人教版六年级数学下册《圆锥》讲义
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人教版六年级数学下册《圆锥》讲义
一、考点梳理
（一）圆锥的认识
圆锥的组成：圆锥由一个底面和一个侧面组成。底面是一个圆，侧面是一个曲面，展开后是一个扇形。
圆锥的特征：圆锥只有一条高，从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高。
（二）圆锥的体积
体积公式推导：通过实验发现，等底等高的圆柱和圆锥，圆锥的体积是圆柱体积的。由此得出圆锥的体积公式，其中是圆锥的底面积，是圆锥的高。
体积公式应用：已知圆锥的底面积和高，可直接代入公式计算体积；已知圆锥的体积和底面积，可通过公式求出高；已知圆锥的体积和高，可通过公式求出底面积。
公式拓展应用：当已知圆锥底面半径和高时，体积公式可写为；当已知圆锥底面直径和高时，先求出半径，再代入体积公式计算。
（三）圆锥的实际应用
在解决实际问题时，常涉及圆锥形状物体的体积、容积计算，如圆锥形沙堆的体积、圆锥形容器的容积等，需准确运用圆锥体积公式进行求解。
二、重点题型解析
（一）求圆锥体积
例 1：一个圆锥形冰淇淋甜筒，底面半径是 3 厘米，高是 10 厘米，这个甜筒的体积是多少立方厘米？
【解题思路】本题已知圆锥底面半径厘米和高厘米，根据圆锥体积公式，代入数据可得：（立方厘米）。所以，这个甜筒的体积是 94.2 立方厘米。
（二）求圆锥的高
例 2：一个圆锥形谷堆，体积是 31.4 立方米，底面半径是 2 米，这个谷堆的高是多少米？
【解题思路】已知圆锥体积立方米，底面半径米，先根据圆的面积公式求出底面积平方米，再根据圆锥体积公式的变形，可得米。所以，这个谷堆的高是 7.5 米。
（三）求圆锥的底面积
例 3：一个圆锥形零件，体积是 18.84 立方厘米，高是 2 厘米，这个零件的底面积是多少平方厘米？
【解题思路】已知圆锥体积立方厘米，高厘米，根据圆锥体积公式的变形，可得平方厘米。所以，这个零件的底面积是 28.26 平方厘米。
（四）圆锥容积问题
例 4：一个圆锥形漏斗，底面直径是 8 厘米，高是 6 厘米，这个漏斗的容积是多少毫升？（1 立方厘米 = 1 毫升）
【解题思路】已知圆锥底面直径厘米，则半径厘米，高厘米。根据圆锥体积公式，可得立方厘米，因为 1 立方厘米 = 1 毫升，所以这个漏斗的容积是 100.48 毫升。
三、巩固练习
一个圆锥的底面半径是 2 厘米，高是 9 厘米，它的体积是多少立方厘米？
已知一个圆锥的体积是 37.68 立方分米，底面直径是 6 分米，这个圆锥的高是多少分米？
一个圆锥形沙堆，底面积是 12.56 平方米，高是 1.2 米，把这堆沙铺在长 4 米、宽 2 米的沙坑里，可以铺多厚？
一个圆锥形容器，底面半径是 3 厘米，高是 10 厘米，把它装满水后倒入一个底面积是 9.42 平方厘米的圆柱形容器中，水高多少厘米？
用一块长 6.28 分米、宽 3.14 分米的长方形铁皮做一个圆柱形水桶的侧面，另用一块铁皮做底面。这个水桶的最大容积是多少立方分米？
把一个底面半径是 3 厘米、高是 8 厘米的圆锥形橡皮泥捏成一个底面半径是 2 厘米的圆柱，这个圆柱的高是多少厘米？
一个圆柱和一个圆锥等底等高，它们的体积之和是 60 立方分米，圆柱和圆锥的体积各是多少立方分米？
一个圆锥形麦堆，底面周长是 12.56 米，高是 1.5 米。每立方米小麦约重 750 千克，这堆小麦约重多少千克？
一个圆锥的底面半径扩大到原来的 2 倍，高缩小到原来的，它的体积是原来的多少倍？
有甲、乙两个圆锥，甲圆锥的底面半径和乙圆锥的底面直径相等，两个圆锥的高也相等。已知甲圆锥的体积是 12 立方分米，那么乙圆锥的体积是多少立方分米？
参考答案
（立方厘米）。答：它的体积是 37.68 立方厘米。
底面半径分米，底面积平方分米，分米。答：这个圆锥的高是 4 分米。
沙堆体积立方米，沙坑底面积平方米，厚度米。答：可以铺 0.628 米厚。
圆锥体积立方厘米，水在圆柱形容器中的高度厘米。答：水高 10 厘米。
若以长 6.28 分米为底面周长，则底面半径分米，容积立方分米；若以宽 3.14 分米为底面周长，则底面半径分米，容积立方分米。，最大容积是 9.8596 立方分米。答：这个水桶的最大容积是 9.8596 立方分米。
圆锥体积立方厘米，圆柱底面积平方厘米，圆柱的高厘米。答：这个圆柱的高是 6 厘米。
因为等底等高的圆柱体积是圆锥体积的 3 倍，设圆锥体积为立方分米，则圆柱体积为立方分米，，，，。答：圆柱体积是 45 立方分米，圆锥体积是 15 立方分米。
底面半径米，圆锥体积立方米，小麦重量千克。答：这堆小麦约重 4710 千克。
设原来圆锥底面半径为，高为，原来体积，变化后底面半径为，高为，变化后体积，。答：它的体积是原来的 2 倍。
