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【同步提升】人教版八年级下册数学期中期末考点归纳与精讲专练
第01讲 二次根式的概念与性质
知识梳理 1
要点一、二次根式的概念 1
要点二、二次根式的性质 1
考点归纳 2
考点一、求二次根式的值 2
考点二、求二次根式中的参数值 3
考点三、二次根式有意义的条件 3
考点四、利用二次根式的性质化简 3
考点五、复合二次根式的化简 4
真题演练 4
一、单选题 4
二、填空题 5
三、解答题 5
要点一、二次根式的概念
形如的式子叫做二次根式，如等式子，都叫做二次根式.
要点诠释：
二次根式有意义的条件是，即只有被开方数时，式子才是二次根式，才有意义.
要点二、二次根式的性质
（1）是非负数（双重非负性）； （2）；
（3）；
口诀：平方再开方，出来带“框框”
要点诠释：
（1） 一个非负数可以写成它的算术平方根的平方的形式，即（），如（）.
（2） 中的取值范围可以是任意实数，即不论取何值，一定有意义.
（3）化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简.
（4）与的异同
不同点：中可以取任何实数，而中的必须取非负数；
=，=（）.
相同点：被开方数都是非负数，当取非负数时，=.
考点一、求二次根式的值
1．下列式子一定是二次根式是（ ）
A． B． C．37 D．
2．已知二次根式，当时，此二次根式的值为（ ）
A．2 B． C．4 D．
3．的值在（ ）
A．1到2之间 B．2到3之间 C．3到4之间 D．4到5之间
4．当时，二次根式的值为 ．
考点二、求二次根式中的参数值
5．已知，则以a、b为边的等腰三角形的底边长为 ．
6．若 是整数，则满足条件的正整数共有 个．
7．若，满足，则 ．
8．代数式的值为0时，的值为 ．
考点三、二次根式有意义的条件
9．如果二次根式有意义，那么实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ）
A．且 B．且
C． D．
11．若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是 ．
12．已知，则的值为 ．
考点四、利用二次根式的性质化简
13．下列选项中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
14．若一个正方形的面积是12，则它的边长是（ ）
A． B． C． D．4
15．已知、、在数轴上的位置如图所示，则的化简结果是（ ）
A． B． C． D．
16．已知是整数，则正整数n的最小值是（ ）
A．0 B．2 C．3 D．6
考点五、复合二次根式的化简
17．若，则化简为（ ）
A． B． C． D．
18．化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
19．已知，则的值为 ．
20．已知，的立方根是2，c是的整数部分．
(1)求a、b、c的值；
(2)求的平方根．
一、单选题
1．（2023·江苏泰州·中考真题）计算等于（ ）
A． B．2 C．4 D．
2．（2024·江苏徐州·中考真题）若有意义，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·四川绵阳·中考真题）使代数式有意义的整数有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
4．（2024·四川乐山·中考真题）已知，化简的结果为（ ）
A． B．1 C． D．
5．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）实数在数轴上的对应位置如图所示，则的化简结果是（ ）
A．2 B． C． D．-2
二、填空题
6．（2020·湖北黄冈·中考真题）若，则 ．
7．（2023·四川绵阳·中考真题）若式子在实数范围内有意义，则x的最小值为 ．
8．（2022·内蒙古·中考真题）已知x，y是实数，且满足y=＋＋，则的值是 ．
9．（2023·四川资阳·中考真题）使代数式有意义的x的取值范围是 ．
10．（2022·四川遂宁·中考真题）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简 ．
三、解答题
11．（2020·湖南邵阳·中考真题）已知：，
（1）求m，n的值；
（2）先化简，再求值：．
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【同步提升】人教版八年级下册数学期中期末考点归纳与精讲专练
第01讲 二次根式的概念与性质
知识梳理 1
要点一、二次根式的概念 1
要点二、二次根式的性质 1
考点归纳 2
考点一、求二次根式的值 2
考点二、求二次根式中的参数值 3
考点三、二次根式有意义的条件 4
考点四、利用二次根式的性质化简 5
考点五、复合二次根式的化简 7
真题演练 9
一、单选题 9
二、填空题 11
三、解答题 12
要点一、二次根式的概念
形如的式子叫做二次根式，如等式子，都叫做二次根式.
要点诠释：
二次根式有意义的条件是，即只有被开方数时，式子才是二次根式，才有意义.
要点二、二次根式的性质
（1）是非负数（双重非负性）； （2）；
（3）；
口诀：平方再开方，出来带“框框”
要点诠释：
（1） 一个非负数可以写成它的算术平方根的平方的形式，即（），如（）.
（2） 中的取值范围可以是任意实数，即不论取何值，一定有意义.
（3）化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简.
（4）与的异同
不同点：中可以取任何实数，而中的必须取非负数；
=，=（）.
相同点：被开方数都是非负数，当取非负数时，=.
