模板05 圆周运动（五大题型）
题型01 水平平面内的圆周运动
1、水平平面内的圆周运动此类问题相对简单，物体所受合外力充当向心力，合外力大小不变，方向总是指向圆心。当角速度发生变化时，物体有离心或向心运动的趋势，此时往往需要根据受力情况判断某个力（如摩擦力等）的变化情况。
2、试题的呈现形式丰富，提问角度设置新颖，学生需要掌握圆周运动的规律和临界条件。
一、必备基础知识
1、描述圆周运动的物理量
物理量 物理意义 表达式
线速度 描述物体圆周运动快慢。 v＝＝
角速度 描述物体转动快慢。 ω＝＝
周期 物体沿圆周运动一周所用的时间，描述物体转动快慢 T＝
频率 单位时间内完成周期性变化的次数，描述物体转动快慢 f=1/T
转速 做圆周运动的物体单位时间内沿圆周绕圆心转过的圈数。描述物体做圆周运动的快慢。 n=f=1/T
向心加速度 指向圆心（曲率中心）的加速度，与曲线切线方向垂直。反映圆周运动速度方向变化快慢的物理量。 an＝rω2＝＝ωv＝r
向心力 当物体沿着圆周或者曲线轨道运动时，指向圆心（曲率中心）的合外力作用力。作用效果是产生向心加速度。 Fn＝man＝m＝mω2r＝＝mr4π2f2
2、圆周运动物理量之间的关系如下
3、匀速圆周运动和非匀速圆周运动
类型 匀速圆周运动 非匀速圆周运动
定义 线速度的大小不变的圆周运动 线速度的大小和方向不断变化的圆周运动。
性质 ①向心加速度、向心力和线速度的大小不变，方向改变； ②角速度不变 向心加速度、向心力、线速度和角速度均发生变化。
条件 合力大小不变，方向始终与速度方向垂直且指向圆心。 ①合力沿速度方向分量产生切向加速度，它只改变速度的大小；②合力沿半径方向分量产生向心加速度，它只改变速度的方向。
3、向心、离心运动
受力特点 图例
当F＝mrω2时，物体做匀速圆周运动。 当F＝0时，物体沿切线方向飞出。 当Fmrω2时，物体逐渐向圆心靠近，做向心运动。
4、水平平面内圆周运动的临界问题
问题的描述：在水平面内做圆周运动的物体，当转速变化时，物体的受力可能发生变化，转速继续变化，会出现绳子张紧、绳子突然断裂、静摩擦力随转速增大而逐渐达到最大值、弹簧弹力大小方向发生变化等，从而出现临界问题，确定临界状态是分析临界问题的关键。
5、变速圆周运动
受力特点：当物体做变速圆周运动时，合外力指向圆心的分力就是向心力。合外力不等于向心力，合外力一般产生两个效果。
下图表示小物体加速转动的情况。O是轨迹的圆心，F是绳子对小物体的拉力。
可以把F分解为与圆周相切的Ft和指向圆心的Fn：
跟圆周相切的分力Ft，只改变线速度的大小，Ft＝mat，产生切向加速度，此加速度描述线速度大小变化的快慢；
跟圆周切线垂直而指向圆心的分力Fn，只改变线速度方向，Fn＝man，产生向心加速度。此加速度描述线速度方向变化快慢。
二、解题模板
1、解题思路
2、注意问题
绳子的拉力出现临界条件的情形有：①绳恰好拉直意味着绳上无弹力；②绳上拉力恰好为最大承受力等。
物体间恰好分离的临界条件是：物体间的弹力恰好为零。
水平转盘上的物体恰好不发生相对滑动的临界条件是：物体与转盘间恰好达到最大静摩擦力。
3、解题方法
①选择做圆周运动的物体作为研究对象；②分析物体受力情况，其合外力提供向心力；③由Fn＝m=mrω2列方程求解。
临界问题的分析方法：当确定了物体运动的临界状态和临界条件后，要分别针对不同的运动过程或现象，选择相对应的物理规律，然后再列方程求解。
向心力的的确定方法：明确运动轨道所在的平面，找到轨道平面圆心的位置，分析做圆周运动的物体所受的力，画出受力示意图，找出这些力指向圆心的合力就是向心力。
（2023·福建·高考真题）一种离心测速器的简化工作原理如图所示。细杆的一端固定在竖直转轴上的O点，并可随轴一起转动。杆上套有一轻质弹簧，弹簧一端固定于O点，另一端与套在杆上的圆环相连。当测速器稳定工作时，圆环将相对细杆静止，通过圆环的位置可以确定细杆匀速转动的角速度。已知细杆长度，杆与竖直转轴的夹角a始终为，弹簧原长，弹簧劲度系数，圆环质量；弹簧始终在弹性限度内，重力加速度大小取，摩擦力可忽略不计
（1）若细杆和圆环处于静止状态，求圆环到O点的距离；
（2）求弹簧处于原长时，细杆匀速转动的角速度大小；
（3）求圆环处于细杆末端P时，细杆匀速转动的角速度大小。
（2024·安徽·一模）如图所示，水平转台上的小物体1、2通过轻质细线相连，质量分别为m、2m。保持细线伸直且恰无张力，并静止在转台上，可绕垂直转台的中心轴OO′转动。两物体与转台表面的动摩擦因数相同均为μ，最大静摩擦力认为等于滑动摩擦力。两物体与轴O共线且物体1到转轴的距离为r，物体2到转轴的距离为2r，重力加速度为g。当转台从静止开始转动，角速度极其缓慢地增大，针对这个过程，求解下列问题：
(1)求轻绳刚有拉力时转台的角速度；
(2)求当转台角速度为时，物体1受到的摩擦力；
(3)求当物体1和物体2均被甩离转台时的角速度。
题型02 竖直平面内的圆周运动
1、竖直平面内的圆周运动主要常考的模型为轻绳模型和轻杆模型，这类题型要注意分清受力特征以及掌握临界条件的分析方法。
2、题型难道一般不是很大，考查内容比较综合，需要学生具备一定的综合分析能力。
一、必备基础知识
1、拱桥模型
受力特征：下有支撑，上无约束。
临界特征：FN＝0 ，mg＝mv2max，即vmax＝。过最高点条件：v≤。讨论分析：v≤时：mg－FN＝m，FN＝mg－m时：到达最高点前做斜上抛运动飞离桥面。
2、轻绳模型
受力特征：除重力外，物体受到的弹力方向：向下或等于零。
临界特征：FN＝0 ，mg＝m即vmin＝。过最高点条件：在最高点的速度v≥。讨论分析：过最高点时，v≥，FN＋mg＝m，绳、圆轨道对球产生弹力FN；不能过最高点时，v<，在到达最高点前小球已经脱离了圆轨道。
3、轻杆模型
受力特征：除重力外，物体受到的弹力方向：向下、等于零或向上。
临界特征：v＝0即F向＝0 FN＝mg。过最高点条件：在最高点的速度v≥0。讨论分析：当v＝0时，FN＝mg，FN为支持力，沿半径背离圆心；当0时，FN＋mg＝m，FN指向圆心并随v的增大而增大。
二、解题模板
1、解题思路
2、注意问题
小球的不脱轨问题，如下图所示，该问题包含两种情景：①小球没有通过最高点，但没有脱离圆轨道，这种情况下小球最高上升到与圆心等高位置处然后原路返回；②小球通过最高点并完成圆周运动，这种情况下最高点的速度要满足v>。
