【同步提升】人教版八年级下册数学期中期末考点归纳与精讲专练
第04讲 勾股定理
知识梳理 2
要点一、勾股定理 2
要点二、勾股定理的证明 2
要点三、勾股定理的应用 3
考点归纳 3
考点一、用勾股定理解三角形 3
考点二、已知两点坐标求两点距离 4
考点三、勾股树（数）问题 5
考点四、以直角三角形三边为边长的图形面积 6
考点五、勾股定理与网格问题 7
考点六、勾股定理与折叠问题 8
考点七、利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 9
考点八、利用勾股定理证明线段平方关系 10
考点九、勾股定理的证明方法 11
考点十、以弦图为背景的计算题 13
考点十一、用勾股定理构造图形解决问题 15
考点十二、勾股定理与无理数 16
考点十三、勾股定理的实际应用（解决实际问题） 17
真题演练 22
一、单选题 22
二、填空题 24
三、解答题 26
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要点一、勾股定理
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，那么.
要点诠释：
（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系.
（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的.
（3）理解勾股定理的一些变式：，， .
要点二、勾股定理的证明
方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形.
图（1）中，所以.
方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形.
图（2）中，所以.
方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.
，所以.
要点三、勾股定理的应用
（1）已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；
（2）用于解决带有平方关系的证明问题；
（3）利用勾股定理，作出长为的线段.
考点一、用勾股定理解三角形
1．如图是“赵爽弦图”，，，和是四个全等的直角三角形，四边形和都是正方形，如果，且，那么（ ）
A．2 B．6 C．8 D．9
2．如图，在直角三角形中，两条直角边的长分别是3，4，则斜边的长是（ ）
A． B．4 C．5 D．7
3．如图，在中，，，，垂足为，，则的长为（ ）
A． B． C．6 D．
4．在中，，若，则 ．
5．如图，在做小球摆动实验时，嘉嘉发现当小球（看作一个点）静止时，位于点D处，当小球摆动到点B时，小球与静止位置时的高度差，与静止位置时的水平距离，则摆线的长度是 ．
考点二、已知两点坐标求两点距离
6．在平面直角坐标系中，点A的坐标为，则点A与原点O之间的距离为（ ）
A．1 B． C． D．3
7．在直角坐标系中，已知点，，则线段的长度为（ ）
A．5 B．3 C．4 D．7
8．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以点为圆心，长为半径画弧，交轴的正半轴于点，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
9．同学们，我们在小专题中，利用勾股定理探索了两点间的距离公式，得到平面内任意两点间的距离公式是，请你用所学知识先解释的几何意义是______；然后求出的最小值是______．
10．在平面直角坐标系中有两点和，已知这两点之间的距离为5，则 ．
考点三、勾股树（数）问题
11．下列各组数中，是勾股数的为（ ）
A．1，1， B．1.5，2，2.5 C．4，5，6 D．5，12，13
12．若5，a，12是一组勾股数，则a的值为（ ）
A．13 B． C．或13 D．11
13．在如图所示的图形中，所有四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形的面积依次为，则正方形的而积为 ．
14．世界上第一次给出的勾股数公式，是记录在我国古代的数学著作《九章算术》中，书中提到：当，，时，其中，m，n是互质的奇数．
（1）任意写出满足条件的一组勾股数： ．
（2）某三角形的三边长满足上述勾股数，其中一边长为，且，该直角三角形的面积为 ．
15．观察下列几组勾股数：①3、4、5；②5、12、13；③7、24、25；④9、40、41；根据上面的规律，写出第8组勾股数： ．
考点四、以直角三角形三边为边长的图形面积
16．如图，在Rt中，，分别以各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．6 B． C． D．
17．如图，在中，，以，为边向外作正方形，若这两个正方形的面积分别为20和4，则的长为（ ）
A．16 B．8 C． D．4
18．如图，分别以的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，．若，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
19．如图，在中，，以的三边为边向外作正方形．若，，则 ．
20．如图，在中，，，，分别以各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为 ．
考点五、勾股定理与网格问题
21．如图，在的正方形网格中，A，B，C，D是格点，则下列线段长度最长是（ ）
A． B． C． D．
22．如图在的网格中，每个小正方形的边长均为2，则B到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
23．如图，的顶点A，B，C均在边长为1的正方形网格的格点上，则边上的高为（ ）
A． B． C． D．
24．如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，连接、，则的度数为 ．
25．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为，的顶点在格点上， 则 中，边长是无理数的边有 条．
考点六、勾股定理与折叠问题
26．如图，在中，，点在边上，连接，将沿折叠，点恰好与延长线上的点重合．若，，则的长为（ ）
A．1 B． C．2 D．
27．如图，中，，，，将折叠后点恰好落在边上的点处，折痕为，，则线段的长为（ ）
A．2 B．3 C． D．
28．如图，将长为，宽为的长方形纸片折叠，使点B落在边的中点E处，压平后得到折痕，则线段的长为 ．
29．如图，在长方形中，，，在边上取一点，将折叠使点恰好落在边上的点，则的长为 ．
30．如图，在中，，，，E是边上一点，将沿折叠，使点B的对应点恰好落在边上，则的长等于 ．
考点七、利用勾股定理求两条线段的平方和（差）
31．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点，若，，则 ．
32．如图，四边形ABCD的对角线交于点O．若，，，则 ．
33．如图，中，，以AC、BC为直径作半圆S1和S2，且，则AB的长为 ．
34．在△ABC中，AC＝5，BC＝，AB边上的高为3，则△ABC的面积为 ．
35．RtABC中，斜边，则的值为 ．
考点八、利用勾股定理证明线段平方关系
36．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，，则等于（ ）
A．14 B．15 C．16 D．17
37．如图，和都是等腰直角三角形，的顶点A在的斜边DE上．下列结论：其中正确的有（ ）
① ②
③ ④
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
38．已知a，b，c是中，，的对边，下列说法正确的有（ ）个
①若，则+；②若，则；③若，则+；④总有+．
A．1 B．2 C．3 D．4
39．我们新定义一种三角形，两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形，根据奇异三角形的定义，请你判断：若某三角形的三边长分别为1、2、，则该三角形 （填“是”或者“不是”）奇异三角形．
40．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，则 ．
考点九、勾股定理的证明方法
41．我国是最早了解勾股定理的国家之一，根据《周髀算经》的记载，勾股定理的公式与证明是在周朝由商高发现的，故又称之为“商高定理”．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（ ）
A． B．
C． D．
42．我国古代数学家赵爽最早证明了勾股定理，它标志着我国古代的数学成就．下面四幅图是由四个全等的直角三角形拼成的，其中不能证明勾股定理的是（ ）
A． B．
C． D．
43．我们在探究平方差公式“两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差”．即时，利用了如图①的阴影部分面积表示的几何意义，从而验证了的正确性；同样的，在勾股定理的验证过程中，也运用了如图②的图形面积验证其正确性，这种验证方法体现了我们数学的（ ）
A．分类讨论思想 B．数形结合思想 C．方程思想 D．类比思想
44．人们很早就发现直角三角形的三边满足的关系，我国汉代“赵爽弦图”（如图）就巧妙的利用图形面积证明了这一关系．下列几何图形中，可以正确的解释直角三角形三边这一关系的图有 ．（直接填写图序号）
