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浙教版2024-2025学年八年级下数学压轴题专题二 一元二次方程
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．已知关于方程的两个实数根是，，则方程的两个实数根是（ ）
A．， B．，
C．， D．；
2．已知方程甲：ax2+2bx+a＝0，方程乙：bx2+2ax+b＝0都是一元二次方程，其中a≠b．以下说法中错误的是（ ）
A．若方程甲有两个不相等的实数解，则方程乙没有实数解
B．若方程甲有两个相等的实数解，则方程乙也有两个相等的实数解
C．若x＝1是方程甲的解，则x＝1也是方程乙的解
D．若x＝n既是方程甲的解，又是方程乙的解，那么n可以取1取﹣1
3． 已知是方程和方程的一个实数根，则方程一定有实数根（ ）
A． B． C． D．
4．已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则下列说法正确的是 （ ）
A．1可能是方程的根
B．0一定不是方程的根
C．不可能是方程的根
D．1和都是方程的根
5．已知关于x的方程a（x﹣m）x＝x﹣m有两个相等的实数根，若M＝a2﹣2am，，则M与N的关系正确的是（ ）
A．M+N＝2 B．M+N＝﹣2 C．2M+N＝0 D．M+N＝0
6．已知关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，设此方程的一个实数根为b，令 ，则（ ）
A． B． C． D．
7． 对于一元二次方程，下列说法：
若，则；
若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；
若是方程的一个根，则一定有成立；
其中正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．对于一元二次方程，下列说法：
若，则方程必有一根为；
若方程有两个不相等的实根，则方程无实根；
若方程两根为，且满足，则方程，必有实根，；
若是一元二次方程的根，则．
其中正确的（ ）
A． B． C． D．
9．我国古代数学家研究过一元二次方程的正数解的几何解法以方程，即为例说明，方图注中记载的方法是：构造如图中大正方形的面积是同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，因此小明用此方法解关于的方程时，构造出同样的图形，已知大正方形的面积为，小正方形的面积为，则（ ）
A．， B．， C．， D．，
10． 已知一元二次方程（a≠0，x1≠x2）与一元一次方程有一个公共解x=x1，若一元二次方程有两个相等的实数根，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．若，则的值为 ．
12．若等腰的一边长6，另两边长恰好是关于方程的两个实数根，则的面积为 ．
13． 若a，b是方程的两个实数根，则代数式的值为 ．
14．对于代数式（，a，b，c为常数）①若，则有两个相等的实数根；②存在三个实数，使得；③若与方程的解相同，则，以上说法正确的是 ．
15． 将关于 的一元二次方程 变形为 ， 就可以将 表示为关于 的一次多项式， 从而达到“降次”的目的， 又如 ， 我们将这种方法称为 “降次法”， 通过这种方法可以化简次数较高的代数式. 根据“降次法”， 已知： ，且 ， 则 的值为 .
16．已知关于的一元二次方程，设方程的两个实数根，，其中，则 ，若，为常数，则的值为 ．
三、解答题（本题有8小题，第17～21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共72分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17． 关于x的一元二次方程
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根．
（2）m为何整数时，此方程的两个根都是正整数？
（3）若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5，当△ABC是等腰三角形时，求m的值．
18．某农场要建一个饲养场（矩形ABCD），两面靠墙（AD位置的墙最大可用长度为27米，AB位置的墙最大可用长度为15米），另两边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在如图所示的三处各留1米宽的门（不用木栏）.建成后木栏总长45米.
（1）若饲养场（矩形ABCD）的一边CD长为8米，则另一边BC＝ 米.
（2）若饲养场（矩形ABCD）的面积为180平方米，求边CD的长.
（3）饲养场的面积能达到210平方米吗？若能达到，求出边CD的长；若不能达到，请说明理由.
