2025年华师版数学八年级下册
期中复习专项
第16章 分式
一、知识点总结
1. 分式有意义的条件：分母≠0（例：若分式有意义，则）。
2. 分式基本性质：（），用于通分和约分。
3. 分式运算： 乘除：，； 加减：同分母直接加减，异分母先通分。
4. 分式方程增根：解需代入最简公分母检验（例：解方程时，若解为，需验证分母）。
5. 实际应用：工程问题中，合作效率=各效率之和（例：甲需天完成，乙需天，合作需天）。
二、典型例题与变式训练
典型例题：
基础题
1．使分式有意义，则应满足的条件是 ．
2．函数中，自变量的取值范围是（ ）
A． B． C． 且 D．
运算题
3. 先化简，再求值：，在自己选择一个合适的数作为的值代入求值．
4．从、、这三个分式中选择两个，添上乘法运算符号并进行计算，最后在、、、、中选择一个恰当的数代入求值．
解方程
5．解下列分式方程：
(1)；
(2)．
6．已知关于的分式方程．
(1)若这个分式方程的解是，求的值；
(2)若分式方程的解是非负数，直接写出的取值范围．
综合应用题
7．（行程问题）班级组织同学乘大巴车前往“研学旅行”基地开展爱国教育活动，基地离学校有90千米，出发后第一小时内按原计划的速度匀速行驶，一小时后以原来速度的1.5倍匀速行驶，并比原计划提前到达基地，请问大巴车原计划的行驶速度是多少？
8．（工程问题）随着科技与经济的发展，机器人自动化线的市场越来越大，并且逐渐成为自动化生产线的主要方式；某化工厂要在规定时间内搬运4800千克化工原料，现有A，B两种机器人可供选择，已知A型机器人每小时完成的工作量是B型机器人的1.5倍，A型机器人单独完成所需的时间比B型机器人少10小时．求两种机器人每小时分别搬运多少千克化工原料？
9．（利润问题）为迎接“女神节”，某厂家特地推出，两种礼盒，已知礼盒的单价比礼盒的单价少20元，花2700元进购礼盒的数量是花1020元进购礼盒数量的3倍．
(1)求，两种礼盒的单价；
(2)某商店将采购的礼盒加价出售，礼盒提价30元出售，第一天，礼盒的总销售额就达到2800元，其中礼盒比礼盒多5套，求当天售出的、礼盒的数量各为多少？
函数及其图像
一、知识点总结
知识点总结
函数定义：对于的每个值，有唯一确定值对应（例：中）。
直角坐标系： 点坐标：横坐标，纵坐标； 象限符号：一(+,+)、二(-,+)、三(-,-)、四(+,-)。
一次函数图像： 时直线上升，时下降； 为纵截距，。
实际应用： 行程问题中，对应一次函数； 费用问题需结合不等式求最值。
二、 典型例题与变式训练
基础题
10．函数的自变量的取值范围是 ．
11．函数，对于自变量取的每一个值，因变量的对应值称为函数值，记作：，已知，则 ．
12．求下列函数中自变量的取值范围．
(1)
(2)；
(3)．
图像题
13．已知点在第三象限，到轴距离为3，且横坐标与纵坐标的差为1，则点的坐标为 ．
14．已知点在第四象限，分别根据下列条件求点的坐标．
(1)点到轴的距离为3；
(2)点的坐标为，且直线与轴平行．
15．两个一次函数与 ，它们在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
16．表示一次函数与正比例函数（m、n是常数且）图象是（ ）
A． B．
C． D．
17．已知关于的一次函数的图象经过第一、二、四象限，则代数式可化简为（ ）
A． B． C． D．
解析式题
18．如图，在平面直角坐标系中，直线：与直线交于点，与轴、轴分别交于、两点，已知点坐标为．
(1)求直线的解析式；
(2)若点在线段上，且满足，求点的坐标．
综合应用题
19．某乐队举行专场音乐会，为学校师生提供了两种优惠方案，教师票每张100元，学生票每张50元．方案一：购买一张教师票赠送1张学生票；方案二：按总价的付款．新星学校有4名教师与名学生购票听音乐会，若付款总金额为（元）．
(1)分别写出两种方案中与的函数关系式；
(2)至少有多少名学生参加时，选择方案二的购票方案比方案一便宜？
20．《哪吒2魔童闹海》票房大卖，周边玩偶热销．小洋在网上开设相关周边专卖店，一次，小洋发现一张进货单上的一个信息是：A款哪吒玩偶的进货单价比B款哪吒玩偶少5元，花500元购进A款哪吒玩偶的数量与花750元购进B款哪吒玩偶的数量相同．
(1)问： A、B两款的进货单价分别是多少元？
(2)小洋决定将A款玩偶的销售单价定为12元，将B款玩偶的销售单价定为20元，小洋打算要花费1000元购进A、B两款玩偶若干个，且A款的数量不小于B款的一半，请你根据计算说明，当A、B两款各购进多少时，小洋获得的总利润最高，最高为多少？