45．如图，阴影部分是由4个三边分别为、、（为斜边）的直角三角形拼出中间的小正方形．利用等面积法，通过两种方法计算小正方形的面积可以验证勾股定理．小正方形的面积除可以表示为外，还可以表示为： ；
考点十、以弦图为背景的计算题
46．我国古代称直角三角形为“勾股形”，并且直角边中较短边为勾，另一直角边为股，斜边为弦．如图1所示，数学家刘徽（约公元225年—公元295年）将勾股形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理．如图2所示的长方形，是由两个完全相同的“勾股形”拼接而成，若，，则长方形的面积为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．15
47．如图，四个全等的直角三角形围成正方形和正方形（赵爽弦图），连接，交、分别于点，，连接，已知，且，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B．5 C． D．10
48．如图，是我因古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形拼接而成．若，则正方形的边长是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
49．第14届数学教育大会（ICME-14）会标如图1所示，会标中心图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”如图2所示的“弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形，若，，则直角三角形的面积为 ．
50．如图，图1是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成．若图1中大正方形的面积为，小正方形的面积为，现将这四个直角三角形拼成图2，则图2中大正方形的面积为 ．
考点十一、用勾股定理构造图形解决问题
51．一辆装满货物，宽为1.6米的卡车，欲通过如图所示的隧道（为以为直径的半圆），则卡车的高度必须低于（ ）
A．3.0米 B．2.9米 C．2.8米 D．2.7米
52．《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是明代数学家程大位．书中记载了一道“荡秋千”问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地；送行二步与人齐，五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉；良工高士素好奇，算出索长有几？”译文：“秋千静止的时候，踏板离地1尺，将它往前推送两步（两步10尺）时，此时踏板升高离地5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问秋千绳索有多长？”若设秋千绳索长为尺，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
53．如图，在底面周长为3米的华表上，有一条雕龙从柱底向柱顶（从A点到B点）均匀地盘绕3圈，每根华表刻有雕龙部分的柱身高为12米，则石柱上的雕龙有（ ）米．
A． B．20 C．15 D．
54．在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几．”此问题可理解为：如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地距离长度为1尺．将它往前水平推送10尺，即尺，则此时秋千的踏板离地距离就和身高5尺的人一样高．若运动过程中秋千的绳索始终拉得很直，则绳索长为 尺．
55．如图，是长为，宽为，高为的长方体纸箱，这个纸箱能容纳的木棒最长为 ．
考点十二、勾股定理与无理数
56．如图，长方形中，，，在数轴上，若以点为圆心，的长为半径作弧交数轴于点，则点表示的数为（ ）
A． B． C． D．
57．如图，以2个单位长度作正方形，连接各边中点作小正方形．在数轴上以对应的点为圆心，小正方形边长为半径画圆弧，交数轴于原点右侧点，点所表示的数是（ ）
A． B． C． D．
58．如图所示，边长为1的正方形的一个顶点A在数轴上，以A为圆心，分别以，长为半径画弧，且与数轴分别相交于点E，点F（点E，F都在点A右侧）．若点E表示的数为2，则点F表示的数为 ．
59．如图，数轴上点表示的实数是 ．
60．如图所示，数轴上的点表示的实数为，以点为圆心，为半径画弧交数轴于点，则点表示的数是 ．
考点十三、勾股定理的实际应用（解决实际问题）
61．如图，一架10米长的梯子，斜靠在竖直的墙上，这时梯子底端离墙米．
(1)此时梯子顶端A离地面多少米？
(2)设梯子顶端到水平地面的距离为m米，底端到垂直墙面的距离为n米．若，根据经验，可知当时，梯子最稳定，使用时最安全．若梯子顶端A下滑3米到C处，请问这时使用是否安全？
62．某校“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动，他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，测量结果如下表（不完整）．
课题 测量学校旗杆的高度
成员 组长：XXX组员：XXX，XXX，XXX
工具 皮尺等
测量示意图 说明： 线段表示学校旗杆，垂直地面于点B． 第一次操作：如图①，将系在旗杆顶端的绳子自然下垂到地面，绳子多出的一段在地面拉直后记作，用皮尺测出的长度；第二次操作：如图②，将绳子拉直，绳子末端落在地面的点D处，用皮尺测出的长度．
测量数据 测量项目 数值（单位：米）
图①中的长度 2
图②中的长度 8
… …
(1)根据以上测量结果，请你帮助这个小组求出学校旗杆的高度．
(2)如图③，某同学进行第三次操作：沿射线方向前行至点F处，再次将绳子拉直，此时测得绳子末端E到地面的距离，得到的长度为2米，则该同学所站位置F与旗杆底端B的距离为_______米．（结果保留根号）
63．数学兴趣小组利用所学数学知识来解决实际问题，实践报告如下：
活动课题 风筝离地面垂直高度探究
问题背景 风筝由中国古代劳动人民发明于东周春秋时期，距今已2000多年．相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年而成，是人类最早的风筝起源．兴趣小组在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度．
测量数据抽象模型 小组成员测量了相关数据，并画出了如图所示的示意图，测得水平距离的长为15米，根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米，牵线放风筝的手到地面的距离为米．
问题产生 经过讨论，兴趣小组得出以下问题： （1）运用所学勾股定理相关知识，根据测量所得数据，计算出风筝离地面的垂直高度． （2）如果想要风筝沿方向再上升12米，且长度不变，则他应该再放出多少米线？
问题解决 ……
该报告还没有完成，请你帮助兴趣小组解决以上问题．
64．如图,一种圆柱形的饮料杯，测得内部底面圆半径为，杯高，点，点在内部底面圆上，线段经过杯子的内部底面圆心．将吸管一端放在点处，并让吸管经过点（按如图所示）放进杯里，要求杯门外面至少要露出长的吸管，问至少需要制作多长的吸管？
65．如图，A，B，C，D分别是某公园四个景点，B在A的正东方向，D在A的正北方向，且在C的北偏西方向，C在A的北偏东方向，且在B的北偏西方向，千米．求的长度．
66．现有一艘快艇即将靠岸，当快艇到达点的位置后，关闭发动机，在离水面高度为的岸上，工作人员用绳子牵引靠岸，开始时绳子的长为．（假设绳子一直处于绷直状态，结果保留根号）
(1)若工作人员以的速度收绳，后快艇移动到点D的位置，问此时快艇距离岸边还有多少？
(2)若快艇关闭发动机后，保持的速度匀速靠岸，后快艇由点移动到点的位置，工作人员手中的绳子被收上来多少？
67．著名的“赵爽弦图”如图1所示，若其中四个全等的直角三角形中，较短的直角边为a，较长的直角边为b，斜边为c，则大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出勾股定理：如果直角三角形两条直角边为a，b，斜边为c，则．
(1)图2为美国第20任总统加菲尔德的“总统证法”，请你利用图2推导勾股定理．
(2)如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路短多少千米．
(3)在第（2）问中，若千米，千米，千米，求的长．
68．在海平面上有A，B，C三个标记点，其中A在C的北偏西方向上，与C的距离是800海里，B在C的南偏西方向上，与C的距离是600海里．
(1)求点A与点B之间的距离；
(2)若在点C处有一灯塔，灯塔的信号有效覆盖半径为500海里，此时在点B处有一艘轮船准备沿直线向点A处航行，轮船航行的速度为每小时20海里．轮船在驶向A处的过程中，有多少小时可以接收到信号？
69．随着人们生活水平的不断提升，汽车已成为每个家庭的常用交通工具．随着车辆的增多，道路交通管理更需要科学规范，如图，一辆家用小汽车在城市道路上直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A正前方的C处，过了小汽车到达B点，测得B与A距离为． 根据“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城市道路上行驶速度不得超过． 通过计算说明，这辆家用小汽车是否超速了？（，）
70．【探究发现】
我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1所示图形，其中四边形和四边形都是正方形，巧妙地用面积法得出了直角三角形三边长a，b，c之间的一个重要结论：.
