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2025年九年级中考数学三轮冲刺训练因式分解专题训练
一、选择题
1.若a+b=0,ab=﹣11,则a2+b2的值是( )
A.﹣11 B.11 C.﹣22 D.22
2.若多形式x2+mx+n有因式(x﹣1)和(x+2),则m,n的值分别为( )
A.1,﹣2 B.﹣1,2 C.﹣1,﹣2 D.1,2
3.已知a﹣b=5,b﹣c=﹣6,则代数式a2﹣ac﹣b(a﹣c)的值为( )
A.﹣30 B.30 C.﹣5 D.﹣6
4.若a+x2=2021,b+x2=2022,c+x2=2023,则a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca的值为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
5.我们知道,对于一个图形,通过两种不同的方法计算它的面积,可以得到一个数学等式.例如由图1可以得到a2+3ab+2b2=(a+2b)(a+b).若已知a2+b2+c2=69,ab+bc+ac=50,由图2所表示的数学等式,则a+b+c的值为( )
A.1 B.12 C.13 D.14
6.已知(m+2n)2+2m+4n+1=0,则(m+2n)2024的值为( )
A.﹣1 B.﹣2 C.1 D.2
7.已知9x2+mxy+16y2能运用完全平方公式因式分解,则m的值为( )
A.12 B.±12 C.24 D.±2
二、解答题
8.在学习完“因式分解”后,为了开拓学生的思维,宋老师在黑板上写了题目:
因式分解:x2﹣xy+6x﹣6y.下面是甜甜的解法:
解:x2﹣xy+6x﹣6y
=(x2﹣xy)+(6x﹣6y)(分组)
=x(x﹣y)+6(x﹣y)(提公因式)
=(x﹣y)(x+6).
请利用上述方法,解答下列各题:
(1)因式分解:m2﹣2m+2n﹣mn;
(2)已知△ABC的三边a,b,c满足a2﹣b2﹣ac+bc=0,判断△ABC的形状,并说明理由.
9.阅读材料后,回答下列问题.
材料一:我们可以将任意三位数记为,(其中a,b,c分别表示该数的百位数字,十位数字和个位数字,且a≠0),显然.
材料二:一个三位数m,若它各个数位上的数字均不为0.我们则称m为美妙数,例如123就是一个美妙数.将美妙数三个数位上的数字两两组合,可产生6个新的两位数,例如由123可以产生出12,13,21,23,31,32这6个新数.我们规定F(m)等于m产生的6个新数之和,例如F(123)=12+13+21+23+31+32=132.
(1)求F(236)的值;
(2)证明:任意一个美妙数m.其F(m)的值一定是11的倍数;
(3)若一个三位数是美妙数,且,求出所有符合题意的三位数.
10.常用的分解因式的方法有提公因式法、公式法.但有更多的多项式只用上述方法无法分解,如x2﹣4y2﹣2x+4y,细心观察这个式子就会发现,前两项符合平方差公式,后两项可提取公因式,前后两部分分别分解因式后会产生公因式,然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了.过程如下:
x2﹣4y2﹣2x+4y=(x﹣2y)(x+2y)﹣2(x﹣2y)=(x﹣2y)(x+2y﹣2).
这种分解因式的方法叫做分组分解法,利用这种方法解决下列问题:
(1)分解因式:x2﹣2xy+y2﹣16;
(2)已知△ABC的三边长a、b、c满足条件:a4﹣b4+b2c2﹣a2c2=0,判断△ABC的形状,并说明理由.
11.仔细阅读下面的例题,并解答问题:
例题:已知二次三项式x2﹣4x+m分解因式的结果中有一个因式是x+3,求另一个因式以及m的值.
解法一:设另一个因式为x+n,得x2﹣4x+m=(x+3)(x+n),
即x2﹣4x+m=x2+nx+3x+3n=x2+(n+3)x+3n,
∴,解得.
∴另一个因式为x﹣7,m的值为﹣21.
解法二:设另一个因式为x+n,得x2﹣4x+m=(x+3)(x+n),
∴当x=﹣3时,x2﹣4x+m=(x+3)(x+n)=0,
即(﹣3)2﹣4×(﹣3)+m=0,解得m=﹣21,
∴x2﹣4x+m=x2﹣4x﹣21=(x+3)(x﹣7),
∴另一个因式为x﹣7,m的值为﹣21.
问题:请你仿照以上一种方法解答下面问题.
(1)已知二次三项式x2﹣px﹣6分解因式的结果中有一个因式是x﹣3,则实数p= .
(2)已知二次三项式2x2+3x﹣k分解因式的结果中有一个因式是2x﹣5,求另一个因式及k的值.