绳子模型和杆模型的比较如下表所示。
模型 绳子模型 杆模型
图例
受力分析 F弹向下或等于零 F弹向下、等于零或向上
力学方程 mg＋F弹＝m mg±F弹＝m
过最高点的临界条件 小球恰好通过轨道最高点、恰好能做完整的圆周运动，隐含着小球运动到最高点时绳或轨道对小球的作用力恰好为零。由mg＝m得v小＝ 由小球恰能运动到最高点得v临＝0。
讨论分析 若通过最高点时v>，则绳、轨道对球产生一个向下的弹力F，由F＋mg＝m可得F随v的增大而增大； 不能过最高点时v<，在到达最高点前小球已经脱离了圆轨道。 当mg＝m即v＝时，FN＝0此时杆或管道对小球恰好没有作用力； 当0时，球受到向下的拉力， 由 FN＋mg＝m可得FN随v的增大而增大； 当v＝0时，FN＝mg，FN为支持力，沿半径背离圆心。
3、解题方法
①确定模型：首先判断是轻绳模型还是轻杆模型，两种模型过最高点的临界条件不同，其原因主要是“绳”不能支持物体，而“杆”既能支持物体，也能拉物体。
②确定临界点：v临＝，对轻绳模型来说是能否通过最高点的临界点，而对轻杆模型来说FN表现为支持力或者是拉力的临界点。
③确定研究状态：通常情况下竖直平面内的圆周运动只涉及最高点和最低点的运动情况。
④进行受力分析：对物体在最高点或最低点时进行受力分析，根据牛顿第二定律列出方程F合=F向。
⑤进行过程分析：应用动能定理或机械能守恒定律将初、末两个状态联系起来列方程。
（2024·安徽·高考真题）如图所示，一实验小车静止在光滑水平面上，其上表面有粗糙水平轨道与光滑四分之一圆弧轨道。圆弧轨道与水平轨道相切于圆弧轨道最低点，一物块静止于小车最左端，一小球用不可伸长的轻质细线悬挂于O点正下方，并轻靠在物块左侧。现将细线拉直到水平位置时，静止释放小球，小球运动到最低点时与物块发生弹性碰撞。碰撞后，物块沿着小车上的轨道运动，已知细线长。小球质量。物块、小车质量均为。小车上的水平轨道长。圆弧轨道半径。小球、物块均可视为质点。不计空气阻力，重力加速度g取。
（1）求小球运动到最低点与物块碰撞前所受拉力的大小；
（2024·陕西榆林·一模）如图1所示，位于竖直面内的固定光滑弧形轨道的最低点与固定光滑圆形轨道平滑连接，圆形轨道半径、点与圆心点等高。现有一质量的滑块（可视为质点），从位于轨道上的点由静止开始滑下，滑块经点后沿圆形轨道上滑。取重力加速度，空气阻力可忽略不计。
(1)若滑块经点后，恰好能通过圆形轨道的最高点，求滑块通过点时的速度大小；
(2)若要求滑块在运动过程中，不会从部分脱离光滑圆形轨道，请分析说明点距离点竖直高度应满足什么条件；
(3)为了更好地研究滑块的运动特点，某同学更换了滑块，并设计了相似装置，且在圆轨道最低点处安装了压力传感器，利用多组竖直高度与力传感器的读数的数据，绘制了图像如图2所示，测得图线的斜率。请根据上述情景和图像信息，求解滑块的质量和圆形轨道半径。
题型03 斜面平面内的圆周运动
在斜面上做圆周运动的物体，因所受的控制因素不同，如静摩擦力控制、绳控制、杆控制，物体的受力情况和所遵循的规律也不相同。
一、必备基础知识
1、斜面平面上的圆周运动分类
静摩擦力控制下的圆周运动；轻杆控制下的圆周运动；轻绳控制下的圆周运动。
2、两种类型
静摩擦力控制下的斜面圆周运动，如下图所示。
轻杆控制下的斜面圆周运动，如下图所示。
二、解题模板
1、解题思路
2、注意问题
斜面内的圆周运动与竖直面内的圆周运动类似，斜面上的圆周运动也是集中分析物体在最高点和最低点的受力情况，列牛顿运动定律方程来解题。只是在受力分析时，一般需要进行立体图到平面图的转化，这是解斜面上圆周运动问题的难点。
3、解题方法
明确研究对象；将物体的立体图转化为平面图；进行受力分析和运动分析；列方程进行求解
物体在斜面上做圆周运动时，如下图所示，设斜面的倾角为θ，重力垂直斜面的分力与物体受到的支持力相等，物体运动到斜面任意位置时由斜面内指向圆心方向的合力提供向心力。
（2024·广东·阶段练习）如图，倾角为的光滑斜面体固定在水平面上，斜面ABCD为边长2.5L的正方形，斜面上一点O为AC、BD连线的交点。长为L的轻绳一端系着质量为m的小球，另一端系在O点，小球在斜面上绕O点做完整的圆周运动，且运动到最高点时轻绳的拉力恰好为零。已知重力加速度为g，小球运动过程中无机械能损失。
（1）求小球运动到圆周最高点时速度的大小；
（2）求小球所受轻绳的最大拉力；
（2024·广东·模拟预测）如图所示，楔形物体放在水平地面上，斜面光滑，倾角为。轻绳一端固定在斜面，另一端系一质量为m的小球在斜面上做圆周运动，A、B分别是圆周运动轨迹的最低点和最高点，已知小球恰能通过B点。在小球运动过程中楔形物体始终静止不动，重力加速度为g。求：
（1）小球运动到最低点A时绳对小球的拉力大小；
（2）小球经过最高点B时，地面对楔形物体的摩擦力大小。
题型04 圆周运动的多解问题
1、这类题目常涉及两个物体的两种不同的运动，其中一个物体做匀速圆周运动，另一个物体做其它形式的运动。
2、圆周运动具备周期性，因此会出现多解问题。两个物体的运动是同时进行的，因此运动时间是一致的，这是解题的突破口。
一、必备基础知识
1、问题特点
圆周运动具有周期性，使得不同周期内发生的运动可能是相同的，这将造成多解。
2、三种传动模型
方式 同轴转动 皮带传动 齿轮传动
装置 A、B两点在同轴的一个圆盘上，到圆心的距离不同。 两个轮子用皮带连接，A、B两点分别是两个轮子边缘上的点。 两个齿轮轮齿啮合，A、B两点分别是两个齿轮边缘上的点。
图例
特点 A、B两点角速度、周期相同 A、B两点线速度相同 A、B两点线速度相同
转动方向 相同 相同 相反
规律 线速度与半径成正比： 角速度与半径成反比： ， 周期与半径成正比： 角速度与半径成反比与齿轮齿数成反比∶ ， 周期与半径成正比，与齿轮齿 数成正比：
二、解题模板
1、解题思路
2、注意问题
分析此类问题，周期性是得出多解通式的关键。求解过程切记不能只考虑第一个周期的情况，要注意问题的多解。
3、解题方法
①明确两个运动的物体，分析各自的运动形式；
②对两者进行受力分析和运动分析；
③根据各自的运动特点列出规律方程；
④根据题意要求，建立两者的联系，根据等时性得出多解通式；
⑤对结果进行分析和讨论。
