1.5N
（2）设导体棒ab的速度为v时，产生的感应电动势为E，通过导体棒cd的感应电流为I，则
，，
解得
v=3.75m/s
（3）设对导体棒ab的拉力为F，导体棒ab受力平衡，则
F=F安+mgsinθ
拉力的功率
P=Fv=11.25W
7．（2025·重庆·一模）图为可测定比荷的某装置的简化示意图，在第一象限区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小，在x轴上距坐标原点L=0.50m的P处为离子的入射口，在y上安放接收器，现将一带正电荷的粒子以v=3.5×104m/s的速率从P处射入磁场，若粒子在y轴上距坐标原点L=0.50m的M处被观测到，且运动轨迹半径恰好最小，设带电粒子的质量为m，电量为q，不记其重力。
(1)求上述粒子的比荷；
(2)如果在上述粒子运动过程中的某个时刻，在第一象限内再加一个匀强电场，就可以使其沿y轴正方向做匀速直线运动，求该匀强电场的场强大小和方向，并求出从粒子射入磁场开始计时经过多长时间加这个匀强电场；
(3)为了在M处观测到按题设条件运动的上述粒子，在第一象限内的磁场可以局限在一个矩形区域内，求此矩形磁场区域的最小面积。
【答案】(1)
(2)，
(3)
【详解】（1）设粒子在磁场中的运动半径为r，如图所示
依题意M、P连线即为该粒子在磁场中做匀速圆周运动的直径，由几何关系得
粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力得
联立代入数据解得
（2）设所加电场的场强大小为E，当粒子经过Q点时，速度沿y轴正方向，依题意，在此时加入沿x轴正方向的匀强电场，电场力与此时洛伦兹力平衡，则有
解得
所加电场的场强方向沿x轴正方向。由几何关系可知，圆弧PQ所对应的圆心角为，设带电粒子做匀速圆周运动的周期为T，则有
，
联立代入数据解得
（3）矩形对应的最小面积如图所示
根据几何关系可知最小矩形面积为
代入数据解得
8．（2024·甘肃·模拟预测）如图所示，在平行板电容器的两板之间，存在相互垂直的匀强磁场和匀强电场，磁感应强度大小为B0、方向垂直于纸面向里，电场强度大小为E、方向竖直向下。在直角三角形OPN区域内存在匀强磁场，磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外。一带正电的粒子匀速穿过平行板后，沿平行于x轴的方向射入OPN磁场；一段时间后，该粒子在OP边上某点以垂直于x轴的方向射出。已知O点为坐标原点，N点在y轴上，OP与x轴的夹角为30°，粒子进入OPN磁场的入射点与离开OPN磁场的出射点之间的距离为d，不计粒子重力。求：
(1)带电粒子的比荷；
(2)带电粒子从射入OPN磁场到运动至x轴的时间；
(3)实际上直角三角形OPN区域内匀强磁场的大小会在B~B+ΔB之间微小变化。若进入平行板电容器的是电荷量相同的铀235和铀238两种同位素离子，进入直角三角形OPN区域后会发生分离，为使这两种离子在OPN区域磁场中运动的轨迹不发生交叠，应小于多少。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）设正粒子的速度为，由于匀速穿过平行板，则由平衡条件得
解得
设粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为，如图所示
由洛伦兹力提供向心力有
由几何关系可知
联立解得
。
（2）由几何关系可知，带电粒子射入磁场后到运动至轴所经过的路程为
带电粒子从射入磁场到运动至轴的时间为
联立解得
（3）根据洛伦兹力提供向心力可得
可得
由于磁场在之间微小变化，铀235离子在磁场中运动的最大半径为
铀238离子在磁场中运动的最小半径为
其中有
这两种离子在磁场中运动的轨迹不发生交叠的条件为
解得
21世纪教育网(www.21cnjy.com)模板11-1 磁场（四大题型）
题型01安培力作用下导体的平衡与加速问题
