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【同步提升】人教版八年级下册数学期中期末考点归纳与精讲专练
第05讲 勾股定理的逆定理
知识梳理 1
要点一、勾股定理的逆定理 1
要点二、如何判定一个三角形是否是直角三角形 2
要点三、互逆命题 2
要点四、勾股数 2
考点归纳 2
考点一、判断三边能否构成直角三角形 3
考点二、图形上与已知两点构成直角三角形的点 3
考点三、在网格中判断直角三角形 4
考点四、利用勾股定理的逆定理求解 5
考点五、勾股定理逆定理的实际应用 6
考点六、勾股定理逆定理的拓展问题 8
真题演练 9
一、单选题 9
二、填空题 10
三、解答题 11
要点一、勾股定理的逆定理
如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形.
要点诠释：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.
（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.
要点二、如何判定一个三角形是否是直角三角形
（1）首先确定最大边（如）.
（2）验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C=90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形.
要点诠释：当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边.
要点三、互逆命题
如果两个命题的题设与结论正好相反，则称它们为互逆命题.如果把其中一个叫原命题，则另一个叫做它的逆命题.
要点诠释：原命题正确，逆命题未必正确；原命题不正确，其逆命题也不一定错误；正确的命题我们称为真命题，错误的命题我们称它为假命题.
要点四、勾股数
满足不定方程的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形.
熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：3、4、5 ； 5、12、13 ； 8、15、17 ； 7、24、25 ； 9、40、41……
如果是勾股数，当为正整数时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.
要点诠释：（1）（是自然数）是直角三角形的三条边长；
（2）（是自然数）是直角三角形的三条边长；
（3） （是自然数）是直角三角形的三条边长；
考点一、判断三边能否构成直角三角形
1．下列给出的三条线段的长，其中能组成直角三角形的是（ ）
A．3、5、7 B．6、8、9 C．2、、 D．，，
2．五根长度为7、15、20、24、25的木棒，将它们摆成两个直角三角形，下列图形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．三角形的三边长为a，b，c，下列条件不能判断它是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
4．在中，，，，则边上的高为 ．
5．如图，中，是边的中线，，，，的面积为 ．
考点二、图形上与已知两点构成直角三角形的点
6．在如图所示的的方格图中，点A和点B均为图中格点．点C也在格点上，满足为以为斜边的直角三角形．这样的点C有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．在平面直角坐标系中，已知点，为坐标原点．若要使是直角三角形，则点的坐标不可能是（ ）
A． B． C． D．
8．点 A（2，m），B（2，m-5）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点．若△ABO是直角三角形，则m的值不可能是（ ）
A．4 B．2 C．1 D．0
9．在平面直角坐标系中，点A的坐标为(1，1)，点B的坐标为(11，1)，点C到直线AB的距离为5，且△ABC是直角三角形，则满足条件的C点有( )
A．4个 B．5个 C．6个 D．8个
10．在平面直角坐标系中，已知点A（2，2），点B（2，-3）．在坐标轴上找一点C，使得△ABC为直角三角形，这样的点C共有（ ）个．
A．5 B．6 C．7 D．8
考点三、在网格中判断直角三角形
11．如图，图中小正方形的边长都为1，的顶点都在格点上，则是（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．无法判断
12．如图，每个小正方形的边长为1，点P、M、N是小正方形的顶点，则度数是（ ）
A． B． C． D．
13．在如图所示的方格图中，点A，B，C，D，E，F，G，H均在小方格的顶点上，以其中三个点为顶点，能构成 个直角三角形．
14．如图，网格中每个小正方形的边长都是1，点A，B，C，D都在小正方形的顶点上，则以，为边的三角形的形状为 ．
