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浙教版2024-2025学年八年级下数学压轴题专题一 二次根式
解析版
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．定义运算“★”：对于任意实数a，b，都有 ★ = ．若 ，则 ★ 的值为（ ）
A．0 B． C． D．5
【答案】B
【解析】∵ +y2-4y+4=0，
∴ +（y-2）2=0，
∴x=-2，y=2，
∴x★y=.
故答案为：B.
2．要使代数式有意义，则的取值范围是（ ）
A．或 B． C．或 D．
【答案】C
【解析】∵ 代数式有意义，
∴|x-3|-2≥0，
解得：或
故答案为：C.
3．已知 是整数，则正整数 的值可以是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】A、当n=1时，不是整数，不符合题意；
B、当n=2时，2是整数，符合题意；
C、当n=3时，不是整数，不符合题意；
D、当n=4时，不是整数，不符合题意.
故答案为：B.
4．如果m=
-2，n=
+2，那么m和n的关系是（ ）
A．互为相反数 B．互为倒数 C．相等 D．互为负倒数
【答案】B
【解析】∵m=
-2，n=
+2，
∴m·n=（
-2）·（
+2）=5-4=1，
∴m和n互为倒数.
故答案为：B.
5．已知的整数部分为，小数部分为，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据题意，
∵，
∴，
∵的整数部分为 ，小数部分为 ，
∴， ，
∴；
故答案为：B.
6．对式子作恒等变形，使根号外不含字母，正确的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意可得：，∴
∴
故答案为：C.
7．已知a为实数，则代数式 的最小值为（ ）
A．0 B．3 C． D．9
【答案】B
【解析】∵原式=
=
=
∴当（a﹣3）2=0，即a=3时
代数式 的值最小，为 即3
故选B．
【分析】把被开方数用配方法整理，根据非负数的意义求二次根式的最小值．
8．已知a＝2021×2023﹣2021×2022，b＝，c＝，则a，b，c的关系是（ ）
A．b＜c＜a B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．a＜b＜c
【答案】D
【解析】a=2021×2023-2021×2022
=2021（2023-2022）
=2021；
∵20242-4×2023
=（2023+1）2-4×2023
=20232+2×2023+1-4×2023
=20232-2×2023+1
=（2023-1）2
=20222，
∴b=2022；
∵，
∴c＞b＞a.
故答案为：D.
9．若 ，且 ， =3，则 的值是（ ）
A．-1 B．7 C．1或7 D．-1或-7
【答案】C
【解析】∵ ， =3，
∴m=±4，n=±3，
又∵
∴n≥m，
∴m=-4，n=3或m=-4，n=-3
∴当m=-4，n=3时， = ，
当m=-4，n=-3时， = ，
故答案为：C.
10．已知 满足 ，则 （ ）
A．0 B．1 C．2021 D．2022
【答案】D
【解析】由题意得：
，
，
，
，
，
，
，
.
故答案为：D.
二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11． 若 的整数部分为 ，小数部分为 ， 则代数式 的值是 ．
【答案】2
【解析】
∵，∴，∴
∴ 的整数部分为 1，即a=1，∴
小数部分是，即b=
∴
故答案为：2.
12．观察下列各式：①；②；③；④；…，则第7个等式是 ．
【答案】
【解析】第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：，
…
第n个等式∶
当时，．
故答案为：
13．已知，，则代数式的值为 ．
【答案】
【解析】∵，
∴m+n=4，mn=4-2=2
故答案为：.
14．已知，则
【答案】0
【解析】∵，
∴
原式=
=
=
=0，
故答案为：0.
15．已知 ， 则 的值为
【答案】5
【解析】
∵
∴
即=5
故答案为：5.
16．我国古代数学名著《九毫算术》的论割圆术中有："割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣"。它体现了一种无限与有限的转化过程。比如在表达式中"..."即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程，求得.类比上述过程，则 .
【答案】2025
【解析】由已知代数式的求值方法：
先换元，再列方程，解方程，求解(舍去负根)，
可得要求的式子.
令m（m＞0），
则两边平方得，则，
即2025＋2024m＝m2，解得m＝2025，或m＝-1舍去，
故答案为：2025.