安培力作用下导体的平衡与加速问题，解题思路与力学平衡问题和加速问题完全相同，都是在受力分析的基础上根据平衡条件、牛顿运动定律等列方程求解。解答此类问题的关键是将立体图像转化为平面图像。
一、必备基础知识
1、安培力的反向
安培力：通电导线在磁场中受的力。
左手定则：伸开左手，使拇指与其余四个手指垂直，并且都与手掌在同一个平面内；让磁感线从掌心进入，并使四指指向电流的方向，这时拇指所指的方向就是通电导线在磁场中所受安培力的方向。
特点：通电导线在磁场中所受的安培力F，总垂直于电流与磁感线两者所决定的平面，即F⊥B，F⊥I， F垂直于B和I决定的平面。也就是安培力一定垂直B和I，但B与I不一定垂直。使用左手定则判断定安培力方向时，左掌手心应迎B垂直于I的分量（B⊥＝Bsinθ）。磁感线方向（磁感应强度方向）不一定垂直于电流方向。
判断方法：①弄清楚导体所在位置的磁场分布情况；②利用左手定则准确判定导体的受力情况；③确定导体的运动方向或运动趋势的方向。
2、安培力的大小
计算公式：当磁感应强度B的方向与导线方向成θ角时，F＝BILsinθ，这是一般情况下的安培力的表达式。有两种特殊情况：磁场和电流垂直时：F＝BIL；磁场和电流平行时：F＝0。
适用范围：一般只适用于匀强磁场。
有效长度：弯曲通电导线的有效长度等于两端点所连直线的长度，相应的电流方向由始端指向末端，如下图所示。因为任意形状的闭合线圈，其有效长度L＝0，所以通电后在匀强磁场中，受到的安培力的矢量和一定为零。
3、安培力作用下导体的平衡与加速问题
问题分类：安培力作用下静态平衡问题：通电导体在磁场中受安培力和其它力作用而处于静止状态，可根据磁场方向、电流方向结合左手定则判断安培力方向。
安培力作用下动态平衡问题：此类题目是平衡问题，只是由于磁场大小或方向、电流大小或方向的变化造成安培力变化，与力学中某个力的变化类似的情景。
安培力作用下加速问题：此类题目是导体棒在安培力和其它力作用下合力不再为零，而使导体棒产生加速度，根据受力特点结合牛顿第二定律解题是常用方法。
求解关键：电磁问题力学化；立体图形平面化（如下图所示）。
二、解题模板
1、解题思路
2、注意问题
安培力的方向总是既与磁场方向垂直，又与电流方向垂直，也就是说安培力的方向总是垂直于磁场和电流所决定的平面，所以判断时要首先确定磁场与电流所确定的平面，从而判断出安培力的方向在哪一条直线上，然后再根据左手定则判断出安培力的具体方向。
当电流方向跟磁场方向不垂直时，安培力的方向仍垂直电流与磁场所决定的平面，所以仍可用左手定则来判断安培力的方向，只是磁感线不再垂直穿过手心，而是斜穿过手心。
非匀强磁场安培力的求解方法：如果导线各部分所处的位置B的大小、方向不相同，应将导体分成若干段，使每段导线所处的范围B的大小和方向近似相同，求出各段导线受的磁场力，然后再求合力。
安培力作用下导体的平衡问题与力学中的平衡问题分析方法相同，只不过多了安培力，解题的关键是画出受力分析示意图。
安培力作用下导体的加速问题与动力学问题分析方法相同，关键是做好受力分析，然后根据牛顿第二定律求出加速度。
安培力做功的特点和实质：安培力做功与路径有关，不像重力、电场力做功与路径无关。
安培力做功的实质是能量转化：①安培力做正功时将电源的能量转化为导线的动能或其他形式的能；②安培力做负功时将其他形式的能转化为电能后储存起来或转化为其他形式的能。
3、解题方法
电流元法 分割为电流元安培力方向→整段导体所受合力方向→运动方向
特殊位置法 在特殊位置→安培力方向→运动方向
等效法 环形电流 小磁针 条形磁铁 通电螺线管 多个环形电流
结论法 同向电流互相吸引，反向电流互相排斥；两不平行的直线电流相互作用时，有转到平行且电流方向相同的趋势
转换研究 对象法 定性分析磁体在电流磁场作用下如何运动或运动趋势的问题，可先分析电流在磁体磁场中所受的安培力，然后由牛顿第三定律，确定磁体所受电流磁场的作用力，从而确定磁体所受合力及运动方向
解题步骤：
明确研究对象：通电导线或通电导体棒；