19．小慧在学习配方法的知识时，发现一个有趣的现象：关于的多项式，由于，所以当时，多项式有最小值；多项式，由于，所以当时，多项式有最大值． 于是小慧给出一个定义：关于的二次多项式，当时，该多项式有最值，就称该多项式关于对称．例如关于对称． 请结合小慧的思考过程，运用此定义解决下列问题：
（1）多项式关于 对称；
（2）若关于的多项式关于对称，则 ；
（3）关于的多项式关于对称，且最小值为3，求方程的解．
20． 根据以下销售情况，解决销售任务．
销售情况分析
总公司将一批衬衫由甲、乙两家分店共同销售，因地段不同，它们的销售情况如下：
店面 甲店 乙店
日销售情况 每天可售出20件，每件盈利40元． 每天可售出32件，每件盈利30元．
市场调查 经调查发现，每件衬衫每降价1元，甲、乙两家店一天都可多售出2件．
情况设置 设甲店每件衬衫降价元，乙店每件衬衫降价元．
（1）【任务1】甲店每天的销售量 （用含的代数式表示）．
乙店每天的销售量 （用含的代数式表示）．
（2）【任务2】当，时，分别求出甲、乙店每天的盈利．
（3）【任务3】总公司规定两家分店下降的价格必须相同，请求出每件衬衫下降多少元时，两家分店一天的盈利和为2244元．
21．【综合与实践】
【问题情境】对于关于的一元二次方程（，，为常数，且），求方程的根的实质是找到一个的具体的值，代入之后等式成立．一般情况下，如果有两个不同的的具体值都满足，这就说明这个方程有两个根，且两根与，，之间具有一定的关系．
【操作判断】项目研究小组经过讨论得到两个结论：
（1）当时，则一元二次方程必有一根是．
（2）当时，则一元二次方程必有一根是．
请判断两个结论的真假，并说明原因．
【实践探究】项目研究小组经过讨论编制了以下问题，请帮助解决：
方程的较大的根为，方程的较小的根为，求的值．
22．综合与实践：
如何改造儿童友好公园？
素材1 在一块长与宽之比为的长方形场地上，有两条宽度都为4米的通道（阴影部分）栽种花草（如图1）．剩余空地面积为场地面积的一半．
素材2 为了在该场地安装大型儿童游乐设施，需将场地改造为图2方案．已知米，米，阴影部分区域栽种花草，长方形空地安装游乐设施．
问题解决
目标1 确定场地尺寸 求长方形的长和宽．
目标2 确定改造方案1 若剩余空地面积为场地面积的，，为正整数，请你设计一种方案：________米，________米．
确定改造方案2 若比大8米，求长方形空地面积的最大值．
23．
如何利用闲置纸板箱制作储物盒
素材1 小琴家需要设置储物盒的区域，该区域可以近似看成一个长方体底面尺寸如图2所示．
素材2 下图是利用闲置纸板箱拆解出的以下两种纸板：长方形纸板①和长方形纸板②，其中两种纸板的宽度均为．
长方形纸板① 长方形纸板②
小琴将分别利用长方形纸板①和长方形纸板②进行制作无盖和有盖的储物盒．
长方形纸板①的制作方式 长方形纸板②的制作方式
裁去角上4个相同的小正方形，折成一个无盖长方体储物盒． 将纸片四个角裁去4个相同的小长方形，折成一个有盖的长方体储物盒．
（1）【任务一：熟悉材料】若要求按照长方形纸板①的制作方式制成的储物盒能够刚好放入图2储物区域，则裁去小正方形的边长为 ，长方形纸板宽a的值为 ．
（2）利用任务1计算所得的数据a，进行进一步探究．
①【初步应用】按照长方形纸板①的制作方式，为了更方便地放入或取出储物盒，盒子四周需要留出一定的空间，当储物盒的底面积是，求储物盒的容积．
②【储物收纳】按照长方形纸板②的制作方式制作储物盒，若和两边恰好重合且无重叠部分，盒子的底面积为，如图，是家里一个玩具机械狗的实物图和尺寸大小，请通过计算判断下列玩具①机械狗；②玩具车能否分别完全放入该储物盒并合上盖子．（不考虑倾斜放入）
24．十六世纪的法国数学家韦达在研究一元二次方程的解法的过程中， 发现方程的根与系数之间存在着特殊关系， 由于该关系最早由韦达发现， 人们把这个关系称之为韦达定理。韦达定理： 有一元二次方程形如 的两根分别为 ， 则有
（1） 是关于 的一元二次方程 的两实根， 且 ，求 的值.
（2） 已知： 是一元二次方程 的两个实数根， 设 ， . 根据根的定义， 有 ， 将两式相加， 得 ， 于是， 得 .
根据以上信息， 解答下列问题：
①直接写出 的值.
②经计算可得： ， 当 时， 请猜想 之间满足的数量关系， 并给出证明.