21．寒假期间，小丽一家驾车去某地旅游，早上点出发，以80千米/小时的速度匀速行驶一段时间后，途经一个服务区休息了1小时，再次出发时提高了车速．如图，这是她们离目的地的路程（千米）与所用时间（小时）的函数图像．根据图像提供的信息回答下列问题：
(1)图中的_____________，_____________；
(2)求提速后y关于x的函数解析式（不用写出定义域）；
(3)她们能否在中午12∶15之前到达目的地？请说明理由．
22．如图，在平面直角坐标系中，--次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，与x轴交于点C，与y轴交于点，已知点，点A的坐标为．
(1)①直线的解析式为__________；
②反比例函数的解析式__________．
(2)根据图象写出：当x满足__________时，．
(3)在y轴上是否存在点E，使的面积为12．若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
23．如图，一次函数图象与反比例函数图象交于点，，与x轴交于点C，与轴交于点
(1)求反比例函数与一次函数的解析式；
(2)点M在x轴上，若，求点M的坐标．
平行四边形
知识点总结
性质： 对边平行且相等（例：若为平行四边形，则且）。
判定： 若四边形对角线互相平分，则为平行四边形。
特殊平行四边形： 矩形：一个角是直角的平行四边形； 菱形：一组邻边相等的平行四边形； 正方形：既是矩形又是菱形。
二、 典型例题与变式训练
1. 基础题
24．如图，在周长为的中，，、相交于点，交于，则的周长为（ ）
A． B．
C． D．
25．有下列说法：
①平行四边形具有四边形的所有性质；
②平行四边形是轴对称图形；
③平行四边形的任意一条对角线可把平行四边形分成两个全等的三角形；
④平行四边形的两条对角线把平行四边形分成4个面积相等的小三角形．
其中正确说法的序号是( )
A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④
2. 判定题
26．图给出了四边形的部分数据，若使得四边形为平行四边形，添加的条件可以是（ ）
A． B． C． D．
3. 综合题
27．如图，四边形对角线交于点，且为中点，．试判断四边形的形状，并说明理由．
几何证明
28．如图，四边形是平行四边形，平分，平分．求证：四边形是平行四边形．
29．如图，线段与相交于点，分别过点，作的垂线，垂足分别为，，且，，依次连接点A，B，C，D．求证：四边形为平行四边形．
30．已知（如图），在四边形中，过A作交于点E，过C作交于F，且．求证：四边形是平行四边形．
5. 综合运用
31．如图，在四边形中，E为上一点，F为的延长线上一点．
(1)求证：四边形为平行四边形；
(2)若为的中点，．求证：．
32．如图，将沿过点A的直线折叠，使点D落到边上的点处，折痕交边于点E，连接．
(1)证明四边形是平行四边形；
(2)若平分，求的度数．
33．如图，平行四边形中，于点E，于点F，连接和．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)已知，求四边形的面积．2025年华师版数学八年级下册
期中复习专项
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第16章 分式
1．使分式有意义，则应满足的条件是 ．
【答案】且
【知识点】分式有意义的条件
【分析】本题考查了分式有意义的条件，根据分母不等于解答即可求解，掌握分式有意义的条件是解题的关键．
【详解】解：要分式有意义，则且，
∴且，
故答案为：且．
2．函数中，自变量的取值范围是（ ）
A． B． C． 且 D．
【答案】C
【知识点】分式有意义的条件、二次根式有意义的条件
【分析】此题考查分式有意义的条件，二次根式被开方数的非负性，正确理解代数式的形式列式计算是解题的关键；
【详解】解：根据题意得：，，
解得：且，
故选：C
3．先化简，再求值：，在自己选择一个合适的数作为的值代入求值．
【答案】，取时，原式．
【知识点】分式有意义的条件、分式化简求值
【分析】本题考查了分式的化简求值，先对分式进行通分，因式分解，约分等化简，化成最简分式，然后取分式有意义的的值代入求解即可，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【详解】解：原式
，
∵且且，
∴取时，