画平面图：立体图为平面图，如侧视图、剖面图或俯视图等，导体棒或导线用圆圈 表示，电流方向用“×”或“●”表示，电流垂直纸面向里画，电流垂直纸面向外画⊙；
受力分析和运动分析：分析重力、弹力、摩擦力等，然后由左手定则判断安培力的方向，分析研究对象的运动情况；
列平衡方程或牛顿第二定律的方程式进行求解。
（2024·海南·一模）如图所示，间距为的平行金属导轨倾斜放置，与水平面的夹角。一质量为的金属棒垂直导轨放置，并与定值电阻R（大小未知）、电动势（内阻不计）的电源、开关S构成闭合回路，整个装置处在竖直向上磁感应强度大小为的匀强磁场中。闭合开关S，金属棒恰好不会沿导轨向上滑动.已知金属棒与导轨间的动摩擦因数为，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，导轨和金属棒的电阻均不计，重力加速度g取，金属棒始终与导轨垂直且接触良好。
（1）求电阻R的阻值；
（2）若把电源更换为电动势为、内阻的电源，闭合开关S时，求金属棒的瞬时加速度大小。
（2024·北京海淀·二模）如图所示，宽为L的固定光滑平行金属导轨与水平面成α角，金属杆ab水平放置在导轨上，且与导轨垂直，处于磁感应强度大小为B、方向竖直向上的匀强磁场中。电源电动势为E，当电阻箱接入电路的阻值为R0时，金属杆恰好保持静止。不计电源内阻、导轨和金属杆的电阻，重力加速度为g。
（1）求金属杆所受安培力的大小F。
（2）求金属杆的质量m。
（3）保持磁感应强度大小不变，改变其方向，同时调整电阻箱接入电路的阻值R以保持金属杆静止，求R的最大值。
题型02带电粒子在匀强磁场中的运动
这类题型为带电粒子在以某种角度垂直射入某磁场中，求粒子的轨道半径、运动时间等物理量。求解的关键是定圆心和半径，需要学生掌握一定的几何知识。
一、必备基础知识
1、洛伦兹力
定义：磁场对运动电荷的作用力叫洛伦兹力。
方向的判定方法（左手定则）：伸开左手，使拇指与其余四个手指垂直，并且都与手掌在同一个平面内；让磁感线从掌心进入，并使四指指向正电荷运动的方向，这时拇指所指的方向就是正电荷所受洛伦兹力的方向.负电荷受力的方向与正电荷受力的方向相反。
表达式：，θ为v与B的夹角。当v∥B（θ＝0°或180°）时，洛伦兹力F＝0；当v⊥B（θ＝90°）时，洛伦兹力F＝0；当v=0时，洛伦兹力F＝0。
2、带电粒子在匀强磁场中的运动
规律：带电粒子在只受洛伦兹力作用的条件下（电子等微观粒子的重力通常忽略不计），有三种运动情况：①若带电粒子的速度方向与磁场方向平行（v∥B），在匀强磁场中做匀速直线运动；②若带电粒子的速度方向与磁场方向垂直（v⊥B），在垂直于磁感线的平面内以入射速度v做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力；③运动方向与磁场方向既不平行也不垂直时，带电粒子在磁场中做等半径、等螺距的螺旋线运动。
圆周运动圆心的确定：
①由两点和两线确定圆心，画出带电粒子在匀强磁场中的运动轨迹。确定带电粒子运动轨迹上的两个特殊点（一般是射入和射出磁场时的两点），过这两点作带电粒子运动方向的垂线（这两垂线即为粒子在这两点所受洛伦兹力的方向），则两垂线的交点就是圆心，如图（a）所示。
②若只已知过其中一个点的粒子运动方向，则除过已知运动方向的该点作垂线外，还要将这两点相连作弦，再作弦的中垂线，两垂线交点就是圆心，如图（b）所示。
③若已知一个点及运动方向和另外某时刻的速度方向，但不确定该速度方向所在的点，如图（c）所示，此时要将其中一个速度的延长线与另一速度的反向延长线相交成一角（∠PAM），画出该角的角平分线，它与已知点的速度的垂线交于一点O，该点就是圆心。
④轨迹圆弧与边界切点的法线过圆心。某点的速度垂线与切点法线的交点。如图。
圆周运动半径的确定：
①物理方程法：半径R＝。
②几何法：一般由数学知识（勾股定理、三角函数等）计算来确定。如下图所示，R＝或由R2＝L2＋（R－d）2求得R＝。