（1）请你将数学家赵爽的说理过程补充完整：
已知：中，，，，.
求证：.
证明：由图可知，
，______，
正方形边长为______，
，
即．
【深入思考】
如图2，在中，，，，，以为直角边在的右侧作等腰直角，其中，，过点D作，垂足为点E
（2）求证：，；
（3）请你用两种不同的方法表示梯形的面积，并证明：；
【实际应用】
（4）将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，得到图3所示的“数学风车”，若，，“数学风车”外围轮廓（图中实线部分）的总长度为108，求这个风车图案的面积．
一、单选题
1．（2024·四川巴中·中考真题）“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问：水深几何？”这是我国数学史上的“葭生池中”问题．即，，，则（ ）
A．8 B．10 C．12 D．13
2．（2024·四川眉山·中考真题）如图，图1是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成．若图1中大正方形的面积为24，小正方形的面积为4，现将这四个直角三角形拼成图2，则图2中大正方形的面积为（ ）
A．24 B．36 C．40 D．44
3．（2023·山东日照·中考真题）已知直角三角形的三边满足，分别以为边作三个正方形，把两个较小的正方形放置在最大正方形内，如图，设三个正方形无重叠部分的面积为，均重叠部分的面积为，则（ ）
A． B． C． D．大小无法确定
4．（2024·四川南充·中考真题）如图，已知线段，按以下步骤作图：①过点B作，使，连接；②以点C为圆心，以长为半径画弧，交于点D；③以点A为圆心，以长为半径画弧，交于点E．若，则m的值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·四川攀枝花·中考真题）如图1是第七届国际数学教育大会（）的会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能够组合得到如图2所示的四边形．若，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．1
二、填空题
6．（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图①，直角三角形的两个锐角分别是40°和50°，其三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作锐角为40°和50°的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是1次操作后的图形．图③是重复上述步骤若干次后得到的图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”．若图①中的直角三角形斜边长为2，则10次操作后图形中所有正方形的面积和为 ．
7．（2021·江苏南通·中考真题）如图，一艘轮船位于灯塔P的南偏东方向，距离灯塔50海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东方向上的B处，此时B处与灯塔P的距离为 海里（结果保留根号）．
8．（2023·江苏·中考真题）如图，小红家购置了一台圆形自动扫地机，放置在屋子角落（书柜、衣柜与地面均无缝隙）．在没有障碍物阻挡的前提下，扫地机能自动从底座脱离后打扫全屋地面．若这台扫地机能从角落自由进出，则图中的x至少为 （精确到个位，参考数据：）．
9．（2018·湖南湘潭·中考真题）《九章算术》是我国古代重要的数学著作之一，其中记载了一道“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？译为：如图中，，与的和为10尺，为3尺，求的长， 尺．
10．（2024·江苏常州·中考真题）如图，在中，，，，D是边的中点，E是边上一点，连接．将沿翻折，点C落在上的点F处，则 ．
三、解答题
11．（2021·四川攀枝花·中考真题）如图是“弦图”的示意图，“弦图”最早是由三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，它标志着中国古代的数学成就．它由4个全等的直角三角形与一个小正方形组成，恰好拼成一个大正方形，每个直角三角形的两条直角边分别为a、b，斜边为c．请你运用此图形证明勾股定理：a2+b2＝c2．
12．（2023·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为个单位长度，线段和线段的端点均在小正方形的顶点上．
(1)在方格纸中画出，且为钝角（点在小正方形的顶点上）；
(2)在方格纸中将线段向下平移个单位长度，再向右平移个单位长度后得到线段（点的对应点是点，点的对应点是点），连接，请直接写出线段的长．
13．（2021·浙江温州·中考真题）如图与的方格都是由边长为1的小正方形组成．图1是绘成的七巧板图案，它由7个图形组成，请按以下要求选择其中一个并在图2、图3中画出相应的格点图形（顶点均在格点上）．
（1）选一个四边形画在图2中，使点为它的一个顶点，并画出将它向右平移3个单位后所得的图形．
（2）选一个合适的三角形，将它的各边长扩大到原来的倍，画在图3中．
14．（2021·江苏盐城·中考真题）如图，点是数轴上表示实数的点．
（1）用直尺和圆规在数轴上作出表示实数的的点；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）利用数轴比较和的大小，并说明理由．
15．（2022·青海西宁·中考真题）八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
将因式分解．
【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法：
解法一：原式
解法二：原式
【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止）
【类比】
(1)请用分组分解法将因式分解；
【挑战】
(2)请用分组分解法将因式分解；
【应用】
(3)“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，我们利用它验证了勾股定理．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形．若直角三角形的两条直角边长分别是a和，斜边长是3，小正方形的面积是1．根据以上信息，先将因式分解，再求值．【同步提升】人教版八年级下册数学期中期末考点归纳与精讲专练
第04讲 勾股定理
知识梳理 2
要点一、勾股定理 2
要点二、勾股定理的证明 2
要点三、勾股定理的应用 3
考点归纳 3
考点一、用勾股定理解三角形 3
考点二、已知两点坐标求两点距离 5
考点三、勾股树（数）问题 7
考点四、以直角三角形三边为边长的图形面积 9
考点五、勾股定理与网格问题 12
考点六、勾股定理与折叠问题 15
考点七、利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 18
考点八、利用勾股定理证明线段平方关系 21
考点九、勾股定理的证明方法 24
考点十、以弦图为背景的计算题 28
考点十一、用勾股定理构造图形解决问题 31
考点十二、勾股定理与无理数 34
考点十三、勾股定理的实际应用（解决实际问题） 36
真题演练 48
一、单选题 48
二、填空题 51
三、解答题 55
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要点一、勾股定理
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，那么.
要点诠释：
（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系.
（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的.