原式．
4．从、、这三个分式中选择两个，添上乘法运算符号并进行计算，最后在、、、、中选择一个恰当的数代入求值．
【答案】见解析
【知识点】分式加减乘除混合运算、分式化简求值
【分析】本题考查了分式的化简求值，根据题意选择两个，添上乘法运算符号并进行计算，最后根据分式有意义的条件取舍，在、、、、中选择一个恰当的数，代入求值．
【详解】解：选择、
，
∵
当时，原式，
当时，原式；
选择、，
，
∵
当时，原式，
当时，原式，
当时，原式，
选择、，
，
∵
当时，原式，
当时，原式．
5．解下列分式方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)；
(2)分式方程无解．
【知识点】解分式方程
【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程是解题的关键．
（）先将分式方程两边同时乘以化为一元一次方程，再解一元一次方程，最后检验即可求解；
（）先将分式方程两边同时乘以化为一元一次方程，再解一元一次方程，最后检验即可求解；
【详解】（1）解：，
∴，
∴，
整理得：，
解得：，
检验：当时，，
∴是原分式方程的解．
（2）解：，
∴，
∴，
整理得：，
解得：，
检验：当时，，
∴是增根，即原分式方程无解．
6．已知关于的分式方程．
(1)若这个分式方程的解是，求的值；
(2)若分式方程的解是非负数，直接写出的取值范围．
【答案】(1)
(2)且
【知识点】解分式方程、根据分式方程解的情况求值、求一元一次不等式的解集
【分析】本题主要考查分式方程的解，熟练掌握解分式方程的方法是解题的关键．
（1）将代入方程中求解即可；
（2）先解分式方程，然后由方程的解是非负数列不等式求解即可，注意分式有意义的条件．
【详解】（1）解：∵这个分式方程的解是，
∴，
解得；
（2）解：去分母，得，
解方程，得，
∵分式方程的解是非负数，
∴且，
解得：且．
7．班级组织同学乘大巴车前往“研学旅行”基地开展爱国教育活动，基地离学校有90千米，出发后第一小时内按原计划的速度匀速行驶，一小时后以原来速度的1.5倍匀速行驶，并比原计划提前到达基地，请问大巴车原计划的行驶速度是多少？
【答案】
【知识点】分式方程的行程问题
【分析】本题考查了分式方程的应用，设原计划的行驶速度为，则提速后的速度为，根据比原计划提前到达基地列分式方程求解即可．
【详解】解：设原计划的行驶速度为，则提速后的速度为，
依题意，得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
答：大巴车原计划的行驶速度是．
8．随着科技与经济的发展，机器人自动化线的市场越来越大，并且逐渐成为自动化生产线的主要方式；某化工厂要在规定时间内搬运4800千克化工原料，现有A，B两种机器人可供选择，已知A型机器人每小时完成的工作量是B型机器人的1.5倍，A型机器人单独完成所需的时间比B型机器人少10小时．求两种机器人每小时分别搬运多少千克化工原料？
【答案】A型机器人每小时搬运240千克化工原料，B型机器人每小时搬运160千克化工原料
【知识点】分式方程的工程问题
【分析】题目主要考查分式方程的应用，理解题意列出方程是解题关键．
设B型机器人每小时搬运x千克化工原料，则A型机器人每小时搬运千克化工原料．根据A型机器人单独完成所需的时间比B型机器人少10小时建立方程求解．
【详解】解：设B型机器人每小时搬运x千克化工原料，则A型机器人每小时搬运千克化工原料．
根据题意，得：
解之得：
检验：当时，，且符合试题题意；
所以，原分式方程的解为，
所以，(千克)，
答：A型机器人每小时搬运240千克化工原料，B型机器人每小时搬运160千克化工原料．
9．为迎接“女神节”，某厂家特地推出，两种礼盒，已知礼盒的单价比礼盒的单价少20元，花2700元进购礼盒的数量是花1020元进购礼盒数量的3倍．
(1)求，两种礼盒的单价；
(2)某商店将采购的礼盒加价出售，礼盒提价30元出售，第一天，礼盒的总销售额就达到2800元，其中礼盒比礼盒多5套，求当天售出的、礼盒的数量各为多少？
【答案】(1)礼盒的单价为元，礼盒的单价为元
(2)礼盒售出套，礼盒售出套
【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用)、分式方程的经济问题
【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用以及分式方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键．