圆周运动圆心角与时间的确定：
圆心角的确定：①φ（速度的偏向角）＝θ（圆弧所对应的圆心角）＝2α（弦切角），即φ＝θ＝2α＝ωt，如图所示；②偏转角φ与弦切角α的关系：φ<180°时，φ＝2α；φ>180°时，φ＝360°－2α。
运动时间的计算：①由圆心角求，t＝·T；②由弧长求，t＝。
二、解题模板
1、解题思路
2、注意问题
只有垂直于磁感应强度方向进入匀强磁场的带电粒子，才能在磁场中做匀速圆周运动。
带电粒子做匀速圆周运动的半径与带电粒子进入磁场时速率的大小有关，而周期与速率、半径都无关。
3、解题方法
画轨迹确定圆心。
确定运动过程的关系：①轨道半径与磁感应强度、运动速度相联系，即；②利用数学知识（勾股定理、三角函数等）计算来确定半径；③寻找偏转角度与圆心角、运动时间的关系；④寻找带电粒子在磁场中运动时间与周期（T＝）的关系。
运动牛顿运动定律和圆周运动的规律等，进行分析及计算。
（2024·重庆·高考真题）有人设计了一粒种子收集装置。如图所示，比荷为的带正电的粒子，由固定于M点的发射枪，以不同的速率射出后，沿射线MN方向运动，能收集各方向粒子的收集器固定在MN上方的K点，O在MN上，且KO垂直于MN。若打开磁场开关，空间将充满磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向里的匀强磁场，速率为v0的粒子运动到O点时，打开磁场开关，该粒子全被收集，不计粒子重力，忽略磁场突变的影响。
(1)求OK间的距离；
(2)速率为4v0的粒子射出瞬间打开磁场开关，该粒子仍被收集，求MO间的距离；
(3)速率为4v0的粒子射出后，运动一段时间再打开磁场开关，该粒子也能被收集。以粒子射出的时刻为计时O点。求打开磁场的那一时刻。
（2024·四川成都·模拟预测）如图所示，边长为L的等边三角形abc区域外存在着垂直于abc所在平面的匀强磁场，磁感应强度大小为B。P、Q均为ab边的三等分点。t = 0时刻，磁场方向正好垂直于abc所在平面向里，带负电的粒子在abc平面内以初速度v0从a点垂直于ac边射出，并从P点第一次进入三角形abc区域。粒子第一次和第二次经过bc边时，磁场方向会反向一次，磁感应强度大小始终为B，其余时间磁场方向保持不变。不计带电粒子重力，求：
（1）粒子的荷质比；
（2）粒子从a点射出后第二次到达Q点的时间。
题型03 有界匀强磁场的运动模型
这类问题由于磁场是有边界的，空间往往受到约束从而决定了粒子运动的半径，进而影响其它物理量，造成临界状态和极值的存在。需要学生掌握一定的几何知识和具备较高的空间想象力。解题的关键在于临界状态和极值的确定。
一、必备基础知识
1、问题的描述
带电粒子在有边界的磁场中运动时，由于边界的限制往往会出现临界问题。
解决带电粒子在磁场中运动的临界问题的关键，通常以题目中的“恰好”“最大”“至少”等为突破口，寻找临界点，确定临界状态，根据磁场边界和题设条件画好轨迹，建立几何关系求解。
2、数学知识
几何模型：圆与直线相交、圆与圆相交，构造图像中的三角形。
确定角度：若有已知角度，则利用互余、互补、偏向角与圆心角的关系、弦切角与圆心角的关系确定；若没有已知角度，则利用边长关系确定。
对称性（如下图所示）：圆与直线相交，圆弧轨迹关于圆心到边界的垂线轴对称；轨迹圆和磁场圆相交，圆弧轨迹关于两圆心的连线轴对称。
3、直线边界模型
该模型粒子进出磁场具有对称性，模型图如下：
时间的计算：图甲中粒子在磁场中运动的时间t==；图乙中粒子在磁场中运动的时间t=T==；图丙中粒子在磁场中运动的时间t=T=。
4、平行边界
该模型往往存在临界条件，模型图如下：
时间的计算：图甲中粒子在磁场中运动的时间t1=，t2==；图乙中粒子在磁场中运动的时间t=；图丙中粒子在磁场中运动的时间t=T==；图丁中粒子在磁场中运动的时间t=T=。
5、圆形边界
沿径向射入圆形磁场的粒子必沿径向射出，运动具有对称性，如下图所示，粒子做圆周运动的半径r＝，粒子在磁场中运动的时间t＝T＝，运动角度关系为：θ＋α＝90°。
