人教版六年级数学下册小升初《比和比例》讲义

六年级数学下册小升初《比和比例》讲义
一、考点梳理
（一）比的意义和性质
比的意义：两个数相除又叫做两个数的比。例如 3÷2 可写作 3:2，读作 3 比 2。在比中，“:” 是比号，比号前面的数叫比的前项，后面的数叫比的后项。前项除以后项所得的商，叫做比值。
比的性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0 除外），比值不变。这一性质常用于化简比。
（二）比例的意义和性质
比例的意义：表示两个比相等的式子叫做比例。如 2:3 = 4:6。组成比例的四个数，叫做比例的项，两端的两项叫做外项，中间的两项叫做内项。
比例的性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。这是解比例的重要依据。
（三）正比例和反比例
正比例：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。用字母表示为（一定）。
反比例：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。用字母表示为（一定）。
（四）按比分配
把一个数量按照一定的比进行分配的问题，称为按比分配问题。解决这类问题时，通常先求出总份数，再求出各部分量占总量的几分之几，最后用总量乘各部分量对应的分率，求出各部分的量。
二、典型例题
例 1：化简比并求比值
将 2.5:0.75 化简并求比值。
【解题思路】化简比可根据比的基本性质，将比的前项和后项同时扩大或缩小相同倍数，化为最简整数比。求比值则用比的前项除以后项。
【解答过程】先将 2.5 和 0.75 同时扩大 100 倍，得到 250:75，再同时除以 25，化简为 10:3。比值为。
化简并求比值。
【解题思路】同样依据比的基本性质，先将两个分数的分母化为相同，再进行化简。求比值依旧是用前项除以后项。
【解答过程】给的前项和后项同时乘 16，得到 12:9，再同时除以 3，化简为 4:3。比值为。
例 2：解比例
已知，求的值。
【解题思路】根据比例的基本性质，两个外项的积等于两个内项的积，将比例式转化为方程，再求解方程。
【解答过程】由比例性质可得，即，两边同时除以 6，解得。
解比例。
【解题思路】运用比例的基本性质，外项之积等于内项之积，构建方程求解。
【解答过程】可得，即，两边同时除以 2，解得。
例 3：正比例应用题
一辆汽车 2 小时行驶 120 千米，照这样的速度，5 小时可以行驶多少千米？
【解题思路】因为速度一定，路程和时间成正比例关系。先求出速度，再根据正比例关系求出 5 小时行驶的路程。
【解答过程】汽车速度为（千米 / 时），设 5 小时行驶千米，可得，即，解得千米。
工厂生产零件，4 小时生产 160 个。照这样计算，7 小时能生产多少个零件？
【解题思路】由于单位时间生产零件数一定，生产零件总数和时间成正比例。先算出单位时间生产的零件数，再依据正比例关系算出 7 小时生产的零件数。
【解答过程】每小时生产零件（个），设 7 小时生产个零件，可得，即，解得个。
例 4：反比例应用题
用边长为 3 分米的方砖铺地，需要 96 块；如果改用边长为 4 分米的方砖铺地，需要多少块？
【解题思路】铺地总面积一定，方砖面积和所需块数成反比例关系。先算出原来方砖面积和总面积，再根据反比例关系求出新方砖所需块数。
【解答过程】原来方砖面积为（平方分米），总面积为（平方分米）。新方砖面积为（平方分米），设需要块，可得，解得块。
一个旅行团从甲地到乙地，如果每小时行 45 千米，8 小时能到达。若每小时行 60 千米，几小时能到达？
【解题思路】甲乙两地的距离一定，速度和时间成反比例。先求出甲乙两地的距离，再根据反比例关系求出新速度下所需的时间。
【解答过程】甲乙两地距离为（千米），设每小时行 60 千米时，小时能到达，可得，解得小时。
例 5：按比分配应用题
学校把 360 本图书按照 4:5 的比例分给五、六年级，五、六年级各分得多少本图书？
【解题思路】先求出总份数，再分别算出五、六年级分得的图书占总数的几分之几，最后用图书总数乘各自的分率，得到五、六年级分得的图书数量。
【解答过程】总份数为份，五年级分得图书占总数的，数量为本；六年级分得图书占总数的，数量为本。
一种混凝土是由水泥、沙子、石子按 2:3:5 配制而成的，要配制 20 吨这种混凝土，需要水泥、沙子、石子各多少吨？
【解题思路】先确定总份数，接着算出水泥、沙子、石子分别占混凝土总量的几分之几，最后用混凝土总量乘各自的分率，求出各自的用量。
【解答过程】总份数为份，水泥占，需要吨；沙子占，需要吨；石子占，需要吨。
三、巩固练习
（一）选择题
把 10 克盐放入 100 克水中，盐和盐水的比是（ ）。
A. 1:10 B. 1:11 C. 10:11
如果，那么的值是（ ）。
A. 12 B. 7 C. 无法确定
一个比的前项扩大 3 倍，后项缩小 3 倍，比值（ ）。
A. 不变 B. 扩大 9 倍 C. 缩小 9 倍
（二）填空题
4:5 = （ ）÷15 = = （ ）（填小数）
在一个比例中，两个外项互为倒数，其中一个内项是，另一个内项是（ ）。
从 24 的因数中选出四个数组成一个比例是（ ）。
（三）计算题
1.化简比：
48:36 1.5:0.25
2.求比值：
0.8:0.4 1.25:
3.解比例：
（四）应用题
配制一种农药，药粉和水的比是 1:500。现有药粉 3.6 千克，配制这种农药需要水多少千克？
小明家到学校的距离是 1200 米，他步行上学需要 15 分钟。照这样的速度，他从家走到 800 米外的超市需要多少分钟？
一个车间要生产一批零件，如果每天生产 150 个，24 天完成。如果要提前 4 天完成，每天应生产多少个零件？
幼儿园大班和中班共有 32 名男生，18 名女生。大班男女生人数比为 5:3，中班男女生人数比为 2:1，大班有女生多少名？
甲、乙两人同时从 A 地到 B 地，甲 6 小时到达，乙 5 小时到达。甲、乙两人的速度比是多少？当甲行了 60 千米时，乙行了多少千米？
答案
（一）选择题
B。盐水质量为克，盐和盐水的比是 10:110 = 1:11。
A。由比例性质。
B。假设原比为，比值为，变化后比为，比值为，所以比值扩大 9 倍。
（二）填空题
12；16；0.8。，，，。
。两个外项互为倒数，积为 1，根据比例性质，两个内项积也为 1，所以另一个内项是。
示例：2:4 = 6:12（答案不唯一，24 的因数有 1、2、3、4、6、8、12、24，只要组成的比例两个比的比值相等即可）。
（三）计算题
化简比：
48:36 = (48÷12):(36÷12) = 4:3
1.5:0.25 = (1.5×4):(0.25×4) = 6:1
求比值：
0.8:0.4 = 0.8÷0.4 = 2
1.25:
解比例：
由比例性质得，，解得。
由比例性质得，，解得。
由比例性质得，，解得。
（四）应用题
设需要水千克，，千克。
速度为米 / 分，设走到超市需要分钟，，解得分钟。
零件总数为个，提前 4 天完成即天完成，每天应生产个。
设大班男生有名，女生有名，中班男生有名，女生有名。由中班男女生人数比为 2:1，可得，即，，，，所以大班女生有名。
把 A、B 两地的路程看作单位 “1”，甲的速度是，乙的速度是，甲、乙速度比为。甲乙速度比一定，路程比也为 5:6，当甲行了 60 千米时，设乙行了千米，可得，，千米 。