（1）设礼盒的单价为元，根据“礼盒的单价比礼盒的单价少20元，花2700元进购礼盒的数量是花1020元进购礼盒数量的3倍”列分式方程，求解并检验，即可获得答案；
（2）设礼盒售出套，根据题意列一元一次方程并求解，即可获得答案．
【详解】（1）解：设礼盒的单价为元，列方程为：
，
解得：，
经检验：是原方程的解，
∴礼盒的单价为元，
答：礼盒的单价为元，礼盒的单价为元；
（2）解：设礼盒售出套，则礼盒售出套，列方程得：
，
解得：，
∴礼盒的售出套，
答：礼盒售出套，礼盒售出套．
第17章 函数及其图像
10．函数的自变量的取值范围是 ．
【答案】且
【知识点】分式有意义的条件、二次根式有意义的条件、求自变量的取值范围
【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，根据被开方数是非负数且分母不等于零，可得答案，利用被开方数是非负数且分母不等于零得出不等式是解题关键．
【详解】解：由题意，得且，
解得且，
∴自变量的取值范围是且，
故答案为：且．
11．函数，对于自变量取的每一个值，因变量的对应值称为函数值，记作：，已知，则 ．
【答案】
【知识点】求自变量的值或函数值、函数解析式
【分析】本题考查待定系数法求解析式，求函数值，读懂题意是解题的关键．由可求得的值，从而得到，进而即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：
12．求下列函数中自变量的取值范围．
(1)
(2)；
(3)．
【答案】(1)全体实数
(2)
(3)
【知识点】求自变量的取值范围
【分析】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为0是解题的关键．
（1）根据一次函数的自变量为一切实数解答；
（2）根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式即可；
（3）根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式，解不等式即可．
【详解】（1）解：中，自变量的取值范围是全体实数；
（2）由题意得：，，
解得：；
（3）由题意得：，
解得：．
13．已知点在第三象限，到轴距离为3，且横坐标与纵坐标的差为1，则点的坐标为 ．
【答案】
【知识点】求点到坐标轴的距离、已知点所在的象限求参数
【分析】本题主要考查了点的坐标的几何意义，根据点的坐标的几何意义及第三象限点的坐标特点解答即可，横坐标的绝对值就是到轴的距离， 纵坐标的绝对值就是到轴的距离 ．
【详解】解：点到轴距离为3，
点的横坐标是，
第三象限内的点横坐标小于 0 ，
点的横坐标是．
横坐标与纵坐标的差为1，
纵坐标为，
点的坐标为，
故答案为：．
14．已知点在第四象限，分别根据下列条件求点的坐标．
(1)点到轴的距离为3；
(2)点的坐标为，且直线与轴平行．
【答案】(1)点的坐标为
(2)点的坐标为
【知识点】求点到坐标轴的距离、已知点所在的象限求参数
【分析】本题考查了点的坐标特征，熟练掌握点到坐标轴的距离和平行于轴的直线上的点的坐标特征是解题的关键．
（1）根据点到轴的距离为3，且点在第四象限，得出，即可求解；
（2）根据平行于轴的直线上的点的坐标特征，得出点和点的横坐标相同，得出，即可求解．
【详解】（1）解：点在第四象限，
，
又点到轴的距离为3，
，
解得：，
，
点的坐标为．
（2）解：直线与轴平行，
点和点的横坐标相同，
又，，
，
解得：，
，
点的坐标为．
15．两个一次函数与 ，它们在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】判断一次函数的图象
【分析】本题考查了一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质是解题的关键；
观察题中所给选项，根据图象逐项判断m、n的正负，如果通过两个一次函数图象所判断的m、n的正负一致，即为正确选项；
【详解】解：A、由的图象可知，，即；由的图象可知，，，两结论相矛盾，故本选项错误，不符合题意；
B、由的图象可知，，即；由的图象可知，，，两结论一致，故本选项正确，符合题意；
C、由的图象可知，，即；由的图象可知，，，两结论相矛盾，故本选项错误，不符合题意；
D、由的图象可知，，即；由的图象可知，，，两结论相矛盾，故本选项错误，不符合题意；
故选：B．