（2024·广东·模拟预测）如图所示，水平圆盘直径AB与C点同线，在C点正上方h处有一可视为质点的小球沿与圆盘直径AB平行的方向以一定的初速度水平抛出，O点为圆盘圆心，已知圆盘半径为R，B、C两点间的距离为R，D为圆周边缘上一点，且OD与AB垂直，重力加速度为g，不计空气阻力。
（1）求当圆盘固定时，要使小球落在圆盘上，求速度大小范围；
（2）若圆盘绕圆心O点由图示位置沿逆时针做匀速圆周运动，经过一段时间后，小球恰好与圆盘在D点相遇，求圆盘转动线速度大小的可能值。
（2024·广东·期中）如图所示的游戏装置中，一高度为h的固定杆的顶部固定一光滑圆弧形轨道，一处于水平面内的圆盘可绕固定杆转动，圆盘上距圆盘中心为L的处有一小圆孔。现让圆盘匀速转动，当过的直线处于轨道AB正下方且在杆右侧时，将小球从A点静止释放，小球经导轨从B点水平抛出后恰好穿过圆孔，已知小球由A点到B点的时间为，不计空气阻力。求：
(1)A、B间的竖直高度差；
(2)圆盘转动的角速度。
题型05圆锥摆类问题
该类问题往往是由重力和弹力的合力提供向心力，使物体在水平面内做匀速圆周运动。掌握圆锥摆的运动特征可以快速解决这类问题。
一、必备基础知识
1、结构特点
一根轻绳系一个摆球（可看成质点），让摆球在水平面内做匀速圆周运动。
2、运动图示
3、类圆锥摆
有些物体的运动从表面上看不属于圆锥摆模型，但其受力情况和运动情况与圆锥摆模型类似，利用相似的分析方法即可求解。
常见的类圆锥摆模型有：圆锥筒、火车转弯、飞车走壁等。模型图如下所示。
二、解题模板
1、解题思路
2、注意问题
物体做圆周运动的轨道圆心一定与轨道共面，所以做圆锥摆运动的物体，轨道圆心不是悬点，而是与轨道共面的中心，半径则为轨道平面上面的半径。
3、解题方法
圆锥摆：向心力Fn＝mgtan θ＝m＝mω2r，且r＝Lsin θ，解得v＝，ω＝。
稳定状态下，θ越大，角速度ω和线速度v就越大，小球受到的拉力F＝和运动所需向心力也越大。
圆锥筒：
筒内壁光滑，向心力由重力mg和支持力FN的合力提供，即＝m＝mω2r，解得v＝，ω＝。
稳定状态下小球所处的位置越高，半径r越大，角速度ω越小，线速度v越大，支持力FN＝和向心力Fn＝并不随位置的变化而变化。
（2024·安徽·一模）乒乓球是我国的国球，中国乒乓球队更是奥运梦之队。在刚刚结束的第33届巴黎奥运上，我国包揽了5枚金牌，为国乒喝彩。乒乓球训练入门简单，一支球拍，一个球，就能做颠球训练，也能对着墙壁开展对练模式。为了避免捡球的烦恼，现在推出了一种悬挂式乒乓球训练器，如图甲所示。该训练器可简化成一根长为l的轻质细绳下悬挂一可视为质点、质量为m的小球。不计空气阻力，重力加速度为g。
(1)敲击小球，可以让小球在竖直平面内摆动，最大偏转角度为θ，则小球摆到最高点时，求绳子拉力大小；
(2)敲击小球，也可以让小球做圆锥摆运动，当轻绳偏离竖直方向夹角为θ时，求绳子拉力大小及小球线速度大小。
（2024·江苏南通·模拟预测）某装置如图所示，两根轻杆与小球及一小滑块通过较链连接，杆的端与固定在竖直杆上的铰链相连。小球与小滑块的质量均为，轻杆OA、OB长均为，原长为的轻质弹簧与滑块都套在该竖直杆上，弹簧连接在点与小滑块之间。装置静止时，弹簧长为，重力加速度为，不计一切阻力。求：
（1）轻杆OA对小球的作用力；
（2）弹簧的劲度系数；
（3）若整个装置以竖直杆为轴转动，当弹簧将恢复原长时，小球的角速度。
1．（2024·福建泉州·模拟预测）智能呼啦圈可以提供全面的数据记录，让人合理管理自己的身材。如图甲，腰带外侧带有轨道，其简化模型如图乙所示。可视为质点的配重质量为0.4kg，轻绳长为0.4m，悬挂点p到腰带中心O点的距离为0.26m,水平固定好腰带，通过人体微小扭动,使配重在水平面内做匀速圆周运动。绳子与竖直方向夹角θ=37°，运动过程中腰带可视为静止，不计一切阻力，重力加速度g=10m/s2 sin37°＝0.6，cos37°＝0.8）。求：
（1）轻绳拉力的大小；
（2）配重做匀速圆周运动的角速度；
（3）配重从静止开始加速旋转至θ＝37°的过程中，绳子对配重所做的功。
2．（2024·江苏扬州·模拟预测）如图，餐桌上表面离地面的高度，餐桌中心是一个半径为的圆盘，圆盘可绕中心轴转动，近似认为圆盘与餐桌在同一水平面内且两者之间的间隙可忽略不计。已知放置在圆盘边缘的的小物体与圆盘间的动摩擦因数为，小物体与餐桌间的动摩擦因数为，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，缓慢增大圆盘的转动速度，物体从圆盘上甩出后，在餐桌上做匀减速直线运动，恰好不会滑出餐桌落到地上，g取，不计空气阻力。
（1）为使物体不从圆盘滑到餐桌上，求圆盘的边缘线速的最大值；
（2）物体在餐桌上滑行的时间；
（3）若餐桌上洒上了油，导致物体与餐桌间的动摩擦因数减小，物体沿桌面匀减速直线运动后落地，落地点距离圆桌中心的水平距离，求此过程桌面对物体做的功。
3．（2024·江苏·模拟预测）如图所示，AB为竖直放置的光滑圆筒，一根长细绳穿过圆筒后一端连着质量的小球P，另一端和细绳BC（悬点为B）在结点C处共同连着质量为的小球Q，长细绳能承受的最大拉力为60N，细绳BC能承受的最大拉力为27.6 N。转动圆筒使BC绳被水平拉直，小球Q在水平面内做匀速圆周运动，小球P处于静止状态，此时圆筒顶端A点到C点的距离，细绳BC的长度，重力加速度g取，两绳均不可伸长，小球P、Q均可视为质点。求：
（1）当角速度ω多大时，BC绳刚好被拉直（结果可用根号表示）；
（2）当角速度ω多大时，BC绳刚好被拉断。
4．（2024·四川自贡·模拟预测）长为的细线，拴一质量为的小球，一端固定于点，让其在水平面内做匀速圆周运动。如图所示，当细线与竖直方向的夹角是时，重力加速度为。。求：
(1)细线的拉力大小
(2)小球运动的线速度的大小
(3)小球运动的角速度是多少
5.（2024·广东·阶段模拟）如图所示，半径R=0.4 m的圆盘水平放置，绕竖直轴OO′匀速转动，在圆心O正上方=0.8 m高处固定一水平轨道PQ，转轴和水平轨道交于O′点．一质量m=2kg的小车（可视为质点），在F=6 N的水平恒力作用下（一段时间后，撤去该力），从O′左侧m处由静止开始沿轨道向右运动，当小车运动到O′点时，从小车上自由释放一小球，此时圆盘半径OA与轴重合. 规定经过O点水平向右为轴正方向. 小车与轨道间的动摩擦因数，g取10 m/s2.
