2015学年浙江省第一次五校联考数学（理科）试题卷（含答案）

2015学年浙江省第一次五校联考
数学（理科）试题卷
本试题卷分选择题和非选择题两部分．全卷共4页,满分150分, 考试时间120分钟．
请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上．
参考公式：
柱体的体积公式V=Sh 其中S表示柱体的底面积，h表示柱体的高
锥体的体积公式 V=Sh 其中S表示锥体的底面积，h表示锥体的高
台体的体积公式 其中S1,S2分别表示台体的上,下底面积
球的表面积公式S=4πR2 其中R表示球的半径，h表示台体的高
球的体积公式V=πR3 其中R表示球的半径
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知全集， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
2.设，则“”是“恒成立”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3.已知函数，把函数的图象沿轴向左平移个单位，得到函数的图象.关于函数，下列说法正确的是( )
A. 在上是增函数 B. 其图象关于直线对称
C. 函数是奇函数 D. 当时，函数的值域是
4.已知为平面向量，若与的夹角为，与的夹角为，则=( )
A. B. C. D.
5.设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下面四个命题中错误的是（ ）.
A. 若 ，则// B. 若 ，则
C. 若 ，则//或 D. 若 // ，则
6．已知等差数列的等差，且 成等比数列，若，为数列的前项和，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7. 设数列的各项都为正数且．如图，△ABC所在平面上的点(n∈N*)均满足
△PnAB与△PnAC的面积比为3∶1，若，则x5的值为( )
A．31 B．33
C．61 D．63
8. 已知函数是定义域为的偶函数． 当时，，
若关于的方程（）,有且仅有6个不同实数根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C. D．
第Ⅱ卷 非选择题部分(共110分)
二、填空题: （本大题共7小题, 前4小题每题6分, 后3小题每题4分,共36分）．
9. 已知为等差数列，若，则前项的和 ▲ ，的值为 ▲ ．
10. 已知 为锐角，则= ▲ ，= ▲
11.所谓正三棱锥，指的是底面为正三角形，顶点在底面上的射影为底面三角形中心的三棱锥，在正三棱锥中，是的中点，且,底面边长,则正三棱锥的体积为
▲ ，其外接球的表面积为 ▲
12. 若三个非零且互不相等的实数，，满足，则称，，是调和的；若满足，则称，，是等差的.若集合中元素，，既是调和的，又是等差的，则称集合为“好集”，若集合，集合，则（1）“好集” 中的元素最大值为 ▲ [（2）“好集” 的个数为 ▲ .
13. 设满足约束条件:的可行域为．若存在正实数,使函数的图象经过区域中的点,则这时的取值范围是 ▲
14. 己知且则的最小值为 ▲
15.如图，直线平面，垂足为，正四面体(所有棱长都相等的三棱锥)的棱长为2，在平面内，是直线上的动点，当到的距离为最大时，正四面体在平面上的射影面积为 ▲
三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16.已知命题的两个实根，且不等式对任意恒成立；命题q: 不等式有解，若命题为真，为假，求实数的取值范围.
17．（本题满分15分）
已知函数
（1）当时，求函数的值域.
（2）设的内角的对应边分别为，且，若向量.
与向量共线，求的值
18.（本小题满分15分）
在四棱锥中, 平面, ,底面是梯形, ∥，
（1）求证:平面平面;
（2）设为棱上一点,,试确定
的值使得二面角为60 .
19.（本小题满分15分）
已知函数()
(1)求函数的单调增区间.
(2)若解不等式
(3)若，且对任意，方程在总存在两不相等的实数根，求的取值范围.
20.（本小题满分15分）
已知数列
（1）若，对于任意，不等式恒成立，
求的取值范围
（2）求证： ()
2015学年浙江省第一次五校联考
数学（理科）答案
说明：
一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容制订相应的评分细则．
二、对计算题，当考生的题答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容与难度，可视影响的程度决定后续部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
四、只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．
一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分40分．
1 2 3 4 5 6 7 8
D A D B D A A C
二、填空题: 本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分36分．
9. 10. ，
11. , 12. 2012 , 1006 ,
13. 14.
15.
三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16. 答案：
P：…………5分
Q: …………10分
P,Q一真一假
…………14分
17. 解：(1)
。……………3分
∵，∴，
∴，从而。
则的最小值是，最大值是。……………7分
（2），则，
∵，∴，∴，解得.……………10分
∵向量与向量共线，∴，
由正弦定理得，　　 ①
由余弦定理得，，即　　②
由①②解得.……………15分
18. （1）证明：∵平面，
∴
在梯形中，过点作作，
在中，
又在中，
.……3分
.
.
………………7分
（2）法一：过点作∥交于点,过点作垂直于于点,连. …8分
由（1）可知平面,平面,,
平面, ，
是二面角的平面角，
…………………10分
‖，
，
由（1）知=,，又
∥ ……12分
，
. …………………………………15分
（2）法二：以为原点,所在直线为
轴建立空间直角坐标系 (如图)
则.
令,则
. …………………………………………………………………9分
平面, 是平面的法向量. ………………………10分
设平面的法向量为.
则 ，即 即 .
令,得 ………………………………………………………12分
二面角为,
∴ 解得,
在棱上, 为所求. ………………………15分
19. 解答：
(1)若，的单调增区间为和………………………2分
若，的单调增区间为和………………………4分
若，的单调增区间为………………………5分
(2) 在单调递增，在单调递减，在单调递增，
若即时，令解得：
不等式的解为：…………7分
若即时，令解得：
据图像：不等式的解为：
综上： 不等式的解为：
不等式的解为：……9分
(3)
在单调递增，在单调递减
在单调递增，即
=在单调递增，
………………………11分
在单调递减在单调递增
必须
即
………………………15分
20.解：（1）易知=f(n) .......... .2分
f(n+1)-f(n)=
=
=>0
f(n)单调递增，………………………………………4分
即，
故。
因，
且，故。………………………………………7分
（2）
………………………………..9分
累加得：-
- …………………………11分
-+
要证原不等式成立，只需证：
<
n=1,2显然成立
时，左边<
原不等式成立………………………………..15分
A
B
C
Pn
第7题图