2015年10浙江省普通高中学业水平考试（数学试题）(含答案）

2015年10月浙江省普通高中学业水平考试
数学试题
一、选择题 （本大题共18小题，每小题3分，共54分。每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）
1. 函数的定义域为
A.（－∞，0） B.[0，+∞） C. [2，+∞） D. （－∞，2）
2. 下列数列中，构成等比数列的是
A.2，3，4，5， B.1，－2，－4，8 C.0，1，2，4 D.16，－8，4，－2
3. 任给△ABC，设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列等式成立的是
A.c2=a2+b2+2abcosC B. c2=a2+b2－2abcosC C. c2=a2+b2+2absinC D. c2=a2+b2－2absinC
4. 如图，某简单组合体由一个圆锥和一个圆柱组成，则该组合体三视图的俯视图为
5. 要得到余弦曲线y=cosx，只需将正弦曲线y=sinx向左平移
A. 个单位 B. 个单位 C. 个单位 D. 个单位
6. 在平面直角坐标系中，过点(0，1)且倾斜角为45°的直线不经过
A.第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
7. 已知平面向量a=(1，x)，b=(y，1)。若a∥b，则实数x，y一定满足
A.xy－1=0 B. xy+1=0 C.x－y=0 D.x+y=0
8. 已知{an}(n∈N*)是以1为首项，2为公差的等差数列。设Sn是{an}的前n项和，且Sn=25，则n=
A.3 B.4 C.5 D.6
9. 设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F。若F到直线y=x的距离为，则p=
A.2 B.4 C.2 D.4
10. 在空间直角坐标系Oxyz中，若y轴上点M到两点P(1，0，2)，Q(1，－3，1)的距离相等，则点 M的坐标为
A.(0，1，0) B. (0，－1，0) C. (0，0，3) D. (0，0，－3)
11. 若实数x，y满足 则y的最大值为
A. B.1 C. D.
12. 设a>0，且a≠1，则“a>1”是“loga <1”的
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
13. 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M为棱D1C1的中点。设AM与平面BB1D1D的交点为O， 则
A. 三点D1，O，B共线，且OB=2OD1 B. 三点D1，O，B不共线，且OB=2OD1
C. 三点D1，O，B共线，且OB=OD1 D. 三点D1，O，B不共线，且OB=OD1
（第13题图）
14. 设正实数a，b满足a+λb=2（其中λ为正常数）。若ab的最大值为3，则λ=
A.3 B. C . D.
15. 在空间中，设l，m为两条不同直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题正确的是
A.若lα，m不平行于l，则m不平行于α
B.若lα，mβ，且α，β不平行，则l，m不平行
C. 若lα，m不垂直于l，则m不垂直于α
D. 若lα，mβ， l不垂直于m，则α，β不垂直
16. 设a，b，c∈R，下列命题正确的是
A.若|a|<|b|，则|a+c|<|b+c| B. 若|a|<|b|，则|a－c|<|b－c|
C. 若|a|<|b－c|，则|a |<|b|－|c| D. 若|a|<|b－c|，则|a|－|c|<|b|
17. 已知F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，l1，l2为双曲线的两条渐近线。设过点M(b，0)且平行于l1的直线交l2于点P。若PF1⊥PF2，则该双曲线的离心率为
A. B. C. D.
（第17题图）
18. 如图，在菱形ABCD中，∠BAD=60°，线段AD，BD的中点分别为E，F。现将△ABD沿对 角线BD翻折，则异面直线BE与CF所成角的取值范围是
A. B. C. D.
（第18题图）
二、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分）
19. 设a，b为平面向量。若a=(1，0)，b=(3，4)，则|a|= ，a·b=
20. 设全集U={2，3，4}，集合A={2，3}，则A的补集UA=
21. 在数列{an}(n∈N*)中，设a1=a2=1，a3=2。若数列是等差数列，则a6=
22. 已知函数f(x)=，g(x)=ax+1，其中a>0。若f(x)与g(x)的图象有两个不同的交点， 则a的取值范围是
三、解答题（本大题共3小题，共31分）
23.（本题10分）已知函数f(x)=2sinxcosx，x∈R.