（3）理解勾股定理的一些变式：，， .
要点二、勾股定理的证明
方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形.
图（1）中，所以.
方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形.
图（2）中，所以.
方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.
，所以.
要点三、勾股定理的应用
（1）已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；
（2）用于解决带有平方关系的证明问题；
（3）利用勾股定理，作出长为的线段.
考点一、用勾股定理解三角形
1．如图是“赵爽弦图”，，，和是四个全等的直角三角形，四边形和都是正方形，如果，且，那么（ ）
A．2 B．6 C．8 D．9
【答案】B
【详解】解：∵，，，和是四个全等的直角三角形，
∴，
∵，
∴设，
∴，
∴，解得：，
∴，
故选：B．
2．如图，在直角三角形中，两条直角边的长分别是3，4，则斜边的长是（ ）
A． B．4 C．5 D．7
【答案】C
【详解】解：∵在直角三角形中，两条直角边的长分别是3，4，
∴它的斜边的长是，
故选：C．
3．如图，在中，，，，垂足为，，则的长为（ ）
A． B． C．6 D．
【答案】B
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：B ．
4．在中，，若，则 ．
【答案】
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
故答案为：．
5．如图，在做小球摆动实验时，嘉嘉发现当小球（看作一个点）静止时，位于点D处，当小球摆动到点B时，小球与静止位置时的高度差，与静止位置时的水平距离，则摆线的长度是 ．
【答案】10
【详解】设摆线的长度是，则，
在中，，
，
解得：，
即摆线的长度是，
故答案为：10．
考点二、已知两点坐标求两点距离
6．在平面直角坐标系中，点A的坐标为，则点A与原点O之间的距离为（ ）
A．1 B． C． D．3
【答案】C
【详解】解：∵点A的坐标为，
∴；
故选C．
7．在直角坐标系中，已知点，，则线段的长度为（ ）
A．5 B．3 C．4 D．7
【答案】A
【详解】解：根据勾股定理，得．
故选：A．
8．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以点为圆心，长为半径画弧，交轴的正半轴于点，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴点的坐标是．
故选：A
9．同学们，我们在小专题中，利用勾股定理探索了两点间的距离公式，得到平面内任意两点间的距离公式是，请你用所学知识先解释的几何意义是______；然后求出的最小值是______．
【答案】点到点和点的距离和；．
【详解】解：∵，
∴的几何意义是点到点和点的距离和，
∵点关于轴的对称点为，
∴的最小值为：，
故答案为：点到点和点的距离和，．
10．在平面直角坐标系中有两点和，已知这两点之间的距离为5，则 ．
【答案】3
【详解】解：∵和，这两点之间的距离为5，
∴，
解得或（舍去），
∴，
故答案为：3．
考点三、勾股树（数）问题
11．下列各组数中，是勾股数的为（ ）
A．1，1， B．1.5，2，2.5 C．4，5，6 D．5，12，13
【答案】D
【详解】解：A、不是正整数，不是勾股数，不符合题意；
B、1.5，2.5不是正整数，不是勾股数，不符合题意；
C、，不是勾股数，不符合题意；
D、因为，所以5，12，13是勾股数，符合题意．
故选：D．
12．若5，a，12是一组勾股数，则a的值为（ ）
A．13 B． C．或13 D．11
【答案】A
【详解】解：分两种情况讨论：
①a为最长边，，13是正整数，符合题意；
②12为最长边，，不是整数，不能构成勾股数，不符合题意；
故选：A．
13．在如图所示的图形中，所有四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形的面积依次为，则正方形的而积为 ．
【答案】6
【详解】解：所有四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，
∴，，
∴，
故答案为：6 ．
14．世界上第一次给出的勾股数公式，是记录在我国古代的数学著作《九章算术》中，书中提到：当，，时，其中，m，n是互质的奇数．
（1）任意写出满足条件的一组勾股数： ．
（2）某三角形的三边长满足上述勾股数，其中一边长为，且，该直角三角形的面积为 ．
【答案】 （答案不唯一）
【详解】解：（1）当时，，，；
∵
∴勾股数满足题意；
故答案为：（答案不唯一）
（2）∵，
∴，
∵直角三角形的一边长为，
分三种情况讨论：
①当时，，
解得（不合题意，舍去）；
②当时，（不合题意，舍去）；
③当，
解得，
∵，m，n是互质的奇数．
∴，
把代入得到，
综上所述，一边长为，且，该直角三角形的三条边长分别为，
∴面积为，
故答案为：
15．观察下列几组勾股数：①3、4、5；②5、12、13；③7、24、25；④9、40、41；根据上面的规律，写出第8组勾股数： ．
【答案】17，144，145
【详解】解：①；；．
②；；．
③；；．
④；；．
则第组勾股数的第一个数为：，
第二个数为：，
第三个数为：，
第8组勾股数为：17，144，145，
故答案为：17，144，145．
考点四、以直角三角形三边为边长的图形面积
16．如图，在Rt中，，分别以各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．6 B． C． D．
【答案】A
【详解】解：∵在Rt中，,
∴
∴,
∴，
∴，
∵，
∴，
故选项B,C,D错误，不符合题意；选项 A正确，符合题意；
故选：A
17．如图，在中，，以，为边向外作正方形，若这两个正方形的面积分别为20和4，则的长为（ ）
A．16 B．8 C． D．4
【答案】D
【详解】解：，
，
即，
，
，
故选：D．
18．如图，分别以的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，．若，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
【答案】A
【详解】解：是以为斜边的直角三角形，
，
，
，
，
∴阴影部分的面积为，
故选：A．
19．如图，在中，，以的三边为边向外作正方形．若，，则 ．
【答案】10
【详解】解：∵，，
∴，，
∵，
∴由勾股定理得：，
∴，
故答案为：10．
20．如图，在中，，，，分别以各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】6
【详解】解：∵在中，，，，
∴，
∴图中阴影部分的面积为
故答案为：6
考点五、勾股定理与网格问题
21．如图，在的正方形网格中，A，B，C，D是格点，则下列线段长度最长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：依题意，，，， ，
∵，
∴线段的长度最长，
故选：C．
22．如图在的网格中，每个小正方形的边长均为2，则B到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：如图，为边上的高，
，
，，
，
解得：．
故选：B．
23．如图，的顶点A，B，C均在边长为1的正方形网格的格点上，则边上的高为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：根据网格特点，，
，
∴边长的高=，
故选：B．
24．如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，连接、，则的度数为 ．
【答案】/45度
【详解】解：连接，
根据勾股定理可以得到：，，
∵，即，
∴是等腰直角三角形．
∴．
故答案为：．
25．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为，的顶点在格点上， 则 中，边长是无理数的边有 条．
【答案】
【详解】解：由图可得，，，，
∴边长是无理数的边有条，
故答案为：．
考点六、勾股定理与折叠问题
26．如图，在中，，点在边上，连接，将沿折叠，点恰好与延长线上的点重合．若，，则的长为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】B
【详解】解：∵将沿折叠，点恰好与延长线上的点重合，
∴，，
在中，，
设，则，
在中，，
∴，
解得：；
∴；
故选B．
27．如图，中，，，，将折叠后点恰好落在边上的点处，折痕为，，则线段的长为（ ）
A．2 B．3 C． D．
【答案】C
【详解】解：设，由折叠可知，，
∵，，
∴，
在中，，
∴，
解得，
即线段的长为，
故选：C
28．如图，将长为，宽为的长方形纸片折叠，使点B落在边的中点E处，压平后得到折痕，则线段的长为 ．
【答案】
【详解】解：如图①，连接，，，
∵将长为，宽为的长方形纸片折叠，使点B落在边的中点E处，压平后得到折痕，
∴垂直平分，，，
∴，，
设，则，
在和中，
∴，
即，
解得．
故线段的长为．
故答案为：．
29．如图，在长方形中，，，在边上取一点，将折叠使点恰好落在边上的点，则的长为 ．
【答案】/
【详解】解：四边形是长方形，
，，，
由折叠得，，
，
，
，
，
解得，
故答案为：．
30．如图，在中，，，，E是边上一点，将沿折叠，使点B的对应点恰好落在边上，则的长等于 ．
【答案】
【详解】解：，
，
由折叠的性质得：，
，
设，则，
在中，，即，
解得，
即的长为，
故答案为：．
考点七、利用勾股定理求两条线段的平方和（差）
31．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点，若，，则 ．
【答案】73
【详解】解：∵，
∴，
在和中，根据勾股定理得：，
∴，
∵，
∴.