三、解答题（本题有8小题，第17～21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共72分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．用 的方法化简：
（1）
（2）
【答案】（1）解：
（2）解：
18．定义：若两个二次根式，满足，且是有理数．则称与是关于的美好二次根式．
（1）若与是关于6的美好二次根式，求的值：
（2）若与是关于的美好二次根式，求和的值．
【答案】（1）解：∵m与是关于6的美好二次根式，
∴m·=6，
解得：m=.
（2）解：∵与是关于n的美好二次根式，
∴()·()=n，
∴4-3m+(m-4)=n，
∵n是有理数，
∴，
解得：，．
19．观察下列分母有理化的运算：
，，，，， 即
（1）利用上面的规律计算：
（2）计算：
【答案】（1）解：原式
=2003-1
=2002.
（2）解：原式
=
20．先阅读材料，再解答问题：
恒等变形是代数式求值的一个很重要的方法.利用恒等变形，可以把无理数运算转化为有理数运算，可以把次数较高的代数式转化为次数较低的代数式.
例如：当 时，求 的值.
为解答这道题，若直接把 代入所求的式子中进行计算显然很麻烦，我们可以通过恒等变形对本题进行解答：
将条件变形，由 得 再把等式两边同时平方，把无理数运算转化为有理数运算.
由 得 即 =2x+2.
原式
（1）若 求 的值.
（2）若 求 的值.
【答案】（1）解：，则，
故，
即，
∴；
=-x+1；
将代入可得：
原式.
解：，则，
故
即x2-4x+4=3，
∴x2=4x-1；
则
=
=
=
=
=
=
=
.
21．【材料阅读】
把分母中的根号化去，将分母转化为有理数的过程，叫做分母有理化．
例如：化简．
解：．
上述化简的过程，就是进行分母有理化．
【问题解决】
（1）化简的结果为： ；
（2）猜想：若n是正整数，则进行分母有理化的结果为： ；
（3）若有理数a，b满足，求a，b的值．
【答案】（1）
（2）
（3）解：化简得，，
∵，
∴，
得．
【解析】（1）.
故答案为：
（2）
故答案为：
22．在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题：
已知，求的值．他是这样解答的：
∵， ∴∴
∴∴∴
请你根据小明的解题过程，解决如下问题：
（1） ；
（2）化简
（3）若，求的值．
【答案】（1）
（2）解：原式1
1
＝13﹣1
＝12
（3）解：∵，
∴a﹣2，
∴（a﹣2）2＝5，即a2﹣4a+4＝5．
∴a2﹣4a＝1．
∴a4﹣4a3﹣4a+3＝a2（a2﹣4a）﹣4a+3
＝a2×1﹣4a+3
＝a2﹣4a+3
＝1+3
＝4．
【解析】(1)解：.
故答案为：.
23．小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：，善于思考的小明利用完全平方公式进行了以下探索：
．请你仿照小明的方法解决下列问题：
（1），则 ， ；
（2）已知x是4-的算数平方根，求+2x-2024的值；
（3）当1x2时，化简
【答案】（1）2；1
（2）解：x是4-的算数平方根，
x===-1
原式=-2025=-2022
（3）2
【解析】(1)∵，
∴，，
故答案为：2，1；
(3)∵，
∴，，
∴，
，
∴，
故答案为：．
24． 阅读材料：
已知a，b为非负实数，，
，当且仅当“”时，等号成立．
这个结论就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在一类最值问题中有着广泛的应用．
例：已知，求代数式最小值．
解：令，，则由，得．
当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为4．
根据以上材料解答下列问题：
（1）已知，则当 时，代数式取到最小值，最小值为 ；
（2）用篱笆围一个面积为的矩形花园，则当这个矩形花园的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短？最短的篱笆的长度是多少米？
（3）已知，则自变量x取何值时，代数式取到最大值？最大值为多少？
（4）若x为任意实数，代数式的值为m，则m范围为 ．
【答案】（1）；
（2）解：设这个矩形的长为米，篱笆周长为米，
根据题意，用篱笆围一个面积为的矩形花园，
则矩形的宽为米，
∴，
当且仅当时，取等号，即当时，函数有最小值，最小值为40，
∴这个矩形花园的长、宽均为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆的长度是40米
（3）解：∵，
∴，
又∵，
当且仅当时，即当时，取最小值，最小值为6，
∴此时有最大值，最大值为，
∴自变量时，函数取最大值，最大值为．
（4）
【解析】（1）解：∵，
∴，
当且仅当时，取等号，
∴当时，函数取到最小值，最小值为．
故答案为：，；
（4）①，
，
又，
当且仅当时，即当时，取最小值，最小值为，
此时m有最大值，最大值为，
又，结果分母都为正数，
，
②时，
③，，
又，
当且仅当时，即当时，取最大值，最大值为，
此时m有最小值，最小值为，
又，结果的分母为负数，
，
，
综合①②③得m的取值范围为．