16．表示一次函数与正比例函数（m、n是常数且）图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】正比例函数的图象、根据一次函数解析式判断其经过的象限、已知函数经过的象限求参数范围
【分析】本题考查一次函数和正比例函数的图象．根据函数的图象经过的象限得到m，n，的取值范围，逐一判断即得．
【详解】图中的图象过原点，另一条直线是的图象，
A．由函数的图象可得，由函数的图象可得，A正确；
B．由函数的图象可得，，由函数的图象可得，产生矛盾，B错误；
C．由函数的图象可得，，由函数的图象可得，产生矛盾，C错误；
D．由函数的图象可得，，由函数的图象可得，产生矛盾，D错误．
故选：A．
17．已知关于的一次函数的图象经过第一、二、四象限，则代数式可化简为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】化简绝对值、已知函数经过的象限求参数范围
【分析】本题主要考查了一次函数的性质，明确题意、利用一次函数的性质得到m的取值范围是解题的关键．
根据一次函数的图象经过第一、二、四象限，可以得到m的取值范围，然后取绝对值后计算即可．
【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、二、四象限，
∴，解得：，
∴．
故答案为：5．
18．如图，在平面直角坐标系中，直线：与直线交于点，与轴、轴分别交于、两点，已知点坐标为．
(1)求直线的解析式；
(2)若点在线段上，且满足，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)点D的坐标为
【知识点】求一次函数解析式、求直线围成的图形面积
【分析】本题考查了一次函数的图象性质、两条直线相交问题，掌握待定系数法求一次函数解析式是解题的关键．
（1）先求出C的坐标，然后根据待定系数法求一次函数解析式即可；
（2）先求出点A的坐标，然后根据得到，求出，代入一次函数解析式即可解题．
【详解】（1）解：把代入,得，
∴点，
设直线的解析式为，把，代入得：
，解得，
∴直线的解析式为；
（2）解：令，则，解得，
∴点A的坐标为，
又∵，
∴，即，
解得或，
又∵点D在线段上，
∴，
代入得，解得，
∴点D的坐标为．
19．某乐队举行专场音乐会，为学校师生提供了两种优惠方案，教师票每张100元，学生票每张50元．方案一：购买一张教师票赠送1张学生票；方案二：按总价的付款．新星学校有4名教师与名学生购票听音乐会，若付款总金额为（元）．
(1)分别写出两种方案中与的函数关系式；
(2)至少有多少名学生参加时，选择方案二的购票方案比方案一便宜？
【答案】(1)方案一中与的函数关系式为，方案二中与的函数关系式为
(2)至少有13名学生参加时，选择方案二的购票方案比方案一便宜
【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、分配方案问题(一次函数的实际应用)
【分析】本题考查了一次函数的应用、一元一次不等式的应用，正确理解两种优惠方案是解题关键．
（1）方案一：根据付款总金额4名教师的费用名学生的费用即可得；方案二：根据付款总金额（4名教师的费用名学生的费用）即可得；
（2）结合（1）的答案，根据选择方案二的购票方案比方案一便宜建立一元一次不等式，解不等式求出的最小正整数解即可得．
【详解】（1）解：由题意得：方案一：，
方案二：，
答：方案一中与的函数关系式为，方案二中与的函数关系式为．
（2）解：由题意得：，
解得，
∵为正整数，
∴的最小值为13，
答：至少有13名学生参加时，选择方案二的购票方案比方案一便宜．
20．《哪吒2魔童闹海》票房大卖，周边玩偶热销．小洋在网上开设相关周边专卖店，一次，小洋发现一张进货单上的一个信息是：A款哪吒玩偶的进货单价比B款哪吒玩偶少5元，花500元购进A款哪吒玩偶的数量与花750元购进B款哪吒玩偶的数量相同．
(1)问： A、B两款的进货单价分别是多少元？
(2)小洋决定将A款玩偶的销售单价定为12元，将B款玩偶的销售单价定为20元，小洋打算要花费1000元购进A、B两款玩偶若干个，且A款的数量不小于B款的一半，请你根据计算说明，当A、B两款各购进多少时，小洋获得的总利润最高，最高为多少？
【答案】(1)A款的进货单价是10元，则B款的进货单价是15元
(2)购进A款25个，购进B款50个时，获得的总利润最高，最高为300元
【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、最大利润问题(一次函数的实际应用)、分式方程的其它实际问题