15．如图，点、、都在正方形网格的格点上，将绕点顺时针旋转后得到，点、的对应点、也在格点上，则旋转角（）的度数为 ．
考点四、利用勾股定理的逆定理求解
16．车间新造了一个三角形零件，测得三角形零件的三边长分别为，则三角形零件的面积是（ ）
A． B．0.9 C．0.75 D．0.54
17．在中，，，，则的面积为（ ）
A．15 B．30 C．60 D．78
18．如图，，，，P是线段上一点，连接，则的长不可能是（ ）
A．3.5 B．2.5 C．2 D．3
19．一块钢板形状如图所示，若，，，，，则这块钢板的面积为 ．
20．测得一个三角形花坛的三边长分别为，，，则此三角形的面积为 ；其最短边上的高为 ．
考点五、勾股定理逆定理的实际应用
21．一个零件的形状如图所示，按规定这个零件中的和都应为直角，将量得的这个零件各边尺寸标注在图中，由此可知（ ）
A．仅符合要求 B．仅符合要求
C．和都符合要求 D．和都不符合要求
22．如图，在我国海军某次海上编队演习中，两艘航母护卫舰从同一港口同时出发，号舰沿南偏东方向以节（节海里/小时）的速度航行，号舰以节的速度航行，离开港口小时后它们分别到达两点且相距海里，则号舰的航行方向是（ ）
A．北偏西 B．南偏西 C．南偏东 D．南偏西
23．小红家的木门左下角有一点受潮，她想检测门是否变形，准备采用如下方法：如图，先测量门的边和的长，再测量点A和点C之间的距离，由此可推断是不是直角，这样做的依据是（ ）
A．勾股定理
B．若三角形的三边长满足，则这个三角形是直角三角形
C．三角形内角和定理
D．直角三角形的两锐角互余
24．某社区为了让居民享受更多“开窗见景，推门见绿”的空间，决定将一块四边形区域改造为儿童游乐场．图1是该区域的设计图，图2是该四边形区域的几何示意图，，，，，，按照计划要先在该区域铺设塑胶，已知铺设1平方米塑胶需要200元，则铺满该区域需要的费用是（ ）
A．40800元 B．91600元 C．60800元 D．48000元
25．如图，在笔直的公路旁有一座山，为方便运输货物，现要从公路上的点处开凿隧道修通一条公路到点处，已知点与公路上的停靠站的距离为，与公路上的另一停靠站的距离为，停靠站，之间的距离为，且．
(1)判断是什么三角形？并说明理由；
(2)求修通的公路的长．
考点六、勾股定理逆定理的拓展问题
26．已知一个三角形三边长分别是4，9，12，要作最长边上的高正确的图形做法是（ ）
A． B．C． D．
27．已知，，是三角形的三边长，且，那么此三角形是（ ）
A．以为斜边的直角三角形 B．以为斜边的直角三角形
C．等腰直角三角形 D．锐角三角形
28．若三角形的三边长分别为，，，且满足，则此三角形中最大的角是（ ）
A．锐角 B．直角 C．钝角 D．无法确定
29．已知，、、是的三边长，若，则是 .
30．阅读下列内容，并解决问题．
一道习题引发的思考
小明在学习《勾股定理》一章内容时，遇到了一个习题，并对有关内容进行了研究：
【习题再现】古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果m表示大于1的整数，a=2m，b= m -1，c= m +1，那么a，b，c为勾股数．你认为对吗 如果对，你能利用这个结论得出一些勾股数吗
【资料搜集】定义：勾股数是指可以构成一个直角三角形三边的一组正整数．一般地，若三角形三边长a，b，c都是正整数，且满足a2+b2=c ，那么a，b，c称为一组勾股数．
关于勾股数的研究；我国西周初数学家商高在公元前1000年发现了"勾三，股四，弦五"，这组数（3、4、5）是世界上最早发现的一组勾股数．毕达哥拉斯学派、柏拉图学派、我国数学家刘徽、古希腊数学家丢番图都进行过勾股数的研究，习题中的表达式是柏拉图给出的勾股数公式，这个表达式未给出全部勾股数．世界上第一次给出勾股数通解公式的是《九章算术》．
【问题解答】
（1）根据柏拉图的研究，当m=6时，请直接写出一组勾股数；
（2）若m表示大于1的整数，试证明（m -1，2m，m +1）是一组勾股数；
（3）请举出一个反例（即写出一组勾股数），说明柏拉图给出的勾股数公式不能构造出所有的勾股数．
一、单选题
1．（2019·湖南益阳·中考真题）已知M、N是线段AB上的两点，AM＝MN＝2，NB＝1，以点A为圆心，AN长为半径画弧；再以点B为圆心，BM长为半径画弧，两弧交于点C，连接AC，BC，则△ABC一定是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
2．（2022·江苏南京·中考真题）直三棱柱的表面展开图如图所示，，，，四边形是正方形，将其折叠成直三棱柱后，下列各点中，与点距离最大的是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
3．（2018·湖南长沙·中考真题）我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5里，12里，13里，问这块沙田面积有多大？题中“里”是我国市制长度单位，1里=500米，则该沙田的面积为（ ）
A．7.5平方千米 B．15平方千米 C．75平方千米 D．750平方千米