（1）为使小球刚好落在A点，圆盘转动的角速度应为多大
（2）为使小球能落到圆盘上，求水平拉力F作用的距离范围
6．（2024·福建·三模）太极柔力球运动融合了太极拳和现代竞技体育特征，是一项具有民族特色的体育运动项目。某次训练时，运动员舞动球拍，球拍带动小球在竖直平面内做匀速圆周运动，小球始终与球拍保持相对静止，其运动过程如图乙所示，小球做圆周运动的半径为0.8m，A点为圆周最高点，B点与圆心O等高，C点为最低点。已知小球质量为0.1kg，在C点时球与球拍间的弹力大小为3.0N，重力加速度g取，不计空气阻力，求：
（1）小球在C点的速度大小；
（2）小球从C运动到A的过程中，球拍对小球做功的平均功率；
（3）小球运动到B点时，球拍对小球的作用力大小。
7．（2024·新疆乌鲁木齐·二模）如图所示为一电动打夯机的原理图，电动机的转轴上固定一轻杆，轻杆的另一端固定一铁球。工作时电动机带动杆上的铁球在竖直平面内转动。若调整转速使打夯机恰好不离开地面，且匀速转动一段时间后，切断电力，铁球继续做圆周运动。整个过程中打夯机的底座始终与地面相对静止。已知打夯机（包括铁球）的总质量为，重力加速度为g，铁球可视为质点，不计一切阻力。
（1）求切断电力前，打夯机匀速转动时对地面产生的最大压力；
（2）若切断电力后，打夯机对地面产生的最大压力为，求铁球的最小质量m。
8．（2023·浙江温州·一模） 如图所示，光滑水平面ABCD和水平传送带平滑无缝连接， CDEF是一倾角的光滑正方形斜面，边长斜面上端固定一个半径的光滑半圆弧轨道，分别与CF、EF相切与P、Q两点。在水平面的BC边（足够长）上放着质量分别为 的滑块甲、乙（均可视为质点），用轻质细绳将甲、乙连接在一起，且甲、乙间夹着一根被压缩且劲度系数的轻质弹簧（未拴接）。已知传送带长以的速率逆时针转动，两滑块与传送带间的动摩擦因数，其他摩擦和阻力均不计，弹簧的弹性势能（为形变量）。
（1）细绳剪断，若滑块甲脱离弹簧时速度，求滑块甲在P点受到圆弧轨道弹力大小；
（2）若滑块甲能恰好通过圆弧轨道的最高点，求滑块乙脱离弹簧时速度大小v2；
（3）若滑块甲能通过圆弧轨道的最高点，且滑块乙离开传送带时速度大小也为v0=12m/s，求剪断绳子前弹簧的形变量的取值范围。
9．（2023·四川南充·三模）如图是一弹珠游戏机的简化示意图。矩形游戏面板与水平面所成夹角，面板右侧边缘的直管道与四分之一圆弧轨道相切于P点，面板左侧边缘有垂直板面的挡板，已知圆弧轨道半径，圆弧轨道最高点Q（切线水平）到水平面的高度。控制手柄K可使弹珠（可视为质点）以不同的速度沿直管道发射，弹珠与挡板撞击时间极短且不损失机械能，撞击前后水平速率不变。不计摩擦和空气阻力。，。
（1）求小球通过Q点的最小速度大小；
（2）若小球以最小速度通过最高点Q，与挡板发生一次撞击，刚好经过面板下边缘M点，M、A两点相距，求面板边的长度L。
21世纪教育网(www.21cnjy.com)模板05 圆周运动（五大题型）
题型01 水平平面内的圆周运动
1、水平平面内的圆周运动此类问题相对简单，物体所受合外力充当向心力，合外力大小不变，方向总是指向圆心。当角速度发生变化时，物体有离心或向心运动的趋势，此时往往需要根据受力情况判断某个力（如摩擦力等）的变化情况。
2、试题的呈现形式丰富，提问角度设置新颖，学生需要掌握圆周运动的规律和临界条件。
一、必备基础知识
1、描述圆周运动的物理量
物理量 物理意义 表达式
线速度 描述物体圆周运动快慢。 v＝＝
角速度 描述物体转动快慢。 ω＝＝
周期 物体沿圆周运动一周所用的时间，描述物体转动快慢 T＝
频率 单位时间内完成周期性变化的次数，描述物体转动快慢 f=1/T
转速 做圆周运动的物体单位时间内沿圆周绕圆心转过的圈数。描述物体做圆周运动的快慢。 n=f=1/T
向心加速度 指向圆心（曲率中心）的加速度，与曲线切线方向垂直。反映圆周运动速度方向变化快慢的物理量。 an＝rω2＝＝ωv＝r
向心力 当物体沿着圆周或者曲线轨道运动时，指向圆心（曲率中心）的合外力作用力。作用效果是产生向心加速度。 Fn＝man＝m＝mω2r＝＝mr4π2f2
2、圆周运动物理量之间的关系如下
3、匀速圆周运动和非匀速圆周运动
类型 匀速圆周运动 非匀速圆周运动
定义 线速度的大小不变的圆周运动 线速度的大小和方向不断变化的圆周运动。
性质 ①向心加速度、向心力和线速度的大小不变，方向改变； ②角速度不变 向心加速度、向心力、线速度和角速度均发生变化。
条件 合力大小不变，方向始终与速度方向垂直且指向圆心。 ①合力沿速度方向分量产生切向加速度，它只改变速度的大小；②合力沿半径方向分量产生向心加速度，它只改变速度的方向。
3、向心、离心运动
受力特点 图例
当F＝mrω2时，物体做匀速圆周运动。 当F＝0时，物体沿切线方向飞出。 当Fmrω2时，物体逐渐向圆心靠近，做向心运动。
4、水平平面内圆周运动的临界问题
问题的描述：在水平面内做圆周运动的物体，当转速变化时，物体的受力可能发生变化，转速继续变化，会出现绳子张紧、绳子突然断裂、静摩擦力随转速增大而逐渐达到最大值、弹簧弹力大小方向发生变化等，从而出现临界问题，确定临界状态是分析临界问题的关键。
5、变速圆周运动
受力特点：当物体做变速圆周运动时，合外力指向圆心的分力就是向心力。合外力不等于向心力，合外力一般产生两个效果。
下图表示小物体加速转动的情况。O是轨迹的圆心，F是绳子对小物体的拉力。
可以把F分解为与圆周相切的Ft和指向圆心的Fn：
跟圆周相切的分力Ft，只改变线速度的大小，Ft＝mat，产生切向加速度，此加速度描述线速度大小变化的快慢；
跟圆周切线垂直而指向圆心的分力Fn，只改变线速度方向，Fn＝man，产生向心加速度。此加速度描述线速度方向变化快慢。
二、解题模板
1、解题思路
2、注意问题
绳子的拉力出现临界条件的情形有：①绳恰好拉直意味着绳上无弹力；②绳上拉力恰好为最大承受力等。
物体间恰好分离的临界条件是：物体间的弹力恰好为零。
水平转盘上的物体恰好不发生相对滑动的临界条件是：物体与转盘间恰好达到最大静摩擦力。
3、解题方法
①选择做圆周运动的物体作为研究对象；②分析物体受力情况，其合外力提供向心力；③由Fn＝m=mrω2列方程求解。
临界问题的分析方法：当确定了物体运动的临界状态和临界条件后，要分别针对不同的运动过程或现象，选择相对应的物理规律，然后再列方程求解。
向心力的的确定方法：明确运动轨道所在的平面，找到轨道平面圆心的位置，分析做圆周运动的物体所受的力，画出受力示意图，找出这些力指向圆心的合力就是向心力。
（2023·福建·高考真题）一种离心测速器的简化工作原理如图所示。细杆的一端固定在竖直转轴上的O点，并可随轴一起转动。杆上套有一轻质弹簧，弹簧一端固定于O点，另一端与套在杆上的圆环相连。当测速器稳定工作时，圆环将相对细杆静止，通过圆环的位置可以确定细杆匀速转动的角速度。已知细杆长度，杆与竖直转轴的夹角a始终为，弹簧原长，弹簧劲度系数，圆环质量；弹簧始终在弹性限度内，重力加速度大小取，摩擦力可忽略不计