不沿径向射入时，射入时粒子速度方向与半径的夹角为θ，射出磁场时速度方向与半径的夹角也为θ，如图所示。
正对圆心射入圆形磁场区域，如下图所示，正对圆心射出，两圆心和出（入）射点构成直角三角形，有，则磁偏转半径，根据半径公式联立求解时间。速度v0越大，则磁偏转半径r越大，圆心角α越小，时间t越短。若r=R，构成正方形。
不正对圆心射入圆形磁场区域，如下图所示，左边两个图有两个等腰三角形，一条共同的底边；最后一个图示当r=R时，构成菱形。
6、环形磁场模型
环形磁场模型的临界圆如下图所示，三个环形磁场的临界半径分别为：；；由勾股定理(R2-R1)2=R12+r2，解得：。
二、解题模板
1、解题思路
2、注意问题
带电粒子刚好穿出磁场边界的条件：带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切；时间最长或最短的临界条件：①当以一定的速率垂直射入磁场时，运动的弧长越长，运动时间越长；②当比荷相同，入射速率v不同时，圆心角越大，运动时间越长。
3、解题方法
极值的求解方法：
①物理方法：利用临界条件求极值；利用问题的边界条件求极值；利用矢量图求极值。
②数学方法：利用三角函数求极值；利用二次方程的判别式求极值；利用不等式的性质求极值；利用图像法、等效法、数学归纳法求极值。
（2024·河北·模拟预测）如图，xOy坐标系所在的平面内，在区域内有垂直纸面向里的匀强磁场。x轴上的点向直线的右侧各个方向发射大量质量为m、电荷量为q的带负电粒子，速度大小均为v。其中某粒子在点垂直于y轴离开磁场区域。不计粒子重力。
(1)求磁感应强度B的大小；
(2)从P点发出的粒子中是否有粒子能回到P点？若无，请说明理由；若有，请求出粒子从P点发出到回到P点的时间。
（2024·贵州遵义·一模）如图所示，虚线左侧空间存在与直流电源相连的两块正对平行金属板，两板间电压恒为U，板长为，板间距离为L，两板间存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里；右侧空间足够大区域内存在磁感应强度大小为，方向也垂直纸面向里的匀强磁场。S为两板中轴线上的粒子源，能够沿中轴线射出初速度相同的同种带电粒子，沿直线穿过板间区域，从P点进入右侧区域并运动到M点，间的距离为L。保持两板间电压U不变，撤掉左侧磁场，再次从S射出的粒子最终打在下板上某点A处（图中未画出）。不计粒子重力及粒子间的相互作用，忽略电场和磁场的边缘效应。求：
(1)粒子的电性及初速度大小；
(2)粒子的荷质比；
(3)粒子刚到A点时的速度。
题型04 带电粒子在组合场中的运动
组合场为电场、磁场交替出现但不重叠，带电粒子在电场力作用下的运动与洛伦兹力作用下的运动有不同的特点，在高考中常把这两种情景组合起来，学生需要将带电粒子运动的过程划分为几个不同的阶段，对不同的阶段选取不同的规律处理，对速度、距离等的衔接要理清思路。
一、必备基础知识
1、组合场
电场与磁场各位于一定的区域内，并不重叠，或在同一区域，电场、磁场交替出现。
2、类型
磁场与磁场的组合：磁场与磁场的组合问题实质就是两个有界磁场中的圆周运动问题，带电粒子在两个磁场中的速度大小相同，但轨迹半径和运动周期往往不同。解题时要充分利用两段圆弧轨迹的衔接点与两圆心共线的特点，进一步寻找边角关系。
先磁场后电场：①进入电场时粒子速度方向与电场方向相同或相反，如下图所示，粒子在电场中做加速或减速运动，用动能定理或运动学公式进行求解；②进入电场时粒子速度方向与电场方向垂直，如下图所示，粒子在电场中做类平抛运动，利用相关知识进行求解。
先电加速后磁偏转：带电粒子先在匀强电场中做匀加速直线运动，然后垂直进入匀强磁场做匀速圆周运动，如下图所示。
先电偏转后磁偏转：带电粒子先在匀强电场中做类平抛运动，然后垂直进入磁场做匀速圆周运动，如下图所示。
二、解题模板
1、解题思路
2、注意问题
过程的划分：将粒子运动的过程划分为几个不同的阶段，对不同的阶段选取不同的规律处理。