12.在“探究性学习“小组的甲、乙两名同学所进行的因式分解:
甲:x2﹣xy+4x﹣4y
=(x2﹣xy)+(4x﹣4y)(分成两组)
=x(xy)+4(x﹣y)(直接提公因式)
=(x﹣y)(x+4),
乙:a2﹣b2﹣c2+2bc
=a2﹣(b2+c2﹣2bc) (分成两组)
=a2﹣(b﹣c)2 (直接运用公式)
=(a+b﹣c)(a﹣b+c)
请你在他们的解法的启发下,解答下面各题:
(1)因式分解:a2+b2﹣1﹣2ab;
(2)已知a﹣b=3,b﹣c=﹣4,求式子a2﹣ac﹣ab+bc的值;
(3)已知△ABC的三边长分别是a,b,c,且满足a2+b2+2c2=2ac+2bc,试判断△ABC的形状,并说明理由.
13.(教材中这样写道:“我们把a2+2ab+b2和a2﹣2ab+b2这样的式子叫做完全平方式”)
如果关于某一字母的二次多项式不是完全平方式,我们常做如下变形:先添加一个适当的项,使式子中出现完全平方式,再减去这个项,使整个式子的值不变,这种方法叫做配方法.配方法是一种重要的解决问题的数学方法,不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式,还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等.
例如:分解因式x2+2x﹣3.
原式=(x2+2x+1)﹣4=(x+1)2﹣4=(x+1+2)(x+1﹣2)=(x+3)(x﹣1).
例如:求代数式x2+4x+6的最小值.
原式=x2+4x+4+2=(x+2)2+2.
∵(x+2)2≥0,
∴当x=﹣2时,x2+4x+6有最小值,最小值是2.
根据阅读材料用配方法解决下列问题:
(1)分解因式:m2﹣4m﹣5= 求代数式x2﹣6x+12的最小值为 ;
(2)若y=﹣x2+2x﹣3,当x= 时,y有最 值(填“大”或“小”),这个值是 ;
(3)若m2+2mn+2n2﹣6n+9=0,则m= ,n= ,若x2+2y2﹣2xy﹣4y+4=0,则xy的值为 ;
(4)当a,b,c分别为△ABC的三边长,且满足a2+b2+c2﹣6a﹣10b﹣6c+43=0时,判断△ABC的形状并说明理由;
(5)已知a,b,c是△ABC的三边长,满足a2+b2=10a+8b﹣41,且c是△ABC中最长的边,求c的取值范围.
参考答案
一、选择题
1.【解答】解:由条件可知(a+b)2=a2+b2+2ab=0,
∵ab=﹣11,
∴a2+b2+2×(﹣11)=0,
∴a2+b2=22,
故选:D.
2.【解答】解:(x﹣1)(x+2)=x2+x﹣2,
故m,n的值分别为1,﹣2.
故选:A.
3.【解答】解:∵a﹣b=5,b﹣c=﹣6,
∴a﹣c=﹣1,
∴a2﹣ac﹣b(a﹣c)
=a(a﹣c)﹣b(a﹣c)
=(a﹣c)(a﹣b)
=5×(﹣1)
=﹣5;
故选:C.
4.【解答】解:由题意知,a﹣b=﹣1,a﹣c=﹣2,b﹣c=﹣1,
a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca
=3.
故选:D.
5.【解答】解:由图2可得(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac,
∴(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ac)=69+2×50=169,
又∵a+b+c>0,
∴a+b+c=13,
故选:C.
6.【解答】解:原方程整理得:(m+2n)2+2(m+2n)+1=0,
(m+2n+1)2=0,
∴m+2n=﹣1,
∴(m+2n)2024=(﹣1)2024=1.
故选:C.
7.【解答】解:∵(3x±4y)2=9x2±24xy+16y2,
∴在9x2+mxy+16y2中,m=±24.
故选:D.
二、解答题
8.【解答】解:(1)原式=(m2﹣2m)+(2n﹣mn)
=m(m﹣2)+n(2﹣m)
=(m﹣2)(m﹣n);
(2)△ABC是等腰三角形,理由如下:
∵a2﹣b2﹣ac+bc=0,
∴(a﹣b)(a+b﹣c)=0,
∵a+b﹣c>0,
∴a﹣b=0,
∴a=b,
∴△ABC是等腰三角形.
9.【解答】(1)解:根据新定义直接计算得F(236)=23+26+32+36+62+63=242;
(2)证明:设一个美妙数m的百位数为a,十位数为b,个位数为c,
则F(m)=F(abc)=10a+b+10a+c+10b+a+10b+c+10c+a+10c+b=22(a+b+c),
∴F(m)的值一定是11的倍数;
(3)解:根据新定义直接计算可得,
∴a+b=5,
∴a=1,b=4或a=2,b=3或a=3,b=2或a=4,b=1,
∴符合题意的数有147,237,327,417.