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浙教版2024-2025学年八年级下数学压轴题专题一 二次根式
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．定义运算“★”：对于任意实数a，b，都有 ★ = ．若 ，则 ★ 的值为（ ）
A．0 B． C． D．5
2．要使代数式有意义，则的取值范围是（ ）
A．或 B． C．或 D．
3．已知 是整数，则正整数 的值可以是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．如果m=
-2，n=
+2，那么m和n的关系是（ ）
A．互为相反数 B．互为倒数 C．相等 D．互为负倒数
5．已知的整数部分为，小数部分为，则的值是（ ）
A． B． C． D．
6．对式子作恒等变形，使根号外不含字母，正确的结果是（ ）
A． B． C． D．
7．已知a为实数，则代数式 的最小值为（ ）
A．0 B．3 C． D．9
8．已知a＝2021×2023﹣2021×2022，b＝，c＝，则a，b，c的关系是（ ）
A．b＜c＜a B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．a＜b＜c
9．若 ，且 ， =3，则 的值是（ ）
A．-1 B．7 C．1或7 D．-1或-7
10．已知 满足 ，则 （ ）
A．0 B．1 C．2021 D．2022
二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11． 若 的整数部分为 ，小数部分为 ， 则代数式 的值是 ．
12．观察下列各式：①；②；③；④；…，则第7个等式是 ．
13．已知，，则代数式的值为 ．
14．已知，则
15．已知 ， 则 的值为
16．我国古代数学名著《九毫算术》的论割圆术中有："割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣"。它体现了一种无限与有限的转化过程。比如在表达式中"..."即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程，求得.类比上述过程，则 .
三、解答题（本题有8小题，第17～21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共72分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．用 的方法化简：
（1）
（2）
18．定义：若两个二次根式，满足，且是有理数．则称与是关于的美好二次根式．
（1）若与是关于6的美好二次根式，求的值：
（2）若与是关于的美好二次根式，求和的值．
19．观察下列分母有理化的运算：
，，，，， 即
（1）利用上面的规律计算：
（2）计算：
20．先阅读材料，再解答问题：
恒等变形是代数式求值的一个很重要的方法.利用恒等变形，可以把无理数运算转化为有理数运算，可以把次数较高的代数式转化为次数较低的代数式.
例如：当 时，求 的值.
为解答这道题，若直接把 代入所求的式子中进行计算显然很麻烦，我们可以通过恒等变形对本题进行解答：
将条件变形，由 得 再把等式两边同时平方，把无理数运算转化为有理数运算.
由 得 即 =2x+2.
原式
（1）若 求 的值.
（2）若 求 的值.
21．【材料阅读】
把分母中的根号化去，将分母转化为有理数的过程，叫做分母有理化．
例如：化简．
解：．
上述化简的过程，就是进行分母有理化．
【问题解决】
（1）化简的结果为： ；
（2）猜想：若n是正整数，则进行分母有理化的结果为： ；
（3）若有理数a，b满足，求a，b的值．
22．在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题：
已知，求的值．他是这样解答的：
∵， ∴∴
∴∴∴
请你根据小明的解题过程，解决如下问题：
（1） ；
（2）化简
（3）若，求的值．
23．小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：，善于思考的小明利用完全平方公式进行了以下探索：
．请你仿照小明的方法解决下列问题：
（1），则 ， ；
（2）已知x是4-的算数平方根，求+2x-2024的值；
（3）当1x2时，化简
24． 阅读材料：
已知a，b为非负实数，，
，当且仅当“”时，等号成立．
这个结论就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在一类最值问题中有着广泛的应用．
例：已知，求代数式最小值．
解：令，，则由，得．
当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为4．
根据以上材料解答下列问题：
（1）已知，则当 时，代数式取到最小值，最小值为 ；
（2）用篱笆围一个面积为的矩形花园，则当这个矩形花园的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短？最短的篱笆的长度是多少米？
（3）已知，则自变量x取何值时，代数式取到最大值？最大值为多少？
（4）若x为任意实数，代数式的值为m，则m范围为 ．
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