（1）若细杆和圆环处于静止状态，求圆环到O点的距离；
（2）求弹簧处于原长时，细杆匀速转动的角速度大小；
（3）求圆环处于细杆末端P时，细杆匀速转动的角速度大小。
思路分析 第一问的思路： 第二问的思路： 第三问的思路 详细解析 【答案】（1）0.05m；（2）；（3） 【详解】（1）当细杆和圆环处于平衡状态，对圆环受力分析得 根据胡克定律得 弹簧弹力沿杆向上，故弹簧处于压缩状态，弹簧此时的长度即为圆环到O点的距离 （2）若弹簧处于原长，则圆环仅受重力和支持力，其合力使得圆环沿水平方向做匀速圆周运动。根据牛顿第二定律得 由几何关系得圆环此时转动的半径为 联立解得 （3）圆环处于细杆末端P时，圆环受力分析重力，弹簧伸长，弹力沿杆向下。根据胡克定律得 对圆环受力分析并正交分解，竖直方向受力平衡，水平方向合力提供向心力，则有 ， 由几何关系得 联立解得
（2024·安徽·一模）如图所示，水平转台上的小物体1、2通过轻质细线相连，质量分别为m、2m。保持细线伸直且恰无张力，并静止在转台上，可绕垂直转台的中心轴OO′转动。两物体与转台表面的动摩擦因数相同均为μ，最大静摩擦力认为等于滑动摩擦力。两物体与轴O共线且物体1到转轴的距离为r，物体2到转轴的距离为2r，重力加速度为g。当转台从静止开始转动，角速度极其缓慢地增大，针对这个过程，求解下列问题：
(1)求轻绳刚有拉力时转台的角速度；
(2)求当转台角速度为时，物体1受到的摩擦力；
(3)求当物体1和物体2均被甩离转台时的角速度。
【答案】(1)
(2)0
(3)
【详解】（1）轻绳刚有拉力时，物体2与转盘间的摩擦力达到最大静摩擦力，由牛顿第二定律可得
解得
（2）圆盘角速度为
此时2与转盘间的摩擦力是最大静摩擦力，则对2有
对1有
解得
（3）当圆盘转动的角速度大于时，物体2与转盘间的摩擦力仍为最大静摩擦力，但物体1所受的摩擦力沿半径向外，且随着角速度的增大，摩擦力不断增大，当物体1和物体2均被甩离转台时，物体1所受的摩擦力达到最大值，根据牛顿第二定律可得
解得
题型02 竖直平面内的圆周运动
1、竖直平面内的圆周运动主要常考的模型为轻绳模型和轻杆模型，这类题型要注意分清受力特征以及掌握临界条件的分析方法。
2、题型难道一般不是很大，考查内容比较综合，需要学生具备一定的综合分析能力。
一、必备基础知识
1、拱桥模型
受力特征：下有支撑，上无约束。
临界特征：FN＝0 ，mg＝mv2max，即vmax＝。过最高点条件：v≤。讨论分析：v≤时：mg－FN＝m，FN＝mg－m时：到达最高点前做斜上抛运动飞离桥面。
2、轻绳模型
受力特征：除重力外，物体受到的弹力方向：向下或等于零。
临界特征：FN＝0 ，mg＝m即vmin＝。过最高点条件：在最高点的速度v≥。讨论分析：过最高点时，v≥，FN＋mg＝m，绳、圆轨道对球产生弹力FN；不能过最高点时，v<，在到达最高点前小球已经脱离了圆轨道。
3、轻杆模型
受力特征：除重力外，物体受到的弹力方向：向下、等于零或向上。
临界特征：v＝0即F向＝0 FN＝mg。过最高点条件：在最高点的速度v≥0。讨论分析：当v＝0时，FN＝mg，FN为支持力，沿半径背离圆心；当0时，FN＋mg＝m，FN指向圆心并随v的增大而增大。
二、解题模板
1、解题思路
2、注意问题
小球的不脱轨问题，如下图所示，该问题包含两种情景：①小球没有通过最高点，但没有脱离圆轨道，这种情况下小球最高上升到与圆心等高位置处然后原路返回；②小球通过最高点并完成圆周运动，这种情况下最高点的速度要满足v>。
绳子模型和杆模型的比较如下表所示。
模型 绳子模型 杆模型
图例
受力分析 F弹向下或等于零 F弹向下、等于零或向上
力学方程 mg＋F弹＝m mg±F弹＝m
过最高点的临界条件 小球恰好通过轨道最高点、恰好能做完整的圆周运动，隐含着小球运动到最高点时绳或轨道对小球的作用力恰好为零。由mg＝m得v小＝ 由小球恰能运动到最高点得v临＝0。
讨论分析 若通过最高点时v>，则绳、轨道对球产生一个向下的弹力F，由F＋mg＝m可得F随v的增大而增大； 不能过最高点时v<，在到达最高点前小球已经脱离了圆轨道。 当mg＝m即v＝时，FN＝0此时杆或管道对小球恰好没有作用力； 当0时，球受到向下的拉力， 由 FN＋mg＝m可得FN随v的增大而增大； 当v＝0时，FN＝mg，FN为支持力，沿半径背离圆心。
3、解题方法
①确定模型：首先判断是轻绳模型还是轻杆模型，两种模型过最高点的临界条件不同，其原因主要是“绳”不能支持物体，而“杆”既能支持物体，也能拉物体。
②确定临界点：v临＝，对轻绳模型来说是能否通过最高点的临界点，而对轻杆模型来说FN表现为支持力或者是拉力的临界点。
③确定研究状态：通常情况下竖直平面内的圆周运动只涉及最高点和最低点的运动情况。
④进行受力分析：对物体在最高点或最低点时进行受力分析，根据牛顿第二定律列出方程F合=F向。
⑤进行过程分析：应用动能定理或机械能守恒定律将初、末两个状态联系起来列方程。
（2024·安徽·高考真题）如图所示，一实验小车静止在光滑水平面上，其上表面有粗糙水平轨道与光滑四分之一圆弧轨道。圆弧轨道与水平轨道相切于圆弧轨道最低点，一物块静止于小车最左端，一小球用不可伸长的轻质细线悬挂于O点正下方，并轻靠在物块左侧。现将细线拉直到水平位置时，静止释放小球，小球运动到最低点时与物块发生弹性碰撞。碰撞后，物块沿着小车上的轨道运动，已知细线长。小球质量。物块、小车质量均为。小车上的水平轨道长。圆弧轨道半径。小球、物块均可视为质点。不计空气阻力，重力加速度g取。
（1）求小球运动到最低点与物块碰撞前所受拉力的大小；
思路分析 第一问的思路： 详细解析 【答案】（1）6N；（2）4m/s；（3） 【详解】（1）对小球摆动到最低点的过程中，由动能定理 解得 在最低点，对小球由牛顿第二定律 解得，小球运动到最低点与物块碰撞前所受拉力的大小为
（2024·陕西榆林·一模）如图1所示，位于竖直面内的固定光滑弧形轨道的最低点与固定光滑圆形轨道平滑连接，圆形轨道半径、点与圆心点等高。现有一质量的滑块（可视为质点），从位于轨道上的点由静止开始滑下，滑块经点后沿圆形轨道上滑。取重力加速度，空气阻力可忽略不计。
(1)若滑块经点后，恰好能通过圆形轨道的最高点，求滑块通过点时的速度大小；
(2)若要求滑块在运动过程中，不会从部分脱离光滑圆形轨道，请分析说明点距离点竖直高度应满足什么条件；
(3)为了更好地研究滑块的运动特点，某同学更换了滑块，并设计了相似装置，且在圆轨道最低点处安装了压力传感器，利用多组竖直高度与力传感器的读数的数据，绘制了图像如图2所示，测得图线的斜率。请根据上述情景和图像信息，求解滑块的质量和圆形轨道半径。
【答案】(1)
(2)或
(3)，
【详解】（1）因滑块恰能通过点时其所受轨道的压力为零，其只受到重力的作用。设滑块在点的速度大小为，根据牛顿第二定律，对滑块在点有
解得
（2）设滑块不脱轨刚好通过D点的释放高度为，根据动能定理或机械能守恒有
代入数值得
即当不脱离轨道；如果滑块沿圆轨道运动高度不超过点，则也满足不脱轨条件，设此时的释放高度为，根据动能定理或机械能守恒有