4．（2023·山东·中考真题）的三边长a，b，c满足，则是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰直角三角形
二、填空题
5．（2021·广西玉林·中考真题）如图，某港口位于东西方向的海岸线上，甲、乙轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，甲、乙轮船每小时分别航行12海里和16海里，1小时后两船分别位于点，处，且相距20海里，如果知道甲船沿北偏西方向航行，则乙船沿 方向航行．
6．（2021·浙江杭州·中考真题）如图，在直角坐标系中，以点为端点的四条射线，，，分别过点，点，点，点，则 （填“”“”“”中的一个）．
三、解答题
7．（2020·贵州安顺·中考真题）如图，在的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形．
（1）在图①中，画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数；
（2）在图②中，画一个直角三角形，使它的一边长是有理数，另外两边长是无理数；
（3）在图③中，画一个直角三角形，使它的三边长都是无理数．
8．（2023·广东·中考真题）综合与实践
主题：制作无盖正方体形纸盒
素材：一张正方形纸板．
步骤1：如图1，将正方形纸板的边长三等分，画出九个相同的小正方形，并剪去四个角上的小正方形；
步骤2：如图2，把剪好的纸板折成无盖正方体形纸盒．
猜想与证明：
(1)直接写出纸板上与纸盒上的大小关系；
(2)证明（1）中你发现的结论．
9．（2018·浙江杭州·中考真题）阅读下列题目的解题过程：
已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，试判断△ABC的形状．
解：∵a2c2﹣b2c2=a4﹣b4 （A）
∴c2（a2﹣b2）=（a2+b2）（a2﹣b2） （B）
∴c2=a2+b2 （C）
∴△ABC是直角三角形
问：（1）上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号： ；
（2）错误的原因为： ；
（3）本题正确的结论为： ．
10．（2023·吉林·中考真题）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上．在图①、图②、图③中以为边各画一个等腰三角形，使其依次为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，且所画三角形的顶点均在格点上．
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【同步提升】人教版八年级下册数学期中期末考点归纳与精讲专练
第05讲 勾股定理的逆定理
知识梳理 1
要点一、勾股定理的逆定理 1
要点二、如何判定一个三角形是否是直角三角形 2
要点三、互逆命题 2
要点四、勾股数 2
考点归纳 2
考点一、判断三边能否构成直角三角形 3
考点二、图形上与已知两点构成直角三角形的点 5
考点三、在网格中判断直角三角形 8
考点四、利用勾股定理的逆定理求解 10
考点五、勾股定理逆定理的实际应用 12
考点六、勾股定理逆定理的拓展问题 16
真题演练 18
一、单选题 18
二、填空题 20
三、解答题 22
要点一、勾股定理的逆定理
如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形.
要点诠释：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.
（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.
要点二、如何判定一个三角形是否是直角三角形
（1）首先确定最大边（如）.
（2）验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C=90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形.
要点诠释：当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边.
要点三、互逆命题
如果两个命题的题设与结论正好相反，则称它们为互逆命题.如果把其中一个叫原命题，则另一个叫做它的逆命题.
要点诠释：原命题正确，逆命题未必正确；原命题不正确，其逆命题也不一定错误；正确的命题我们称为真命题，错误的命题我们称它为假命题.
要点四、勾股数
满足不定方程的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形.
熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：3、4、5 ； 5、12、13 ； 8、15、17 ； 7、24、25 ； 9、40、41……
如果是勾股数，当为正整数时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.