考点一、求二次根式的值
1．下列式子一定是二次根式是（ ）
A． B． C．37 D．
【答案】B
【详解】解：A、若被开方数是负数，此时不是二次根式，故A错误；
B、是二次根式，故B正确；
C、37不是二次根式，故C错误；
D、若被开方数是负数，此时不是二次根式，故D错误；
故选：B．
2．已知二次根式，当时，此二次根式的值为（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】A
【详解】解：当时，，
故选A．
3．的值在（ ）
A．1到2之间 B．2到3之间 C．3到4之间 D．4到5之间
【答案】D
【详解】解：，
．
故选：D．
4．当时，二次根式的值为 ．
【答案】2
【详解】解：当时，．
故答案为：．
考点二、求二次根式中的参数值
5．已知，则以a、b为边的等腰三角形的底边长为 ．
【答案】3
【详解】解：∵，
∴，
解得，，
由等腰三角形可知，第三条边为3或6，
当第三条边为3时，此时无法构成三角形，舍去；
当第三条边为6时，此时能构成三角形，则三边分别为6，6，3，底边长为3，
综上所述，以a、b为边的等腰三角形的底边长为3，
故答案为：3．
6．若 是整数，则满足条件的正整数共有 个．
【答案】3
【详解】解：∵，
∴，
∵是整数，或或，
∴满足条件的正整数是或或．
即满足条件的正整数共有3个，
故答案为：3．
7．若，满足，则 ．
【答案】
【详解】解：，
，，
，，
，
故答案为：．
8．代数式的值为0时，的值为 ．
【答案】3
根据二次根式的值为0的条件列方程求解即可．
【详解】解：∵代数式的值为0，
∴，解得：．
∴的值为3．
故答案为：3．
考点三、二次根式有意义的条件
9．如果二次根式有意义，那么实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵二次根式有意义，
∴，
故选：B．
10．二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ）
A．且 B．且
C． D．
【答案】C
【详解】解：∵在实数范围内有意义，
∴，
解得：；
故选：C．
11．若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是 ．
【答案】
【详解】解：∵式子在实数范围内有意义，
∴，
∴，
故答案为：．
12．已知，则的值为 ．
【答案】/
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
考点四、利用二次根式的性质化简
13．下列选项中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：A、，则此项错误，不符合题意；
B、，则此项错误，不符合题意；
C、，则此项正确，符合题意；
D、，则此项错误，不符合题意；
故选：C．
14．若一个正方形的面积是12，则它的边长是（ ）
A． B． C． D．4
【答案】A
【详解】解：设边长为，
∵一个正方形的面积是12，
∴，
解得：或（舍去），
故选：A．
15．已知、、在数轴上的位置如图所示，则的化简结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：根据数轴可得，，，
∴，，
∴
，
故选：A ．
16．已知是整数，则正整数n的最小值是（ ）
A．0 B．2 C．3 D．6
【答案】D
【详解】解：，且是整数，
∴是整数，即是完全平方数；
∴n的最小正整数值为6．
故选：D．
考点五、复合二次根式的化简
17．若，则化简为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：∵，
∴同号，且均不为0，
又∵在中，是被开方数，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
18．化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：原式
，
故选：D．
19．已知，则的值为 ．
【答案】
【详解】解：∵，
∴，
∴
，
故答案为：．
20．已知，的立方根是2，c是的整数部分．
(1)求a、b、c的值；
(2)求的平方根．
【答案】(1)，，
(2)
【详解】（1）∵，
∴，，
则，
∵的立方根是2，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）∵，，
∴，
∴的平方根是.
一、单选题
1．（2023·江苏泰州·中考真题）计算等于（ ）
A． B．2 C．4 D．
【答案】B
【详解】解：．
故选：B．
2．（2024·江苏徐州·中考真题）若有意义，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：二次根式有意义，
，解得．
故选：A．
3．（2023·四川绵阳·中考真题）使代数式有意义的整数有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】B
【详解】解：根据题意可得：
，
解得，
∴使代数式有意义的整数有，，0，1．
共有4个．
故选：B．
4．（2024·四川乐山·中考真题）已知，化简的结果为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】B
【详解】解：，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
5．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）实数在数轴上的对应位置如图所示，则的化简结果是（ ）
A．2 B． C． D．-2
【答案】A
【详解】解∶由数轴知∶，，
∴，
∴
，
故选：A．
二、填空题
6．（2020·湖北黄冈·中考真题）若，则 ．
【答案】2
【详解】解：，
，，
，，
，
故答案为：2．
7．（2023·四川绵阳·中考真题）若式子在实数范围内有意义，则x的最小值为 ．
【答案】/
【详解】解：∵式子在实数范围内有意义，
∴，
解得：，
∴x的最小值为，
故答案为：．
8．（2022·内蒙古·中考真题）已知x，y是实数，且满足y=＋＋，则的值是 ．
【答案】
【详解】解：∵由二次根式的定义得，解得：，
∴，即：，
∴.
故答案为：.
9．（2023·四川资阳·中考真题）使代数式有意义的x的取值范围是 ．
【答案】/
【详解】解：有意义，
，
．
故答案为：．
10．（2022·四川遂宁·中考真题）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简 ．
【答案】2
【详解】解：由数轴可得：，
则
∴
=
=
=
=2．
故答案为：2．
三、解答题
11．（2020·湖南邵阳·中考真题）已知：，
（1）求m，n的值；
（2）先化简，再求值：．
【答案】（1）；（2），0
【详解】（1）根据非负数得：m-1=0且n+2=0，
解得：，
（2）原式==，
当，原式=．
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