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浙教版2024-2025学年八年级下数学压轴题专题二 一元二次方程
解析版
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．已知关于方程的两个实数根是，，则方程的两个实数根是（ ）
A．， B．，
C．， D．；
【答案】D
【解析】设x-4=m，则方程（x-4）2+b（x-4）+c=0变为m2+bm+c=0，
∵x2+bx+c=0的两个根为x1=2，x2=-3，
∴m=2或m=-3，
∴x-4=2或x-4=-3，
解得x=6或x=1，
∴方程（x-4）2+b（x-4）+c=0的两个实数根为x1=6或x2=1.
故答案为：D.
2．已知方程甲：ax2+2bx+a＝0，方程乙：bx2+2ax+b＝0都是一元二次方程，其中a≠b．以下说法中错误的是（ ）
A．若方程甲有两个不相等的实数解，则方程乙没有实数解
B．若方程甲有两个相等的实数解，则方程乙也有两个相等的实数解
C．若x＝1是方程甲的解，则x＝1也是方程乙的解
D．若x＝n既是方程甲的解，又是方程乙的解，那么n可以取1取﹣1
【答案】D
【解析】A、若方程甲有两个不相等的实数解，则，即，
所以，因此乙方程没有实数解，故A正确，不符合题意；
B、若方程甲有两个相等的实数解，则，
因此乙方程也有两个相等的实数解，故B正确，不符合题意；
C、若x＝1是方程甲的解，则a+2b+a=2a+2b=0，故b+2a+b=0也成立，
故x＝1也是方程乙的解 ，故C正确，不符合题意；
D、若x＝n是方程甲的解， 又是方程乙的解，
则an2+2bn+a=0，bn2+2an+b =0，
两式相减得：(a－b)n2+2(b－a)n+(a－b)=0，即(a－b)(n2－2n+1)=0，
∵a≠b，
∴n2－2n+1=0，解得n=1，故D错误，符合题意；
故答案为：D.
3． 已知是方程和方程的一个实数根，则方程一定有实数根（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意知，，，
∴，即，
解得，，即，
∴，即，
解得，，，
∴方程一定有实数根，
故选：B．
4．已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则下列说法正确的是 （ ）
A．1可能是方程的根
B．0一定不是方程的根
C．不可能是方程的根
D．1和都是方程的根
【答案】C
【解析】∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，且
∴或，
∴或，
当时，，
当时，，此时，
∴1就是方程的根，故A选项错误，不符合题意；
不是方程的根，故C选项正确，D选项错误，不符合题意；
把代入得，可能成立，
即0可能是方程的根，故B选项错误，不符合题意；
故答案为：C
5．已知关于x的方程a（x﹣m）x＝x﹣m有两个相等的实数根，若M＝a2﹣2am，，则M与N的关系正确的是（ ）
A．M+N＝2 B．M+N＝﹣2 C．2M+N＝0 D．M+N＝0
【答案】A
【解析】方程整理为ax2-(am+1)x+m=0，
由题意得：△=(am+1)2-4am=0，
∴(am-1)2=0，
∴am-1=0，
∴m=，
∴M=a2﹣2a·=a2﹣2，=4a·-a2=4-a2，
∴M+N=a2﹣2+4-a2=2.
故答案为：A .
6．已知关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，设此方程的一个实数根为b，令 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵一元二次方程 有两个不相等的实数根，
∴△=1-m＞0，
∴m＜1，
∵b是方程的一个实数根，
∴ ，
∴4b2-4b+m=0，
∴y=4b2-4b-3m+3=3-4m，
∴m= ，
∴ ＜1，
∴y＞-1，
故答案为：A.
7． 对于一元二次方程，下列说法：
若，则；
若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；
若是方程的一个根，则一定有成立；
其中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】①∵
∴，故①成立
②∵
∵ 方程有两个不相等的实根， ∴a，c异号，则-4ac>0
∴
故②成立
③∵是方程的一个根，
∴
∴
∴c=0或，故③错误
故选C.
8．对于一元二次方程，下列说法：
若，则方程必有一根为；
若方程有两个不相等的实根，则方程无实根；
若方程两根为，且满足，则方程，必有实根，；
若是一元二次方程的根，则．
其中正确的（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵a+b+c=0，
∴当x=1时，ax2+bx+c=a+b+c=0，
∴x=1是方程的一根，故①正确；
∵方程ax2+c=0有两个不相等的实数根，
∴-4ac>0，∴b2-4ac>0，
∴方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，故②错误；
若方程ax2+bx+c=0的两根为x1、x2，且x1≠x2≠0，
∴x1+x2=-，x1x2=，
∴-=，，
∴方程cx2+bx+a=0必有实根，故③正确；
∵x0是方程ax2+bx+c=0的根，∴x0=，
∴±=2ax0+b，
∴b2-4ac=(2ax0+b)2，故④正确.
