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浙教版2024-2025学年七年级下数学第1-4章综合培优测试卷
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．下列方程中，是二元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．计算的正确结果是（ ）
A． B． C． D．
3．下列算式能用平方差公式计算的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，点E在的延长线上，下列条件中能判断的是（ ）
A． B．
C． D．
（第4题） （第7题） （第10题）
5．下列从左到右的变形，是分解因式的是（ ）
A． B．
C． D．
6．若关于x、y的方程的一组解是，则a的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
7．如图，两个完全一样的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点到点的方向平移到的位置，，，平移距离为6，则阴影部分面积为（ ）
A．60 B．96 C．84 D．42
8．已知关于x，y的方程组，给出下列说法：
①当时，方程组的解也是的解；
②若，则；
③无论a取何值，x，y的值不可能互为相反数；
④x，y都为自然数的解有5对．
以上说法中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．已知，则代数式的值为（ ）
A．30 B．36 C．42 D．48
10．如图，在长方形中放入一个大正方形和两个大小相同的小正方形及，其中在边上，与在同一条直线上且，延长交于点K，三个阴影部分的面积分别记为，，，已知长方形的面积，则下列式子可计算出的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．已知二元一次方程，用含x的代数式表示y，则 ．
12．分解因式：3x2-6x= .
13．已知，则的值为 ．
14．有12个正整数，它们中最大的数为a，对于任意一个整数都等于这12个数中的某一个数或一部分数之和，则a的最小值为 ．
15．如图，点E，F为长方形边上两点，为锐角，将长方形沿翻折，点A，B分别落在，处，交边于点G，若图中所有钝角中最大的度数为，则的度数为 °．
（第15题） （第16题）
16．如图，有两个正方形，，现将放在的内部如图甲，将，并排放置后构造新的正方形如图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为和，则正方形与的面积之和为 ．
三、解答题（本题有8小题，第17～21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共72分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．解下列方程：
（1）； （2）．
18．因式分解：
（1）； （2）．
19．（1）先化简，再求值：，其中．
（2）已知，，求的值．
20．如图，点，分别在的边，点在线段上，且，EF∥AB．
（1）求证：；
（2）若平分，，求．
21．根据以下素材，探索完成任务．
背景 为了迎接2023杭州亚运会，某班级开展知识竞赛活动，去咖啡店购买A、B两种款式的咖啡作为奖品．
素材1 若买10杯A款咖啡，15杯B款咖啡需230元；若买25杯A型咖啡，25杯B型咖啡需450元．
素材2 为了满足市场的需求，咖啡店推出每杯2元的加料服务，顾客在选完款式后可以自主选择加料或者不加料．小华恰好用了208元购买A、B两款咖啡，其中A款不加料的杯数是总杯数的．
问题解决
任务1 问A款咖啡和B款咖啡的销售单价各是多少元？
任务2 在不加料的情况下，购买A、B两种款式的咖啡（两种都要），刚好花200元，问有几种购买方案？
任务3 求小华购买的这两款咖啡，其中B型加料的咖啡买了多少杯（直接写出答案）？
22．已知，点E在上，点F在上，点G为射线上一点．
（1）（基础问题）如图1，试说明：．（完成图中的填空部分）
证明：过点G作直线，
又，
，（ ）
∴ ， （ ）
，
．
（2）（类比探究）如图2，当点G在线段延长线上时，请写出、、三者之间的数量关系并说明理由．
（3）（应用拓展）如图3，平分，交于点H，且，，，求的度数．
23．如图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
（1）观察图2．请你直接写出下列三个代数式，，之间的等量关系为 ；
（2）运用你所得到的公式解答下列问题：
①若，为实数，且，，求的值．
②如图3，，，分别表示边长为，的正方形的面积，且，，三点在一条直线上，若，，求图中阴影部分的面积．
24．我们规定：对于数对，如果满足，那么就称数对是“和积等数对”：如果满足，那么就称数对是“差积等数对”，例如，．所以数对为“和积等数对”，数对为“差积等数对”．
（1）下列数对中，“和积等数对”的是 ；“差积等数对”的是 ．
①，②，③．
（2）若数对是“差积等数对”，求的值．