关键点的寻找：确定带电粒子在场区边界的速度(包括大小和方向)是解决该类问题的关键。
运动轨迹的绘制：根据受力分析和运动分析，大致画出粒子的运动轨迹图，有利于形象、直观地解决问题。
3、解题方法
（2024·福建·高考真题）如图，直角坐标系中，第Ⅰ象限内存在垂直纸面向外的匀强磁场。第Ⅱ、Ⅲ象限中有两平行板电容器、，其中垂直轴放置，极板与轴相交处存在小孔、；垂直轴放置，上、下极板右端分别紧贴轴上的、点。一带电粒子从静止释放，经电场直线加速后从射出，紧贴下极板进入，而后从进入第Ⅰ象限；经磁场偏转后恰好垂直轴离开，运动轨迹如图中虚线所示。已知粒子质量为、带电量为，、间距离为，、的板间电压大小均为，板间电场视为匀强电场，不计重力，忽略边缘效应。求：
(1)粒子经过时的速度大小；
(2)粒子经过时速度方向与轴正向的夹角；
(3)磁场的磁感应强度大小。
（2024·云南昆明·模拟预测）如图所示，在直角坐标系第一象限内有平行于坐标平面的匀强电场（图中未画出），在第二象限内有垂直坐标平面向外的匀强磁场。一个质量为m、电荷量为的带电粒子，在M点沿y轴正方向以速度进入磁场，过y轴上的N点后进入电场，运动轨迹与x 轴交于P点，并且过P点时速度大小仍为。已知M、N、P三点到O点的距离分别为L、和3L，不计粒子重力，求：
(1)匀强磁场的磁感应强度的大小。
(2)匀强电场的电场强度的大小和方向。
1．（2024·四川遂宁·模拟预测）如图所示，半径为的虚线圆边界在竖直平面内，是水平直径，圆边界内存在垂直纸面向外磁感应强度为的匀强磁场，过点的竖直线与水平线间存在电场强度大小恒为（为未知量）的匀强电场。点是点右下方固定的点，虚线与的夹角为。现让带电量为、质量为的带正电粒子（不计重力）从点射入磁场，然后从点离开磁场，轨迹圆的半径等于，当匀强电场竖直向上时，粒子经过一段时间从运动到点时速度正好水平向右，求：
(1)粒子在A点射入磁场时的速度以及粒子从A到的运动时间；
(2)的值以及粒子从到的平均速度大小；
(3)若匀强电场由指向，则两点间的电势差为多少？
2．（2024·安徽·一模）芯片制造中的重要工序之一是离子的注入，实际生产中利用电场和磁场来控制离子的运动。如图所示，MN为竖直平面内的一条水平分界线，MN的上方有方向竖直向下的匀强电场，电场强度大小为E，MN的下方有垂直于竖直平面向外的匀强磁场。一质量为m，电荷量为q（）的带正电粒子从MN上的A点射入电场，从MN上的C点射入磁场，此后在电场和磁场中沿闭合轨迹做周期性运动。粒子射入电场时的速度方向与MN的夹角，速度大小为，不计带电粒子受到的重力。
(1)求A、C两点间的距离L；
(2)求电场强度与磁感应强度大小之比；
(3)若只通过减小电场强度的大小，使粒子能从下往上经过C点，求电场强度的最小值。
3．（2024·天津河西·三模）一种圆柱形粒子探测装置的横截面如图所示，内圆区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，外圆是探测器，AB和PM分别为内圆的两条相互垂直的直径，两个粒子先后从P点沿径向射入磁场。粒子1经磁场偏转后打在探测器上的Q点，粒子2经磁场偏转后从磁场边界C点离开，最后打在探测器上的N点，PC圆弧恰好为内圆周长的三分之一，粒子2在磁场中运动的时间为t。装置内部为真空状态，忽略粒子所受重力及粒子间相互作用力。求
（1）粒子1的在P点受力方向和电性；
（2）若两粒子的入射速率相等，比较粒子1与粒子2的比荷大小；
（3）改变粒子2入射方向，连率变为原来的，则粒子2在磁场中运动的最长时间为多少？
4．（2024·福建厦门·三模）亥姆霍兹线圈是一对平行的完全相同的圆形线圈。如图所示，两线圈通入方向相同的恒定电流，线圈间形成平行于中心轴线O1O2的匀强磁场。沿O1O2建立x轴，一圆形探测屏垂直于x轴放置，其圆心位于x轴上的P点。在线圈间加上平行于x轴的匀强电场，粒子源从x轴上的O点以垂直于x轴的方向持续发射初速度大小为v0的粒子。已知粒子质量为m，电荷量为q（q>0），电场强度大小为E，磁感应强度大小为B，电场和磁场均沿x轴正方向，探测屏半径为R，不计粒子重力和粒子间相互作用。