【分析】本题考查分式方程的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的应用，理解题意是解答的关键．
（1）设A款的进货单价是元，则B款的进货单价是元，根据题意列分式方程求解即可；
（2）设购进B款个，先根据“A款的数量不小于B款的一半”求得；再设总利润为，则，然后利用一次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：设A款的进货单价是元，则B款的进货单价是元，
根据题意，可得，
解得，
经检验，是该方程的解，
∴，
答：A款的进货单价是10元，则B款的进货单价是15元；
（2）解：设购进B款个，则购进A款个，
又A款的数量不小于B款的一半，
，
解得：，
设总利润为，则，
，
∴随的增大而增大，
当取得最大整数解50时，取得最大值，最大值为，
此时，则，
答：购进A款25个，购进B款50个时，获得的总利润最高，最高为300元．
21．寒假期间，小丽一家驾车去某地旅游，早上点出发，以80千米/小时的速度匀速行驶一段时间后，途经一个服务区休息了1小时，再次出发时提高了车速．如图，这是她们离目的地的路程（千米）与所用时间（小时）的函数图像．根据图像提供的信息回答下列问题：
(1)图中的_____________，_____________；
(2)求提速后y关于x的函数解析式（不用写出定义域）；
(3)她们能否在中午12∶15之前到达目的地？请说明理由．
【答案】(1)；；
(2)提速后y关于x的函数解析式为．
(3)能．理由见解析
【知识点】从函数的图象获取信息、行程问题(一次函数的实际应用)
【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，从函数图像上获取信息是解题的关键．
（1）根据图象求出a的值，根据“离目的地的路程=家与目的地之间的距离-行驶的路程”可计算b的数值；
（2）利用待定系数法求解即可；
（3）当时求出对应x的值，计算出到达目的地的时间，从而作出判断即可．
【详解】（1）解：由题意可得：，
．
（2）设提速后y关于x的函数解析式为（k、b为常数，且k≠0）．
将坐标和代入，
得 ，
解得 ，
∴提速后y关于x的函数解析式为．
（3）能．理由如下：
当她们到达目的地时，， 得，
解得，
小时6时12分，
∴她们于12：12分到达目的地．
22．如图，在平面直角坐标系中，--次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，与x轴交于点C，与y轴交于点，已知点，点A的坐标为．
(1)①直线的解析式为__________；
②反比例函数的解析式__________．
(2)根据图象写出：当x满足__________时，．
(3)在y轴上是否存在点E，使的面积为12．若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)①②
(2)或
(3)E的坐标为或
【知识点】一次函数与反比例函数的其他综合应用、一次函数与反比例函数的交点问题、求反比例函数解析式、求一次函数解析式
【分析】（1）①把，分别代入解析式，再利用待定系数法求解即可．②把代入解析式，确定A的坐标，再代入求解即可．
（2）直接利用函数图象解题即可；
（3）设，则，根据题意，得到，计算即可．
【详解】（1）解：①把，分别代入解析式得：
，
解得，
∴直线的解析式为．
②∵点A的坐标为，直线的解析式为，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∴反比例函数为：；
（2）解：∵，，
由图象可得：当x满足或时，
（3）解：∵直线的解析式为．
当时，则，
∴，
设，
∵，，，
∴，
∴，
解得，
∴E的坐标为或．
【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，线段坐标的转化，三角形面积的分割法表示，利用函数图象解不等式，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
23．如图，一次函数图象与反比例函数图象交于点，，与x轴交于点C，与轴交于点
(1)求反比例函数与一次函数的解析式；
(2)点M在x轴上，若，求点M的坐标．
【答案】(1)，
(2)或