（Ⅰ）求f()的值；
（Ⅱ）求函数f(x)的最小正周期；
（Ⅲ）求函数g(x)=f(x)+f(x+)的最大值。
24. （本题10分）设F1，F2分别是椭圆C：的左、右焦点，过F1且斜率不为零的动直 线l与椭圆C交于A，B两点。
（Ⅰ）求△AF1F2的周长；
（Ⅱ）若存在直线l，使得直线F2A，AB，F2B与直线x=－分别交于P，Q，R三个不同的点，且满足P，Q，R到x轴的距离依次成等比数列，求该直线l的方程。
25. （本题11分）已知函数f(x)=ax，a∈R.
（Ⅰ）判断函数f(x)的奇偶性，并说明理由；
（Ⅱ）当a<2时，证明：函数f(x)在(0，1)上单调递减；
（Ⅲ）若对任意的x∈(0，1)∪(1，+∞)，不等式(x－1)[f(x)－]≥0恒成立，求a的取值范围。
数学试题参考答案
一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D B D A D A C B B
题号 11 12 13 14 15 16 17 18
答案 B A A D C D B C
二、填空题 （本大题共4小题，每空3分，共15分）
19.1，3 20.{4} 21.120 22.0三、解答题（本大题共3小题，共31分）
23.解： （Ⅰ） 由题意得 f()=2 sincos=1
（Ⅱ） ∵f(x)= sin2x∴函数f(x)的最小正周期为T=π
（Ⅲ） ∵g(x)= sin2x+ sin(2x+)= sin2x+cos2x=
∴当 k∈Z时，函数g(x)的最大值为
24.解： （Ⅰ）因为椭圆的长轴长2a=2 ，焦距2c=2.
又由椭圆的定义得 |AF1|+|AF2|=2a
所以△AF1F2的周长为|AF1|+|AF2|+|F1F2|=2+2
（Ⅱ）由题意得l不垂直两坐标轴，故设l的方程为y=k(x+1)(k≠0)
于是直线l与直线x=－交点Q的纵坐标为
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，显然x1，x2≠1，
所以直线F2A的方程为
故直线F2A与直线x=－交点P的纵坐标为
同理，点R的纵坐标为
因为P，Q，R到x轴的距离依次成等比数列，所以|yP|·|yR|=|yQ|2
即
即
整理得。（*）
联立 消去y得(1+2k2)x2+4k2x+2k2－2=0
所以x1+x2= ，x1x2=
代入（*）得
化简得|8k2－1|=9
解得k=
经检验，直线l的方程为y=(x+1)
25. （Ⅰ）解：因为f(－x)=－ax=－( ax)=－f(x)
又因为f(x)的定义域为{x∈R|x≠－1且x≠1}
所以函数f(x)为奇函数。
（Ⅱ）证明：任取x1，x2∈(0，1)，设x1f(x1)－f(x2)=a(x1－x2)+
=
=
因为02，0<(x12－1)(x22－1)<1
所以
所以
又因为x1－x2<0，所以f(x1)>f(x2)
所以函数f(x)在(0，1)上单调递减
（Ⅲ）解：因为(x－1)[f(x)－]=(x－1)[ ax－]
==
所以不等式ax2(x2－1)+2≥0对任意的x∈(0，1)∪(1，+∞)恒成立。
令函数g(t)=at2－at+2，其中t=x2，t>0且t≠1.
①当a<0时，抛物线y=g(t)开口向下，不合题意；
②当a=0时，g(t)=2>0恒成立，所以a=0符合题意；
③当a>0时，因为g(t)=a(t－)2－+2
所以只需－+2≥0
即0综上，a的取值范围是0≤a≤8