要点诠释：（1）（是自然数）是直角三角形的三条边长；
（2）（是自然数）是直角三角形的三条边长；
（3） （是自然数）是直角三角形的三条边长；
考点一、判断三边能否构成直角三角形
1．下列给出的三条线段的长，其中能组成直角三角形的是（ ）
A．3、5、7 B．6、8、9 C．2、、 D．，，
【答案】D
【详解】解：A、，即组成的三角形不是直角三角形，故本选项错误；
B、，即组成的三角形不是直角三角形，故本选项错误；
C、，即组成的三角形不是直角三角形，故本选项错误；
D、，即组成的三角形是直角三角形，故本选项正确；
故选：D．
2．五根长度为7、15、20、24、25的木棒，将它们摆成两个直角三角形，下列图形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】解：A、，，故A不符合题意；
B、，，故B符合题意；
C、，，故C不符合题意；
D、，，故D不符合题意；
故选：B．
3．三角形的三边长为a，b，c，下列条件不能判断它是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】A．设，
∴
∴不能判断它是直角三角形，符合题意；
B．∵，
∴，故能判断是直角三角形，不符合题意；
C．，
∴，故能判断是直角三角形，不符合题意；
D．设，
∴
∴能判断是直角三角形，不符合题意．
故选：A．
4．在中，，，，则边上的高为 ．
【答案】8
【详解】解：如图，
在中，，，，
∵，
，
是直角三角形，
，
∴边上的高为8．
故答案为：8．
5．如图，中，是边的中线，，，，的面积为 ．
【答案】120
【详解】解：∵中，是边的中线，
∴
∵，
∴，
∴是直角三角形，则，
∴的面积是：．
故答案为：120．
考点二、图形上与已知两点构成直角三角形的点
6．在如图所示的的方格图中，点A和点B均为图中格点．点C也在格点上，满足为以为斜边的直角三角形．这样的点C有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【详解】解：如图，满足条件的点C共有4个，
故选D．
7．在平面直角坐标系中，已知点，为坐标原点．若要使是直角三角形，则点的坐标不可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：如图所示，点的坐标不可能是，
A.点时，，此项不符合题意；
B.点时，，此项不符合题意；
C.点时，如图，不是直角三角，符合题意；
D.点时，由勾股定理求得,故，即,此项不符合题意；
故选：C．
8．点 A（2，m），B（2，m-5）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点．若△ABO是直角三角形，则m的值不可能是（ ）
A．4 B．2 C．1 D．0
【答案】B
【详解】
解：分三种情况考虑（如图所示）：
当∠OAB＝90°时，m＝0；
当∠OBA＝90°时，m 5＝0，解得：m＝5；
当∠AOB＝90°时，AB2＝OA2＋OB2，即25＝4＋m2＋4＋m2 10m＋25，
解得：m1＝1，m2＝4．
综上所述：m的值可以为0，5，1，4．
故选B．
9．在平面直角坐标系中，点A的坐标为(1，1)，点B的坐标为(11，1)，点C到直线AB的距离为5，且△ABC是直角三角形，则满足条件的C点有( )
A．4个 B．5个 C．6个 D．8个
【答案】C
【详解】∵点A，B的纵坐标相等，
∴AB∥x轴，
∵点C到AB距离为5，AB=10，
∴点C在平行于AB的两条直线上，
∴过点A的垂线与那两条直线有2个交点，过点B的垂线与那两条直线有2个交点，以AB为直径的圆与那两条直线有只有2个交点（这两个两点在线段AB的垂直平分线上），
∴满足条件的C点共，6个．
故选C．
10．在平面直角坐标系中，已知点A（2，2），点B（2，-3）．在坐标轴上找一点C，使得△ABC为直角三角形，这样的点C共有（ ）个．
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【详解】试题解析：（1）∠BAP=90°易得P1（0，2）；
（2）∠ABP=90°易得P2（0，-3）；
（3）∠BAP=90°；
（如图）以AB为直径画⊙O′与x轴，y轴分别交于P3、P4、P5、P6，AB与x轴交于C，过点O′作O′D⊥y轴，
在Rt△OO′p3中易知O′D=2，O′p3=，则P3D=，
OP3=P3D-OD=-=1，则P3（0，1）易知P3D=P5D，
则P5（0，-2），连接O′P4，O′P6，
易求出P4（2-，0）P6（2+，0）
综上所述P1（0，2），P2（0，-3），P3（0，1），P4（2-，0），P5（0，-2），P6（2+，0）．
故选B.