【知识点】求一次函数解析式、求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的其他综合应用
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数和反比例函数，一次函数与三角形面积问题，熟练求出是解题的关键．
（1）设反比例函数解析式为，将代入，根据待定系数法，即可得到反比例函数解析式，将代入求得的反比例函数，解得a的值，得到B点坐标，最后根据待定系数法即可求出一次函数解析式；
（2）求出点C的坐标，根据求出，分两种情况：M在O点左侧；M点在O点右侧，根据三角形面积公式即可解答．
【详解】（1）解：设反比例函数解析式为，
将代入，可得，解得，
反比例函数的解析式为，
把代入，可得，
解得，
，
设一次函数的解析式为，
将，代入，
可得，
解得，
一次函数的解析式为；
（2）解：当时，可得，
解得，
，
，
，
，
，
，
M在O点左侧时，；
M点在O点右侧时，，
综上，M点的坐标为或．
第18章 平行四边形
24．如图，在周长为的中，，、相交于点，交于，则的周长为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】利用平行四边形的性质求解、线段垂直平分线的性质
【分析】本题考查了平行四边形的性质，线段垂直平分线的性质，掌握知识点的应用是解题的关键．
由四边形是平行四边形，则，从而得出垂直平分，故有，所以的周长为，再由为即可求解．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴的周长
，
∵为，
∴，
∴的周长为，
故选：．
25．有下列说法：
①平行四边形具有四边形的所有性质；
②平行四边形是轴对称图形；
③平行四边形的任意一条对角线可把平行四边形分成两个全等的三角形；
④平行四边形的两条对角线把平行四边形分成4个面积相等的小三角形．
其中正确说法的序号是( )
A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④
【答案】C
【知识点】平行四边形性质的其他应用
【分析】本题考查平行四边形的性质，根据平行四边形的性质逐个判断即可得到答案；
【详解】解：由题意可得，
平行四边形具有四边形的所有性质，故①正确，
平行四边形不是轴对称图形，故②错误，
平行四边形的任意一条对角线可把平行四边形分成两个全等的三角形，故③正确，
平行四边形的两条对角线把平行四边形分成4个面积相等的小三角形，故④正确，
故选：C．
26．图给出了四边形的部分数据，若使得四边形为平行四边形，添加的条件可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】内错角相等两直线平行、添一个条件成为平行四边形
【分析】本题考查了平行四边形的判定、平行线的判定．根据平行四边形的判定定理添加条件即可求解．
【详解】解：∵在四边形中，，
∴，
∴根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形的判定，可添加的条件是：．
故选：D．
27．如图，四边形对角线交于点，且为中点，．试判断四边形的形状，并说明理由．
【答案】四边形是平行四边形，理由见详解
【知识点】全等三角形综合问题、证明四边形是平行四边形
【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键．
根据题意证明得到，根据对角线相互平分的四边形是平行四边形即可求证．
【详解】解：四边形是平行四边形，理由如下，
∵，
∴，
∵点为中点，
∴，
∵，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，且，
∴四边形是平行四边形．
28．如图，四边形是平行四边形，平分，平分．求证：四边形是平行四边形．
【答案】见解析
【知识点】利用平行四边形性质和判定证明、证明四边形是平行四边形
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质．由四边形是平行四边形，可得，，又由平分，平分，可证得，即可证得，则可判定四边形是平行四边形．
【详解】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵平分，平分，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形．
29．如图，线段与相交于点，分别过点，作的垂线，垂足分别为，，且，，依次连接点A，B，C，D．求证：四边形为平行四边形．