故答案为：D.
9．我国古代数学家研究过一元二次方程的正数解的几何解法以方程，即为例说明，方图注中记载的方法是：构造如图中大正方形的面积是同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，因此小明用此方法解关于的方程时，构造出同样的图形，已知大正方形的面积为，小正方形的面积为，则（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】D
【解析】如图，
由题意，得m2=4，4n+4=14，
解得m=2，n=.
故答案为：D.
10． 已知一元二次方程（a≠0，x1≠x2）与一元一次方程有一个公共解x=x1，若一元二次方程有两个相等的实数根，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵（a≠0，x1≠x2）与有一个公共解x=x1，
∴x=x1是方程的一个解，
，
∵一元二次方程有两个相等的实数根，
∴x1+x1=，
∴a(x2-x1)=d．
故答案为：B．
二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．若，则的值为 ．
【答案】
【解析】根据题意知：，则等式两条同时除以有：，令可得则
所以即的值为：.
故答案为：.
12．若等腰的一边长6，另两边长恰好是关于方程的两个实数根，则的面积为 ．
【答案】12或
【解析】如图，过点A作AD⊥BC，
当底边BC=6时，
b2-4ac=0即100-4m=0，
解之：m=25，
∴x2-10x+25=（x-5）2=0
解之：x2=x1=5，
∴腰长AB=AC=5，
∴BD=BC=3，
∴，
∴S△ABC=×6×4=12；
当腰长AB=AC=6时，
设底边长为n，
∴n+6=10，
解之：n=4，
∴BC=4，
∴BD=BC=2，
∴，
∴S△ABC=×4×=；
∴△ABC的面积为12或.
故答案为：12或
13． 若a，b是方程的两个实数根，则代数式的值为 ．
【答案】2028
【解析】∵a，b是方程的两个实数根，
∴，
∴，
∴
．
故答案为：2028．
14．对于代数式（，a，b，c为常数）①若，则有两个相等的实数根；②存在三个实数，使得；③若与方程的解相同，则，以上说法正确的是 ．
【答案】①③
【解析】①∵b2-4ac=0，∴方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根，故①正确；
②∵一元二次方程ax2+bx+c=k，最多有两个解，故②错误；
③∵方程（x+2）（x-3）=0的解为x1=-2，x2=3，
将x=-2代入ax2+bx+c+2=0得4a-2b+c+2=0，
∴4a-2b+c=-2，故③正确.
故答案为：①③.
15． 将关于 的一元二次方程 变形为 ， 就可以将 表示为关于 的一次多项式， 从而达到“降次”的目的， 又如 ， 我们将这种方法称为 “降次法”， 通过这种方法可以化简次数较高的代数式. 根据“降次法”， 已知： ，且 ， 则 的值为 .
【答案】
【解析】∵
∴
∵=
=
=
=
=
=
∵
∴
∵
∴∴原式=
故答案为.
16．已知关于的一元二次方程，设方程的两个实数根，，其中，则 ，若，为常数，则的值为 ．
【答案】-2；16
【解析】，
方程可变为，
∴或，
解得，，
∵，
∴，
∵，
∴，；
∵，
∴，
∴，
∴，
解得，
故答案为：；16．
三、解答题（本题有8小题，第17～21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共72分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17． 关于x的一元二次方程
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根．
（2）m为何整数时，此方程的两个根都是正整数？
（3）若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5，当△ABC是等腰三角形时，求m的值．
【答案】（1）证明：∵
∴==4>0
∴方程总有两个不相等的实数根
（2）解：∵
∴
∴，
∵方程的两个根都是正整数，且方程有两个不相等的实数根
∴是正整数，且
∴m=2或者m=3
（3）解：∵△ABC是等腰三角形，BC的长为5
①当AB=BC，或AC=BC时，5是一元二次方程的根
即
∴m=
②当AB=AC时AB、AC的长是这个方程的两个是实数根
由（1）可知方程有两个不相等的实数根
∴此种情况不存在
∴m=
18．某农场要建一个饲养场（矩形ABCD），两面靠墙（AD位置的墙最大可用长度为27米，AB位置的墙最大可用长度为15米），另两边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在如图所示的三处各留1米宽的门（不用木栏）.建成后木栏总长45米.