故答案为：73．
32．如图，四边形ABCD的对角线交于点O．若，，，则 ．
【答案】21
【详解】解：，，，
在中，，
在中，，
又在中，，
在中，，
．
33．如图，中，，以AC、BC为直径作半圆S1和S2，且，则AB的长为 ．
【答案】4
【详解】解：由勾股定理得，
∴
故答案为：4．
34．在△ABC中，AC＝5，BC＝，AB边上的高为3，则△ABC的面积为 ．
【答案】或
【详解】解：分两种情况考虑：
∵AC＝5，BC＝，AB边上的高CD＝3，
如图1所示，此时△ABC为锐角三角形，
在Rt△ACD中，根据勾股定理得：AD＝＝4；
在Rt△CBD中，根据勾股定理得：DB＝＝5，
∴AB＝AD+BD＝4+5＝9，
∴＝＝；
如图2所示，此时△ABC为钝角三角形，
同理可得：AD＝4，DB＝5，
∴AB＝DB﹣AD＝5﹣4＝1，
∴＝＝；
故答案为：或
35．RtABC中，斜边，则的值为 ．
【答案】16
【详解】解：∵在 中，斜边BC＝，
∴＝＝8，
∴＝ ＝16．
故答案为：16．
考点八、利用勾股定理证明线段平方关系
36．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，，则等于（ ）
A．14 B．15 C．16 D．17
【答案】D
【详解】解：，，
∴，，
∴，
故选： D．
37．如图，和都是等腰直角三角形，的顶点A在的斜边DE上．下列结论：其中正确的有（ ）
① ②
③ ④
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【详解】∵和都是等腰直角三角形，
∴，，，
∴，
即，
∴，故结论①正确；
∵，
∴，
∴，故结论②正确；
∵，
∴，，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，故结论③正确；
∵在中，，
在中，，
∴，
∵，，
∴，故结论④正确．
综上，正确的结论有4个．
故选：D
38．已知a，b，c是中，，的对边，下列说法正确的有（ ）个
①若，则+；②若，则；③若，则+；④总有+．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【详解】解：，，是中，，的对边，
若，则；
若，则；
若，则；
故①②③正确；
只有当时才有，
故④错误，
故选：C．
39．我们新定义一种三角形，两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形，根据奇异三角形的定义，请你判断：若某三角形的三边长分别为1、2、，则该三角形 （填“是”或者“不是”）奇异三角形．
【答案】是
【详解】解，
∴该三角形是奇异三角形．
故答案是：是．
40．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，则 ．
【答案】17
【详解】解：∵，
由勾股定理得，
故答案为：17．
考点九、勾股定理的证明方法
41．我国是最早了解勾股定理的国家之一，根据《周髀算经》的记载，勾股定理的公式与证明是在周朝由商高发现的，故又称之为“商高定理”．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】解：A、大正方形的面积为：；也可看作是个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：，
，
，故该选项能证明勾股定理,不符合题意；
B、梯形的面积为：，也可看作是个直角三角形和一个等腰直角三角形组成，则其面积为：，
，
，故该选项能证明勾股定理，不符合题意；
C、大正方形的面积为：；也可看作是个矩形和个小正方形组成，则其面积为：，
，
故该选项不能证明勾股定理，符合题意；
D、边长为的正方形面积为,由图形面积之间的关系可得，边长为的正方形面积等于边长为的正方形面积，加上边长为的正方形面积（边长为的正方形中的两个直角三角形补到下边），则，故该选项能证明勾股定理，不符合题意；
故选：C．
42．我国古代数学家赵爽最早证明了勾股定理，它标志着我国古代的数学成就．下面四幅图是由四个全等的直角三角形拼成的，其中不能证明勾股定理的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】解：A、∵外部正方形的边长为，
∴其面积为
∵内部两个正方形的边长为，
∴其面积为
∵四个全等直角三角形的直角边分别为a，b，
∴面积分别为，
∴，
无法证明，此选项符合题意；
B、∵外部正方形的边长为，
∴其面积为
∵内部正方形的边长为，
∴其面积为
∵四个全等直角三角形的直角边分别为a，b，
∴面积分别为，
∴，
∴，此选项正确，不符合题意；
D、∵内部正方形的边长为，
∴其面积为
∵外部正方形的边长为，
∴其面积为
∵四个全等直角三角形的直角边分别为a，b，
∴面积分别为，
∴，
∴，
此选项正确，不符合题意；
C、构造如下图形，于是就转化成了D选项，
此选项正确，不符合题意；
故选：A．
43．我们在探究平方差公式“两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差”．即时，利用了如图①的阴影部分面积表示的几何意义，从而验证了的正确性；同样的，在勾股定理的验证过程中，也运用了如图②的图形面积验证其正确性，这种验证方法体现了我们数学的（ ）
A．分类讨论思想 B．数形结合思想 C．方程思想 D．类比思想
【答案】B
【详解】解：这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”，它体现的数学思想是数形结合思想，
故选：B．
44．人们很早就发现直角三角形的三边满足的关系，我国汉代“赵爽弦图”（如图）就巧妙的利用图形面积证明了这一关系．下列几何图形中，可以正确的解释直角三角形三边这一关系的图有 ．（直接填写图序号）
【答案】③④/④③
【详解】解：①长方形的面积：，
②，
③，
整理，得，
④，
整理，得，
故答案为：③④．
45．如图，阴影部分是由4个三边分别为、、（为斜边）的直角三角形拼出中间的小正方形．利用等面积法，通过两种方法计算小正方形的面积可以验证勾股定理．小正方形的面积除可以表示为外，还可以表示为： ；
【答案】
【详解】解；大正方形的面积，
三角形的面积，
∴小正方形的面积，
故答案为：．
考点十、以弦图为背景的计算题
46．我国古代称直角三角形为“勾股形”，并且直角边中较短边为勾，另一直角边为股，斜边为弦．如图1所示，数学家刘徽（约公元225年—公元295年）将勾股形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理．如图2所示的长方形，是由两个完全相同的“勾股形”拼接而成，若，，则长方形的面积为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．15
【答案】C
【详解】解：由题意可得：
，
设，
解得，
长方形的面积为．
故选C．
47．如图，四个全等的直角三角形围成正方形和正方形（赵爽弦图），连接，交、分别于点，，连接，已知，且，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B．5 C． D．10
【答案】B
【详解】解：，
，
设，
则，
，
，
根据题意可知：
，，
，
，
，
阴影部分的面积之和为：
．
故选：B．
48．如图，是我因古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形拼接而成．若，则正方形的边长是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【详解】解：∵正方形为四个全等的直角三角形拼接而成，
∴，，
在中，由勾股定理，
∴，即正方形的边长是7．
故选C．
49．第14届数学教育大会（ICME-14）会标如图1所示，会标中心图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”如图2所示的“弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形，若，，则直角三角形的面积为 ．
【答案】
【详解】解：由题意得为直角三角形，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴直角三角形的面积为，
故答案为：．
50．如图，图1是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成．若图1中大正方形的面积为，小正方形的面积为，现将这四个直角三角形拼成图2，则图2中大正方形的面积为 ．
【答案】
【详解】解：设直角三角形的两直角边为，斜边为，
根据题意得：，，
，
图2中大正方形的面积为
故答案为：.