考点：1.勾股定理；2.坐标与图形性质．
考点三、在网格中判断直角三角形
11．如图，图中小正方形的边长都为1，的顶点都在格点上，则是（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．无法判断
【答案】A
【详解】解：由图形可知：；；，
∴，
∴是直角三角形．
故选：A．
12．如图，每个小正方形的边长为1，点P、M、N是小正方形的顶点，则度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：连接，
根据勾股定理可得：
，，
∵，即，
∴是等腰直角三角形．
∴．
故选：C．
13．在如图所示的方格图中，点A，B，C，D，E，F，G，H均在小方格的顶点上，以其中三个点为顶点，能构成 个直角三角形．
【答案】
【详解】解：在如图所示的方格图中，点A，B，C，D，E，F，G，H均在小方格的顶点上，以其中三个点为顶点，构成的直角三角形有：
，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共个，
故答案为：．
14．如图，网格中每个小正方形的边长都是1，点A，B，C，D都在小正方形的顶点上，则以，为边的三角形的形状为 ．
【答案】直角三角形
【详解】解：由网格可得：，，
，
，
以为边的三角形的形状为直角三角形，
故答案为：直角三角形．
15．如图，点、、都在正方形网格的格点上，将绕点顺时针旋转后得到，点、的对应点、也在格点上，则旋转角（）的度数为 ．
【答案】90
【详解】连接，
，，
中
为直角三角形，为旋转角，
故答案为．
考点四、利用勾股定理的逆定理求解
16．车间新造了一个三角形零件，测得三角形零件的三边长分别为，则三角形零件的面积是（ ）
A． B．0.9 C．0.75 D．0.54
【答案】D
【详解】解：∵测得三角形零件的三边长分别为，
∴，
∴该三角形零件为直角三角形，
∴面积为：，
故选：D．
17．在中，，，，则的面积为（ ）
A．15 B．30 C．60 D．78
【答案】B
【详解】解：，，，
，，，
，
，
为直角三角形，
，
故选：B．
18．如图，，，，P是线段上一点，连接，则的长不可能是（ ）
A．3.5 B．2.5 C．2 D．3
【答案】C
【详解】解：∵，，，
∴，
∴，
过点B作于点D，
则，
∴，
故选C．
19．一块钢板形状如图所示，若，，，，，则这块钢板的面积为 ．
【答案】36
【详解】如解图，连接，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴钢板的面积．
故答案为：36
20．测得一个三角形花坛的三边长分别为，，，则此三角形的面积为 ；其最短边上的高为 ．
【答案】 30 12
【详解】解：∵，
∴此三角形为直角三角形，两直角边分别为和，
∴花坛面积为，最短边上的高为．
故答案为：30，12．
考点五、勾股定理逆定理的实际应用
21．一个零件的形状如图所示，按规定这个零件中的和都应为直角，将量得的这个零件各边尺寸标注在图中，由此可知（ ）
A．仅符合要求 B．仅符合要求
C．和都符合要求 D．和都不符合要求
【答案】A
【详解】解：∵，
∴，
∴是直角三角形，不是直角三角形
∴，
符合要求，不符合要求
故选：A．
22．如图，在我国海军某次海上编队演习中，两艘航母护卫舰从同一港口同时出发，号舰沿南偏东方向以节（节海里/小时）的速度航行，号舰以节的速度航行，离开港口小时后它们分别到达两点且相距海里，则号舰的航行方向是（ ）
A．北偏西 B．南偏西 C．南偏东 D．南偏西
【答案】D
【详解】解：由题意得，海里，海里，
∵海里，
∴，
∴是直角三角形，且，
∵，
∴，
∴号舰的航行方向是南偏西，
故选：．
23．小红家的木门左下角有一点受潮，她想检测门是否变形，准备采用如下方法：如图，先测量门的边和的长，再测量点A和点C之间的距离，由此可推断是不是直角，这样做的依据是（ ）
A．勾股定理
B．若三角形的三边长满足，则这个三角形是直角三角形
C．三角形内角和定理
D．直角三角形的两锐角互余
【答案】B
【详解】解：先测量门的边和的长，再测量点A和点C间的距离，用勾股定理的逆定理判断：若满足，则可判断是直角三角形，即为直角；若，则不是直角．
故选：B．
24．某社区为了让居民享受更多“开窗见景，推门见绿”的空间，决定将一块四边形区域改造为儿童游乐场．图1是该区域的设计图，图2是该四边形区域的几何示意图，，，，，，按照计划要先在该区域铺设塑胶，已知铺设1平方米塑胶需要200元，则铺满该区域需要的费用是（ ）
A．40800元 B．91600元 C．60800元 D．48000元
【答案】A
【详解】解：连接，如图2，
∵，，，
∴
∵，，
∴，
∴
∴，
∴铺满该区域需要的费用为：（元），
故选：A．