10.【解答】解:(1)x2﹣2xy+y2﹣16
=(x2﹣2xy+y2)﹣16
=(x﹣y)2﹣42
=(x﹣y+4)(x﹣y﹣4);
(2)△ABC是等腰三角形或直角三角形,理由如下:
a4﹣b4+b2c2﹣a2c2=0,
(a4﹣b4)+(b2c2﹣a2c2)=0,
(a2+b2)(a2﹣b2)﹣c2(a2﹣b2)=0,
(a2﹣b2)(a2+b2﹣c2)=0,
a2﹣b2=0或a2+b2﹣c2=0,
∵a、b、c是△ABC的三边长,
∴a>0,b>0,c>0,
∴a=b或a2+b2=c2,
∴△ABC是等腰三角形或直角三角形.
11.【解答】解:(1)设另一个因式为x+n,得x2﹣px﹣6=(x﹣3)(x+n),
∴当x=3时,x2﹣px﹣6=0,
即:32﹣3p﹣6=0,
解得:p=1,
故答案为:1;
(2)设另一个因式为x+n,得2x2+3x﹣k=(2x﹣5)(x+n),
∴当时,,
解得:k=20,
∴2x2+3x﹣k=2x2+3x﹣20=(2x﹣5)(x+4),
∴另一个因式为x+4,k的值为20.
12.【解答】解:(1)a2+b2﹣1﹣2ab
=a2+b2﹣2ab﹣1
=(a﹣b)2﹣1
=(a﹣b+1)(a﹣b﹣1);
(2)∵a﹣b=3,b﹣c=﹣4,
两式相加得,a﹣c=﹣1,
∴a2﹣ac﹣ab+bc
=(a2﹣ab)﹣(ac﹣bc)
=a(a﹣b)﹣c(a﹣b)
=(a﹣b)(a﹣c)
=3×(﹣1)
=﹣3;
(3)∴△ABC是等边三角形,理由如下:
∵a2+b2+2c2=2ac+2bc,
∴a2+b2+2c2﹣2ac﹣2bc=0,
∴(a2﹣2ac+c2)+(b2﹣2bc+c2)=0,
∴(a﹣c)2+(b﹣c)2=0,
∵(a﹣c)2≥0,(b﹣c)2≥0,
∴a﹣c=0,b﹣c=0,
a=c,b=c,
即a=b=c,
∴△ABC是等边三角形.
13.【解答】解:(1)m2﹣4m﹣5=m2﹣4m+4﹣9=(m﹣2)2﹣32=(m﹣2+3)(m﹣2﹣3)=(m+1)(m﹣5);
x2﹣6x+12=x2﹣6x+9+3=(x﹣3)2+3,
∵(x﹣3)2≥0,
∴当x=3时,x2﹣6x+12有最小值,最小值为3,
故答案为:(m+1)(m﹣5),3;
(2)y=﹣x2+2x﹣3=﹣(x2﹣2x+1)﹣2=﹣(x﹣1)2﹣2,
∵(x﹣1)2≥0,
∴﹣(x﹣1)2≤0,
∴当x=1时,﹣x2+2x﹣3有最大值,最大值为﹣2,
故答案为:1,大,﹣2;
(3)m2+2mn+2n2﹣6n+9=0,
(m2+2mn+n2)+(n2﹣6n+9)=0,
(m+n)2+(n﹣3)2=0,
∵(m+n)2≥0,(n﹣3)2≥0,
∴m+n=0,n﹣3=0,
∴m=﹣3,n=3;
∵x2+2y2﹣2xy﹣4y+4=0,
∴(x2﹣2xy+y2)+(y2﹣4y+4)=0,
∴(x﹣y)2+(y﹣2)2=0,
∵(x﹣y)2≥0,(y﹣2)2≥0,
∴x﹣y=0,y﹣2=0,
∴x=y=2,
∴xy=22=4,
故答案为:﹣3,3,4;
(4)△ABC的形状是等腰三角形,理由如下:
∵a2+b2+c2﹣6a﹣10b﹣6c+43=0,
∴(a2﹣6a+9)+(b2﹣10b+25)+(c2﹣6c+9)=0,
∴(a﹣3)2+(b﹣5)2+(c﹣3)2=0,
∵(a﹣3)2≥0,(b﹣5)2≥0,(c﹣3)2≥0,
∴a﹣3=0,b﹣5=0,c﹣3=0,
∴a=3,b=5,c=3,
∴△ABC的形状是等腰三角形;
(5)∵a2+b2=10a+8b﹣41,
∴a2﹣10a+b2﹣8b+41=0,
∴a2﹣10a+25+b2﹣8b+16=0,
∴(a﹣5)2+(b﹣4)2=0,
∵(a﹣5)2≥0,(b﹣4)2≥0,
∴a﹣5=0,b﹣4=0,
∴a=5,b=4,
∵c是△ABC中最长的边,
∴5≤c<9.
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