（1）若饲养场（矩形ABCD）的一边CD长为8米，则另一边BC＝ 米.
（2）若饲养场（矩形ABCD）的面积为180平方米，求边CD的长.
（3）饲养场的面积能达到210平方米吗？若能达到，求出边CD的长；若不能达到，请说明理由.
【答案】（1）24
（2）解：设CD＝x（0＜x≤15）米，则BC＝45﹣x﹣2（x﹣1）+1＝（48﹣3x）米，
依题意得：x（48﹣3x）＝180，
整理得：x2﹣16x+60＝0，
解得：x1＝6，x2＝10.
当x＝6时，48﹣3x＝48﹣3×6＝30（米），30＞27，不合题意，舍去；
当x＝10时，48﹣3x＝48﹣3×10＝18（米），符合题意.
答：边CD的长为10米
（3）解：不能，理由如下：
设CD＝y（0＜y≤15）米，则BC＝45﹣y﹣2（y﹣1）+1＝（48﹣3y）米，
依题意得：y（48﹣3y）＝210，
整理得：x2﹣16x+70＝0.
∵△＝（﹣16）2﹣4×1×70＝256﹣280＝﹣24＜0，
∴该方程没有实数根，
∴饲养场的面积不能达到210平方米.
【解析】（1）BC＝45﹣8﹣2×（8﹣1）+1＝24（米）.
故答案为：24.
19．小慧在学习配方法的知识时，发现一个有趣的现象：关于的多项式，由于，所以当时，多项式有最小值；多项式，由于，所以当时，多项式有最大值． 于是小慧给出一个定义：关于的二次多项式，当时，该多项式有最值，就称该多项式关于对称．例如关于对称． 请结合小慧的思考过程，运用此定义解决下列问题：
（1）多项式关于 对称；
（2）若关于的多项式关于对称，则 ；
（3）关于的多项式关于对称，且最小值为3，求方程的解．
【答案】（1）-3
（2）4
（3）解：
，
同理可得当，即时，多项式有最小值，最小值为，
∵关于的多项式关于对称，且最小值为3，
∴，
∴，
∴方程即为方程，
∴，
解得
【解析】（1）
，
∵，
∴，
∴当，即时，多项式有最小值，
∴多项式关于对称，
故答案为：；
（2）解：
，
同理可得当，即时，多项式有最小值，
∴关于的多项式关于对称，
又∵关于的多项式关于对称，
∴，
故答案为：4；
20． 根据以下销售情况，解决销售任务．
销售情况分析
总公司将一批衬衫由甲、乙两家分店共同销售，因地段不同，它们的销售情况如下：
店面 甲店 乙店
日销售情况 每天可售出20件，每件盈利40元． 每天可售出32件，每件盈利30元．
市场调查 经调查发现，每件衬衫每降价1元，甲、乙两家店一天都可多售出2件．
情况设置 设甲店每件衬衫降价元，乙店每件衬衫降价元．
（1）【任务1】甲店每天的销售量 （用含的代数式表示）．
乙店每天的销售量 （用含的代数式表示）．
（2）【任务2】当，时，分别求出甲、乙店每天的盈利．
（3）【任务3】总公司规定两家分店下降的价格必须相同，请求出每件衬衫下降多少元时，两家分店一天的盈利和为2244元．
【答案】（1）件；件
（2）解：当时，甲店每天的盈利为（元）；
当时，乙店每天的盈利为（元）
（3）解：设每件衬衫下降元时，两家分店一天的盈利和为2244元，
由题意得：，
整理得：，
解得：，
即每件衬衫下降11元时，两家分店一天的盈利和为2244元．
21．【综合与实践】
【问题情境】对于关于的一元二次方程（，，为常数，且），求方程的根的实质是找到一个的具体的值，代入之后等式成立．一般情况下，如果有两个不同的的具体值都满足，这就说明这个方程有两个根，且两根与，，之间具有一定的关系．
【操作判断】项目研究小组经过讨论得到两个结论：
（1）当时，则一元二次方程必有一根是．
（2）当时，则一元二次方程必有一根是．
请判断两个结论的真假，并说明原因．
【实践探究】项目研究小组经过讨论编制了以下问题，请帮助解决：
方程的较大的根为，方程的较小的根为，求的值．
【答案】解：（1）结论正确，理由如下：令代入得，符合题意；
（2）结论正确，理由如下：
令代入得：，即，符合题意；
实践探究：
∵
，
是方程的根．
设方程的另外一个根是，则，
；
又，