代入数值得
即当不脱离轨道；所以不脱离轨道释放高度需满足：或（说明：写成或的同样得分）
（3）设滑块的质量为，圆形轨道半径为，对于滑块下滑到点的过程，根据机械能守恒定律有：
滑块在点时传感器的示数大小等于滑块此时所受轨道的压力，根据牛顿第二定律有：
联立解得
即图像中，斜率
截距
即由图像可知
，
解得
，
题型03 斜面平面内的圆周运动
在斜面上做圆周运动的物体，因所受的控制因素不同，如静摩擦力控制、绳控制、杆控制，物体的受力情况和所遵循的规律也不相同。
一、必备基础知识
1、斜面平面上的圆周运动分类
静摩擦力控制下的圆周运动；轻杆控制下的圆周运动；轻绳控制下的圆周运动。
2、两种类型
静摩擦力控制下的斜面圆周运动，如下图所示。
轻杆控制下的斜面圆周运动，如下图所示。
二、解题模板
1、解题思路
2、注意问题
斜面内的圆周运动与竖直面内的圆周运动类似，斜面上的圆周运动也是集中分析物体在最高点和最低点的受力情况，列牛顿运动定律方程来解题。只是在受力分析时，一般需要进行立体图到平面图的转化，这是解斜面上圆周运动问题的难点。
3、解题方法
明确研究对象；将物体的立体图转化为平面图；进行受力分析和运动分析；列方程进行求解
物体在斜面上做圆周运动时，如下图所示，设斜面的倾角为θ，重力垂直斜面的分力与物体受到的支持力相等，物体运动到斜面任意位置时由斜面内指向圆心方向的合力提供向心力。
（2024·广东·阶段练习）如图，倾角为的光滑斜面体固定在水平面上，斜面ABCD为边长2.5L的正方形，斜面上一点O为AC、BD连线的交点。长为L的轻绳一端系着质量为m的小球，另一端系在O点，小球在斜面上绕O点做完整的圆周运动，且运动到最高点时轻绳的拉力恰好为零。已知重力加速度为g，小球运动过程中无机械能损失。
（1）求小球运动到圆周最高点时速度的大小；
（2）求小球所受轻绳的最大拉力；
思路分析 第一问的思路; 第二问的思路： 详细解析 【答案】（1）；（2）3mg；（3） 【详解】（1）小球运动到最高点时，轻绳的拉力恰好为零，根据牛顿第二定律 解得 （2）小球在最低点所受拉力最大 由机械能守恒定律 解得
（2024·广东·模拟预测）如图所示，楔形物体放在水平地面上，斜面光滑，倾角为。轻绳一端固定在斜面，另一端系一质量为m的小球在斜面上做圆周运动，A、B分别是圆周运动轨迹的最低点和最高点，已知小球恰能通过B点。在小球运动过程中楔形物体始终静止不动，重力加速度为g。求：
（1）小球运动到最低点A时绳对小球的拉力大小；
（2）小球经过最高点B时，地面对楔形物体的摩擦力大小。
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）设绳长为l，小球在B时速度大小为vB，小球恰好能通过B点
对小球运用牛顿第二定律：
①
设小球在A点时的速度大小为vA，绳对小球拉力大小为T，在A点
对小球运用牛顿第二定律：
②
小球运动过程中机械能守恒：
③
联立①②③解得：
（2）小球在B时绳对其拉力为0，设小球在B点时受斜面弹力大小为N
在垂直斜面方向上小球平衡：
④
设斜面受小球作用力大小N′，由牛顿第三定律：
设斜面所受地面摩擦力大小为f，由斜面的水平方向平衡条件：
⑤
解得：
（或）
题型04 圆周运动的多解问题
1、这类题目常涉及两个物体的两种不同的运动，其中一个物体做匀速圆周运动，另一个物体做其它形式的运动。
2、圆周运动具备周期性，因此会出现多解问题。两个物体的运动是同时进行的，因此运动时间是一致的，这是解题的突破口。
一、必备基础知识
1、问题特点
圆周运动具有周期性，使得不同周期内发生的运动可能是相同的，这将造成多解。
2、三种传动模型
方式 同轴转动 皮带传动 齿轮传动
装置 A、B两点在同轴的一个圆盘上，到圆心的距离不同。 两个轮子用皮带连接，A、B两点分别是两个轮子边缘上的点。 两个齿轮轮齿啮合，A、B两点分别是两个齿轮边缘上的点。
图例
特点 A、B两点角速度、周期相同 A、B两点线速度相同 A、B两点线速度相同
转动方向 相同 相同 相反
规律 线速度与半径成正比： 角速度与半径成反比： ， 周期与半径成正比： 角速度与半径成反比与齿轮齿数成反比∶ ， 周期与半径成正比，与齿轮齿 数成正比：
二、解题模板
1、解题思路
2、注意问题
分析此类问题，周期性是得出多解通式的关键。求解过程切记不能只考虑第一个周期的情况，要注意问题的多解。
3、解题方法
①明确两个运动的物体，分析各自的运动形式；
②对两者进行受力分析和运动分析；
③根据各自的运动特点列出规律方程；
④根据题意要求，建立两者的联系，根据等时性得出多解通式；
⑤对结果进行分析和讨论。
（2024·广东·模拟预测）如图所示，水平圆盘直径AB与C点同线，在C点正上方h处有一可视为质点的小球沿与圆盘直径AB平行的方向以一定的初速度水平抛出，O点为圆盘圆心，已知圆盘半径为R，B、C两点间的距离为R，D为圆周边缘上一点，且OD与AB垂直，重力加速度为g，不计空气阻力。
（1）求当圆盘固定时，要使小球落在圆盘上，求速度大小范围；
（2）若圆盘绕圆心O点由图示位置沿逆时针做匀速圆周运动，经过一段时间后，小球恰好与圆盘在D点相遇，求圆盘转动线速度大小的可能值。
思路分析 第一问的思路： 第二问的思路： 详细解析 【答案】（1）R；（2））R、3） 【详解】（1）小球做平抛运动，根据 解得小球做平抛运动的时间 当小球落在B点时，初速度最小，则最小速度为 当小球落在A点时，初速度最大，则最大速度为 所以圆盘固定时，要使小球落在圆盘上，速度大小范围为 （2）根据 根据圆周运动的周期性，可知相遇时D点转过的角度为 线速度大小为 联立解得 ）R、3）
（2024·广东·期中）如图所示的游戏装置中，一高度为h的固定杆的顶部固定一光滑圆弧形轨道，一处于水平面内的圆盘可绕固定杆转动，圆盘上距圆盘中心为L的处有一小圆孔。现让圆盘匀速转动，当过的直线处于轨道AB正下方且在杆右侧时，将小球从A点静止释放，小球经导轨从B点水平抛出后恰好穿过圆孔，已知小球由A点到B点的时间为，不计空气阻力。求：
(1)A、B间的竖直高度差；
(2)圆盘转动的角速度。
【答案】(1) (2) (n=1，2，3……)
【详解】(1)小球从B点抛出后做平抛运动，竖直方向上有
水平方向上有
联立解得
从A到B的过程中，根据动能定理得
解得
(2)小球从A点运动到O1点的时间
在这段时间内，圆盘转过的角度为
(n=1，2，3……)
联立解得
(n=1，2，3……)
题型05圆锥摆类问题
该类问题往往是由重力和弹力的合力提供向心力，使物体在水平面内做匀速圆周运动。掌握圆锥摆的运动特征可以快速解决这类问题。
一、必备基础知识
1、结构特点
一根轻绳系一个摆球（可看成质点），让摆球在水平面内做匀速圆周运动。
2、运动图示
3、类圆锥摆
有些物体的运动从表面上看不属于圆锥摆模型，但其受力情况和运动情况与圆锥摆模型类似，利用相似的分析方法即可求解。
常见的类圆锥摆模型有：圆锥筒、火车转弯、飞车走壁等。模型图如下所示。