（1）若未加电场，求粒子在匀强磁场中做圆周运动的半径r；
（2）若线圈中不通电，粒子恰好打在探测屏边缘，求探测屏中心与粒子源间的距离d1；
（3）若要使粒子恰好打在探测屏的中心，求探测屏中心与粒子源间的最小距离d2。
5．（2024·甘肃平凉·三模）某研究小组设计了一磁悬浮电梯，简化模型如图所示，不计电阻、间距为 l、足够长的光滑平行导轨固定在竖直平面内，导轨间存在着垂直于轨道平面、磁感应强度大小相等、磁场方向相反的匀强磁场，每个磁场区域均为边长为l的正方形。在质量为m、边长为l、总电阻为R、匝数为N的正方形金属线圈EFGH中通入电流后静止在导轨上，此时线圈的发热功率为P0，重力加速度为g。
（1）求匀强磁场的磁感应强度大小；
（2）若增大通入的电流后，线圈的发热功率为（），求线圈开始向上运动瞬间的加速度；
（3）若线圈中不通入电流，线圈由图中位置下落5l时达到最大速度，求该过程中线圈产生的焦耳热。
6．（2024·福建泉州·模拟预测）如图所示，在与水平面成θ=37°角的平面内放置两条平行、光滑且足够长的金属轨道，其电阻可忽略不计。空间存在着匀强磁场，磁感应强度B=0.50T，方向垂直轨道平面向上。导体棒ab、cd垂直于轨道放置，且与金属轨道接触良好构成闭合回路，每根棒的质量m=0.25kg、电阻r=5.0×10-2Ω，轨道的宽度l=0.40m。现对棒ab施加平行于轨道向上的拉力，使之匀速向上运动。在棒ab匀速向上运动的过程中，棒cd始终保持静止，取重力加速度g=10m/s2，sin37°=0.6.求：
（1）棒cd受到的安培力大小；
（2）棒ab运动的速度大小；
（3）拉力对棒ab做功的功率。
7．（2025·重庆·一模）图为可测定比荷的某装置的简化示意图，在第一象限区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小，在x轴上距坐标原点L=0.50m的P处为离子的入射口，在y上安放接收器，现将一带正电荷的粒子以v=3.5×104m/s的速率从P处射入磁场，若粒子在y轴上距坐标原点L=0.50m的M处被观测到，且运动轨迹半径恰好最小，设带电粒子的质量为m，电量为q，不记其重力。
(1)求上述粒子的比荷；
(2)如果在上述粒子运动过程中的某个时刻，在第一象限内再加一个匀强电场，就可以使其沿y轴正方向做匀速直线运动，求该匀强电场的场强大小和方向，并求出从粒子射入磁场开始计时经过多长时间加这个匀强电场；
(3)为了在M处观测到按题设条件运动的上述粒子，在第一象限内的磁场可以局限在一个矩形区域内，求此矩形磁场区域的最小面积。
8．（2024·甘肃·模拟预测）如图所示，在平行板电容器的两板之间，存在相互垂直的匀强磁场和匀强电场，磁感应强度大小为B0、方向垂直于纸面向里，电场强度大小为E、方向竖直向下。在直角三角形OPN区域内存在匀强磁场，磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外。一带正电的粒子匀速穿过平行板后，沿平行于x轴的方向射入OPN磁场；一段时间后，该粒子在OP边上某点以垂直于x轴的方向射出。已知O点为坐标原点，N点在y轴上，OP与x轴的夹角为30°，粒子进入OPN磁场的入射点与离开OPN磁场的出射点之间的距离为d，不计粒子重力。求：
(1)带电粒子的比荷；
(2)带电粒子从射入OPN磁场到运动至x轴的时间；
(3)实际上直角三角形OPN区域内匀强磁场的大小会在B~B+ΔB之间微小变化。若进入平行板电容器的是电荷量相同的铀235和铀238两种同位素离子，进入直角三角形OPN区域后会发生分离，为使这两种离子在OPN区域磁场中运动的轨迹不发生交叠，应小于多少。
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