是方程的一个根，
设方程的另外一个根为，
则，
，
．
22．综合与实践：
如何改造儿童友好公园？
素材1 在一块长与宽之比为的长方形场地上，有两条宽度都为4米的通道（阴影部分）栽种花草（如图1）．剩余空地面积为场地面积的一半．
素材2 为了在该场地安装大型儿童游乐设施，需将场地改造为图2方案．已知米，米，阴影部分区域栽种花草，长方形空地安装游乐设施．
问题解决
目标1 确定场地尺寸 求长方形的长和宽．
目标2 确定改造方案1 若剩余空地面积为场地面积的，，为正整数，请你设计一种方案：________米，________米．
确定改造方案2 若比大8米，求长方形空地面积的最大值．
【答案】解：目标1：设长为米，宽为米，根据题意得：，
解得：（舍去），
则，，
答：该长方形场地的长为16米，宽为12米；
目标2：（方案1）根据题意得：，
整理得：，
∵m，n均为正整数，
∴，或，；
（方案2）设米，则米，根据题意得：
长方形空地面积
；
∵，
∴，
∵，
∴当时，长方形空地面积最大，最大值为100平方米．
23．
如何利用闲置纸板箱制作储物盒
素材1 小琴家需要设置储物盒的区域，该区域可以近似看成一个长方体底面尺寸如图2所示．
素材2 下图是利用闲置纸板箱拆解出的以下两种纸板：长方形纸板①和长方形纸板②，其中两种纸板的宽度均为．
长方形纸板① 长方形纸板②
小琴将分别利用长方形纸板①和长方形纸板②进行制作无盖和有盖的储物盒．
长方形纸板①的制作方式 长方形纸板②的制作方式
裁去角上4个相同的小正方形，折成一个无盖长方体储物盒． 将纸片四个角裁去4个相同的小长方形，折成一个有盖的长方体储物盒．
（1）【任务一：熟悉材料】若要求按照长方形纸板①的制作方式制成的储物盒能够刚好放入图2储物区域，则裁去小正方形的边长为 ，长方形纸板宽a的值为 ．
（2）利用任务1计算所得的数据a，进行进一步探究．
①【初步应用】按照长方形纸板①的制作方式，为了更方便地放入或取出储物盒，盒子四周需要留出一定的空间，当储物盒的底面积是，求储物盒的容积．
②【储物收纳】按照长方形纸板②的制作方式制作储物盒，若和两边恰好重合且无重叠部分，盒子的底面积为，如图，是家里一个玩具机械狗的实物图和尺寸大小，请通过计算判断下列玩具①机械狗；②玩具车能否分别完全放入该储物盒并合上盖子．（不考虑倾斜放入）
【答案】（1）5cm；50cm
（2）解：①设裁去小正方形边长为，
解得：（舍去），
∴储物盒的容积；
②设裁去小长方形长为，宽为，
，
则，
∵，
∴
解得：（舍去），
∴，
则
即裁去小长方形长为，宽为，
∴制作储物盒长为，高为，宽为
①∵，
∴机械狗能完全放入；
②∵，
∴玩具车不能完全放入．
【解析】（1）∵图2储物区域长为50cm， 储物盒刚好放入图2的储物区域，
∴则裁去小正方形的边长为（60-50）=5cm；
a=40+2×5=50cm.
故答案为：5cm，50cm.
24．十六世纪的法国数学家韦达在研究一元二次方程的解法的过程中， 发现方程的根与系数之间存在着特殊关系， 由于该关系最早由韦达发现， 人们把这个关系称之为韦达定理。韦达定理： 有一元二次方程形如 的两根分别为 ， 则有
（1） 是关于 的一元二次方程 的两实根， 且 ，求 的值.
（2） 已知： 是一元二次方程 的两个实数根， 设 ， . 根据根的定义， 有 ， 将两式相加， 得 ， 于是， 得 .
根据以上信息， 解答下列问题：
①直接写出 的值.
②经计算可得： ， 当 时， 请猜想 之间满足的数量关系， 并给出证明.
【答案】（1）解：
解得： ，
由伟达定理可得 (4 分)
由 可得
代入可得：
解得： 舍
的值为 1
（2）解：①
②猜想： 当 时，
证明： 因为 为方程的根， 所以有 ， 等式两边都乘以 得 ：
同理可得：
两式相加可得：
根据题意知： ，
， 且根据题意 ， 因此
所以当 3 时， 有 .
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