25．如图，在笔直的公路旁有一座山，为方便运输货物，现要从公路上的点处开凿隧道修通一条公路到点处，已知点与公路上的停靠站的距离为，与公路上的另一停靠站的距离为，停靠站，之间的距离为，且．
(1)判断是什么三角形？并说明理由；
(2)求修通的公路的长．
【答案】(1)直角三角形，理由见解析；
(2)修通的公路的长是．
【详解】（1）解：直角三角形，理由，
∵，，，
∴，
∴，
∴是直角三角形；
（2）解：由（）得：是直角三角形；
∴，
∵，
∴，
∴，
∴修通的公路的长是．
考点六、勾股定理逆定理的拓展问题
26．已知一个三角形三边长分别是4，9，12，要作最长边上的高正确的图形做法是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵42+92=97＜122，
∴三角形为钝角三角形，
∴最长边上的高是过最长边所对的角的顶点，作对边的垂线，垂足在最长边上．
故选：C．
27．已知，，是三角形的三边长，且，那么此三角形是（ ）
A．以为斜边的直角三角形 B．以为斜边的直角三角形
C．等腰直角三角形 D．锐角三角形
【答案】B
【详解】∵，
根据绝对值、偶次方的非负性质，
∴c =13，b=12，a=5，
∵52+122=132，
∴△ABC是以c为斜边的直角三角形．
故选B．
28．若三角形的三边长分别为，，，且满足，则此三角形中最大的角是（ ）
A．锐角 B．直角 C．钝角 D．无法确定
【答案】B
【详解】∵，
∴a2+b2=c2，
∴该三角形为直角三角形.
故选B.
29．已知，、、是的三边长，若，则是 .
【答案】等腰直角三角形
【详解】解：∵|a-b|+|a2+b2-c2|=0，
∴a-b=0，a2+b2-c2=0，
解得：a=b，a2+b2=c2，
∴△ABC是等腰直角三角形．
故答案为：等腰直角三角形．
30．阅读下列内容，并解决问题．
一道习题引发的思考
小明在学习《勾股定理》一章内容时，遇到了一个习题，并对有关内容进行了研究：
【习题再现】古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果m表示大于1的整数，a=2m，b= m -1，c= m +1，那么a，b，c为勾股数．你认为对吗 如果对，你能利用这个结论得出一些勾股数吗
【资料搜集】定义：勾股数是指可以构成一个直角三角形三边的一组正整数．一般地，若三角形三边长a，b，c都是正整数，且满足a2+b2=c ，那么a，b，c称为一组勾股数．
关于勾股数的研究；我国西周初数学家商高在公元前1000年发现了"勾三，股四，弦五"，这组数（3、4、5）是世界上最早发现的一组勾股数．毕达哥拉斯学派、柏拉图学派、我国数学家刘徽、古希腊数学家丢番图都进行过勾股数的研究，习题中的表达式是柏拉图给出的勾股数公式，这个表达式未给出全部勾股数．世界上第一次给出勾股数通解公式的是《九章算术》．
【问题解答】
（1）根据柏拉图的研究，当m=6时，请直接写出一组勾股数；
（2）若m表示大于1的整数，试证明（m -1，2m，m +1）是一组勾股数；
（3）请举出一个反例（即写出一组勾股数），说明柏拉图给出的勾股数公式不能构造出所有的勾股数．
【答案】（1）；（2）见解析；（3）答案不唯一，例如，等
【详解】（1）把代入，，得：
，，，
这组勾股数为；
（2）表示大于1的整数，
，，都是正整数，且是最大边，
，
是一组勾股数；
（3），等，它们是勾股数，但柏拉图给出的勾股数公式不能够造出．
一、单选题
1．（2019·湖南益阳·中考真题）已知M、N是线段AB上的两点，AM＝MN＝2，NB＝1，以点A为圆心，AN长为半径画弧；再以点B为圆心，BM长为半径画弧，两弧交于点C，连接AC，BC，则△ABC一定是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
【答案】B
【详解】如图所示，
AC＝AN＝4，BC＝BM＝3，AB＝2+2+1＝5，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，
故选B．
2．（2022·江苏南京·中考真题）直三棱柱的表面展开图如图所示，，，，四边形是正方形，将其折叠成直三棱柱后，下列各点中，与点距离最大的是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
【答案】B
【详解】∵，，，
∴，
∴是直角三角形，
∵四边形是正方形，将其折叠成直三棱柱，
∴直棱柱的高，
∴，，，，
∵，
∴选B．
3．（2018·湖南长沙·中考真题）我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5里，12里，13里，问这块沙田面积有多大？题中“里”是我国市制长度单位，1里=500米，则该沙田的面积为（ ）