设乙圆锥底面半径为，则甲圆锥底面半径为，高都为。甲圆锥体积立方分米，乙圆锥体积，立方分米。答：乙圆锥的体积是 3 立方分米。
一、考点梳理
（一）圆锥的认识
圆锥的组成：圆锥由一个底面和一个侧面组成。底面是一个圆，侧面是一个曲面，展开后是一个扇形。
圆锥的特征：圆锥只有一条高，从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高。
（二）圆锥的体积
体积公式推导：通过实验发现，等底等高的圆柱和圆锥，圆锥的体积是圆柱体积的。由此得出圆锥的体积公式，其中是圆锥的底面积，是圆锥的高。
体积公式应用：已知圆锥的底面积和高，可直接代入公式计算体积；已知圆锥的体积和底面积，可通过公式求出高；已知圆锥的体积和高，可通过公式求出底面积。
公式拓展应用：当已知圆锥底面半径和高时，体积公式可写为；当已知圆锥底面直径和高时，先求出半径，再代入体积公式计算。
（三）圆锥的实际应用
在解决实际问题时，常涉及圆锥形状物体的体积、容积计算，如圆锥形沙堆的体积、圆锥形容器的容积等，需准确运用圆锥体积公式进行求解。
二、重点题型解析
（一）求圆锥体积
例 1：一个圆锥形冰淇淋甜筒，底面半径是 3 厘米，高是 10 厘米，这个甜筒的体积是多少立方厘米？
【解题思路】本题已知圆锥底面半径厘米和高厘米，根据圆锥体积公式，代入数据可得：（立方厘米）。所以，这个甜筒的体积是 94.2 立方厘米。
（二）求圆锥的高
例 2：一个圆锥形谷堆，体积是 31.4 立方米，底面半径是 2 米，这个谷堆的高是多少米？
【解题思路】已知圆锥体积立方米，底面半径米，先根据圆的面积公式求出底面积平方米，再根据圆锥体积公式的变形，可得米。所以，这个谷堆的高是 7.5 米。
（三）求圆锥的底面积
例 3：一个圆锥形零件，体积是 18.84 立方厘米，高是 2 厘米，这个零件的底面积是多少平方厘米？
【解题思路】已知圆锥体积立方厘米，高厘米，根据圆锥体积公式的变形，可得平方厘米。所以，这个零件的底面积是 28.26 平方厘米。
（四）圆锥容积问题
例 4：一个圆锥形漏斗，底面直径是 8 厘米，高是 6 厘米，这个漏斗的容积是多少毫升？（1 立方厘米 = 1 毫升）
【解题思路】已知圆锥底面直径厘米，则半径厘米，高厘米。根据圆锥体积公式，可得立方厘米，因为 1 立方厘米 = 1 毫升，所以这个漏斗的容积是 100.48 毫升。
三、巩固练习
一个圆锥的底面半径是 2 厘米，高是 9 厘米，它的体积是多少立方厘米？
已知一个圆锥的体积是 37.68 立方分米，底面直径是 6 分米，这个圆锥的高是多少分米？
一个圆锥形沙堆，底面积是 12.56 平方米，高是 1.2 米，把这堆沙铺在长 4 米、宽 2 米的沙坑里，可以铺多厚？
一个圆锥形容器，底面半径是 3 厘米，高是 10 厘米，把它装满水后倒入一个底面积是 9.42 平方厘米的圆柱形容器中，水高多少厘米？
用一块长 6.28 分米、宽 3.14 分米的长方形铁皮做一个圆柱形水桶的侧面，另用一块铁皮做底面。这个水桶的最大容积是多少立方分米？
把一个底面半径是 3 厘米、高是 8 厘米的圆锥形橡皮泥捏成一个底面半径是 2 厘米的圆柱，这个圆柱的高是多少厘米？
一个圆柱和一个圆锥等底等高，它们的体积之和是 60 立方分米，圆柱和圆锥的体积各是多少立方分米？
一个圆锥形麦堆，底面周长是 12.56 米，高是 1.5 米。每立方米小麦约重 750 千克，这堆小麦约重多少千克？
一个圆锥的底面半径扩大到原来的 2 倍，高缩小到原来的，它的体积是原来的多少倍？
有甲、乙两个圆锥，甲圆锥的底面半径和乙圆锥的底面直径相等，两个圆锥的高也相等。已知甲圆锥的体积是 12 立方分米，那么乙圆锥的体积是多少立方分米？
参考答案
（立方厘米）。答：它的体积是 37.68 立方厘米。
底面半径分米，底面积平方分米，分米。答：这个圆锥的高是 4 分米。
沙堆体积立方米，沙坑底面积平方米，厚度米。答：可以铺 0.628 米厚。
圆锥体积立方厘米，水在圆柱形容器中的高度厘米。答：水高 10 厘米。
若以长 6.28 分米为底面周长，则底面半径分米，容积立方分米；若以宽 3.14 分米为底面周长，则底面半径分米，容积立方分米。，最大容积是 9.8596 立方分米。答：这个水桶的最大容积是 9.8596 立方分米。
圆锥体积立方厘米，圆柱底面积平方厘米，圆柱的高厘米。答：这个圆柱的高是 6 厘米。
因为等底等高的圆柱体积是圆锥体积的 3 倍，设圆锥体积为立方分米，则圆柱体积为立方分米，，，，。答：圆柱体积是 45 立方分米，圆锥体积是 15 立方分米。
底面半径米，圆锥体积立方米，小麦重量千克。答：这堆小麦约重 4710 千克。
设原来圆锥底面半径为，高为，原来体积，变化后底面半径为，高为，变化后体积，。答：它的体积是原来的 2 倍。
设乙圆锥底面半径为，则甲圆锥底面半径为，高都为。甲圆锥体积立方分米，乙圆锥体积，立方分米。答：乙圆锥的体积是 3 立方分米。