考点十一、用勾股定理构造图形解决问题
51．一辆装满货物，宽为1.6米的卡车，欲通过如图所示的隧道（为以为直径的半圆），则卡车的高度必须低于（ ）
A．3.0米 B．2.9米 C．2.8米 D．2.7米
【答案】B
【详解】解：由图形可得，（米），（米），
∵，
∴，
解得：（米），
∵，
∴（米），
∴卡车的外形不得高于米．
故选：B．
52．《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是明代数学家程大位．书中记载了一道“荡秋千”问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地；送行二步与人齐，五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉；良工高士素好奇，算出索长有几？”译文：“秋千静止的时候，踏板离地1尺，将它往前推送两步（两步10尺）时，此时踏板升高离地5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问秋千绳索有多长？”若设秋千绳索长为尺，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】解：设秋千的绳索长为尺，则尺
由题意可知：尺，尺，则尺，则尺，
在中，由勾股定理可得：，
则可列方程为：．
故选：D．
53．如图，在底面周长为3米的华表上，有一条雕龙从柱底向柱顶（从A点到B点）均匀地盘绕3圈，每根华表刻有雕龙部分的柱身高为12米，则石柱上的雕龙有（ ）米．
A． B．20 C．15 D．
【答案】C
【详解】解：展开图：
（米），
（米），
（米，
故选：C．
54．在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几．”此问题可理解为：如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地距离长度为1尺．将它往前水平推送10尺，即尺，则此时秋千的踏板离地距离就和身高5尺的人一样高．若运动过程中秋千的绳索始终拉得很直，则绳索长为 尺．
【答案】14.5
【详解】解：设秋千的绳索长为x尺，
由题意知：尺，尺，尺，
在中，，
∴，
解得：，
答：绳索长为14.5尺．
故答案为：14.5．
55．如图，是长为，宽为，高为的长方体纸箱，这个纸箱能容纳的木棒最长为 ．
【答案】130
【详解】解：如图，
，
在中，，，，
∴，
在中，，，，
∴，
即这个纸箱能容纳的木棒最长为，
故答案为：．
考点十二、勾股定理与无理数
56．如图，长方形中，，，在数轴上，若以点为圆心，的长为半径作弧交数轴于点，则点表示的数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：由勾股定理得，，
∴，
∴点表示的数为，
故选：．
57．如图，以2个单位长度作正方形，连接各边中点作小正方形．在数轴上以对应的点为圆心，小正方形边长为半径画圆弧，交数轴于原点右侧点，点所表示的数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：由题意可得，小正方形的边长为，
∵在数轴上以对应的点为圆心，小正方形边长为半径画圆弧，交数轴于原点右侧点，
∴点所表示的数是，
故选：A．
58．如图所示，边长为1的正方形的一个顶点A在数轴上，以A为圆心，分别以，长为半径画弧，且与数轴分别相交于点E，点F（点E，F都在点A右侧）．若点E表示的数为2，则点F表示的数为 ．
【答案】/
【详解】解： 正方形的边长，
，
，
由图可知，，
，
点E表示的数为2，点F在点E的右边，
点F所对应的实数为，
故答案为．
59．如图，数轴上点表示的实数是 ．
【答案】/
【详解】解：在直角三角形中，由勾股定理可得：斜边长，
∴点A表示的实数是，
故答案为：．
60．如图所示，数轴上的点表示的实数为，以点为圆心，为半径画弧交数轴于点，则点表示的数是 ．
【答案】
【详解】解：如图，
在中，，
，
点表示的数为，
故答案为：．
考点十三、勾股定理的实际应用（解决实际问题）
61．如图，一架10米长的梯子，斜靠在竖直的墙上，这时梯子底端离墙米．
(1)此时梯子顶端A离地面多少米？
(2)设梯子顶端到水平地面的距离为m米，底端到垂直墙面的距离为n米．若，根据经验，可知当时，梯子最稳定，使用时最安全．若梯子顶端A下滑3米到C处，请问这时使用是否安全？
【答案】(1)此时梯子顶端离地面8米
(2)使用不安全
【详解】（1）解：因为，米，米，
所以（米）．
答：此时梯子顶端离地面8米；
（2）解：因为梯子顶端下滑了3米到处，
所以梯子距离地面的高度（米），
所以（米），
所以，
因为当时，梯子最稳定，使用时最安全，
又，即．
所以这时使用不安全．
62．某校“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动，他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，测量结果如下表（不完整）．
课题 测量学校旗杆的高度
成员 组长：XXX组员：XXX，XXX，XXX
工具 皮尺等
测量示意图 说明： 线段表示学校旗杆，垂直地面于点B． 第一次操作：如图①，将系在旗杆顶端的绳子自然下垂到地面，绳子多出的一段在地面拉直后记作，用皮尺测出的长度；第二次操作：如图②，将绳子拉直，绳子末端落在地面的点D处，用皮尺测出的长度．
测量数据 测量项目 数值（单位：米）
图①中的长度 2
图②中的长度 8
… …
(1)根据以上测量结果，请你帮助这个小组求出学校旗杆的高度．
(2)如图③，某同学进行第三次操作：沿射线方向前行至点F处，再次将绳子拉直，此时测得绳子末端E到地面的距离，得到的长度为2米，则该同学所站位置F与旗杆底端B的距离为_______米．（结果保留根号）
【答案】(1)学校旗杆的高度为15米
(2)
【详解】（1）解：设学校旗杆的高度为米，则绳子的长度为米，
在中，由勾股定理得：，即，
解得：，
答：学校旗杆的高度为15米；
（2）解：如图（3），过点作，交的延长线于点，
则米，
（米），
由（1）可知，（米），
在中，由勾股定理得：（米），
∴米，
即该同学所站位置与旗杆底端的距离为米，
故答案为：．
63．数学兴趣小组利用所学数学知识来解决实际问题，实践报告如下：
活动课题 风筝离地面垂直高度探究