（3）是否存在非零有理数，，使数对是“和积等数对”，同时数对也是“差积等数对”，若存在，求出，的值，若不存在，说明理由．
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浙教版2024-2025学年七年级下数学第1-4章综合培优测试卷
解析版
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．下列方程中，是二元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】A、该方程符合二元一次方程的定义，此选项符合题意；
B、该式子不是等式，不符合二元一次方程的定义，此选项不符合题意；
C、该方程中含有未知数的项的最高次数是2，不符合二元一次方程的定义，此选项不符合题意；
D、该方程不是整式方程，此选项不符合题意；
故答案为：A．
2．计算的正确结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】．
故答案为：B．
3．下列算式能用平方差公式计算的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为表示两个数的和乘以两个数的和，
不符合平方差公式表示两个数的和乘以两个数的差，
故A不符合题意；
因为表示两个数的差乘以两个数的差，
不符合平方差公式表示两个数的和乘以两个数的差，
故B不符合题意；
因为表示两个数的差乘以两个数的和，
符合平方差公式的条件，
故C符合题意；
因为表示两个数的和乘以两个数的相反数的和，
不符合平方差公式表示两个数的和乘以两个数的差，
故D不符合题意；
故答案为：C．
4．如图，点E在的延长线上，下列条件中能判断的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为，所以，则A不符合题意；
因为，所以，则B符合题意；
因为，所以，则C不符合题意；
因为，所以，则D不符合题意．
故答案为：B．
5．下列从左到右的变形，是分解因式的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由题意可得，
，不是因式分解，故A不符合题意，
，不是因式分解，故B不符合题意，
，不是因式分解，故C不符合题意，
，是因式分解，故D符合题意，
故答案为：D．
6．若关于x、y的方程的一组解是，则a的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【解析】
的一组解是
，
，解得
，
故答案为：D．
7．如图，两个完全一样的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点到点的方向平移到的位置，，，平移距离为6，则阴影部分面积为（ ）
A．60 B．96 C．84 D．42
【答案】A
【解析】由题意可得，，梯形是直角梯形，
∴．
∵，，
∴，
∵平移距离为6，
∴，
∴．
故答案为：A．
8．已知关于x，y的方程组，给出下列说法：
①当时，方程组的解也是的解；
②若，则；
③无论a取何值，x，y的值不可能互为相反数；
④x，y都为自然数的解有5对．
以上说法中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】
①当时，原方程组可化为，
解得，
将、代入也成立，
∴当时，方程组的解也是的解，①正确；
②由题意得，
⑤+⑥得2x+y=6+3a，
∴6+3a=3，
解得a=-1，②正确；
③由题意得x+2y=6-3a，2x+y=6+3a，
∴x+y=4，
∴无论a取何值，x，y的值不可能互为相反数，③正确；
④∵x+y=4，
∴x，y都为自然数的解为，
∴x，y都为自然数的解有5对，④正确；
∴正确的个数为4，
故答案为：D
9．已知，则代数式的值为（ ）
A．30 B．36 C．42 D．48
【答案】B
【解析】
，
故答案为：B．
【分析】根据平方差公式进行因式分解，然后整体代入计算解题．
10．如图，在长方形中放入一个大正方形和两个大小相同的小正方形及，其中在边上，与在同一条直线上且，延长交于点K，三个阴影部分的面积分别记为，，，已知长方形的面积，则下列式子可计算出的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图，延长交于点，
两个大小相同的小正方形及，
，
，
即，
四边形的面积等于，
同理可得，
，
四边形的面积等于，
，
，
即，
，
，
四边形为正方形，两个大小相同的小正方形及，
，，
，
即，
正方形的面积为4，
长方形的面积已知，
已知，
故答案为：D．
二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．已知二元一次方程，用含x的代数式表示y，则 ．
【答案】
【解析】∵，∴，
∴，
故答案为：．
12．分解因式：3x2-6x= .
【答案】3x（x-2）
【解析】3x2-6x=3x（x-2）.
故答案为：3x（x-2）.
【分析】观察多项式可知每一项都有公因式3x，所以可用提公因式法分解因式.
13．已知，则的值为 ．
【答案】50
【解析】
故答案为： 50.