二、解题模板
1、解题思路
2、注意问题
物体做圆周运动的轨道圆心一定与轨道共面，所以做圆锥摆运动的物体，轨道圆心不是悬点，而是与轨道共面的中心，半径则为轨道平面上面的半径。
3、解题方法
圆锥摆：向心力Fn＝mgtan θ＝m＝mω2r，且r＝Lsin θ，解得v＝，ω＝。
稳定状态下，θ越大，角速度ω和线速度v就越大，小球受到的拉力F＝和运动所需向心力也越大。
圆锥筒：
筒内壁光滑，向心力由重力mg和支持力FN的合力提供，即＝m＝mω2r，解得v＝，ω＝。
稳定状态下小球所处的位置越高，半径r越大，角速度ω越小，线速度v越大，支持力FN＝和向心力Fn＝并不随位置的变化而变化。
（2024·安徽·一模）乒乓球是我国的国球，中国乒乓球队更是奥运梦之队。在刚刚结束的第33届巴黎奥运上，我国包揽了5枚金牌，为国乒喝彩。乒乓球训练入门简单，一支球拍，一个球，就能做颠球训练，也能对着墙壁开展对练模式。为了避免捡球的烦恼，现在推出了一种悬挂式乒乓球训练器，如图甲所示。该训练器可简化成一根长为l的轻质细绳下悬挂一可视为质点、质量为m的小球。不计空气阻力，重力加速度为g。
(1)敲击小球，可以让小球在竖直平面内摆动，最大偏转角度为θ，则小球摆到最高点时，求绳子拉力大小；
(2)敲击小球，也可以让小球做圆锥摆运动，当轻绳偏离竖直方向夹角为θ时，求绳子拉力大小及小球线速度大小。
思路分析 第一问的思路： 第二问的思路： 详细解析 【答案】(1) (2)， 【详解】（1）对小球受力分析，如图 当小球摆到最高点时 对小球受力分析，沿绳方向有 （2）对小球受力分析，如图 竖直方向有 可得绳子的拉力大小为 水平方向由牛顿第二定律 可得小球的线速度大小为
（2024·江苏南通·模拟预测）某装置如图所示，两根轻杆与小球及一小滑块通过较链连接，杆的端与固定在竖直杆上的铰链相连。小球与小滑块的质量均为，轻杆OA、OB长均为，原长为的轻质弹簧与滑块都套在该竖直杆上，弹簧连接在点与小滑块之间。装置静止时，弹簧长为，重力加速度为，不计一切阻力。求：
（1）轻杆OA对小球的作用力；
（2）弹簧的劲度系数；
（3）若整个装置以竖直杆为轴转动，当弹簧将恢复原长时，小球的角速度。
【答案】（1），与竖直轴的夹角为；（2）；（3）
【详解】（1）装置静止时，由几何关系可知
解得
则轻杆OA对小球的作用力方向与竖直轴的夹角为，对小球受力分析，如图甲所示，由对称性可知
根据力的平衡条件可知
解得
（2）由轻杆受力特点可知，轻杆OB对小滑块的作用力方向沿OB杆向下，大小为，对小滑块受力分析如图乙所示，在竖直方向上由力的平衡条件可知
根据胡克定律
解得
（3）当弹簧将恢复原长时，由几何关系可知
可得
对小滑块，竖直方向有
对小球，竖直方向有
水平方向有
联立解得小球的角速度
1．（2024·福建泉州·模拟预测）智能呼啦圈可以提供全面的数据记录，让人合理管理自己的身材。如图甲，腰带外侧带有轨道，其简化模型如图乙所示。可视为质点的配重质量为0.4kg，轻绳长为0.4m，悬挂点p到腰带中心O点的距离为0.26m,水平固定好腰带，通过人体微小扭动,使配重在水平面内做匀速圆周运动。绳子与竖直方向夹角θ=37°，运动过程中腰带可视为静止，不计一切阻力，重力加速度g=10m/s2 sin37°＝0.6，cos37°＝0.8）。求：
（1）轻绳拉力的大小；
（2）配重做匀速圆周运动的角速度；
（3）配重从静止开始加速旋转至θ＝37°的过程中，绳子对配重所做的功。
【答案】（1）5N；（2）；（3）7.07J
【详解】（1）根据题意，配重受竖直向下的重力mg和绳的拉力T，如图所示
有
（2）根据题意，配重做匀速圆周运动，则
解得
（3）配重做匀速圆周运动的线速度大小
解得
根据几何关系可得配重上升的高度为
根据动能定理可得
解得
2．（2024·江苏扬州·模拟预测）如图，餐桌上表面离地面的高度，餐桌中心是一个半径为的圆盘，圆盘可绕中心轴转动，近似认为圆盘与餐桌在同一水平面内且两者之间的间隙可忽略不计。已知放置在圆盘边缘的的小物体与圆盘间的动摩擦因数为，小物体与餐桌间的动摩擦因数为，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，缓慢增大圆盘的转动速度，物体从圆盘上甩出后，在餐桌上做匀减速直线运动，恰好不会滑出餐桌落到地上，g取，不计空气阻力。
（1）为使物体不从圆盘滑到餐桌上，求圆盘的边缘线速的最大值；
（2）物体在餐桌上滑行的时间；
（3）若餐桌上洒上了油，导致物体与餐桌间的动摩擦因数减小，物体沿桌面匀减速直线运动后落地，落地点距离圆桌中心的水平距离，求此过程桌面对物体做的功。
【答案】（1）；（2）1s；（3）
【详解】（1）对物体，有
解得
（2）在餐桌上有
可得
恰好不会滑出桌面落到地上
可得
恰好不会滑出桌面落到地上
可得
（3）在餐桌上有
物体滑出桌面的过程中
飞出桌面后竖直方向
水平方向
故物体落地时距离圆桌中心的水平距离
解得
则此过程桌面对物体做的功为
3．（2024·江苏·模拟预测）如图所示，AB为竖直放置的光滑圆筒，一根长细绳穿过圆筒后一端连着质量的小球P，另一端和细绳BC（悬点为B）在结点C处共同连着质量为的小球Q，长细绳能承受的最大拉力为60N，细绳BC能承受的最大拉力为27.6 N。转动圆筒使BC绳被水平拉直，小球Q在水平面内做匀速圆周运动，小球P处于静止状态，此时圆筒顶端A点到C点的距离，细绳BC的长度，重力加速度g取，两绳均不可伸长，小球P、Q均可视为质点。求：
（1）当角速度ω多大时，BC绳刚好被拉直（结果可用根号表示）；
（2）当角速度ω多大时，BC绳刚好被拉断。
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）BC绳刚好被拉直时，由几何关系可知AC绳与竖直方向的夹角的正弦值
对小球m2受力分析，由牛顿第二定律可知
解得
（2）对小球m2，竖直方向有
得
m2=4kg
当BC被拉断时有
解得
4．（2024·四川自贡·模拟预测）长为的细线，拴一质量为的小球，一端固定于点，让其在水平面内做匀速圆周运动。如图所示，当细线与竖直方向的夹角是时，重力加速度为。。求：
(1)细线的拉力大小
(2)小球运动的线速度的大小
(3)小球运动的角速度是多少
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）竖直方向根据平衡条件得
解得
（2）根据牛顿第二定律得
解得
（3）根据牛顿第二定律得
解得
（2024·广东·阶段模拟）如图所示，半径R=0.4 m的圆盘水平放置，绕竖直轴OO′匀速转动，在圆心O正上方=0.8 m高处固定一水平轨道PQ，转轴和水平轨道交于O′点．一质量m=2kg的小车（可视为质点），在F=6 N的水平恒力作用下（一段时间后，撤去该力），从O′左侧m处由静止开始沿轨道向右运动，当小车运动到O′点时，从小车上自由释放一小球，此时圆盘半径OA与轴重合. 规定经过O点水平向右为轴正方向. 小车与轨道间的动摩擦因数，g取10 m/s2.
