清华大学附属中学2023-2024学年高二（下）期中数学试卷（PDF版，含答案）

2024北京清华附中高二（下）期中
数 学
（清华附中高 22 级） 2024.4
第一部分（选择题 共 40 分）
一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目
要求的一项.
1
1.设集合 A = {(x, y) | y = x}， B = (x, y) y = ，则集合 A B 的元素的个数为（ ）
x
A.0 B.1 C.2 D.3
2.已知数列 an 是公差为 d 的等差数列，其前 n项和为 Sn ，若 S5 = 5a1 + 20 ，则 d 等于（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
3.在复平面内，复数 z 对应的点坐标为 (1, 2) ，则复数 z 等于（ ）
A.1+ 2i B.1 2i C. 2 + i D. 2 i
n n
4.设 (1+ x) = a0 + a1x + + an x (n N* )，若a1 = a5 ，则n的值为（ ）
A.4 B.6 C.7 D.8
2 2
5.已知圆O : x + y = 5，直线 l 经过点 (1, 2) ，且 l 与圆O 相切，则 l 的方程为（ ）
A. x + 2y 5 = 0 B. x 2y + 3 = 0 C. 2x y = 0 D. 2x + y 4 = 0
x
6.若 x ,1 ， a = 2 ，b = sin x，c = x，则a，b ， c的大小关系为（ ）
6
A. c a b B. c b a C.b a c D.b c a
2
7.已知抛物线C : y = 2 px( p 0)的焦点为 F ，准线为直线 l ，横坐标为 3 的点 P 在抛物线C 上，过点
P 作 l 的垂线，垂足为Q ，若 | FQ |=| PQ |，则 P 等于（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
8.已知△ABC 的外接圆的半径为 1， AB = BC ，则 AB BC 的最大值为（ ）
1 1 1
A. B. C. D.1
4 4 2
* a
9.已知 a 是公比为 q(q 1)n 的等比数列.则“ n N ， S
1
n 恒成立”是“ a1是 an 的一个最
1 q
值”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.即不充分也不必要条件
4
10.已知曲线C : x + 4y
4 + mx2 y2 = 4，点 P (x0 , y0 )在曲线C 上，给出下列四个结论：
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①曲线C 关于直线 y = x 对称：
②当m = 4时，点 P 不在直线 x 2y = 0上：
2
③当m = 4时， x ； 0 y0
2
④当m = 0时，曲线C 所围成的区域的面积大于 2 2 .
其中所有正确结论的有（ ）
A.②③④ B.①②③ C.①② D.③④
第二部分（非选择题 共 110 分）
二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分.
11.在正方体 ABCD A1B1C1D1中，直线 BD1与平面 ABCD所成的角的正弦值为______.
x2 y2 1
12.已知双曲线C : =1，其焦点到渐近线的距离是其焦距的 倍，则双曲线C 的离心率为______.
a2 b2 4

13.已知函数 f (x) = sin x + ，若 x1 ， x2 [0, ]，使得 f (x1 ) f (x2 ) = 1，则正数 的最小值为
6
______.
x
2 2ax , x a
14.设a 0，函数 f (x) =
log2 x, x a
①若 f (2) = 4，则a = ______；
②若函数 y = f (x) 2 有且仅有两个零点，则a的取值范围为______.
15. AI训练师是一种新型的工作，通过向AI提问，能让AI软件更加准确地回答问题. AI训练师需要和数
据标注员紧密协作，把控好整个流程的输入规则和输出结果，最终输出标注准确的数据.通过AI训练师每
次提问后，AI软件回答问题的正确率可能发生变化.某AI软件初始回答问题的正确率记为 p0 ，设第n次
训练后，可将该软件回答问题的正确率从 pn 1 改变为 pn ，其中 pn = pn 1 (1 n ) + n (1 pn 1 )，
0 n 1，0 n 1， n = 1， 2 ，3，…，给出下列四个结论：
4 * 4 1
①当 p ，若 n N0 ， AIn = ， n = 时，该 软件无法通过训练提高正确率；
5 5 5
1
②若 1 = 1， AI1 = 时，该 软件经过第一次训练提高了正确率：
5
3 * 1
③当 P0 = ，若 n N ， n = ， = 0时，该Aln 软件经过 5 次训练后，正确率高于99%：
4 2
1 3 * 1
④当 p ，若 n N ， = AI 87.5%0 n n 时，该 软件无论怎么训练，正确率都不高于 .
2 4 4
其中，所有正确结论的序号是______.
三、解答题共 6 小题，共 85 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
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（16）（本小题 13 分）
3
在△ABC 中， cos + B + cos B = .
6 6 2
（I）求 B的值；
（II）以下三个条件中仅有两个正确，请选出正确的条件，并求 sin A ：
2 2 2
条件①： a b + c 2c = 0；
条件②： a = 3；
15 3
条件③：△ABC 的面积为 .
4
注：如果选择的条件不符合要求，第（II）问得 0 分.
（17）（本小题 13 分）
如图，在四棱锥 P ABCD 中， AB//CD ， BC ⊥ CD ， BD = BP ，△PCD和△ABD 都是等边三角
形，且 AB = 2CD = 4 .
（I）求证： BC ⊥平面 PCD；
（II）求平面 PAB与平面 PCD所成角的余弦值.
（18）（本小题 14 分）
为了解某地区居民每户月均用电情况，采用随机抽样的方式，从该地区随机调查了 100 户居民，获得了他
们每户月均用电量的数据，发现每户月均用电量都在50 ~ 350kW h 之间，进行适当分组后（每组为左闭
右开区间），得到如下频率分布直方图：
（I）记频率分布直方图中从左到右的分组依次为第 1 组，第 2 组，…，第 6 组.从样本中第 1 组和第 2 组
中，任取 2 户，求他们月均用电量都不低于100kW h 的概率；
（II）从该地区全体居民中随机抽取 3 户，设月均用电量在50 ~ 200kW h之间的用户数为 X ，以样本的
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频率估计总体的概率，求 X 的分布列和数学期望 E(X ) ；
（III）用图中数据估计该地区全体用户的月均用电量.有人估计该地区全体用户的月均用电量低于
159kW h .请分析这一估计是否正确，说明理由.
（19）（本小题 15 分）
x2 y2
已知椭圆C : + =1(a b 0) 过点 P(0, 3) ，点 F 是椭圆C 的右焦点，且 | PF |= 2 .过点 F 作两
a2 b2
条互相垂直的弦 AB ，CD .
（I）求椭圆C 的方程；
（II）若直线 AB ，CD的斜率都存在，设线段 AB ，CD的中点分别为M ， N .求点 F 到直线MN 的距
离的最大值.
（20）（本小题 15 分）
x +1 1 2
已知函数 f (x) = + ax ，其中 a 0 .
ex 2
（I）判断曲线 f (x) 在 x = 0处切线是否与 x 轴平行；
（II）求 f (x) 的单调区间；
x t
（III）若 f (x) 有两个极值点，设极大值点为 x ，且 f (t) = 00 ，判断 e
0 与 2 的大小关系，并说明理由.
（21）（本小题 15 分）
已知整数 n 2，集合 X = {1,2, , 2n}， A = a ,a , ,a A B = X1 2 n ， B = b1 ,b2 , ,bn ，满足 ，
n
对任意的1 i j n ，都有 ai a j 且bi b j .记d (A, B) = ai bi .
i=1
（I）若 n = 2 ，写出两组满足条件的集合 A ， B 并写出相应的 d (A, B) ；
（II）证明： (a1 n)(b1 n) 0 ；
（III）求 d (A, B) 的所有可能取值.
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