14．有12个正整数，它们中最大的数为a，对于任意一个整数都等于这12个数中的某一个数或一部分数之和，则a的最小值为 ．
【答案】1024
【解析】由于任意一个整数等于这12个数中某一个数或一部分数之和，
12个数中一定有1，2，，故没有3，一定有4，
由此往下可知：，，，一定有8，
整数中有1，2，4，8，
，，，，，，
下一个数为16，
由此我们可以发现1，2，4，8，可以相加为1至15中的数值，
下一个为，
1，2，4，8，32中可以相加为1至31中的数值，
下一个为，
递推得：这十二个数中必有1，2，4，8，32，64，128，256，512，1024，
到1024截止，
，
1，2，4，8，32，64，128，256，512可以相加为1至1023中的任意值，
，满足
a的最小值为1024，
故答案为：1024．
15．如图，点E，F为长方形边上两点，为锐角，将长方形沿翻折，点A，B分别落在，处，交边于点G，若图中所有钝角中最大的度数为，则的度数为 °．
【答案】或
【解析】如图，延长至，
四边形为长方形，
，，
由折叠可知：，
，
即，
由图可知，图中的钝角一共有3个为，
当时，
，
当时，
，
，
，
，
，
，即，
，
故答案为：或．
16．如图，有两个正方形，，现将放在的内部如图甲，将，并排放置后构造新的正方形如图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为和，则正方形与的面积之和为 ．
【答案】
【解析】设A、B正方形的面积分别为，则边长分别为a、b，
由图甲得：，
由图乙得：，
即：，
∴．
故答案为：．
三、解答题（本题有8小题，第17～21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共72分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．解下列方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：，
把①代入②，得，
解得，
把代入①，得，
所以方程组的解是
（2）解：，
，得，
，得，
解得，
把代入①，得，
所以方程组的解是
18．因式分解：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
（2）解：
19．（1）先化简，再求值：，其中．
（2）已知，，求的值．
【答案】解：（1）
当时；原式；
（2）
当、时，原式
20．如图，点，分别在的边，点在线段上，且，EF∥AB．
（1）求证：；
（2）若平分，，求．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴
∴，
（2）解：∵平分，
∴，
由（1）知，
∴，
∵，，
∴，
∴，
又∵，
∴．
21．根据以下素材，探索完成任务．
背景 为了迎接2023杭州亚运会，某班级开展知识竞赛活动，去咖啡店购买A、B两种款式的咖啡作为奖品．
素材1 若买10杯A款咖啡，15杯B款咖啡需230元；若买25杯A型咖啡，25杯B型咖啡需450元．
素材2 为了满足市场的需求，咖啡店推出每杯2元的加料服务，顾客在选完款式后可以自主选择加料或者不加料．小华恰好用了208元购买A、B两款咖啡，其中A款不加料的杯数是总杯数的．
问题解决
任务1 问A款咖啡和B款咖啡的销售单价各是多少元？
任务2 在不加料的情况下，购买A、B两种款式的咖啡（两种都要），刚好花200元，问有几种购买方案？
任务3 求小华购买的这两款咖啡，其中B型加料的咖啡买了多少杯（直接写出答案）？
【答案】解：任务1：设A型咖啡的每杯价格为x元，B型咖啡每杯价格为y元，由题可知：，
解得：，
即A型咖啡的每杯价格为8元，B型咖啡每杯价格为10元；
任务2：设A型咖啡为m杯，B型咖啡为n杯，
则，
∴，
∵m，n均为正整数，
∴解得：，，，，
即有共有四种方案；
任务3：买了6杯
设A型不加料为a杯，总的杯数为3a杯，设A型的加料和B型的不加料共为b杯，则B的加料为杯，
∵A型的加料和B型的不加料的价格均为每杯10元，
∴总花费为：，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∵a，b是整数，
∴，，
∴（杯）
22．已知，点E在上，点F在上，点G为射线上一点．
（1）（基础问题）如图1，试说明：．（完成图中的填空部分）
证明：过点G作直线，
又，
，（ ）
∴ ， （ ）
，
．
（2）（类比探究）如图2，当点G在线段延长线上时，请写出、、三者之间的数量关系并说明理由．
（3）（应用拓展）如图3，平分，交于点H，且，，，求的度数．
【答案】（1）平行于同一直线的两条直线互相平行；；两直线平行，内错角相等；
（2）解：，理由如下，过点G作直线，如图所示：
则，
，
，
∴，
（3）解：如图，过点G作直线，过点作直线，
则，，
，
，，
∴，，
∴，
，
，，
，
∵平分∠GAB，
，
∴，，
，
，
∵，
23．如图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
（1）观察图2．请你直接写出下列三个代数式，，之间的等量关系为 ；
（2）运用你所得到的公式解答下列问题：
①若，为实数，且，，求的值．
②如图3，，，分别表示边长为，的正方形的面积，且，，三点在一条直线上，若，，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）
（2）解：①，，
，
，
或．
②，，分别表示边长为，的正方形的面积，
，，
，
，
，
，
，
，
由图可知，阴影部分面积．
阴影部分面积为8
【解析】（1）解：由图可知，大正方形面积四个矩形的面积中间小正方形的面积，即，
故答案为：．
24．我们规定：对于数对，如果满足，那么就称数对是“和积等数对”：如果满足，那么就称数对是“差积等数对”，例如，．所以数对为“和积等数对”，数对为“差积等数对”．
（1）下列数对中，“和积等数对”的是 ；“差积等数对”的是 ．
①，②，③．
（2）若数对是“差积等数对”，求的值．
（3）是否存在非零有理数，，使数对是“和积等数对”，同时数对也是“差积等数对”，若存在，求出，的值，若不存在，说明理由．
【答案】（1）②；①
（2）解：∵数对是“差积等数对”，
∴，
解得：；
（3）解：存在，∵数对是“和积等数对”，同时数对也是“差积等数对”，
∴，
∴，
即，
把代入得：，
解得：，
∴．
即存在非零有理数，，使数对是“和积等数对”，同时数对也是“差积等数对”．
【解析】（1）解：∵
∴，
∴是“差积等数对”；
∵
∴，
∴是“和积等数对”；
∵
∴既不是“和积等数对”，也不是“差积等数对”；
故答案为：②；①
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