（1）为使小球刚好落在A点，圆盘转动的角速度应为多大
（2）为使小球能落到圆盘上，求水平拉力F作用的距离范围
【答案】(1) (2)
【详解】(1)
为使小球刚好落在A点，则小球下落的时间为圆盘转动周期的整数倍，有
，其中k=1，2，3…
即，其中k=1，2，3…
(2) 当球落到O点时，
得：
F撤去后，匀减速，
依题意：
由以上各式解得：
当球落到A点时，
先匀加速，后匀减速
由以上各式得：
水平力作用的距离范围
6．（2024·福建·三模）太极柔力球运动融合了太极拳和现代竞技体育特征，是一项具有民族特色的体育运动项目。某次训练时，运动员舞动球拍，球拍带动小球在竖直平面内做匀速圆周运动，小球始终与球拍保持相对静止，其运动过程如图乙所示，小球做圆周运动的半径为0.8m，A点为圆周最高点，B点与圆心O等高，C点为最低点。已知小球质量为0.1kg，在C点时球与球拍间的弹力大小为3.0N，重力加速度g取，不计空气阻力，求：
（1）小球在C点的速度大小；
（2）小球从C运动到A的过程中，球拍对小球做功的平均功率；
（3）小球运动到B点时，球拍对小球的作用力大小。
【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】（1）在C点时，由牛顿第二定律
解得
（2）小球从C运动到A的过程中，所用时间为t，则
由动能定理
小球从C运动到A的过程中，球拍对小球做功的平均功率
解得
（3）小球运动到B点时，设球拍对球的作用力为F，合力提供向心力，由力的合成规则
其中
解得
7．（2024·新疆乌鲁木齐·二模）如图所示为一电动打夯机的原理图，电动机的转轴上固定一轻杆，轻杆的另一端固定一铁球。工作时电动机带动杆上的铁球在竖直平面内转动。若调整转速使打夯机恰好不离开地面，且匀速转动一段时间后，切断电力，铁球继续做圆周运动。整个过程中打夯机的底座始终与地面相对静止。已知打夯机（包括铁球）的总质量为，重力加速度为g，铁球可视为质点，不计一切阻力。
（1）求切断电力前，打夯机匀速转动时对地面产生的最大压力；
（2）若切断电力后，打夯机对地面产生的最大压力为，求铁球的最小质量m。
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）设小球质量为，切断电力前，最高点打夯机对小球的作用力为，最低点最高点打夯机对小球的作用力为，匀速转动的角速度为，小球做圆周运动的半径为。在最高点，对小球由牛顿第二定律得
由牛顿第三定律得，小球在最高点对打夯机的反作用力大小
打夯机恰好不离开地面，则
得
即
小球在最低点时，由牛顿第二定律得
得
切断电力前，打夯机匀速转动时，地面对打夯机的最大支持力
由牛顿第三定律得打夯机匀速转动时对地面产生的最大压力大小
（2））若切断电力后，铁球的最小质量m，最高点小球速度为零，最低点速度为，最低点打夯机对小球的力为，则小球从最高点到最低点，由动能定理得
得
最低点，对小球由牛顿第二定律得
得
小球对打夯机的作用力的大小
地面对打夯机的最大支持力
由牛顿第三定律得，打夯机对地面产生的最大压力
解得
8．（2023·浙江温州·一模） 如图所示，光滑水平面ABCD和水平传送带平滑无缝连接， CDEF是一倾角的光滑正方形斜面，边长斜面上端固定一个半径的光滑半圆弧轨道，分别与CF、EF相切与P、Q两点。在水平面的BC边（足够长）上放着质量分别为 的滑块甲、乙（均可视为质点），用轻质细绳将甲、乙连接在一起，且甲、乙间夹着一根被压缩且劲度系数的轻质弹簧（未拴接）。已知传送带长以的速率逆时针转动，两滑块与传送带间的动摩擦因数，其他摩擦和阻力均不计，弹簧的弹性势能（为形变量）。
（1）细绳剪断，若滑块甲脱离弹簧时速度，求滑块甲在P点受到圆弧轨道弹力大小；
（2）若滑块甲能恰好通过圆弧轨道的最高点，求滑块乙脱离弹簧时速度大小v2；
（3）若滑块甲能通过圆弧轨道的最高点，且滑块乙离开传送带时速度大小也为v0=12m/s，求剪断绳子前弹簧的形变量的取值范围。
【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】（1）甲运动到P点过程，根据动能定理有
解得
滑块甲在P点受到圆弧轨道弹力
（2）滑块甲能恰好通过圆弧轨道的最高点，有
可得
设甲乙分离时甲速度为，甲从分离到最高点
可得
两滑块弹开的过程，根据动量守恒有
滑块乙脱离弹簧时速度大小为
（3）根据系统机械能守恒有
两滑块弹开的过程，根据动量守恒有
可得
滑块乙在传送带上减速
滑块乙在传送带上加速
可得
则
滑块甲能恰好通过圆弧轨道的最高点，有
综上所述
则
9．（2023·四川南充·三模）如图是一弹珠游戏机的简化示意图。矩形游戏面板与水平面所成夹角，面板右侧边缘的直管道与四分之一圆弧轨道相切于P点，面板左侧边缘有垂直板面的挡板，已知圆弧轨道半径，圆弧轨道最高点Q（切线水平）到水平面的高度。控制手柄K可使弹珠（可视为质点）以不同的速度沿直管道发射，弹珠与挡板撞击时间极短且不损失机械能，撞击前后水平速率不变。不计摩擦和空气阻力。，。
（1）求小球通过Q点的最小速度大小；
（2）若小球以最小速度通过最高点Q，与挡板发生一次撞击，刚好经过面板下边缘M点，M、A两点相距，求面板边的长度L。
【答案】（1）；（2）2.75m
【详解】（1）小球恰好过Q点，有
解得
（2），沿斜面向下，小球做匀加速直线运动，有
解得
水平方向，速度大小不变，碰前与碰后水平位移大小相等，故有
M到挡板距离
则边长度
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