A．7.5平方千米 B．15平方千米 C．75平方千米 D．750平方千米
【答案】A
【详解】∵52+122=132，
∴三条边长分别为5里，12里，13里，构成了直角三角形，
∴这块沙田面积为：×5×500×12×500=7500000（平方米）=7.5（平方千米）．
故选A．
4．（2023·山东·中考真题）的三边长a，b，c满足，则是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】D
【详解】解∵
又∵
∴，
∴
解得 ，
∴，且，
∴为等腰直角三角形，
故选：D．
二、填空题
5．（2021·广西玉林·中考真题）如图，某港口位于东西方向的海岸线上，甲、乙轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，甲、乙轮船每小时分别航行12海里和16海里，1小时后两船分别位于点，处，且相距20海里，如果知道甲船沿北偏西方向航行，则乙船沿 方向航行．
【答案】北偏东50°（或东偏北40°）
【详解】解：由题意得：海里，PB=1×16=16海里，，海里，
∴，
∴∠APB=90°，
∴，
∴乙船沿北偏东50°（或东偏北40°）方向航行；
故答案为北偏东50°（或东偏北40°）．
6．（2021·浙江杭州·中考真题）如图，在直角坐标系中，以点为端点的四条射线，，，分别过点，点，点，点，则 （填“”“”“”中的一个）．
【答案】=
【详解】解：连接DE，如图
∵点，点，点，点，点，
由勾股定理与网格问题，则
，，
∴△ABC是等腰直角三角形；
∵，，
∴，
∴，
∴△ADE是等腰直角三角形；
∴；
故答案为：=．
三、解答题
7．（2020·贵州安顺·中考真题）如图，在的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形．
（1）在图①中，画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数；
（2）在图②中，画一个直角三角形，使它的一边长是有理数，另外两边长是无理数；
（3）在图③中，画一个直角三角形，使它的三边长都是无理数．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析
【详解】解：（答案不唯一）
（1）图①（2）图②（3）图③
8．（2023·广东·中考真题）综合与实践
主题：制作无盖正方体形纸盒
素材：一张正方形纸板．
步骤1：如图1，将正方形纸板的边长三等分，画出九个相同的小正方形，并剪去四个角上的小正方形；
步骤2：如图2，把剪好的纸板折成无盖正方体形纸盒．
猜想与证明：
(1)直接写出纸板上与纸盒上的大小关系；
(2)证明（1）中你发现的结论．
【答案】(1)
(2)证明见解析.
【详解】（1）解：
（2）证明：连接，
设小正方形边长为1，则，，
，
为等腰直角三角形，
∵，
∴为等腰直角三角形，
，
故
9．（2018·浙江杭州·中考真题）阅读下列题目的解题过程：
已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，试判断△ABC的形状．
解：∵a2c2﹣b2c2=a4﹣b4 （A）
∴c2（a2﹣b2）=（a2+b2）（a2﹣b2） （B）
∴c2=a2+b2 （C）
∴△ABC是直角三角形
问：（1）上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号： ；
（2）错误的原因为： ；
（3）本题正确的结论为： ．
【答案】（1）C；（2）没有考虑a=b的情况；（3）△ABC是等腰三角形或直角三角形．
【详解】解：（1）由题目中的解答步骤可得，
错误步骤的代号为：C，
故答案为C；
（2）错误的原因为：等式两边同时除以一个整式时，没有考虑除数不为0，即没有考虑a=b的情况，
故答案为没有考虑a=b的情况；
（3）由（2）可知，本题正确的结论为：△ABC是等腰三角形或直角三角形，
故答案为△ABC是等腰三角形或直角三角形．
10．（2023·吉林·中考真题）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上．在图①、图②、图③中以为边各画一个等腰三角形，使其依次为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，且所画三角形的顶点均在格点上．
【答案】见解析
【详解】解：如图所示，
如图①，，则是等腰三角形，且是锐角三角形，
如图②，，，则，则是等腰直角三角形，
如图③，，则是等腰三角形，且是钝角三角形，
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