问题背景 风筝由中国古代劳动人民发明于东周春秋时期，距今已2000多年．相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年而成，是人类最早的风筝起源．兴趣小组在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度．
测量数据抽象模型 小组成员测量了相关数据，并画出了如图所示的示意图，测得水平距离的长为15米，根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米，牵线放风筝的手到地面的距离为米．
问题产生 经过讨论，兴趣小组得出以下问题： （1）运用所学勾股定理相关知识，根据测量所得数据，计算出风筝离地面的垂直高度． （2）如果想要风筝沿方向再上升12米，且长度不变，则他应该再放出多少米线？
问题解决 ……
该报告还没有完成，请你帮助兴趣小组解决以上问题．
【答案】（1）米；（2）8米
【详解】解：（1）由题意得，，米，米，
在中，由勾股定理，可得：（米，
（米．
答：线段的长为米．
（2）如图，当风筝沿方向再上升12米，
所以米，
在中，，米，
由勾股定理，可得（米，
则应该再放出（米，
答：他应该再放出8米长的线．
64．如图,一种圆柱形的饮料杯，测得内部底面圆半径为，杯高，点，点在内部底面圆上，线段经过杯子的内部底面圆心．将吸管一端放在点处，并让吸管经过点（按如图所示）放进杯里，要求杯门外面至少要露出长的吸管，问至少需要制作多长的吸管？
【答案】至少需要制作长的吸管
【详解】解：由题意可知是直角三角形，，，线段为内部底面圆直径，
内部底面圆半径为，
，
在中，
，
解得：或（舍去，不符合题意）
答：至少需要制作长的吸管．
65．如图，A，B，C，D分别是某公园四个景点，B在A的正东方向，D在A的正北方向，且在C的北偏西方向，C在A的北偏东方向，且在B的北偏西方向，千米．求的长度．
【答案】千米
【详解】解：如图所示，过点B作于E，
由题意得，，
∴，，
在中，千米，
∴千米，
∴千米，
在中，，
∴是等腰直角三角形，
∴千米，
∴千米．
66．现有一艘快艇即将靠岸，当快艇到达点的位置后，关闭发动机，在离水面高度为的岸上，工作人员用绳子牵引靠岸，开始时绳子的长为．（假设绳子一直处于绷直状态，结果保留根号）
(1)若工作人员以的速度收绳，后快艇移动到点D的位置，问此时快艇距离岸边还有多少？
(2)若快艇关闭发动机后，保持的速度匀速靠岸，后快艇由点移动到点的位置，工作人员手中的绳子被收上来多少？
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：因为工作人员以的速度收绳，后船移动到点的位置，
所以，
在中，，
所以快艇距离岸边还有；
（2）解：因为在中，，
所以，
所以，
，
所以绳子被收上来．
67．著名的“赵爽弦图”如图1所示，若其中四个全等的直角三角形中，较短的直角边为a，较长的直角边为b，斜边为c，则大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出勾股定理：如果直角三角形两条直角边为a，b，斜边为c，则．
(1)图2为美国第20任总统加菲尔德的“总统证法”，请你利用图2推导勾股定理．
(2)如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路短多少千米．
(3)在第（2）问中，若千米，千米，千米，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)新路比原路短千米
(3)的长为千米
【详解】（1）解：∵，
，
∴，即；
（2）解：设千米，则千米．
在中，，即，
解得：，
即千米，（千米）．
∴新路比原路短千米．
（3）解：设千米，则千米，
在中，，
在中，，
∴，即，
解得：，
∴的长为千米．
68．在海平面上有A，B，C三个标记点，其中A在C的北偏西方向上，与C的距离是800海里，B在C的南偏西方向上，与C的距离是600海里．
(1)求点A与点B之间的距离；
(2)若在点C处有一灯塔，灯塔的信号有效覆盖半径为500海里，此时在点B处有一艘轮船准备沿直线向点A处航行，轮船航行的速度为每小时20海里．轮船在驶向A处的过程中，有多少小时可以接收到信号？
【答案】(1)点A与点B之间的距离为1000海里
(2)有14个小时可以接收到信号
【详解】（1）由题意，得：，；
∴；
∵，；
∴（海里），
即：点A与点B之间的距离为1000海里；
（2）过点C作交于点H，在上取点M，N，使得海里．
∵；
∴；
∵；
∴；
∵海里；
∴；
行驶时间为（小时）．
答：有14个小时可以接收到信号．
69．随着人们生活水平的不断提升，汽车已成为每个家庭的常用交通工具．随着车辆的增多，道路交通管理更需要科学规范，如图，一辆家用小汽车在城市道路上直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A正前方的C处，过了小汽车到达B点，测得B与A距离为． 根据“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城市道路上行驶速度不得超过． 通过计算说明，这辆家用小汽车是否超速了？（，）
【答案】未超速，理由见解析
【详解】解：未超速，理由如下：
由题意知，，
由勾股定理可得，
则．
所以．
所以这辆家用小汽车未超速．
70．【探究发现】
我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1所示图形，其中四边形和四边形都是正方形，巧妙地用面积法得出了直角三角形三边长a，b，c之间的一个重要结论：.
（1）请你将数学家赵爽的说理过程补充完整：
已知：中，，，，.
求证：.
证明：由图可知，
，______，
正方形边长为______，
，
即．
【深入思考】
如图2，在中，，，，，以为直角边在的右侧作等腰直角，其中，，过点D作，垂足为点E
（2）求证：，；
（3）请你用两种不同的方法表示梯形的面积，并证明：；
【实际应用】
（4）将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，得到图3所示的“数学风车”，若，，“数学风车”外围轮廓（图中实线部分）的总长度为108，求这个风车图案的面积．
【答案】（1）， （2）见解析 （3）见解析 （4）
【详解】(1)证明：由图可知，
，，
正方形边长为，
，
即．
故答案为：，；
（2）证明: ∵,
∴，
∵,
∴，
∴，
又, ,
∴.