【答案】见解析
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、证明四边形是平行四边形
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定．熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．先用证明得，．再根据得出，即可由平行四边形的判定定理得出结论．
【详解】证明：，，
．
在与中，，
．
，．
又，
．
．
又，
四边形是平行四边形．
30．已知（如图），在四边形中，过A作交于点E，过C作交于F，且．求证：四边形是平行四边形．
【答案】见解析
【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、证明四边形是平行四边形
【分析】本题考查了平行四边形的判定，平行线的性质，全等三角形的性质和判定等知识点的应用，关键是推出，主要考查学生运用性质进行推理的能力．
由垂直得到，然后可证明，得到，然后证明，再根据平行四边形的判定判断即可．
【详解】证明：∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形．
31．如图，在四边形中，E为上一点，F为的延长线上一点．
(1)求证：四边形为平行四边形；
(2)若为的中点，．求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【知识点】全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定、利用平行四边形性质和判定证明
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定,等腰三角形的性质.
（1）先证明，进而利用证明，进而可得，进而证明，进而可得，由一组对边平行而且相等的四边形是平行四边形即可得出结论；
（2）延长交于点，作于点，根据中点+平行模型证明，再由三线合一证明，由平行四边形的判定和性质证明得到，据此可得答案．
【详解】（1）证明：，
，即．
又，
，
．
，
，
，
．
，
四边形为平行四边形；
（2）延长交于点，作于点，
四边形为平行四边形，
，
．
为的中点，，
，
．
，
，
，
，
，
∴四边形为平行四边形，
，
，
．
，
∴
．
32．如图，将沿过点A的直线折叠，使点D落到边上的点处，折痕交边于点E，连接．
(1)证明四边形是平行四边形；
(2)若平分，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【知识点】角平分线的有关计算、利用平行四边形性质和判定证明、折叠问题
【分析】此题主要考查了平行四边形的判定与性质、折叠的性质、平行线的性质、角平分线等知识，得出四边形是平行四边形是解题关键．
（1）利用翻折变换的性质以及平行线的性质得出，进而利用平行四边形的判定方法得出四边形是平行四边形，进而求出四边形是平行四边形；
（2）先由角平分线的定义得，再由平行线的性质得，进而得，再根据三角形内角和定理可得结论．
【详解】（1）证明：∵将沿过点A的直线折叠，使点D落到边上的点处，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
33．如图，平行四边形中，于点E，于点F，连接和．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)已知，求四边形的面积．
【答案】(1)证明见解析
(2)6
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、利用平行四边形性质和判定证明
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，勾股定理，
对于（1），根据平行四边形的性质得，进而得出，再根据“角角边”证明，可得，即可得出结论；
对于（2），由（1）可知可求，再根据勾股定理求出，即可得出答案．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴．
∵，
∴
∴，，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵，
∴．
∵，
∴，则．
在中，根据勾股定理，
∴．
试卷第30页，共30页
试卷第19页，共30页