∴；
(3)证明： 由题意，第一种方法：
，
第二种方法：
，
，
，
；
(4)由题意,如图,
∵“数学风车”外围轮廓 (图中实线部分)的总长度为,
，
设则，
在中,
，
将代入可得，
，
，
∴小正方形的边长等于
∴风车的面积为：．
一、单选题
1．（2024·四川巴中·中考真题）“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问：水深几何？”这是我国数学史上的“葭生池中”问题．即，，，则（ ）
A．8 B．10 C．12 D．13
【答案】C
【详解】解：设，则，
由题意，得：，
解得：，即，
故选：C．
2．（2024·四川眉山·中考真题）如图，图1是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成．若图1中大正方形的面积为24，小正方形的面积为4，现将这四个直角三角形拼成图2，则图2中大正方形的面积为（ ）
A．24 B．36 C．40 D．44
【答案】D
【详解】解：如图，直角三角形的两直角边为，，斜边为，
图1中大正方形的面积是24，
，
小正方形的面积是4，
，
，
图2中最大的正方形的面积；
故选：D．
3．（2023·山东日照·中考真题）已知直角三角形的三边满足，分别以为边作三个正方形，把两个较小的正方形放置在最大正方形内，如图，设三个正方形无重叠部分的面积为，均重叠部分的面积为，则（ ）
A． B． C． D．大小无法确定
【答案】C
【详解】解：如下图，
∵为直角三角形的三边，且。
∴，
∴，
∵，
，
∴．
故选：C．
4．（2024·四川南充·中考真题）如图，已知线段，按以下步骤作图：①过点B作，使，连接；②以点C为圆心，以长为半径画弧，交于点D；③以点A为圆心，以长为半径画弧，交于点E．若，则m的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：∵，
∴，
∵，设
∴，
∴，
由题意得：，
∴，
∵，
∴，
故选：A
5．（2022·四川攀枝花·中考真题）如图1是第七届国际数学教育大会（）的会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能够组合得到如图2所示的四边形．若，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【详解】解：，，，
，，
，
，
故选：A．
二、填空题
6．（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图①，直角三角形的两个锐角分别是40°和50°，其三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作锐角为40°和50°的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是1次操作后的图形．图③是重复上述步骤若干次后得到的图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”．若图①中的直角三角形斜边长为2，则10次操作后图形中所有正方形的面积和为 ．
【答案】48
【详解】解：图①中，∵，
根据勾股定理得，，
∴图①中所有正方形面积和为：，
图②中所有正方形面积和，即1次操作后的图形中所有正方形的面积和为：
，
图③中所有正方形面积和，即2次操作后的图形中所有正方形的面积和为：
，
∴n次操作后的图形中所有正方形的面积和为，
∴10次操作后的图形中所有正方形的面积和为，
故答案为：48．
7．（2021·江苏南通·中考真题）如图，一艘轮船位于灯塔P的南偏东方向，距离灯塔50海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东方向上的B处，此时B处与灯塔P的距离为 海里（结果保留根号）．
【答案】．
【详解】解：如图，作PC⊥AB于点C，
在Rt△APC中，AP=50海里，∠APC=90°-60°=30°，
∴海里，海里，
在Rt△PCB中，PC=海里，∠BPC=90°-45°=45°，
∴PC=BC=海里，
∴海里，
故答案为：．
8．（2023·江苏·中考真题）如图，小红家购置了一台圆形自动扫地机，放置在屋子角落（书柜、衣柜与地面均无缝隙）．在没有障碍物阻挡的前提下，扫地机能自动从底座脱离后打扫全屋地面．若这台扫地机能从角落自由进出，则图中的x至少为 （精确到个位，参考数据：）．
【答案】
【详解】解：如图过点A、B分别作墙的垂线，交于点C，
则，，
在中，，
即
∵这台扫地机能从角落自由进出，
∴这台扫地机的直径不小于长，
即最小时为，
解得：，（舍），
∴图中的x至少为，
故答案为：．
9．（2018·湖南湘潭·中考真题）《九章算术》是我国古代重要的数学著作之一，其中记载了一道“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？译为：如图中，，与的和为10尺，为3尺，求的长， 尺．
【答案】
【详解】解：设尺，则尺，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴尺，
故答案为：．
10．（2024·江苏常州·中考真题）如图，在中，，，，D是边的中点，E是边上一点，连接．将沿翻折，点C落在上的点F处，则 ．
【答案】
【详解】解：∵，，，D是边的中点，
∴，
∴，
∵将沿翻折，点C落在上的点F处，
∴，，
∴，
设，则：，
在中，由勾股定理，得：，
解得：；
∴；
故答案为：．
三、解答题
11．（2021·四川攀枝花·中考真题）如图是“弦图”的示意图，“弦图”最早是由三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，它标志着中国古代的数学成就．它由4个全等的直角三角形与一个小正方形组成，恰好拼成一个大正方形，每个直角三角形的两条直角边分别为a、b，斜边为c．请你运用此图形证明勾股定理：a2+b2＝c2．
【答案】见解析
【详解】解：由题意得大正方形面积，小正方形面积，
4个小直角三角形的面积，
∵大正方形的面积=小正方形的面积+4个直角三角形的面积，
∴．
12．（2023·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为个单位长度，线段和线段的端点均在小正方形的顶点上．
(1)在方格纸中画出，且为钝角（点在小正方形的顶点上）；
(2)在方格纸中将线段向下平移个单位长度，再向右平移个单位长度后得到线段（点的对应点是点，点的对应点是点），连接，请直接写出线段的长．
【答案】(1)画图见解析
(2)画图见解析，
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：如图所示，，即为所求；
．
13．（2021·浙江温州·中考真题）如图与的方格都是由边长为1的小正方形组成．图1是绘成的七巧板图案，它由7个图形组成，请按以下要求选择其中一个并在图2、图3中画出相应的格点图形（顶点均在格点上）．
（1）选一个四边形画在图2中，使点为它的一个顶点，并画出将它向右平移3个单位后所得的图形．
（2）选一个合适的三角形，将它的各边长扩大到原来的倍，画在图3中．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【详解】解：（1）画法不唯一，当选四边形为正方形时可以是如图1或图2；当四边形式平行四边形时可以是图3或图4．
（2）画法不唯一，
当直角边长为时，扩大即直角边长为利用勾股定理画出直角边长为直角三角形可以是如图5或图6
当直角边长为2时，扩大即直角边长为2利用勾股定理画出直角边长为2直角 三角形可以是如图7或图8等．
14．（2021·江苏盐城·中考真题）如图，点是数轴上表示实数的点．
（1）用直尺和圆规在数轴上作出表示实数的的点；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）利用数轴比较和的大小，并说明理由．
【答案】（1）见解析；（2），见解析
【详解】解：（1）如图所示，点即为所求．
（2）如图所示，点在点的右侧，所以
15．（2022·青海西宁·中考真题）八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
将因式分解．
【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法：
解法一：原式
解法二：原式
【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止）
【类比】
(1)请用分组分解法将因式分解；
【挑战】
(2)请用分组分解法将因式分解；
【应用】
(3)“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，我们利用它验证了勾股定理．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形．若直角三角形的两条直角边长分别是a和，斜边长是3，小正方形的面积是1．根据以上信息，先将因式分解，再求值．
【答案】(1)
(2)
(3)，9
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
，
∴根据题意得，，
∴原式．
